X Maths 1 PSI 2018

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle d'ordre 2 avec conditions au bord
Principaux outils utilisés probabilités, matrices
Mots clefs équation différentielle, approximations de solution, étude qualitative d'équations différentielles

Corrigé

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CX8611 Banque commune École Polytechnique - InterENS PSI Session 2018 Épreuve de Mathématiques Durée : 4 heures Aucun document n'est autorisé. Aucune calculatrice n'est autorisée. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 1 On note C([0, 1], R) l'ensemble des fonctions continues de [0, 1] dans R et pour tout k N , on note C k ([0, 1], R) l'ensemble des fonctions de classe C k de [0, 1] dans R. On dit qu'une fonction f C([0, 1], R) est positive si : x [0, 1], f (x) 0. Pour toute fonction f C([0, 1], R), on définit sa norme infinie par : kf k = sup |f (x)|. x[0,1] Etant donné un entier n N , on note Mn (R) l'ensemble des matrices carrées de taille n. On définit également In la matrice identité de taille n. Si x = (x1 , ..., xn ) Rn , on note : ||x|| = max |xi | 1in . Si X est une variable aléatoire réelle, on note, sous réserve d'existence, E(X) et Var(X) son espérance, respectivement sa variance. n Enfin, si n N et k N, alors désigne le nombre de parties à k k éléments d'un ensemble de cardinal n. On étudie ici l'équation différentielle avec conditions aux limites suivante : ( - u (x) + c(x)u(x) = f (x), x [0, 1], (1) u(0) = u(1) = 0, où c C([0, 1], R), f C([0, 1], R) et c positive. Après avoir montré l'existence et l'unicité d'une solution u C 2 ([0, 1], R) au problème (1), on s'intéressera à la construction d'une suite d'approximations de u. Les parties 1, 2 et 5 sont indépendantes. Les parties 3 et 4 nécessitent d'utiliser certains résultats établis dans les parties 1 et 2. 2 PARTIE 1 : existence et unicité des solutions de (1) 1. Soit R. Montrer que le problème : - v (x) + c(x)v (x) = f (x), v (0) = 0, v (0) = , x [0, 1], (1bis) admet une unique solution v C 2 ([0, 1], R). 2. Montrer que pour tout R, v peut s'exprimer sous la forme : v = w1 + w2 avec w1 C 2 ([0, 1], R) l'unique solution du système : - w1 (x) + c(x)w1 (x) = 0, x [0, 1], w1 (0) = 0, w1 (0) = 1, et w2 une fonction indépendante de à caractériser. 3. Montrer que w1 (1) 6= 0. 4. En déduire qu'il existe au moins une solution u C 2 ([0, 1], R) du problème (1). Montrer que cette solution est unique. 5. Montrer que si f est positive, alors u est également positive. PARTIE 2 : une matrice de discrétisation Soit n N . On considère An la diagonale : 2 -1 -1 2 0 -1 An = . . .. .. .. . 0 ··· matrice carrée de taille n, constante par 0 ··· ··· 0 .. . -1 . . . . . . . . . .. 2 . .. .. .. . . . 0 ... ... 2 -1 · · · 0 -1 2 3 6. Soit V = t (v1 , ..., vn ) un vecteur propre de An associé à une valeur propre complexe . Montrer que est nécessairement réelle et que les composantes vi de V vérifient la relation : vi+1 - (2 - )vi + vi-1 = 0, 1 i n, où on pose v0 = vn+1 = 0. 7. Montrer que toute valeur propre de An est dans l'intervalle ]0, 4[. 8. Soit une valeur propre de An . a) Montrer que les racines complexes r1 et r2 du polynôme P (r) = r2 - (2 - )r + 1 sont distinctes et conjuguées. b) On pose r1 = r2 = ei avec > 0 et R. Montrer qu'on a nécessairement sin((n + 1)) = 0 et = 1. 9. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de An ainsi qu'une base de vecteurs propres. 10. On considère la famille des matrices B = [bi,j ]1i,jn Mn (R) vérifiant les trois propriétés suivantes (appelées M -matrices) : bi,i > 0 bi,j 0 pour tout j 6= i i {1, ..., n}, n X bi,j > 0 j=1 Montrer que si B est une M -matrice, alors on a : a) B est inversible, b) si F = t (f1 , ..., fn ) a des coordonnées toutes positives, alors B -1 F aussi, c) tous les coefficients de B -1 sont positifs. 11. En appliquant les résultats précédents à An + In avec > 0, montrer que tous les coefficients de A-1 n sont positifs. 4 PARTIE 3 : une suite d"approximations de la solution de (1) 1 et on considère les réels (xi )0in+1 Soit n N fixé. On note h = n+1 définis par xi = ih pour tout i {0, ..., n + 1}. 12. Montrer que pour toute fonction v C 4 ([0, 1], R), il existe une constante C 0, indépendante de n, telle que i {1, ..., n}, |v (xi ) - 1 (v(xi+1 ) + v(xi-1 ) - 2v(xi ))| Ch2 h2 13. Montrer qu'il existe une unique famille de réels (ui )0in+1 vérifiant - 1 (u + u - 2u ) + c(x )u = f (x ), pour 1 i n, i+1 i-1 i i i i h2 (2) u0 = un+1 = 0. 14. On suppose (dans cette question seulement) que c(x) = 0 et f (x) = 1 pour tout x [0, 1]. On note u la solution exacte du problème (1). Montrer que pour tout i {0, ..., n + 1}, on a 1 ui = u(xi ) = xi (1 - xi ) 2 15. Montrer que si f est positive, alors ui 0 pour tout i {0, ..., n + 1}. PARTIE 4 : un premier résultat de convergence Dans toute cette partie, on supposera de plus que c C 2 ([0, 1], R) et que f C 2 ([0, 1], R) (c est toujours positive également). 16. Soit n N . On définit l'application N de Mn (R) dans R par la relation : N (A) = sup{||Ax|| , ||x|| 1} Montrer que N est une norme sur Mn (R) et que si A = [ai,j ]1i,jn , alors N (A) = max ( i{1,...,n} 5 n X j=1 |ai,j |) 17. Soit n N . a) En utilisant les résultats des questions 14 et 15, montrer que pour la matrice An définie au début de la partie 2, on a : ! 1 N ((n + 1)2 An )-1 8 b) En déduire que pour toute matrice diagonale Dn = [di,j ]1i,jn telle que di,i 0 pour tout i {1, ..., n}, on a également ! 1 N ((n + 1)2 An + Dn )-1 8 18. Soit u l'unique solution du problème (1) et (ui )0in+1 la famille définie par la relation (2) pour n N . Montrer qu"il existe une constante C > 0, indépendante de n, telle que max |u(xi ) - ui | 0in+1 C n2 Indication : on pourra introduire le vecteur X = t (1 , ..., n ) où on a posé i = u(xi ) - ui et calculer An X. PARTIE 5 : un second résultat de convergence On suppose dans cette partie que f C([0, 1], R) est telle que : ]0, 1], K 0, (y, z) [0, 1]2 , |f (y) - f (z)| K|y - z| . On suppose également que : x [0, 1], c(x) = 0 On note u est la solution associée du système (1). Pour tout n N , on définit les deux polynômes : n X k n X k (1 - X)n-k , Bn f (X) = f( ) k n k=0 n+1 X n+1 b uk X k (1 - X)n+1-k , Bn+1 u(X) = k k=0 6 où u0 , · · · , un+1 sont solutions du système (2), avec c = 0. 19. Soit x ]0, 1[ et n N . On considère X1 , · · · , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre x. On pose X1 + · · · + Xn Sn = . n a) Exprimer E(Sn ), Var(Sn ) et E(f (Sn )) en fonction de x, n et du polynôme Bn f . b) En déduire les inégalités : n X 1 1 k n xk (1 - x)n-k Var(Sn ) 2 . |x - | k n 2 n k=0 20. Montrer que 1 + pour tout réel > 0 et en déduire l'inégalité : k k -/2 x- 1+ n x- n n n pour tous x ]0, 1[, n N et k {0, ..., n}. 21. Soit n N . Montrer que kf - Bn f k 3K 1 . 2 n/2 Indication : On pourra dans un premier temps exprimer f (x) - Bn f (x) en fonction de E(f (x) - f (Sn )). 22. Montrer que pour tout n N et tout x ]0, 1[ on a : n-1 X +1 bn+1 u) (x) = - n ) (B f( n + 1 =0 n + 1 n-1 x (1 - x)n-1- , bn+1 u - u. 23. Soit n N tel que n 2. On pose n+1 = B a) Montrer que : kn+1 k kf - Bn-1 f k + 7 1 1 kf k + K . n+1 (n + 1) b) Montrer que pour tout x [0, 1] il existe [0, 1] tel que 1 n+1 (x) = - x(1 - x)n+1 (). 2 Indication : on pourra pour x ]0, 1[ considérer la fonction h(t) = (t) - (x) t(1 - t), t [0, 1]. x(1 - x) 24. En déduire qu'il existe une constante M 0 telle que pour tout n N , on a : bn+1 uk M . ku - B n/2 8

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 X/ENS Maths PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (ENS Cachan) ; il a été relu par Philippe Bouafia (professeur à l'ENSEA) et Nicolas Martin (professeur agrégé). Ce sujet propose l'étude qualitative de l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 -u (x) + c(x)u(x) = f (x) où c et f sont continues sur [ 0 ; 1 ]. On impose que la solution u soit nulle en 0 et en 1, sans condition sur la valeur initiale de la dérivée. A priori, c'est donc un problème pour lequel l'existence et l'unicité ne peuvent être garanties, le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s'appliquant pas. Plusieurs aspects sont abordés dans ce problème. On montre l'existence et l'unicité de la solution mais aussi son approximation par deux méthodes d'analyse numérique. La première méthode repose sur une discrétisation et fait intervenir de l'algèbre linéaire. La seconde utilise une famille de polynômes dits de Bernstein. Le sujet fait établir que les approximations obtenues par ces deux méthodes convergent bien vers la fonction recherchée. Les parties 2 et 5 sont indépendantes. · Dans la première partie, on montre l'existence et l'unicité de la solution de l'équation différentielle donnée. On montre également que, si f est positive, la solution u l'est aussi. · La deuxième partie ne comporte que de l'algèbre. On trouve les éléments propres d'une matrice donnée. On montre également que l'inverse de cette matrice est à coefficients positifs. · Dans la troisième partie, on revient à l'équation différentielle et on étudie la discrétisation de l'équation différentielle à l'aide des résultats d'algèbre obtenus à la partie précédente. · Les résultats des parties 1, 2 et 3 sont utilisés dans la quatrième partie pour montrer que l'approximation, décrite à la troisième partie, converge bien vers la solution lorsque le pas de la discrétisation tend vers zéro. La convergence est étudiée grâce à l'introduction d'une norme sur l'espace des matrices. · Enfin, la cinquième partie propose une autre méthode d'approximation à l'aide de polynômes. De plus, certaines inégalités sont obtenues grâce aux probabilités. Ce sujet exige donc un assez large spectre de compétences car il mélange l'étude des équations différentielles, l'algèbre linéaire, la topologie ainsi que les probabilités. Il contient plusieurs questions difficiles ­ réparties dans l'ensemble du sujet ­ qui demandent de prendre des initiatives. On peut regretter que les indications données par le sujet soient parfois ambiguës. Indications Partie 1 2 Poser au brouillon w2 = v - w1 et trouver une équation satisfaite par w2 . 3 Raisonner par l'absurde en supposant que w1 (1) = 0. Considérer (s'il existe) le premier réel non nul où w1 s'annule. Faire un dessin. 4 Trouver R tel que v (1) = 0. 5 Supposer que u prend une valeur strictement négative. Faire également un dessin. Partie 2 7 Raisonner par l'absurde et montrer que la famille (|vi |)i est croissante. 9 Procéder par analyse-synthèse en utilisant les questions 8.a et 8.b. 10 Commencer par montrer que si X possède un coefficient strictement négatif alors BX aussi. 11 En diagonalisant An , on pourra montrer que les coefficients de (An + In )-1 convergent vers ceux de An -1 lorsque tend vers zéro. Partie 3 12 Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral entre xi + h et xi ainsi qu'entre xi - h et xi . 13 Réécrire le système (2) sous forme matricielle et démontrer que la matrice obtenue est inversible en considérant un vecteur dans son noyau, procéder comme à la question 7. 15 Démontrer que l'inverse de la matrice du système est à coefficients positifs de la même manière qu'à la question 11. Partie 4 16 Pour montrer que N(A) est égal au maximum de la somme des colonnes en valeur absolue, raisonner par double inégalité. 17.a Noter que N((h-2 An )-1 ) = k(h-2 An )-1 Fk où F = t(1, 1, . . . , 1) Mn,1 (R). 17.b De même qu'à la question 17.a, calculer (h-2 An + Dn )-1 F. 18 Calculer Z = (h-2 An + Dn ) X, puis majorer sa norme à l'aide de la question 12. Partie 5 21 Utiliser l'hypothèse sur f , la question 20 puis la question 19.b. 22 Dériver deux fois et regrouper les sommes obtenues en faisant apparaître le bon coefficient binomial dans chacune d'elles. n 1 b Bn-1 f + Bn-1 f + (Bn+1 u) , 23.a Écrire n+1 = (f - Bn-1 f ) + n+1 n+1 puis utiliser l'inégalité triangulaire. 23.b Trouver trois points où h s'annule et appliquer le théorème de Rolle à h puis à h . 1. existence et unicité des solutions de (1) 1 Le problème (1bis) est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 sous forme résolue avec condition initiale sur la valeur de la fonction et de sa dérivée en 0. Les applications f et c étant continues sur [ 0 ; 1 ], le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique. Donc, Le problème (1bis) admet une unique solution v C 2 ([ 0 ; 1 ] , R). 2 Même si l'énoncé ne le demande pas explicitement, justifions rapidement l'existence et l'unicité de w1 : il suffit d'appliquer le résultat de la question 1 avec f = 0 et = 1. Pour trouver w2 , posons d'abord au brouillon pour R la fonction w2 = v - w1 C 2 ([ 0 ; 1 ] , R). Évaluons w2 et w2 en 0 w2 (0) = v (0) - w1 (0) = 0 et w2 (0) = v (0) - w1 (0) = 0 De plus, calculons -w2 + cw2 , par linéarité de la dérivation -w2 + cw2 = -v + cv - (-w1 + cw1 ) = f Ainsi, w2 est solution du problème (1bis) avec w2 (0) = 0. Par unicité de v0 , démontrée à la question 1, on en déduit que w2 = v0 . Une fois qu'on a trouvé w2 au brouillon, rédigeons proprement la réponse. Soit R. Posons w2 = v0 qui ne dépend pas de . Définissons v = w1 + w2 . Montrons que v = v en vérifiant que v est solution de (1bis). · Comme w1 , w2 appartiennent à l'espace vectoriel C 2 ([ 0 ; 1 ] , R), la fonction v appartient également à C 2 ([ 0 ; 1 ] , R) ; · v(0) = w1 (0) + w2 (0) = 0 ; · Par linéarité de la dérivation, v (0) = w1 (0) + w2 (0) = + 0 ; · Par linéarité de la dérivation, -v + cv = -(w1 - cw1 ) - (w2 - cw2 ) = 0 + f . Ainsi, v est solution de (1bis). Par unicité de la solution au problème (1bis) démontrée à la question 1, v = v = w1 + w2 . Il existe une fonction w2 C 2 ([ 0 ; 1 ] , R) telle que pour tout R, on ait v = w1 + w2 . De plus, w2 = v0 . 3 Raisonnons par l'absurde : supposons que w1 (1) = 0. On va considérer, après avoir montré qu'il existe, le premier temps strictement positif où w1 s'annule. Effectuons un développement limité à l'ordre 1 en 0 de w1 C 1 ([ 0 ; 1 ] , R) w1 (x) = w1 (0) + xw1 (0) + o(x) = x + o(x) En particulier, il existe ] 0 ; 1 [ tel que pour tout x ] 0 ; ], w1 (x) > 0. Définissons l'ensemble suivant : T = {t ] 0 ; 1 ] tel que w1 (t) = 0} Par hypothèse, on a 1 T, l'ensemble T étant non vide et minoré par 0, il admet une borne inférieure. Notons t = inf T. Comme T [ ; 1 ], on a t > > 0. Attention à ne pas dire directement « soit t le premier temps d'annulation de w1 strictement positif », car a priori, il pourrait ne pas exister, penser à la fonction f : x 7- x sin(x-1 ) prolongée en 0 par continuité. Sur cet exemple, on a inf{t ] 0 ; 1 ] , f (t) = 0} = 0. Il existe (tn )n une suite d'éléments de T convergeant vers t . Pour tout n N, on a w1 (tn ) = 0, par continuité de w1 , il en découle que w1 (t ) = 0. Sur l'intervalle ] 0 ; t [, la fonction w1 ne s'annule pas. Comme la fonction w1 est continue sur ] 0 ; t [, par la contraposée du théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'elle est soit strictement positive sur ] 0 ; t [, soit strictement négative sur ] 0 ; t [. En outre, elle est strictement positive sur ] 0 ; [, par conséquent, elle est strictement positive sur ] 0 ; t [. w1 (x) · 0 · t · 1 x Comme la fonction c est positive, on en déduit que x [ 0 ; t ] w1 (x) = c(x)w1 (x) > 0 Par conséquent, w1 est une fonction croissante sur [ 0 ; t ]. Ainsi, x [ 0 ; t ] w1 (x) > w1 (0) = 1 Par suite, w1 est croissante sur [ 0 ; t ]. Dès lors, 0 = w1 (t ) > w1 () > 0. Ce qui est une contradiction. En conclusion, w1 (1) 6= 0 4 D'après la question précédente, w1 (1) 6= 0, posons alors µ = -w2 (1)/w1 (1) R ainsi que u = vµ . · la fonction u est une solution du problème (1bis) pour la valeur = µ, en particulier, -u + cu = f ; · de même, u(0) = 0 ; · d'après, la question 2, u = µw1 + w2 . Ainsi, u(1) = µw1 (1) + w2 (1) = 0. La fonction u est donc solution du problème (1). Soit u e une solution du problème (1). Posons = u e (0) R, alors u e est solution du problème (1bis) pour la valeur = . Par unicité de v , on a u e = v . D'après la question 2, u e = w1 +w2 . En évaluant cette égalité en 1, il vient 0 = u e(1) = w1 (1)+w2 (1). Par conséquent, comme on a montré à la question 3 que w1 (1) 6= 0, on en déduit que = -w2 (1)/w1 (1) = µ. Ainsi u e = µw1 + w2 = u. Finalement, Le problème (1) admet une et une seule solution. 5 Raisonnons par l'absurde et supposons que u soit strictement négative en un point x0 [ 0 ; 1 ]. Comme u(0) = u(1) = 0, on en déduit que x0 ] 0 ; 1 [. On va considérer le plus grand intervalle contenant x0 sur lequel la fonction u est strictement négative. Pour cela, définissons les deux ensembles suivants A = {t [ 0 ; x0 ] u(t) > 0} et B = {t [ x0 ; 1 ] u(t) > 0}