X Maths 1 PSI 2019

Thème de l'épreuve Résolution effective du problème Ax=b
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, produits scalaires, normes, polynômes, projections orthogonales
Mots clefs arccosh, cosinus hyperbolique

Corrigé

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 X/ENS Maths PSI 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Alban Levy (ENS Paris-Saclay) et William Aufort (professeur en CPGE). L'objectif de ce problème est d'étudier la résolution effective du problème Ax = b, où A SN+ (R) et b RN . À partir d'un vecteur initial x0 arbitraire, le sujet cherche à construire une suite (xk )kN de RN , qui s'identifie à la solution x de ce système à partir d'un certain rang, et telle que xk se rapproche dans un certain sens de x en deçà de ce rang. Ce sujet est composé de quatre parties, dans lesquelles il faut souvent utiliser des résultats prouvés dans les questions antérieures. · Une partie préliminaire établit des résultats classiques d'algèbre bilinéaire : en utilisant le théorème spectral (rappelé dans l'énoncé, mais avec un problème de notations), on étudie la norme triple d'une matrice A SN+ (R), la norme sur RN dite associée à A (x 7 kxkA = hx | Axi) ainsi que sa « racine carrée » notée A1/2 . · À partir de x0 RN , en notant r0 = b - Ax0 , la partie II (plus difficile à partir des questions 8.c et 8.d) se consacre à l'étude de la suite (Hk ) d'espaces vectoriels définie par H0 = {0} et Hk = {P(A)r0 | P R[X], deg(P) 6 k - 1} pour tout k > 1. En particulier, on prouve que Hk Hk+1 pour tout k N et que la suite est stationnaire à partir d'un certain rang, noté m. Enfin, on montre que x x0 + Hm et x / x0 + Hk pour tout k {0, . . . , m - 1}. 1 · La partie III définit sur RN la fonction J : x 7 hx | Axi - hb | xi et montre 2 qu'elle admet un minimiseur unique, noté xk , sur x0 + Hk , pour tout k N. Un interlude d'analyse de difficulté inégale (polynômes et fonction réciproque du cosinus hyperbolique) permet d'en déduire pour tout k N une majoration de l'éloignement du vecteur xk à la solution x du système, en notant 1 (resp. N ) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de A et = N /1 : k -1 ke xk - xkA 6 2kx0 - xkA +1 · Enfin, la partie IV réinvestit tous ces résultats pour définir par récurrence à partir de A, b et x0 des suites (k ), (k ), (e xk ), (e rk ) et (e pk ), pour k {0, . . . , m}. On montre que, pour tout k {0, . . . , m}, x ek = xk , ce qui prouve que l'on sait construire une suite (xk )k{0,...,m} de RN vérifiant les propriétés souhaitées au début du sujet. Il est dommage que l'énoncé ne prenne pas la peine de donner cette conclusion. Ce sujet permet de revoir tout le programme d'algèbre bilinéaire et de s'entraîner à manipuler normes et produits scalaires à travers de multiples calculs (parfois longs, comme à la toute dernière question). Il contient des questions difficiles (8.c, 8.d et 26 par exemple) et frôle parfois le hors-programme en utilisant sans le dire la projection sur un sous-espace affine (on se ramène à la notion connue de projection orthogonale sur un espace vectoriel, mais la connaissance préalable de la notion sous-entendue permet de se sentir plus à l'aise) et la fonction arccosh, réciproque de la fonction cosinus hyperbolique (sur laquelle aucune connaissance n'est requise). Indications Partie I 1 Utiliser l'inégalité hAx | xi > 0 pour tout x RN non nul, puisque A SN+ (R). 2 Remarquer que l'ensemble {x RN | kxk = 1} est compact. 3 Décomposer les éléments de {x RN | kxk = 1} suivant une base orthonormale pour A. 4.a Montrer que l'application A : (x, y) 7 hx | Ayi est un produit scalaire sur RN , puis que x 7 kxkA est la norme euclidienne associée à A . 4.b Procéder comme à la question 3. 5 Commencer par montrer que si A SN (R), alors An SN (R) pour tout n N et conclure par linéarité que P(A) SN (R) et sp (P(A)) = P(sp (A)). 6.a Dans l'énoncé du théorème spectral, remplacer « xi » par « pFi (x) ». Utiliser les applications linéaires ayant pour matrices A et A1/2 dans la base canonique, puis appliquer la formule de changement de base, en considérant une base orthonormale pour A. Partie II 7.b Raisonner sur les dimensions. 7.c Observer que dim Hk+1 {dim Hk , dim Hk + 1} et que Hk = Hk+1 si, et seulement si, Ak r0 Hk . d 8.b Remarquer que (X - i ) est un polynôme annulateur de A. i=1 8.c Considérer n valeurs propres distinctes (1 , . . . , n ) de A et les vecteurs propres (r1 , . . . , rn ) associés, puis poser r0 = r1 + · · · + rn . Montrer que la famille (r0 , Ar0 , . . . , An r0 ) est liée pour prouver que m 6 n. Dans l'autre sens, raisonner par l'absurde en supposant que m < n et considérer la matrice de la famille (r0 , Ar0 , . . . , An-1 r0 ) dans la base (r1 , . . . , rn ). 8.d Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P de degré inférieur ou égal à d - 1 tel que P(A)r0 = 0, puis que les polynômes P de degré d vérifiant P(A)r0 = 0 n'ont que les valeurs propres de A comme racines. En déduire que [ r0 / Ker (P(A)) PFd-1 en posant, pour k {1, . . . , d}, n Fk = P(X) = d (X - i ) i=1 i (1 , . . . , d ) Nd et 1 6 1 + · · · + d 6 k o puis traduire cette condition pour x0 et vérifier que la réciproque est correcte. 9 Par définition, Am r0 Hm+1 = Hm . Traduire cette appartenance en termes de polynômes. 10 Raisonner par l'absurde et appliquer la question 9. 11.a Écrire le polynôme de la question 9 sous la forme a0 + X S(X), où a0 R et S est un polynôme de degré m - 1. 11.b Raisonner par l'absurde, puis traduire l'hypothèse avec un polynôme. Partie III 12 Expliciter J(x) et J(x) puis développer kx - xkA2 . 13 D'après la question 12, minimiser J sur l'espace x0 + Hk revient à minimiser x 7 kx - xkA sur l'espace x0 + Hk , c'est-à-dire à minimiser y 7 ky - (x - x0 )kA sur Hk . Raisonner alors en termes de projections orthogonales. 15 Pour le premier résultat, utiliser la question 11.b et raisonner par l'absurde. Pour le deuxième, exploiter les questions 7.c , 11.a et 14. 16 Utiliser la question 14 pour exprimer kek kA pour tout k N, puis exprimer l'appartenance de x à x0 + Hk à l'aide d'un polynôme. 17 Combiner les questions 6.c, 6.b et 2. 18 Écrire k = {1 + XQ | Q R[X], deg(Q) 6 k - 1}, puis appliquer les questions 5 et 3 au résultat de la question 17. 19.a Appliquer la formule cos(a + b) + cos(a - b) = 2 cos a cos b, valable pour tous réels a et b. 19.b Raisonner par récurrence forte en appliquant la question 19.a . 20 D'après le résultat sur la parité de Tk prouvé pour tout k N, montrer le résultat pour x [ 1 ; + [, à nouveau à l'aide d'une récurrence forte et des questions 19.a et 19.b . Par analogie avec la question 19.a , utiliser la formule cosh(a + b) + cosh(a - b) = 2 cosh a cosh b, valable pour tous réels a et b. 21 Utiliser la question 19.b . 22 Exprimer cosh() en fonction de e , 1 et N . Remarquer que est la plus petite des deux racines de l'équation du second degré et résoudre cette dernière. 23 Développer l'expression de déterminée à la question 22, puis utiliser les questions 18, puis 21, 22 et 20. Partie IV 24 Grâce à la question 7, construire par récurrence une famille vérifiant le point (i), puis appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt avec le produit scalaire défini dans la question 4.a . 25 Utiliser les questions 14 et 13, puis la formule donnant l'expression d'une projection orthogonale à l'aide d'une base orthogonale. 26 Cette question est très longue. Commencer par justifier l'existence des réels (k ) et (k ) pour k {0, . . . , m - 1}, en montrant une propriété (o) : « pour tout entier k {0, . . . , m - 1}, il existe deux polynômes Pk et Rk de degré k tels que pek = Pk (A)r0 , rek = Rk (A)r0 , pek 6= 0, rek 6= 0, k et k sont bien définis et k est non nul ». Ensuite, traiter tout d'abord la propriété (i) par récurrence, puis en déduire la propriété (iv) à partir des propriétés (o) et (i). Pour la propriété (ii), pour k {0, . . . , m - 1}, voir une analogie entre l'expression de xk+1 - xk de la question 25 et la formule par récurrence donnant x ek+1 - x ek . Montrer par récurrence sur k que krk k2 = hr0 | pek i pour k {0, . . . , m - 1}. Utiliser ensuite la propriété (iv) et un raisonnement similaire à la question 25 pour montrer par récurrence sur k que x ek = xk pour k {0, . . . , m}. Pour la propriété (iii), raisonner par récurrence à l'aide de la relation rek+1 - rek = -A(e xk+1 - x ek ). Partie I 1 Soit A SN (R). Alors A est diagonalisable en base orthonormale, d'après le théorème spectral. Notons (b1 , . . . , bN ) une telle base, et (1 , . . . , N ) les valeurs propres associées. Supposons tout d'abord que A SN+ (R). Soit i {1, . . . , N}. On a hAbi | bi i > 0 par définition. Or, comme bi est un vecteur propre pour A associé à la valeur propre i , on a Abi = i bi , d'où hAbi | bi i = hi bi | bi i = i hbi | bi i = i puisque la base (b1 , . . . , bN ) est orthonormale. On en déduit que i > 0. Réciproquement, supposons que les valeurs propres de A sont toutes réelles strictement positives. Soit x RN , x 6= 0. Notons x = x1 b1 + · · · + xN bN . Alors N N P P hAx | xi = A xi bi xj bj j=1 N i=1 N P P = xi Abi xj bj j=1 i=1 N N P P xj bj = xi i bi j=1 i=1 = hAx | xi = N N P P xi i xj hbi i=1j=1 N P xi 2 i > 0 i=1 | bj i puisque la base (b1 , . . . , bN ) est orthonormale et que i > 0 pour tout i {1, . . . , N}. Ceci étant vrai pour tout x RN , on en déduit que A SN+ (R). Finalement, Si A SN (R), alors A SN+ (R) si, et seulement si, ses valeurs propres sont toutes réelles strictement positives. 2 Soit B MN (R). L'application b : x 7 Bx est linéaire sur l'espace vectoriel RN , de dimension finie, donc elle est continue. L'espace SN (0, 1) = {x RN | kxk = 1} est fermé en tant qu'image réciproque du fermé {1} de R par l'application continue x 7 kxk. Il est également borné dans l'espace vectoriel RN , qui est de dimension finie, il est donc compact. Ainsi, l'application b est bornée et atteint ses bornes sur SN (0, 1) : Le réel |||B||| = sup kBxk est bien défini. kxk=1 Pour alléger les notations, on continuera dans la suite à utiliser l'ensemble SN (0, 1) = {x RN | kxk = 1} La norme définie dans l'énoncé pour les matrices de MN (R) s'appelle la norme triple, ou encore la norme subordonnée. C'est un grand classique, dont il faut absolument savoir prouver les propriétés. Montrons à présent que l'application B 7 |||B||| est une norme sur MN (R) : · Soient B MN (R) et R. D'après ce qui précède, il existe x0 SN (0, 1) tel que |||B||| = kBx0 k. De même, comme B MN (R), il existe x1 SN (0, 1) tel que |||B||| = k(B)x1 k = || kBx1 k. Par suite, |||B||| = || kBx1 k 6 || sup kBxk = || |||B||| kxk=1