X Maths 1 PSI 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Écoles Normales Supérieures - École Polytechnique
Concours d'admission 2021

Lundi 12 avril 2021 - 8h00 - 12h00

Filière PSI
Epreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé

Aucune calculatrice n'est autorisée

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Préambule

On s'intéresse dans ce problème à certains sous ensembles de l'espace des
fonctions à valeurs réelles et continues sur [0, +o|. On peut classiquement
définir les opérateurs d'intégration J et de dérivation D de sorte qu'en
particulier la composition D o J est l'opérateur identité, où la notation o
désigne l'opérateur de composition usuel.

On cherche alors à définir pour tout réel & > 0 des opérateurs fraction-
naires d'intégration J° et de dérivation D° tels que D®0o JT est l'identité et
tels que pour tout &, 5 > 0 on aurait

J'oJ = JÉ et Do D? = pt

En particulier pour à = 1/2, on cherche à définir une racine carrée de D,
i.e. un opérateur D? tel que D/?20 D!/? = D.

Parmi les nombreuses approches possibles, nous allons suivre celles de
Riemann-Liouville et Caputo.

e On commence par des préliminaires sur la fonction Gamma.

e On démontre ensuite une version simple du théorème de Fubini pour
des fonctions continues sur un carré et qu'on s'autorisera à utiliser dans
la suite du problème dans un cadre plus général, cf. la question 2).

e On introduit enfin la transformation de Laplace et on prouve son ca-
ractère injectif sur les fonctions continues.

L'intégration fractionnaire est définie dans la partie À alors que les
dérivées fractionnaires le seront dans la partie B. Dans la dernière partie on
s'intéressera enfin à deux équations différentielles fractionnaires simples.

Le candidat est libre d'admettre les résultats de la partie Préliminaires,
pour aborder les parties À, B et C. Pour simplifier les arguments dans
les préliminaires on se restreint aux fonctions continues sur |[0,+oo| alors
qu'on aura parfois besoin de considérer des fonctions continues sur |0, +
intégrables en 0. Le candidat est autorisé à utiliser les résultats des 
préliminaires
dans ce cadre plus général.
Préliminaires

1) On considère la fonction Gamma définie par l'(x) -- |

Ve ttr-ldt.

1-a) Montrer que l'est bien définie pour x réel strictement positif.

1-b) Montrer que pour tout x > 0, on a la relation l'(x +1) = xl'(x) et

en déduire que pour tout n EUR N* on a l'(n) = (n --1)!.

- On admettra pour la suite que la fonction Gamma précédente
peut être prolongée en une fonction qu'on notera encore L' définie sur
R\{-n:nEeN}et vérifiant l'équation fonctionnelle l'(x+1) = xl(x)
pour toutxæx ER\{-n:nEeN}: écriture l'(x) -- et Îdt n'est
alors valable que pour x > 0. Pour tout entier n EUR N, on pose en outre
l'(--n) := +oo.

- On utilisera aussi sans justification l'égalité suivante

1 _ _ L'(p)t
B(p,9) = LU a) ut du = Te (En

où p, q sont des réels strictement positifs.
Soit a EUR R strictement positif et soit f : [0,a] x [(0,a] -- R définie

et continue. Dans cette question on cherche à établir la version simple
suivante du théorème de Fubini

Î af fa) -- Î du( [wat (E»)

que le candidat pourra utiliser dans la suite du problème pour
a = + lorsque f'* dt(f, |f(t,u)|du) converge.

2-a) i. Pour t EUR |0, a] fixé, soit h(n = f \f(t+n,u)-- f(t,u)|du définie

pour 7 EUR [-t,a -- fl. RU que À tend vers 0 lorsque n tend
vers (0.

ii. Montrer avec soin la continuité de t + sf (t,u)du sur [0, a.
ii. Calculer la dérivée de la fonction F(x) = f, dt( ff f(t,u)du).

2-b) Pour tous 0 < à, 8 < a, on introduit (ar, ; = du( [°F ft, u)dt). i. Expliciter la dérivée partielle 2 (a, B). 3 ii. Expliciter 23 (a, B). iii. Donner alors une expression de la dérivée de G(x) = fj du(f} f(t,u)dt). 2-c) Déduire de ce qui précède une preuve de l'égalité (Æ2). 3) Pour f,g : [0,+æ[-- R des fonctions continues, on définit leur pro- duit de convolution f * g(x) = | f(x -- Og(bdt. 3-a) Montrer que f * g est continue sur [0, +. 3-b) Montrer que le produit de convolution est commutatif. 3-c) Montrer que le produit de convolution est associatif. 4) Une fonction f : [0,+ooe[-- R continue est dite d'ordre exponentiel s'il existe des réels M > 0 et r tels que pour tout t > 0,ona|f(t)| < Me'. Pour une telle fonction f, on définit alors sa transformée de Laplace "NE ] et f(bdt. 4-a) Montrer que £(f)(s) est bien définie pour tout réel s assez grand. 4-b) Montrer que si f est de classe CT avec f et f' d'ordre exponentiel. alors pour s assez grand, £(f')(s) = s£(f)(s) -- f(0). 4-c) Soient f et g des fonctions continues sur [0, +! et d'ordre expo- nentiel. Montrer que f * g est d'ordre exponentiel. 4-d) Sous les hypothèses de la question précédente, en utilisant (Æ2) pour a = +0, montrer que, pour s assez grand, L(F x g)(s) = L(F)(s)L(g)(s). 5) On cherche à présent à montrer que £(f)(s) -- £(g)(s) pour tout s assez grand si et seulement si f = gq. 5-a) Justifier qu'on peut se ramener à chercher les fonctions f telles que £(f)(s) = 0 pour tout s assez grand. -b) Soit f : [a,b] -- R une fonction continue telle que pour tout n >0,ona f° x" f(x)dx = 0. Montrer que f° f(x)dx = 0 et en
déduire que f est la fonction nulle.

Indication : on pourra utiliser, sans justification, le théorème d'ap-
proximation de Weierstrass qui établit l'existence pour tout EUR > OÙ,
d'un polynome pe EUR R|X1 tel que max,eun | f(x) -- pe(x)| < EUR: 5-c) En déduire que £ est injective. Indication : on pourra utiliser un changement de variable y = e"*. Dans la suite du problème le candidat pourra librement utiliser les résultats de ces préliminaires dans le cas où les fonctions ne sont plus nécessairement continues en 0 mais y sont seulement intégrables. A- Intégration fractionnaire 6) pr : :]0 ou R une fonction continue et intégrable en 0, on note = | f t)dt et pour tout n > 2 on définit par récurrence
LP)(oe) = 2 (AP) (x).
Montrer que 1° f 2 = [ x --t)f(t)dt puis que

ui | Ce = 4" f(bdt.

7) Pour tout réel à EUR R, on note ®, :]0, +oo]-- R définie par

P(F)(x) =

al

P,(#) -- l'(a)'

en convenant que pour & EUR Z négatif ou nul, ®, est la fonction nulle.

-a) Quelle est la dérivée m-ème de ®, ?

7-b) Montrer, en utilisant (Æ:), que pour tout à&, 5 des réels strictement
positifs, on à D, x Ps = D,,5.

7-c) Expliciter £L(®,)(s) pour a > 0.
8) Pour tout réel à > 0, on définit

PDG = Bas 0 = es Je 0 du

T(a)

et on note J° l'opérateur identité, ie. J°(f)(x) = f(x). D'après la
question 6), pour tout n EUR N, on a donc J" = F7.
8-a) Montrer que pour tous réels «, 5 positifs, on a Jo JP -- Jap.

8-b) On suppose f d'ordre exponentiel. Pour à > 0, montrer que £L(J® f)(s)
est bien défini pour s assez grand et égal alors à 5 *£(f)(s).

8-c) Pour a et 7 des réels strictement positifs, montrer que J°®, --
P
+:

8-d) Soit f d'ordre exponentiel et soit à > 0. Montrer que J*f est la
fonction nulle si et seulement si f est la fonction nulle.

B- Dérivées fractionnaires

On note D l'opération de dérivation usuel, D(f)(x) = f'(x) lorsque f
est dérivable. Par récurrence, lorsque cela est possible, on définit D"(f) --
D(D"-1f) de sorte que trivialement D" o J" est l'opérateur identité.

k

9) Pour f dérivable n fois, montrer que J'oD"(f)(x) = f(x)-S 2, (OS.

10) Etant donné un réel a > 0, on note m l'entier tel que m -- 1 < a < m, et on définit D* := Do J"T%, ï.e., sous réserve d'existence. m (1 pt Et) _ pre Pere dent) mic a cm D" $(+) à m et on note D l'opérateur identité. Remarque : on ne demande pas au candidat de donner des conditions nécessaires pour l'existence de D°'f. 10-a) Pour tout à > 0, expliciter D*o J°

10-b) Pour f = 1 expliciter D°I et préciser pour quel à, la fonction D°1
est la fonction nulle.
10-c) Pour a > 0 et y > 0, montrer que D°E, = D...

10-d) Pour f d'ordre exponentiel, montrer que D°'f est la fonction nulle
si et seulement si f s'écrit sous la forme f(x) = D; cc; J où
m--l --1 et n(t) = 5,29 an admet un rayon
de convergence À > 0. Montrer alors que pour tout 0 < EUR < 0OSB<)\+let a >0,ona (Do D°)f = DPF.

12) Soit un réel à > 0 et m--1 < a < m. On pose alors, sous réserve d'existence, D®f := JM" To D f, 1.e. T(m--a) Fer RO --1 0 on introduit la série entière

+00 pk
Ea(e) = 2_ (+ ak)

14-a) Calculer Æ5(0), E1(0) et Eo(--06*).

14-b) Montrer que le rayon de convergence de FE, (8) est strictement po-
sitif.

14-c) On pose e,(t) = E,(--(t*)) et on admet qu'il est d'ordre exponen-

sa 1

s4+1°
14-d) On pose uz(t) := J'e,(t). Montrer que L(uz)(s) = *

tiel. Montrer que pour s > 1, on a £L(e,)(s) --

a--k--1

sA+T °
15) On cherche à résoudre l'équation D£u(t) = --u(t). Montrer qu'après
application de l'opérateur J®, cette eee devient
M --
EE ru
Lo À

où on précisera les cz.

16) On suppose que u(t) est d'ordre exponentiel. Montrer que

Ltu(s) = D - L(u)(s)

FIN DE L'ÉPREUVE

Ô

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Quentin Guilmant (ENS Lyon) ; il a été relu par Sélim
Cornet (professeur en CPGE) et Gilbert Monna (professeur honoraire en CPGE).

Ce sujet d'analyse traite des notions d'intégrale et de dérivée fractionnaires.
Ces concepts interviennent par exemple en physique pour décrire le comportement
de certains systèmes dynamiques. Tout comme il existe des montages intégrateurs
ou dérivateurs, il est possible de créer des systèmes qui se comportent comme 
des
demi-dérivateurs. Plus généralement, on peut définir un opérateur 
pseudo-différentiel
linéaire J pour tout réel  > 0 généralisant les intégrations successives, mais 
aussi un
opérateur D généralisant les dérivations successives. Toutefois, des 
comportements
gênants apparaissent, comme la non commutativité des opérateurs D et D dans le
cas général. Cela peut venir, par exemple, de l'impossibilité de permuter les 
intégrales
évoquées dans les définitions de ces opérateurs pseudo-différentiels. Ces 
permutations
diverses (entre séries et intégrales, entre dérivées et intégrales ou séries, 
etc.) sont omniprésentes dans le sujet. Leur manipulation est la principale 
compétence évaluée.
Le sujet comporte quatre parties. La première est un recueil de résultats 
préliminaires utiles dans les autres parties. On définit ensuite l'intégration 
fractionnaire
et la dérivation fractionnaire. Enfin, on applique ces opérateurs pour résoudre 
une
équation différentielle faisant intervenir un opérateur différentiel 
fractionnaire.
· Le sujet commence par quelques résultats préliminaires. La fonction  est 
introduite afin de remplacer les factorielles qui peuvent apparaître lorsque 
l'on
intègre ou dérive successivement. On montre ensuite une version du théorème
de Fubini qui permettra de permuter des intégrales. Enfin, on définit et étudie
brièvement le produit de convolution et la transformée de Laplace.
· Dans la partie A, on étudie l'intégration fractionnaire. On introduit les 
fonctions qui joueront le rôle des primitives et dérivées fractionnaires de 
l'identité.
On observe que les propriétés de l'opérateur d'intégration sont bien préservées
dans ce cadre plus général.
· La partie B s'intéresse à la dérivation fractionnaire. Elle en propose deux 
définitions, qui ne sont pas équivalentes. Il faut ensuite montrer comment 
passer
d'une définition à l'autre.
· La partie C applique ce qui a été vu jusqu'alors. On va en particulier 
résoudre
une équation différentielle fractionnaire à l'aide de la transformée de Laplace.
Ce sujet nécessite de l'aisance dans les calculs algébriques et une bonne 
connaissance de tous les théorèmes de permutation au programme, qui suffisent 
pour répondre à beaucoup de questions. Ce sujet permet de travailler en 
profondeur ou de
réviser ces théorèmes.

Indications
Préliminaires
1-a Pour tout x  R+ , montrer que la fonction t 7 e -t tx-1 est intégrable
sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [. Pour cela, la comparer dans les deux cas à une
intégrale de Riemann.
1-b Intégrer par parties sur l'intégrale définissant (x + 1).
2-a-i Utiliser le théorème de convergence dominée.
2-a-ii Montrer que pour t  [ 0 ; a ] et   [ - ; a - t ],
Z
Z t
(f (t + , u) - f (t, u)) du +
|g(t + ) - g()| 6

t+

f (t + , u) du

t

0

et majorer |f (t + , u)| indépendamment de t,  et u.
2-b-ii Utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre puis la 
question
2-a-ii pour montrer que les fonctions
Z 
Z u
u 7-
f (t, u) dt
et
u 7-
f (t, u) dt
0

0

sont continues. Conclure à l'aide du théorème de dérivation des fonctions
définies par une intégrale à paramètre.
2-b-iii Utiliser la règle de la chaîne.
2-c À l'aide des questions 2-a-iii et 2-b-iii, montrer que F et G sont deux 
primitives
d'une même fonction. Conclure en observant que F(0) = G(0).
3-a Utiliser la question 2-a-ii sur la fonction
(
[ 0 ; a ] 2 - R
ha :
(x, t) 7- f (x - t)g(t)
pour a un réel.
3-c Montrer que pour tout x > 0,
Z
(f  g)  h(x) =

x

Z

x

f (x - v)g(v - t)h(t) dv

0

dt

t

puis appliquer la question 2-c.
4-b Montrer qu'il existe des réels M et r qui conviennent à la fois à f et à f 
0 . Faire
ensuite une intégration par parties sur L(f 0 )(s) pour s suffisamment grand.
4-c Considérer des réels M et r qui conviennent à la fois à f et à g. Remarquer
que pour tout réel x, e x > x.
5-b Écrire f (x)2 = (f (x) - p (x))f (x) + p (x)f (x).
Partie A
6 Définir une propriété P(n) et la montrer par récurrence double. Pour ce faire,
initialiser en 1 et 2 puis montrer que pour tout n  N , P(n) = P(n + 2).
On pourra utiliser l'identité (E2 ) et intégrer par parties.
7-b Utiliser l'identité (E1 ).

7-c Utiliser la question 4-a pour obtenir la bonne définition de L(a )(s) pour s
suffisamment grand. Utiliser alors le changement de variable linéaire u = st.
8-a Séparer les cas  = 0 et  = 0. Utiliser les questions 3-c et 7-b.
8-d Faire usage des résultats des questions 8-b et 5-c.
Partie B
9 Effectuer un raisonnement par récurrence sur n. Pour l'hérédité, appliquer
l'hypothèse de récurrence à f 0 .
10-b Pour rappel, 1 désigne la fonction constante à 1. Effectuer le changement 
de
variable v = t - u pour ensuite appliquer les questions 8-c et 7-a.
10-d Montrer d'abord que D (f ) = 0 si et seulement si
Jm- (f ) =

m-1
P

Dk (Jm- (f ))(0)k+1

k=0

Ne pas oublier ensuite de séparer les cas   N et  
/ N. Conclure avec la
question 8-d.
11-c Soient  > 0 et de l'entier tel que de - 1 <  6 de. Montrer, à l'aide d'un théorème de permutation série-intégrale que + P ( + k + 1) de-++k+1 Jde- (f ) = gk où gk = k k! k=0 Montrer ensuite que l'on peut dériver de fois sous le signePsomme. Pour P cela, on peut utiliser que, pour tout entier j, les séries entières ak tk et a k k j tk ont le même rayon de convergence. Appliquer ensuite ce résultat à  =  + et f , puis à  =  et f puis enfin à  =  et D (f ). 12-a Utiliser le fait que J  D (f ) = 0, ainsi que les questions 8-a et 9. 12-b Montrer que J  J  D(f ) = J  D  J (f ) - f (0)J (1 ). Appliquer ensuite D à chacun des membres de cette égalité et conclure en appliquant la question 10-c pour obtenir une autre forme du terme D  J (1 ). 12-c Montrer la propriété P(k) suivante par récurrence pour tout k  [[ 1 ; m ]]. P(k) : Dk  Jm- (f ) = Jm-  Dk (f ) + k-1 P f (j) (0)m-k-+1+j j=0 Partie C 13-b 14-a 14-b 14-c Utiliser les questions 4-b et 8-b. Reconnaître des séries entières usuelles. Utiliser la règle de d'Alembert et le théorème de convergence dominée. Obtenir que L(e )(s) est bien défini pour s > 1 grâce au théorème de 
permutation série-intégrale. Montrer alors, grâce à la question 7-c, que
L(e )(s) =

+
X

k=0

(-1)k

1
s1+k

14-d Utiliser les questions 8-b et 14-c.
15 Calculer J D
 (u) à l'aide de la question 8-a, puis conclure avec la question 9.
16 Appliquer la transformée de Laplace à l'équation obtenue en question 15.
Obtenir l'équation sur L(u)(s) à l'aide des questions 7-c et 8-b. Utiliser la
question 5 pour conclure.

Publié dans les Annales des Concours

Préliminaires

1-a Pour tout x  R+ , on définit la fonction gx sur R par
gx (t) = e -t tx-1
Ces fonctions sont de classe C  sur ] 0 ; + [. On a, d'après le théorème des 
croissances comparées, pour tout x  R,
 
1
gx (t) = o
+
t  t2
et t 7 1/t2 est une fonction intégrable sur [ 1 ; + [. De plus, pour tout x  R,
gx (t)  + tx-1
t0

Par équivalence avec une intégrale de Riemann en 0, pour tout x  R, la fonction 
gx
est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x - 1 > -1, c'est-à-dire, si et 
seulement
si x > 0. Ainsi, gx est intégrable sur ] 0 ; + [ pour tout x > 0, donc
La fonction  est bien définie sur R+ .
1-b Soit x > 0. Calculons (x + 1) à l'aide d'une intégration par parties. Les 
fonctions t 7 -e -t et t 7 tx sont de classe C  sur R+ , donc de classe C 1 . 
De plus,
lim -e -t tx = lim -e -t tx = 0
t+

t0+

Z
Ainsi,

(x + 1) =

+

e -t tx dt

0
+

= [-e -t tx ]0

+

Z

xe -t tx-1 dt

+
0

= lim -e -t tx - lim+ -e -t tx + x(x)
t+

t0

(x + 1) = x(x)
Pour tout x > 0, (x + 1) = x(x).
Soit la propriété définie pour n  N par
P(n) :

(n) = (n - 1) !

Démontrons-la par récurrence.
· P(1) est vraie : en effet, on a
Z +
(1) =
e -t dt = lim -e -t + e 0 = 1 = 0 !
t+

0

· P(n) = P(n + 1) : Soit n  N tel que P(n) est vraie. Montrons alors
que P(n + 1) est vraie. Par l'hypothèse de récurrence et la propriété ci-dessus,
on obtient
(n + 1) = n(n) = n(n - 1) ! = n !
· Conclusion : D'après le principe de récurrence,
n  N

(n) = (n - 1) !