X Maths 1 PSI 2020

Thème de l'épreuve Régularité de fonctions, fonctions concaves et semi-concaves
Principaux outils utilisés fonctions lipschitziennes, convexité, calcul différentiel à plusieurs variables
Mots clefs convexe, fonction lipschitzienne, régularité, théorème de Pythagore

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES - ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020 - 8h00 -- 12h00
FILIERE PSI
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(XUCR)

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé
Aucune calculatrice n'est autorisée

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Notations

Dans tout l'énoncé, on adopte les notations suivantes :

-- Si E et F sont deux ensembles non vides, alors E x F désigne l'ensemble de 
tous les
couples de la forme (x,y) avec x EUR E et y EUR F. Si k > 1 est un entier, on 
note EF
l'ensemble des k-uplets (x1,:-- ,æ4) avec x; EUR E pour 1  1, (.|.) désigne le produit scalaire canonique sur R4 
défini par

d
Vz = (ti, FT TT E R', Vy = (ui, FT Ya) E R', (x|y) + dx.
i=1

On note ||: || la norme associée définie sur R° par :

d
Vx -- (1, ne ; Da) EUR R', x | D a,

i=1
On note (e1,--- ,ey) la base canonique de R.
-- Si E est un ensemble non vide et g une application de Æ dans KR, on note inf 
g(x) la
ze

borne inférieure de l'ensemble non vide g(Æ) défini par
g(E) := {yeR|2re E tel que y = g(x)}.

On rappelle que cette borne inférieure est bien définie si g est minorée sur Æ, 
c'est-
à-dire s'il existe un nombre réel m tel que

VreE, g(x) > m.

De même, on note sup g(x) la borne supérieure de g(E). Cette borne supérieure 
est
xeE
bien définie s'il existe un nombre réel M tel que

Vze E, g(x) < M. Si f1 et f> sont deux fonctions de Æ dans R, on note min( fi, f2) la fonction 
de E
dans R définie par

Vx EUR E, min(fi, f2)(x) = min(fi(x), f(x).

-- Si d > 1 est un entier, f : R° -- R une fonction et X > 0 une constante 
réelle, on dit
que f est X-Lipschitzienne si

V(x,y) ER°XR*, [f(x) -- f(y)| < K|x -- yI|. On dit que f est Lipschitzienne s'il existe une constante réelle X > 0 telle 
que f est
K-Lipschitzienne.

On note B(R*, R) l'ensemble des fonctions bornées de R1 dans R. Pour toute 
fonction
f EUR B(RY,R) on pose
[fl = sup |f(æ)|.

zERd

Dans toute la suite, d désignera un entier naturel non nul.
Partie I : approximation par des fonctions Lipschit-
ziennes

Dans toute cette partie, EUR et a désignent deux nombres réels avec EUR > 0 et 
a > 1.

Sih : R?--R est une fonction minorée, on définit, sous réserve d'existence, la 
fonction
Th : R/--R par

ve eRt (T)(a) = inf (hu) + Sy 2°).

yE

1. Soit h : RY-- R une fonction minorée. Montrer que la fonction 7:h est bien 
définie

sur Rd et que
Vr ER, (Tih)(x) < h(x). 2. Soient h1 et ho deux fonctions de R° dans R minorées. On pose H = min(h:, ho). Montrer que T:H est bien définie sur R4 et que TLH = min(T:h1, Tiha). Indication : pour prouver cette dernière identité, on peut d'abord montrer que TH < min(Tih1,Tiho). 3. On suppose dans cette question uniquement que a = 2. Soit g : R? -- R la fonction définie par VreR, g(x)=/||x|?. Calculer (T:g)(x) pour tout x EUR IR. Indication : pour x EUR R' fixé, on peut décomposer tout vecteur y EUR IR sous la forme y = Àr + y, avec À un nombre réel et y, un vecteur orthogonal à x. 4. On suppose ici uniquement que a = 1. Soit h : R4-- R une fonction minorée. (a) Montrer que Th est 1-Lipschitzienne. (b) Montrer que T-h = h si et seulement si À est 1-Lipschitzienne (c) On se place dans le cas où h(x) = |[x|| pour tout x EUR R1. Montrer que À Vz EUR R°,(Th)(x) = min(1, Ike. (d) Soit £ : RY-- R la fonction définie par : {(x) = min(1,|x||) pour x EUR R£. Exprimer (T:L)(x) en fonction de EUR et x pour tout x EUR R'. On revient désormais au cas général où a > 1. Dans toute la suite de cette
partie, f EUR B(R1,R) est une fonction fixée.

5. Montrer que 1:f EUR B(RY,R) et que [T.fle & |floo.
6. Soit x EUR R1. On pose
1
A(x) = {y EUR R°| f(y) + Sly < fa). Montrer que A(x) # (, que Vy EUR A(x), |ly -- | < (21floo)"/°. et que he) = inf (Qu) + Elu el) 7. On suppose dans cette question que f est continue. Montrer que pour tout x EUR R, il existe y, EUR RY tel que 1 (Te f(x) = f(Yx) + AL |" 8. Montrer que pour tous x EUR R< et y EUR Rd, on a | 1 LA) -- FOI < IT -- flee + lg = 2 9. On pose ici et dans toute la suite, sous réserve d'existence, VrEe[0,+oo[, wy(r)= sup |f(x) -- f(y)|, (æy)EBo(r) où Bo(r) = {(x,y) ER°XR°| [x --yl  0, w/(r) est bien défini et
1
apr) EUR ITef -- floo + Dr.

(b) La fonction r EUR [0,+oo[- w/(r) est croissante.
10. Montrer que
ITef -- flo 1 converge uniformément vers f.
(ii) lim wy(t) = 0.

t--0+

Partie II : fonctions concaves

On dit que f : R{-- R est concave si pour tous x,y EUR REURet À EUR [0,1],

f(x + (1 y) > ÀAf(x) + (1 -- 1) f(y).

On dit que f est convexe si -- f est concave.

Dans la suite, f sera une fonction concave de R% dans R.

12. Soit fo une autre fonction concave de R° dans R. Montrer que f + fo et 
min(f, fo)
sont concaves.

13. Montrer que pour tout entier n > 2, six, ,x, EUR Rdet À,--:, A EUR [0,1] 
vérifient
n
SA = 1, alors

=1

(E Mt) > Sfr)
2=1 i=1
14. Soient x Z z deux points distincts de R4 et À EUR]0,1[. On pose y = Ar + (1 
-- À)z.

Montrer que
TE) 0) EUR ste) -- to) EUR SW FEI,

15. Soit M > O0 un réel fixé. On note X1,::-,Xo4 les 24 éléments de {--M, M}

(énumérés dans un ordre arbitraire).

(a) Montrer que pour tout x EUR [-M, M], il existe À,--- , pa EUR [0, 1] tels 
que

SJ X=1et SJ XX;= x.

Indication : on peut procéder par récurrence.
(b) Montrer qu'il existe une constante réelle D < 0 telle que : Vze[-M,M}", f(x) -- f(0) > D.
(c) En déduire que
Indication : on peut observer que 0 = 2x + (--x) pour tout x EUR [-M,M]*
M Mjd

(d) En déduire que pour tous &,y EUR [-#, +

Jul On&

Le) -- F1 < Me -- vi Indication : on peut considérer un point z = y+t(y-- x) avec t > 0 un nombre
réel convenablement choisi.

(e) Montrer que f est continue sur RA.
16. Soit CC R*! un ensemble convexe fermé non vide et Y EUR R{+{.
(a) Montrer qu'il existe Y, EUR C tel que
VXEC, |[Y-YI <|Y -X||: (b) Montrer que rec PRIX) <é 0 (c) En déduire que Y, est unique. 17. On note E}; = {(x,y) E R?XR |y< f(x)} C R*!. On fixe dans la suite de cette question x, EUR R° et un nombre réel EUR > 0.

(a) Montrer qu'il existe un unique X, = (x.,y.) EUR E; tel que
VXEE;, [(r, f(x) +e) -- Xl < [ax fm) + EUR) -- X]|. (b) Montrer que y: = f(x). (c) On pose désormais a(e) = f(x,) -- f(x.) + EUR. Montrer que Vx EUR R', (Tr -- Tata -- Te) + [tx -- ze ||? + a(e)(f(x) + f(xe)) < 0. (d) En déduire les deux inégalités 0O0 une suite réelle vérifiant : Vn > 0, [us] < Ko. On définit les suites (a; )h1>0 et (br)hn>0 de la manière suivante :

-- ao = --Ko et bo = Ko
-- pour tout entier n > 0:
- si l'ensemble {k EUR N | ug EUR [a, antèa]} est infini alors
Qn + On

An+1 -- An et bn+1 -- ;

:

- sinon
An + by

An+1 -- et br -- bn.

(a) Montrer que ces deux suites (an )n>0 EURt (bn)h>0 Sont adjacentes.

(b) Montrer que pour tout entier n > 0, l'ensemble {k EUR N | ux EUR [as,b,]} 
est
infini.

(c) En déduire qu'il existe une suite extraite (u,(n))n>0 qui converge.

19. Montrer l'existence d'un vecteur p, EUR R' tel que
VreR', f(x) -- f(x) <(p.lz-2,). Indication : on peut considérer les éléments de R4 1 Pa = es 4), pour #2 L a(>) É

20. Déterminer toutes les fonctions g : R? -- R qui sont à la fois convexes et 
concaves.

Partie III : fonctions semi-concaves

Soit f une fonction de R dans R et X > 0 un nombre réel. On dit que f est 
K-semi-
concave si la fonction x ++ f(x) -- K||x||? est concave. On dit que f est 
X-semi-convexe
si -- f est K-semi-concave.

La fonction f est semi-concave s'il existe une constante X > 0 telle que f est 
X-
semi-concave. Enfin, on dit que f est semi-convexe si -- f est semi-concave.
ls

22,

23.

24.

Soit £ > 0 un nombre réel et f EUR B(R{,R). On rappelle que quand a = 2, T.f est
définie par

Vert (Tf)(a) = info) + Sly el).

yERd

1
EUR

Montrer que, dans ce cas, T:f est =-semi-concave.

On suppose dans cette question et dans toute la suite que f EUR B(RY,R) est une
fonction X-semi-concave. Montrer que pour tout x EUR R, il existe p, EUR R° tel 
que

VyeER, f(y) -- f(x) < (pely -- +) + Klly - x. (a) Montrer que pour tout x EUR R', la fonction y ++ f(y) -- K||y -- x? est concave. (b) Montrer qu'il existe une constante X' > 0 telle que pour tous x, y EUR R" 
vérifiant
leu <2, | Lf(x) -- fu) < K°Iz -- vi. (c) Montrer que f est X'-Lipschitzienne. On suppose dans cette question que f est à la fois X-semi-concave et K-semi- convexe. (a) Montrer que pour tout x EUR R, il existe p,,q EUR R° tels que VyeR, (aly-2) --Kly- al" < f(y) -- f(x) < (ply -- x) + Klly -- xl. b) Montrer que pour tout x EUR RY on a py = qy. P (c) Conclure que f admet des dérivées partielles en tout x EUR R' et que V f(x) = p+ (où l'on a noté Vf(x) le vecteur de RY dont les coordonnées dans la base canonique sont les dérivées partielles en x de f). (d) Montrer que pour tous x, y, h EUR R4 on a l'inégalité KV) -- VF) 1h) < K(IAÏ + Ile + hk-- y + 1x -- gl): Indication : on peut utiliser l'inégalité suivante après l'avoir justifiée : --Kly+h-alf< f(y+h)-- f(x) --(Vf(x)lyu+h-x) < Kfy+h- xl. valables pour tous x, y, h EUR R'. (e) En déduire que pour tous x,y EUR R4 on a | Vf(x) -- Vf(y)|| < 6K|1x -- y|| et que f est de classe C1.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PSI 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école 
d'ingénieurs) ; il a été relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et par Benjamin 
Monmege
(enseignant-chercheur à l'université).

Dans ce problème, on s'attaque à diverses questions portant sur la notion de
régularité des fonctions.
· Dans la partie I, on étudie l'opérateur non linéaire de régularisation de 
fonctions T

ky - xk
x  Rd (T h)(x) = inf h(y) +
y  Rd

qui est bien défini pour des fonctions h : Rd  R minorées. On étudie quelques
cas particuliers (questions 3, 4c, 4d) où les calculs aboutissent à une 
fonction T h « proche » de h. Lorsque  = 1, la fonction T h est en fait la plus
grande fonction qui soit à la fois inférieure à h et 1/-lipschitzienne. La fin 
de la
première partie est consacrée à la preuve d'un théorème d'approximation : sous
certaines conditions, la suite de fonctions (T1/n f )nN converge uniformément
vers f .
· La partie II est consacrée aux fonctions concaves définies sur Rd , dont on 
prouve
le caractère continu, et même localement lipschitzien (questions 15d et 15e).
Ce résultat n'a rien d'évident, puisque la concavité est une notion globale,
tandis que la continuité est une notion locale. Comme le montre l'exemple de
la fonction x 7 -kxk, ces fonctions peuvent très bien ne pas être de classe C 1
sur Rd . En revanche, on prouve à la fin de la partie que les fonctions qui sont
en même temps concaves et convexes sont les fonctions affines.
· La partie III introduit une notion plus souple et plus générale de concavité, 
la Ksemi-concavité, ainsi que la notion analogue de K-semi-convexité. On 
réutilise
des résultats de la partie II pour établir que les fonctions à la fois 
K-semiconcaves et K-semi-convexes sont de classe C 1 .
Les parties II et III peuvent être traitées indépendamment de la partie I. Comme
assez souvent dans les sujets d'analyse, il ne faut pas avoir peur de la 
technicité.
Cette épreuve est un bon moyen de s'y préparer. À noter que les dernières 
questions
sont d'un niveau plus exigeant.

Indications
Partie I
3 En utilisant les notations de l'indication de l'énoncé, exprimer, à l'aide du 
théorème de Pythagore, la quantité kyk2 + kx - yk2 / en fonction de  et ky k2 ,
puis trouver les valeurs de  et ky k qui la minimisent.
4c Étudier séparément les cas  6 1 et  > 1. On rappelle que
(x, y)  (Rd )2

|kxk - kyk| 6 kx - yk 6 kxk + kyk

4d Faire appel au résultat de la question 2.
5 Montrer les deux inégalités T h 6 |h| et T h > -|h| .
7 Justifier l'existence d'un minimum pour la fonction y 7 f (y) + ky - xk /,
définie sur A(x).
10 À x  Rd fixé, montrer que l'on a f (y) + ky - xk / > -f (r ) + f (x) pour
tout y  A(x).
Partie II
15a Remarquer que les éléments de {-M, M}d+1 sont de la forme (Y, -M) ou (Y, M),
avec Y  {-M, M}d .
M(y - x)
.
15d Poser le point z = y +
2ky - xk
16a Considérer la restriction de la fonction X 7 kY - Xk, définie sur C, à une 
partie
fermée et bornée de C.
16b Remarquer que la distance de Y à tout point du segment reliant les points Y0
et X est supérieure ou égale à la distance entre Y et Y0 .
17b Considérer le segment reliant les points X et (x? , f (x? ) + ).
17c Appliquer le résultat de la question 16b.
17d Appliquer l'inégalité de la question 17c à une valeur bien choisie de x.
19 Montrer que la suite (pn )nN admet une sous-suite convergente, puis passer
à la limite dans l'inégalité de la question 17c, appliquée à des valeurs de  se
rapprochant de 0, pour obtenir la majoration désirée.
20 Montrer qu'il s'agit des fonctions affines, c'est-à-dire de la forme x 7 a + 
hb | xi,
avec (a, b)  R × Rd .
Partie III
23a Décomposer la fonction y 7 f (y) - Kky - xk2 en la somme d'une fonction
concave et d'une fonction affine.
23b Majorer kpx k par une quantité indépendante de x. Pour cela, appliquer 
convenablement la question 22.
23c Pour des points x et y fixés dans Rd , considérer l'ensemble des t  [ 0 ; 1 
] pour
lesquels |f (x + t(y - x)) - f (x)| 6 K0 t.
24a Appliquer le résultat de la question 22 à f et à -f .
24b Appliquer l'inégalité de la question 24a à y = x - t(px - qx ), où t > 0.
24d Appliquer plusieurs fois l'inégalité de la question 24a à des valeurs de 
(x, y)
judicieusement choisies.
f (x) - f (y)
24e Appliquer la question précédente à h = kx - yk
(dans le cas
kf (x) - f (y)k
où f (x) 6= f (y)).

I. Approximation par des fonctions lipschitziennes
Il faut donner un sens à la quantité ky - xk qui apparaît dans la définition
de l'opérateur T . Lorsque x 6= y, on rappelle qu'elle vaut exp( ln ky - xk).
Pour que cette quantité soit également définie dans le cas x = y, prenons la
décision d'introduire la convention suivante : 0 = 0 pour tout  > 0. Avec
ce choix, on remarque que ky - xk > 0 quels que soient x, y  Rd et  > 0,
ce que l'on utilisera de manière implicite dans la suite.
Pour montrer que la fonction T h est bien définie, il suffit d'établir que, 
pour tout
choix de x  Rd , l'ensemble non vide

1
d

yR
h(y) + ky - xk

est minoré. Cela provient de l'hypothèse selon laquelle la fonction h est 
elle-même
minorée. En effet, en notant m un de ses minorants, on vérifie que, pour tout y 
 Rd ,
on a bien
1
h(y) + ky - xk > m

Par ailleurs, en considérant la valeur particulière y = x, on s'assure que

1

d
yR
h(x)  h(y) + ky - xk

1
d'où
T h(x) = inf h(y) + ky - xk y  Rd 6 h(x)

1

La fonction T h est bien définie et vérifie T h 6 h.
2 Notons m1 et m2 des minorants respectifs des fonctions h1 et h2 . Par 
construction,
la fonction H est minorée par min (m1 , m2 ). Il découle de la question 
précédente que
La fonction T H est bien définie sur Rd .
Fixons à présent x  Rd pour le reste de la question. Pour tout y  Rd , on a
l'inégalité h1 (y) > H(y). On peut donc écrire
1
1
h1 (y) + ky - xk > H(y) + ky - xk

> T H(x)
(définition de T H)
Ceci est valable quel que soit y  Rd . En passant à la borne inférieure, on en 
déduit
que T h1 (x) > T H(x). Puisque h1 et h2 jouent des rôles symétriques, il vient 
aussi
que T h2 (x) > T H(x). Donc min (T h1 , T h2 )(x) > T H(x).
Attaquons-nous à l'inégalité réciproque. Notons que, quel que soit y  Rd , on a
soit H(y) = h1 (y) soit H(y) = h2 (y). Dans le premier cas,
1
1
H(y) + ky - xk = h1 (y) + ky - xk > T h1 (x) > min (T h1 , T h2 )(x)

et dans le second cas, on obtient la même inégalité. On a alors
1
y  Rd
H(y) + ky - xk > min (T h1 , T h2 )(x)

Le minorant min (T h1 , T h2 )(x) ne dépend pas de y. Il ne reste plus qu'à 
passer une
nouvelle fois à la borne inférieure pour parvenir à T H(x) > min (T h1 , T h2 
)(x).
Finalement,
T H = min (T h1 , T h2 )

Publié dans les Annales des Concours

3 Soit x  Rd . Comme Rd est de dimension finie, les espaces Vect (x) et Vect (x)
sont supplémentaires. Par conséquent, tout vecteur y  Rd s'écrit (de manière 
unique)

sous la forme y = x + y avec   R et y  Vect (x) . En appliquant deux fois le
théorème de Pythagore, on obtient
1
1
kyk2 + kx - yk2 = kx + y k2 + k(1 - )x - y k2

1
(1 - )2
2
2
kxk2 + ky k2
=  kxk + ky k2 +

1
(1 - )2
1
2
2
2
2
kyk + kx - yk =  +
kxk + 1 +
ky k2

On a donc une somme de deux termes positifs. Cette quantité est minimale lorsque
chaque terme l'est. Le second terme est minimal pour y = 0. Pour le premier, il
suffit d'étudier la fonction

1 2 2
1
(1 - t)2
 : t 7 t2 +
= 1+
t - t+

C'est une fonction polynomiale du second degré de la forme t 7 at2 + bt + c 
avec a
strictement positif. Elle atteint son minimum en tmin = -b/2a, soit tmin = 1/(1 
+ ).
Un calcul donne par ailleurs (tmin ) = 1/(1 + ). Par conséquent,
x  Rd

T g(x) =

kxk2
g(x)
=
1+
1+

4a Fixons x, x0  Rd . Pour tout y  Rd , on a
ky - xk
(définition de T h)

ky - x0 k kx0 - xk
6 h(y) +
+
(inégalité triangulaire)

T h(x) 6 h(y) +

Autrement dit, on a
y  Rd

T h(x) -

kx0 - xk
ky - x0 k
6 h(y) +

On passe à la borne inférieure, ce qui fournit l'inégalité
T h(x) -

kx0 - xk
6 T h(x0 )

En inversant les rôles de x et x0 dans le raisonnement précédent, on établit que
T h(x0 ) -

kx - x0 k
6 T h(x)

Ces deux inégalités se résument en
|T h(x0 ) - T h(x)| 6

1 0
kx - xk

Ceci étant vrai pour tous x et x0 dans Rd , il vient que
La fonction T h est

1
-lipschitzienne.