X Maths 1 PSI 2022

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022
08h00 - 12h00

_ FILIERE PSI

MATHEMATIQUES (XUSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Début de l'épreuve

Pour de N*et x = (21,...,x%a) et y = (y1,..., Ya) dans R', nous noterons :

e x -y le produit scalaire usuel de x et y.

d
L'y:-- dry
i=1

e |x| := x: 7x, la norme euclidienne usuelle de x,
e {x,yl := {Ax + (1 -- Àjy, À EUR (0,1]} le segment joignant x à y.

On rappelle qu'une partie À de R' est convexe si pour tout (x,y) EUR 4°, on a 
[x, y] C À.
Si Aet B sont deux parties non vides de R{, x e R'et À EUR KR, nous noterons

A+B:={a+b, at A, bE B}, ÀA:= {Aa a EUR A}
A--B:=A+(-1)B, A---x:=A--{x}

nous noterons dim(A) la dimension de l'espace vectoriel engendré par À -- a où 
a est
un élément quelconque de À (cette définition étant indépendante du choix de a 
EUR À). En
particulier si x et y appartiennent à R° et x £ y, on a dim({x}) = 0, et 
dim([x,y|) = 1.

Pour M EUR MxalR), nous identifierons toujours M à l'application linéaire dont M
est la matrice dans les bases canoniques de R° et R'"° et noterons donc

Ker(M) := {x ER': Mr =0}, Im(M):={Mx,xr ER}

enfin M} désignera la transposée de M.

Pour tout k EUR N°, nous noterons R° l'ensemble des éléments de R° dont les 
coordon-
nées sont dans R. et pour y: et y dans Rf, nous écrirons y > y2 (ou % < y1) quand Y1 -- Y2 EUR R°. On rappelle enfin que toute suite bornée d'éléments de R" possède une extraction qui converge. Partie Ï : Projection et séparation Projection Soit C' une partie non vide, convexe et fermée de R° et x EUR R', considérons : inf {x -- y||*. 1 inf Îlx -- yl (1) 1) Montrer que (1) possède une unique solution (c'est à dire qu'il existe un unique y EUR C tel que [fx -- y||? < [x -- 2] pour tout z EUR C') que nous appellerons projection de x sur © et noterons proj-(x). Montrer que x = proj.(x) si et seulement si x EUR C! 2) Soit y EUR R° montrer que y =projo(x) y EC'et(r---y)-(2-- y) <0, VzE C! 3) Montrer que pour tout (+1,72) EUR R° x R',ona (proje (21) -- proje (oe2)) + (a1 -- 22) > [proje (x1) -- proie (2)|°
et en déduire que pro], est continue.

4) Déterminer explicitement proj, dans les cas suivants :

) C= RÉ, ü)C = {y ER: [y] < 1}. d iii) C = d ER: w< 1 ,w)C =[-1,1/7. i=1 Séparation Soit Cet D deux parties convexes non vides de R° telles que C'est fermée et bornée, D est fermée, et CN D -- (}. 5) Montrer que D -- C'est une partie convexe fermée de RY ne contenant pas 0. 6) Montrer qu'il existe p EUR R° et EUR > 0 tels que

px 0, ÿ À -- ]1,(21,...,%7) EUR et}.
i=1

i=1
Soit À une partie convexe non vide de R', nous dirons que x EUR À est un point 
extrémal
de À si V(y,z, À) EUR A x Ax|0,1|,on a
x = (1 -- À)y + À2 = y = 2.

Nous noterons Ext(A) l'ensemble des points extrémaux de A.

Cas particuliers

9) Soit À une partie convexe non vide de R'. Soit I EUR N*,x1,...æ1 EUR 
Alet(l,...,M)EEUR
R' tels que 5. À; = 1, montrer que :

© a) 5. ÀXT; EUR À,
e bjsix:= x; EUR Ext(A) alors x; = x pour tout à EUR {1,...,1} tel que À, > 0.

10) Soit E une partie de RY montrer que co(E) est le plus petit convexe 
contenant E et
que Ext(co(E)) C E.

11) Soit À = co(E) où E est la partie de R° définie par

E = {(0,0,1), (0,0, --1); U {(1 + cos(#),sin(8), 0), 8 EUR 10,27];
montrer que Ext(A) est non vide et n'est pas fermée.

12) Soit & E N*,(P1,...,pr) EUR (R)" et (b1,...,b4) EUR R° tels que

À :=-- {x ER im :x0,VreE}
et son cône bi-polaire par
ET = (Et) = {£eRt:E-p>0, VpeE*}.
16) Montrer que ET et ETTsont des cônes convexes fermés et que E EUR ETT.
17) Montrer que E = ETT si et seulement si Æ£ est un cône convexe fermé.

18) Soit £1,...,6p, k éléments de R° et

k
F := D Xé, (M,...,)) EUR me)
i=1

montrer que Fest un cône convexe fermé. Soit 6 EUR R'. montrer que 
l'équivalence entre :
6EUR,
e É-x > 0 pour tout x EUR R' tel que
Programmation linéaire

Soit M EUR Myxa(R), b = (b1,...,b4) EUR Rf et p EUR R'. Posons

a:=inf{p.x:xeR° x > 0, Max  f.

20) On suppose qu'il existe 7 = (%1,...,24) EUR R° tel que

zx 20, Mxz  0 pour tout z EUR R' tel que

z; 2 0 pour tout j EUR J et M, - z < 0 pour tout ? EUR I. e b) Montrer qu'il existe g EUR R" tel que : 4<0, M'G0},1 (x):= {ie {1,...,d}:x; <0} et Lx) := {i EUR {1,...,d}:x; = 0}. Soit M EUR Mxxa(R) et supposons que rang(M) = k. Soit b EUR R°\{0}, l'objectif de cette partie est de trouver une solution du système linéaire Mzx = 0 ayant au plus £ coordonnées non nulles par une méthode de minimisation. Pour ce faire, on s'intéresse à : r:=inf{xli, x ER, Mx=b}. 21) Montrer que pour tout x EUR R%, on a Ich = max {r-y, y ER, [y <1}, et xl = max {r:y, yE R°, |yli & 1}. 22) Notons C' l'ensemble : C:= {x ER': Mx=b, [xl =r}. Montrer que C est non vide, convexe, fermé et borné. 23) Fixons x EUR C. Montrer qu'il existe q EUR Ker(M)}\{0} tel que pour tout à EUR {1,...,d},on ait qiti = ||qlloe Hit - 24) Soit K l'ensemble des y EUR R' tels que Montrer que K est non vide et inclus dans C'. 25) Montrer que si y EUR Ext(K) alors h EUR Ker(M) et Lo(y) EUR Lo(h) = h = 0. 26) En déduire que si y EUR Ext(K) alors le cardinal de Z, (y) U 1_(y) est inférieur ou égal à k. Fin du sujet.