X Maths 1 PSI 2019

Thème de l'épreuve Résolution effective du problème Ax=b
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, produits scalaires, normes, polynômes, projections orthogonales
Mots clefs arccosh, cosinus hyperbolique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES - ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2019

JEUDI 18 AVRIL 2019 - 8h00 -- 12h00
FILIERE PSI
ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES
(XUCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Notations

Soit N > 2 un entier. On munit l'espace R° du produit scalaire canonique

N
i=1

et de la norme associée ||x|| = (x, xl?

On note M(R) l'espace vectoriel réel des matrices carrées d'ordre N à 
coefficients réels,
Sn(R) EUR M(R) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques et SY(R) 
l'ensemble
(des matrices dites symétriques définies positives) défini de la façon suivante 
:

SY(R) = {A E Sn(R) | (Ar, x) > 0 pour tout x ER", x # 0}.
Pour tout polynôme P(X) = ce XF +cy_1XF +... 40 EUR R[X] et toute matrice M dans
MN(R), on note P(M) la matrice
PM) = M + cg MN TT +... + coln EUR MR).

où In EUR MN(R) est la matrice identité.
Pour toute matrice M EUR MN(R), on note M sa transposée.

On rappelle le théorème spectral : toute matrice À EUR Sn(R) admet une base 
orthonormale
de vecteurs propres. En particulier, si l'on note À < --: < À, les d valeurs propres de À (distinctes deux à deux), et F1,..., F4 les sous-espaces propres associés, RY est somme directe orthogonale des F;, c'est à dire que tout x EUR R° s'écrit de facon unique d r= > Ti
i=1

où pr, est la projection orthogonale de R° sur F, .

Ce problème porte sur la résolution effective du problème Ax = b, où A EUR 
SY(R), plus
précisément sur la construction et l'étude, à partir d'un vecteur initial xo 
arbitraire, d'une
suite To, T1,....2k,... de R\, qui s'identifie à la solution x du système 
précédent au delà
d'un certain rang, et telle que xx se rapproche dans un certain sens de x en 
deça de ce
rang.
Partie I

1. Soit À EUR Snw(R). Montrer que À EUR SY(R) si et seulement si les valeurs 
propres de À
sont toutes réelles strictement positives.

2. Pour toute matrice B EUR MN(R), on pose

IBN= sup 1Bx||.
ele

Après avoir justifié l'existence de |[B]||, montrer que B + ||B|| est une norme 
sur MN (R)

vérifiant
VxeR"  |Bx| <||Blx|. 3. Soit À EUR Sn(R) une matrice de valeurs propres (non nécessairement distinctes) À1,...,ÀN. Montrer que IAÏ = max JA: i X pr (x),
i=1l

où pr, est la projection orthogonale (pour le produit scalaire canonique) sur 
F;. On note
A172 Ja matrice associée à cette application linéaire dans la base canonique.

a) On écrit A = UDUT, où D EUR MN(R) est la matrice diagonale qui contient les 
valeurs
propres de À dans l'ordre croissant, avec leurs ordres de multiplicité, et U 
une matrice
orthogonale. On note D!{/? la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux 
sont les
racines carrées de ceux de D. Montrer que 41/2 = UD/2UT.

b) Montrer que A!/2 EUR SY(R), que A/?2A1/? = 4, et que A!/? commute avec A.
c) Montrer que, pour tout x EUR R",
lælla = |A x,

où |x|| 4 est la norme définie à la question 4.
Partie II

Soit À EUR SY (R). On supposera dans toute la suite du problème que la matrice 
À n'est pas
proportionnelle à l'identité.

On se donne b EUR R\Y et l'on note x EUR R\ l'unique vecteur qui vérifie
AZ = b.

On se donne un vecteur æ0 EUR R", différent de %, et l'on note ro = b -- Axo. 
On pose
Ho = {0} et, pour k > 1,

Hz = {P(A)ro | PE RIX|, deg(P)  m, et que dim(H}) = k pour k < m. 8. On note d le nombre de valeurs propres distinctes de À. a) Dans le cas particulier où ro est un vecteur propre de À, montrer que l'entier m de la question précédente est égal à 1. b) Dans le cas général, montrer que m est inférieur ou égal à d. c) Pour tout entier n entre 1 et d, construire un x, tel que l'entier m de la question 7 soit égal à n. d) Montrer que l'ensemble des x9 pour lesquels la dimension m est exactement égale à d est le complémentaire d'une union finie d'ensembles de la forme x + F, où E est un espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à N -- I. 9. Montrer qu'il existe un polynôme Q de degré m (entier défini dans la question 7) tel que Q(A )eo = 0, où EUR0 = Æo -- &. 10. Montrer que le polynôme Q de la question précédente vérifie Q(0) 0. 11. On définit xo + Hy comme le sous-ensemble des points de R'Y de la forme xo + , où x décrit l'espace vectoriel H%. a) Montrer que & EUR x0 + Hy. b) Montrer que, pour tout k& EUR {0,...,m--1},on axé xo + Hy. Partie III On garde dans cette partie les notations de la partie IT. On introduit l'application JR" -- R 1 T > 5; At) -- (b,x).
12. Pour tout x EUR R", exprimer [x -- x] = (x -- x, A(x -- x)) en fonction de 
J(x) et de
J(x) et en déduire que % est l'unique minimiseur de J sur R", c'est-à-dire que 
J(x) < J(x) pour tout x EUR R, et que & est le seul point qui vérifie cette propriété. 13. Montrer que J admet un minimiseur unique sur le sous-ensemble 70 + H% (défini à la question 11), quel que soit k EUR N. 14. On note x4 le minimiseur de la question précédente. Montrer que x4 s'identifie à la projection sur æ0 + Hyx de x pour la norme || :||4 associée à la matrice À (définie à la question 4), c'est-à-dire que Ie --ælaz min, le -- 74. On notera rx = b -- Axrz et ex = xx -- x. On remarquera que rx = --Aex. 15. Montrer que ex # 0 pour k = 0,...,m -- 1, et que ex = 0 pour k > m.

16. On rappelle que 7x est la matrice identité d'ordre N. Montrer que

leklla = min {](n + AQ(A))eoll4 | Q EUR RIXT, deg(Q)  0

et a = e Y. Montrer que a est une racine du polynôme

ÀN + A
X2-9-- --X +]
ÀN--À Y

et en déduire l'expression de & en fonction de la quantité

FX

23. On note & = Ànw/A1. Montrer que le réel & de la question précédente vaut

et en déduire que

VE-1\"
VR+1)

leklla = Îlte -- 74 < 2]leollA | 1. On n'utilisera de cette notion, hors programme, que le fait que arcosh(1) -- 0, et cosh (arcosh(--x)) = --x) pour x EUR] -- æ,---1|. Partie IV On garde les notations précédentes. En particulier, on note toujours x le minimiseur de J sur to + Hy4 (voir question 13). 24. Montrer qu'il existe une famille (po, ...,Pm_1) de vecteurs de R° tels que (i) Pour tout k EUR {1,...,m}, la famille (po,...,px_1) est une base de H}. (ii) La famille est orthogonale pour le produit scalaire associé à À, c'est-à-dire que Vi, je {0,...,m--1} FE) -- (Ap;,p;) = 0. 25. On suppose connue une famille (po, ..: , Pm--1) de vecteurs vérifiant les propriétés de la question précédente. Montrer que xzx11 -- xx est alors colinéaire à p; pour tout entier kE {0,...,;m--1}. 26. On se donne x0 EUR R". On considère les suites réelles finies (az) et (8), ainsi que les suites finies (44), (fx) et (Br) d'éléments de R", construites selon les relations de récurrence suivantes, pour k EUR {0,...,m--1}, = A (ADr , Dr) Thyi = Tk + OkDk; Perl = TR -- OxADr, F1 | Br = ------- Fr] Dreii = Tri + DrDk: avec To -- LXO, To -- db -- ATo et Po --= To: Montrer que les propriétés suivantes sont vérifiées : (i) Pour tout k EUR {0,...,m--1}, pour tout à EUR {0,...,k---1},ona (ii) Pour tout k EUR {0,...,m}, % s'identifie à 4, le minimiseur de J sur H, défini dans la question 13. (ii) Pour tout k EUR {0,...,m}, fx s'identifie à rx = b -- Axy. (iv) La famille (ÿo,..., x) est une base de H4:1, pour tout k EUR {0,...,m--1}.

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X/ENS Maths PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Alban Levy (ENS Paris-Saclay) et William Aufort (professeur en
CPGE).

L'objectif de ce problème est d'étudier la résolution effective du problème Ax 
= b,
où A  SN+ (R) et b  RN . À partir d'un vecteur initial x0 arbitraire, le sujet 
cherche
à construire une suite (xk )kN de RN , qui s'identifie à la solution x de ce 
système
à partir d'un certain rang, et telle que xk se rapproche dans un certain sens 
de x
en deçà de ce rang. Ce sujet est composé de quatre parties, dans lesquelles il 
faut
souvent utiliser des résultats prouvés dans les questions antérieures.
· Une partie préliminaire établit des résultats classiques d'algèbre bilinéaire 
: en
utilisant le théorème spectral (rappelé dans l'énoncé, mais avec un problème
de notations), on étudie la norme triple d'une matrice A  SN+ (R), la norme
sur RN dite associée à A (x 7 kxkA = hx | Axi) ainsi que sa « racine carrée »
notée A1/2 .
· À partir de x0  RN , en notant r0 = b - Ax0 , la partie II (plus difficile à
partir des questions 8.c et 8.d) se consacre à l'étude de la suite (Hk ) 
d'espaces
vectoriels définie par H0 = {0} et Hk = {P(A)r0 | P  R[X], deg(P) 6 k - 1}
pour tout k > 1. En particulier, on prouve que Hk  Hk+1 pour tout k  N
et que la suite est stationnaire à partir d'un certain rang, noté m. Enfin, on
montre que x  x0 + Hm et x 
/ x0 + Hk pour tout k  {0, . . . , m - 1}.
1
· La partie III définit sur RN la fonction J : x 7 hx | Axi - hb | xi et montre
2
qu'elle admet un minimiseur unique, noté xk , sur x0 + Hk , pour tout k  N. Un
interlude d'analyse de difficulté inégale (polynômes et fonction réciproque du
cosinus hyperbolique) permet d'en déduire pour tout k  N une majoration de
l'éloignement du vecteur xk à la solution x du système, en notant 1 (resp. N )
la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de A et  = N /1 :

k
-1

ke
xk - xkA 6 2kx0 - xkA
+1
· Enfin, la partie IV réinvestit tous ces résultats pour définir par récurrence 
à partir de A, b et x0 des suites (k ), (k ), (e
xk ), (e
rk ) et (e
pk ), pour k  {0, . . . , m}.
On montre que, pour tout k  {0, . . . , m}, x
ek = xk , ce qui prouve que l'on sait
construire une suite (xk )k{0,...,m} de RN vérifiant les propriétés souhaitées 
au
début du sujet. Il est dommage que l'énoncé ne prenne pas la peine de donner
cette conclusion.
Ce sujet permet de revoir tout le programme d'algèbre bilinéaire et de 
s'entraîner
à manipuler normes et produits scalaires à travers de multiples calculs 
(parfois longs,
comme à la toute dernière question). Il contient des questions difficiles (8.c, 
8.d et 26
par exemple) et frôle parfois le hors-programme en utilisant sans le dire la 
projection
sur un sous-espace affine (on se ramène à la notion connue de projection 
orthogonale
sur un espace vectoriel, mais la connaissance préalable de la notion 
sous-entendue
permet de se sentir plus à l'aise) et la fonction arccosh, réciproque de la 
fonction
cosinus hyperbolique (sur laquelle aucune connaissance n'est requise).

Indications
Partie I
1 Utiliser l'inégalité hAx | xi > 0 pour tout x  RN non nul, puisque A  SN+ (R).
2 Remarquer que l'ensemble {x  RN | kxk = 1} est compact.

3 Décomposer les éléments de {x  RN | kxk = 1} suivant une base orthonormale
pour A.
4.a Montrer que l'application A : (x, y) 7 hx | Ayi est un produit scalaire sur 
RN ,
puis que x 7 kxkA est la norme euclidienne associée à A .

4.b Procéder comme à la question 3.

5 Commencer par montrer que si A  SN (R), alors An  SN (R) pour tout n  N
et conclure par linéarité que P(A)  SN (R) et sp (P(A)) = P(sp (A)).

6.a Dans l'énoncé du théorème spectral, remplacer « xi » par « pFi (x) ».

Utiliser les applications linéaires ayant pour matrices A et A1/2 dans la base
canonique, puis appliquer la formule de changement de base, en considérant une
base orthonormale pour A.
Partie II
7.b Raisonner sur les dimensions.
7.c Observer que dim Hk+1  {dim Hk , dim Hk + 1} et que Hk = Hk+1 si, et 
seulement si, Ak r0  Hk .
d

8.b Remarquer que

 (X - i ) est un polynôme annulateur de A.
i=1

8.c Considérer n valeurs propres distinctes (1 , . . . , n ) de A et les 
vecteurs propres
(r1 , . . . , rn ) associés, puis poser r0 = r1 + · · · + rn . Montrer que la 
famille
(r0 , Ar0 , . . . , An r0 ) est liée pour prouver que m 6 n. Dans l'autre sens, 
raisonner
par l'absurde en supposant que m < n et considérer la matrice de la famille (r0 , Ar0 , . . . , An-1 r0 ) dans la base (r1 , . . . , rn ). 8.d Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P de degré inférieur ou égal à d - 1 tel que P(A)r0 = 0, puis que les polynômes P de degré d vérifiant P(A)r0 = 0 n'ont que les valeurs propres de A comme racines. En déduire que [ r0 / Ker (P(A)) PFd-1 en posant, pour k  {1, . . . , d}, n Fk = P(X) = d (X - i ) i=1 i (1 , . . . , d )  Nd et 1 6 1 + · · · + d 6 k o puis traduire cette condition pour x0 et vérifier que la réciproque est correcte. 9 Par définition, Am r0  Hm+1 = Hm . Traduire cette appartenance en termes de polynômes. 10 Raisonner par l'absurde et appliquer la question 9. 11.a Écrire le polynôme de la question 9 sous la forme a0 + X S(X), où a0  R et S est un polynôme de degré m - 1. 11.b Raisonner par l'absurde, puis traduire l'hypothèse avec un polynôme. Partie III 12 Expliciter J(x) et J(x) puis développer kx - xkA2 . 13 D'après la question 12, minimiser J sur l'espace x0 + Hk revient à minimiser x 7 kx - xkA sur l'espace x0 + Hk , c'est-à-dire à minimiser y 7 ky - (x - x0 )kA sur Hk . Raisonner alors en termes de projections orthogonales. 15 Pour le premier résultat, utiliser la question 11.b et raisonner par l'absurde. Pour le deuxième, exploiter les questions 7.c , 11.a et 14. 16 Utiliser la question 14 pour exprimer kek kA pour tout k  N, puis exprimer l'appartenance de x à x0 + Hk à l'aide d'un polynôme. 17 Combiner les questions 6.c, 6.b et 2. 18 Écrire k = {1 + XQ | Q  R[X], deg(Q) 6 k - 1}, puis appliquer les questions 5 et 3 au résultat de la question 17. 19.a Appliquer la formule cos(a + b) + cos(a - b) = 2 cos a cos b, valable pour tous réels a et b. 19.b Raisonner par récurrence forte en appliquant la question 19.a . 20 D'après le résultat sur la parité de Tk prouvé pour tout k  N, montrer le résultat pour x  [ 1 ; + [, à nouveau à l'aide d'une récurrence forte et des questions 19.a et 19.b . Par analogie avec la question 19.a , utiliser la formule cosh(a + b) + cosh(a - b) = 2 cosh a cosh b, valable pour tous réels a et b. 21 Utiliser la question 19.b . 22 Exprimer cosh() en fonction de e  , 1 et N . Remarquer que  est la plus petite des deux racines de l'équation du second degré et résoudre cette dernière. 23 Développer l'expression de  déterminée à la question 22, puis utiliser les questions 18, puis 21, 22 et 20. Partie IV 24 Grâce à la question 7, construire par récurrence une famille vérifiant le point (i), puis appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt avec le produit scalaire défini dans la question 4.a . 25 Utiliser les questions 14 et 13, puis la formule donnant l'expression d'une projection orthogonale à l'aide d'une base orthogonale. 26 Cette question est très longue. Commencer par justifier l'existence des réels (k ) et (k ) pour k  {0, . . . , m - 1}, en montrant une propriété (o) : « pour tout entier k  {0, . . . , m - 1}, il existe deux polynômes Pk et Rk de degré k tels que pek = Pk (A)r0 , rek = Rk (A)r0 , pek 6= 0, rek 6= 0, k et k sont bien définis et k est non nul ». Ensuite, traiter tout d'abord la propriété (i) par récurrence, puis en déduire la propriété (iv) à partir des propriétés (o) et (i). Pour la propriété (ii), pour k  {0, . . . , m - 1}, voir une analogie entre l'expression de xk+1 - xk de la question 25 et la formule par récurrence donnant x ek+1 - x ek . Montrer par récurrence sur k que krk k2 = hr0 | pek i pour k  {0, . . . , m - 1}. Utiliser ensuite la propriété (iv) et un raisonnement similaire à la question 25 pour montrer par récurrence sur k que x ek = xk pour k  {0, . . . , m}. Pour la propriété (iii), raisonner par récurrence à l'aide de la relation rek+1 - rek = -A(e xk+1 - x ek ). Partie I 1 Soit A  SN (R). Alors A est diagonalisable en base orthonormale, d'après le théorème spectral. Notons (b1 , . . . , bN ) une telle base, et (1 , . . . , N ) les valeurs propres associées. Supposons tout d'abord que A  SN+ (R). Soit i  {1, . . . , N}. On a hAbi | bi i > 0
par définition. Or, comme bi est un vecteur propre pour A associé à la valeur
propre i , on a Abi = i bi , d'où
hAbi | bi i = hi bi | bi i = i hbi | bi i = i

puisque la base (b1 , . . . , bN ) est orthonormale. On en déduit que i > 0.
Réciproquement, supposons que les valeurs propres de A sont toutes réelles 
strictement positives. Soit x  RN , x 6= 0. Notons x = x1 b1 + · · · + xN bN . 
Alors

 N
 N
P
P
hAx | xi = A
xi bi
xj bj
j=1

 N i=1
N
P
P
=
xi Abi
xj bj
j=1

i=1
N
N
P
P
xj bj
=
xi i bi
j=1

i=1

=
hAx | xi =

N
N P
P

xi i xj hbi
i=1j=1
N
P
xi 2 i > 0
i=1

| bj i

puisque la base (b1 , . . . , bN ) est orthonormale et que i > 0 pour tout i  
{1, . . . , N}.
Ceci étant vrai pour tout x  RN , on en déduit que A  SN+ (R). Finalement,
Si A  SN (R), alors A  SN+ (R) si, et seulement si, ses
valeurs propres sont toutes réelles strictement positives.
2 Soit B  MN (R). L'application b : x 7 Bx est linéaire sur l'espace vectoriel 
RN ,
de dimension finie, donc elle est continue. L'espace SN (0, 1) = {x  RN | kxk = 
1}
est fermé en tant qu'image réciproque du fermé {1} de R par l'application 
continue
x 7 kxk. Il est également borné dans l'espace vectoriel RN , qui est de 
dimension finie,
il est donc compact. Ainsi, l'application b est bornée et atteint ses bornes 
sur SN (0, 1) :
Le réel |||B||| = sup kBxk est bien défini.
kxk=1

Pour alléger les notations, on continuera dans la suite à utiliser l'ensemble
SN (0, 1) = {x  RN | kxk = 1}
La norme définie dans l'énoncé pour les matrices de MN (R) s'appelle la norme
triple, ou encore la norme subordonnée. C'est un grand classique, dont il faut
absolument savoir prouver les propriétés.
Montrons à présent que l'application B 7 |||B||| est une norme sur MN (R) :

· Soient B  MN (R) et   R. D'après ce qui précède, il existe x0  SN (0, 1) tel
que |||B||| = kBx0 k. De même, comme B  MN (R), il existe x1  SN (0, 1) tel
que |||B||| = k(B)x1 k = || kBx1 k. Par suite,
|||B||| = || kBx1 k 6 || sup kBxk = || |||B|||
kxk=1