X Maths 1 PSI 2019

Thème de l'épreuve Résolution effective du problème Ax=b
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, produits scalaires, normes, polynômes, projections orthogonales
Mots clefs arccosh, cosinus hyperbolique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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X/ENS Maths PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Alban Levy (ENS Paris-Saclay) et William Aufort (professeur en
CPGE).

L'objectif de ce problème est d'étudier la résolution effective du problème Ax 
= b,
où A  SN+ (R) et b  RN . À partir d'un vecteur initial x0 arbitraire, le sujet 
cherche
à construire une suite (xk )kN de RN , qui s'identifie à la solution x de ce 
système
à partir d'un certain rang, et telle que xk se rapproche dans un certain sens 
de x
en deçà de ce rang. Ce sujet est composé de quatre parties, dans lesquelles il 
faut
souvent utiliser des résultats prouvés dans les questions antérieures.
· Une partie préliminaire établit des résultats classiques d'algèbre bilinéaire 
: en
utilisant le théorème spectral (rappelé dans l'énoncé, mais avec un problème
de notations), on étudie la norme triple d'une matrice A  SN+ (R), la norme
sur RN dite associée à A (x 7 kxkA = hx | Axi) ainsi que sa « racine carrée »
notée A1/2 .
· À partir de x0  RN , en notant r0 = b - Ax0 , la partie II (plus difficile à
partir des questions 8.c et 8.d) se consacre à l'étude de la suite (Hk ) 
d'espaces
vectoriels définie par H0 = {0} et Hk = {P(A)r0 | P  R[X], deg(P) 6 k - 1}
pour tout k > 1. En particulier, on prouve que Hk  Hk+1 pour tout k  N
et que la suite est stationnaire à partir d'un certain rang, noté m. Enfin, on
montre que x  x0 + Hm et x 
/ x0 + Hk pour tout k  {0, . . . , m - 1}.
1
· La partie III définit sur RN la fonction J : x 7 hx | Axi - hb | xi et montre
2
qu'elle admet un minimiseur unique, noté xk , sur x0 + Hk , pour tout k  N. Un
interlude d'analyse de difficulté inégale (polynômes et fonction réciproque du
cosinus hyperbolique) permet d'en déduire pour tout k  N une majoration de
l'éloignement du vecteur xk à la solution x du système, en notant 1 (resp. N )
la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de A et  = N /1 :

k
-1

ke
xk - xkA 6 2kx0 - xkA
+1
· Enfin, la partie IV réinvestit tous ces résultats pour définir par récurrence 
à partir de A, b et x0 des suites (k ), (k ), (e
xk ), (e
rk ) et (e
pk ), pour k  {0, . . . , m}.
On montre que, pour tout k  {0, . . . , m}, x
ek = xk , ce qui prouve que l'on sait
construire une suite (xk )k{0,...,m} de RN vérifiant les propriétés souhaitées 
au
début du sujet. Il est dommage que l'énoncé ne prenne pas la peine de donner
cette conclusion.
Ce sujet permet de revoir tout le programme d'algèbre bilinéaire et de 
s'entraîner
à manipuler normes et produits scalaires à travers de multiples calculs 
(parfois longs,
comme à la toute dernière question). Il contient des questions difficiles (8.c, 
8.d et 26
par exemple) et frôle parfois le hors-programme en utilisant sans le dire la 
projection
sur un sous-espace affine (on se ramène à la notion connue de projection 
orthogonale
sur un espace vectoriel, mais la connaissance préalable de la notion 
sous-entendue
permet de se sentir plus à l'aise) et la fonction arccosh, réciproque de la 
fonction
cosinus hyperbolique (sur laquelle aucune connaissance n'est requise).

Indications
Partie I
1 Utiliser l'inégalité hAx | xi > 0 pour tout x  RN non nul, puisque A  SN+ (R).
2 Remarquer que l'ensemble {x  RN | kxk = 1} est compact.

3 Décomposer les éléments de {x  RN | kxk = 1} suivant une base orthonormale
pour A.
4.a Montrer que l'application A : (x, y) 7 hx | Ayi est un produit scalaire sur 
RN ,
puis que x 7 kxkA est la norme euclidienne associée à A .

4.b Procéder comme à la question 3.

5 Commencer par montrer que si A  SN (R), alors An  SN (R) pour tout n  N
et conclure par linéarité que P(A)  SN (R) et sp (P(A)) = P(sp (A)).

6.a Dans l'énoncé du théorème spectral, remplacer « xi » par « pFi (x) ».

Utiliser les applications linéaires ayant pour matrices A et A1/2 dans la base
canonique, puis appliquer la formule de changement de base, en considérant une
base orthonormale pour A.
Partie II
7.b Raisonner sur les dimensions.
7.c Observer que dim Hk+1  {dim Hk , dim Hk + 1} et que Hk = Hk+1 si, et 
seulement si, Ak r0  Hk .
d

8.b Remarquer que

 (X - i ) est un polynôme annulateur de A.
i=1

8.c Considérer n valeurs propres distinctes (1 , . . . , n ) de A et les 
vecteurs propres
(r1 , . . . , rn ) associés, puis poser r0 = r1 + · · · + rn . Montrer que la 
famille
(r0 , Ar0 , . . . , An r0 ) est liée pour prouver que m 6 n. Dans l'autre sens, 
raisonner
par l'absurde en supposant que m < n et considérer la matrice de la famille
(r0 , Ar0 , . . . , An-1 r0 ) dans la base (r1 , . . . , rn ).
8.d Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P de degré inférieur ou égal à d - 1 
tel
que P(A)r0 = 0, puis que les polynômes P de degré d vérifiant P(A)r0 = 0 n'ont
que les valeurs propres de A comme racines. En déduire que
[
r0 
/
Ker (P(A))
PFd-1

en posant, pour k  {1, . . . , d},
n
Fk = P(X) =

d

 (X - i )
i=1

i

(1 , . . . , d )  Nd

et 1 6 1 + · · · + d 6 k

o

puis traduire cette condition pour x0 et vérifier que la réciproque est 
correcte.
9 Par définition, Am r0  Hm+1 = Hm . Traduire cette appartenance en termes de
polynômes.
10 Raisonner par l'absurde et appliquer la question 9.
11.a Écrire le polynôme de la question 9 sous la forme a0 + X S(X), où a0  R et
S est un polynôme de degré m - 1.

11.b Raisonner par l'absurde, puis traduire l'hypothèse avec un polynôme.

Partie III
12 Expliciter J(x) et J(x) puis développer kx - xkA2 .

13 D'après la question 12, minimiser J sur l'espace x0 + Hk revient à minimiser
x 7 kx - xkA sur l'espace x0 + Hk , c'est-à-dire à minimiser y 7 ky - (x - x0 
)kA
sur Hk . Raisonner alors en termes de projections orthogonales.
15 Pour le premier résultat, utiliser la question 11.b et raisonner par 
l'absurde.
Pour le deuxième, exploiter les questions 7.c , 11.a et 14.
16 Utiliser la question 14 pour exprimer kek kA pour tout k  N, puis exprimer
l'appartenance de x à x0 + Hk à l'aide d'un polynôme.
17 Combiner les questions 6.c, 6.b et 2.
18 Écrire k = {1 + XQ | Q  R[X], deg(Q) 6 k - 1}, puis appliquer les questions 5
et 3 au résultat de la question 17.
19.a Appliquer la formule cos(a + b) + cos(a - b) = 2 cos a cos b, valable pour 
tous
réels a et b.
19.b Raisonner par récurrence forte en appliquant la question 19.a .
20 D'après le résultat sur la parité de Tk prouvé pour tout k  N, montrer le
résultat pour x  [ 1 ; + [, à nouveau à l'aide d'une récurrence forte et des
questions 19.a et 19.b . Par analogie avec la question 19.a , utiliser la 
formule
cosh(a + b) + cosh(a - b) = 2 cosh a cosh b, valable pour tous réels a et b.

21 Utiliser la question 19.b .

22 Exprimer cosh() en fonction de e  , 1 et N . Remarquer que  est la plus 
petite
des deux racines de l'équation du second degré et résoudre cette dernière.
23 Développer l'expression de  déterminée à la question 22, puis utiliser les 
questions 18, puis 21, 22 et 20.
Partie IV
24 Grâce à la question 7, construire par récurrence une famille vérifiant le 
point (i),
puis appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt avec le produit
scalaire défini dans la question 4.a .
25 Utiliser les questions 14 et 13, puis la formule donnant l'expression d'une 
projection orthogonale à l'aide d'une base orthogonale.
26 Cette question est très longue. Commencer par justifier l'existence des 
réels (k )
et (k ) pour k  {0, . . . , m - 1}, en montrant une propriété (o) : « pour tout
entier k  {0, . . . , m - 1}, il existe deux polynômes Pk et Rk de degré k tels 
que
pek = Pk (A)r0 , rek = Rk (A)r0 , pek 6= 0, rek 6= 0, k et k sont bien définis 
et k est
non nul ». Ensuite, traiter tout d'abord la propriété (i) par récurrence, puis 
en
déduire la propriété (iv) à partir des propriétés (o) et (i). Pour la propriété 
(ii),
pour k  {0, . . . , m - 1}, voir une analogie entre l'expression de xk+1 - xk de
la question 25 et la formule par récurrence donnant x
ek+1 - x
ek . Montrer par
récurrence sur k que krk k2 = hr0 | pek i pour k  {0, . . . , m - 1}. Utiliser 
ensuite
la propriété (iv) et un raisonnement similaire à la question 25 pour montrer
par récurrence sur k que x
ek = xk pour k  {0, . . . , m}. Pour la propriété (iii),
raisonner par récurrence à l'aide de la relation rek+1 - rek = -A(e
xk+1 - x
ek ).

Partie I
1 Soit A  SN (R). Alors A est diagonalisable en base orthonormale, d'après le 
théorème spectral. Notons (b1 , . . . , bN ) une telle base, et (1 , . . . , N 
) les valeurs propres
associées.
Supposons tout d'abord que A  SN+ (R). Soit i  {1, . . . , N}. On a hAbi | bi i 
> 0
par définition. Or, comme bi est un vecteur propre pour A associé à la valeur
propre i , on a Abi = i bi , d'où
hAbi | bi i = hi bi | bi i = i hbi | bi i = i

puisque la base (b1 , . . . , bN ) est orthonormale. On en déduit que i > 0.
Réciproquement, supposons que les valeurs propres de A sont toutes réelles 
strictement positives. Soit x  RN , x 6= 0. Notons x = x1 b1 + · · · + xN bN . 
Alors

 N
 N
P
P
hAx | xi = A
xi bi
xj bj
j=1

 N i=1
N
P
P
=
xi Abi
xj bj
j=1

i=1
N
N
P
P
xj bj
=
xi i bi
j=1

i=1

=
hAx | xi =

N
N P
P

xi i xj hbi
i=1j=1
N
P
xi 2 i > 0
i=1

| bj i

puisque la base (b1 , . . . , bN ) est orthonormale et que i > 0 pour tout i  
{1, . . . , N}.
Ceci étant vrai pour tout x  RN , on en déduit que A  SN+ (R). Finalement,
Si A  SN (R), alors A  SN+ (R) si, et seulement si, ses
valeurs propres sont toutes réelles strictement positives.
2 Soit B  MN (R). L'application b : x 7 Bx est linéaire sur l'espace vectoriel 
RN ,
de dimension finie, donc elle est continue. L'espace SN (0, 1) = {x  RN | kxk = 
1}
est fermé en tant qu'image réciproque du fermé {1} de R par l'application 
continue
x 7 kxk. Il est également borné dans l'espace vectoriel RN , qui est de 
dimension finie,
il est donc compact. Ainsi, l'application b est bornée et atteint ses bornes 
sur SN (0, 1) :
Le réel |||B||| = sup kBxk est bien défini.
kxk=1

Pour alléger les notations, on continuera dans la suite à utiliser l'ensemble
SN (0, 1) = {x  RN | kxk = 1}
La norme définie dans l'énoncé pour les matrices de MN (R) s'appelle la norme
triple, ou encore la norme subordonnée. C'est un grand classique, dont il faut
absolument savoir prouver les propriétés.
Montrons à présent que l'application B 7 |||B||| est une norme sur MN (R) :

· Soient B  MN (R) et   R. D'après ce qui précède, il existe x0  SN (0, 1) tel
que |||B||| = kBx0 k. De même, comme B  MN (R), il existe x1  SN (0, 1) tel
que |||B||| = k(B)x1 k = || kBx1 k. Par suite,
|||B||| = || kBx1 k 6 || sup kBxk = || |||B|||
kxk=1