X/ENS Maths PSI 2010

Thème de l'épreuve Étude de quelques équations aux dérivées partielles
Principaux outils utilisés calcul différentiel, équations différentielles non linéaires
Mots clefs dérivées partielles, équations d'ondes, équations aux dérivées partielles, équations différentielles

Corrigé

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Banque commune École Polytechnique -- ENS de Cachan PSI Session 2010 Épreuve de Mathématiques Durée : 4 heures Aucun document n 'est autorisé L 'usage de la calculatrice est interdit Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d 'e'nonce', il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. PRÉAMBULE Dans ce problème, on désigne par R l'ensemble des nombres réels. On note R" = R\ {O}, R+ = [O, +oo[, R_ =] -- oo, O] et Ri =]O, +oo[. On note Z l'ensemble des entiers relatifs. Si ac est un réel, on note Lac} le plus grand entier relatif inférieur ou égal a ce. Pour tout couple (le, n) d'entiers supérieurs à 1, on notera C'"(R") l'espace vectoriel des fonctions à. valeurs réelles sur R" qui sont de classe C". Si f est une fonction de classe C'1 sur un ouvert de R2, on notera respectivement DJ et D2 f les dérivées partielles de f par rapport a la première et la deuxième coordonnée. Si f est de classe C2, on utilisera, pour tout (72, j) EUR {1,2}2, la notation Dâ f = Di(Dj f ) On a alors pour tout (i, j) EUR {1,2}2 l'égalité Dâf = DÈf sur l'ouvert où f est définie. Pour la résolution du problème, on pourra utiliser sans démonstration tout théorème du programme qui semblera utile après s'être assuré explicitement que ses hypothèses sont vérifiées. PREMIÈRE PARTIE Soit G un nombre réel. On considère l'équation suivante : fecl(R2), D1f+cD2f=0. (A) La. Soit f une solution de l'équation (A). Montrer que pour tout (to,.r0) EUR R2, la fonction 

R définie par ga(t) = f (to + t,oeo + ct) est constante. En déduire une expression de f en fonction de u : R ---> R définie par u(æ) = f(O, ac). 1. b. À tout U E C1(R) on associe la fonction E(n) : R2 --> R définie par V(t,oe) E R2 , E(u)(t,æ) = u(æ -- et). Montrer que l'application linéaire E qui a u associe E (n) envoie C1(R) dans C 1(R2). Mon-- trer que E est injective et que son image est l'ensemble des solutions de (A). On note q : R2 ----> R la fonction définie par q(t, x) = a: ---- et. Soit (2 une partie de R2. 2. a. On suppose que R \ q(Q) ne contient aucun intervalle ouvert non vide. Montrer que tout élément de R est limite d'une suite d'éléments de q(Q). En déduire que deux solutions de (A) qui coïncident en tout point de @ sont égales. 2. b. Soient & et 17 deux réels tels que a < 1). Montrer qu'il existe une fonction de classe C1 sur R qui est nulle hors de ]a, b[ mais qui n'est pas identiquement nulle. Indication : on pourra chercher une fonction dont la restriction à [a, b] soit polynomiale. 2. c. Montrer que si R \ q(Q) contient un intervalle ouvert non vide, alors il existe deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur Q. 3. a. Soit le un entier supérieur ou égal à 2. Soient 31, . . . , $;, des éléments deux a deux distincts de l'intervalle [O, 1[. Montrer qu'il existe i et j appartenant à {l, . . . ,le} tels que O< |5i--Sjl < k--Ë--1'. 3. b. Soit oz un nombre irrationne1. Montrer que si m et n sont deux entiers relatifs distincts, alors ma -- Lma) # na -- LnaJ. En déduire que pour tout r > O, l'ensemble T = {nloz + n2 : (n1,n2) EUR 22} contient deux éléments t1 et t2 tels que 0 < |t1 -- t2| < r, puis que R \ T ne contient aucun intervalle ouvert non vide. 3. c. Discuter, en fonction de la valeur de la constante c, l'existence de deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur Z2. On suppose désormais c # 0. On considère l'équation suivante : f E CZ(R2) 7 Dî1f _ C21)ä2f : 0 (B) - Soit f une solution de (B). 4. a. On pose g = D1f -- cD2 f . Montrer qu'il existe une fonction U. E C'(R) telle que g(t, (I:) = u(oe -- et). 4. b. Montrer qu'il existe une fonction @ EUR C2(R) telle que la fonction h = E (U) satisfasse l'équation D1h -- cD2h = g. 4.c. Montrer qu'il existe des fonctions @+ EUR C'(R) et v... EUR C2(R) telles que f(t.æ) = v+(æ + et) + v-(æ -- et), puis montrer que @+ EUR C2(R). 4. d. Enoncer un résultat analogue à celui établi à la question 1. b. et le démontrer. 5. a. Montrer que si f1 et f2 sont deux solutions de (B) qui coïncident sur {0} >< R et qui sont telles que D1f1 et D1f2 coïncident sur {D} >< R, alors A = f2. Montrer que cette conclusion n'est pas toujours vraie si l'on suppose seulement que f1 et f2 coïncident sur {0} >< R. 5. b. Déterminer toutes les fonctions f EUR C2(R2) qui sont solution de (B) et qui satisfont f(O, O) = 1 et les conditions suivantes : VOE EUR R7 f(O,OE) : D2f(0,£) et f(O,OE)D1f(O,OE) : C° DEUXIÈME PARTIE On considère l'équation suivante : Q ouvert de R2, f EUR C'(Q), Du" + fD2f = O. (O) 6. a. Soit Q un ouvert de R2 et f une solution de (C) sur Q. Soit (to,:r0) un point de Q. Montrer qu'il existe un intervalle ouvert ] contenant 150 et une fonctionX de classe C'1 sur ] telle que X(t0) = 320 et telle que pour tout t EUR 1, on ait (t,X(t)) EUR Q et X'OE) = M» M...- 6.b. Montrer que la fonction @ : I ---> R définie par to, puis que T n'appartient pas à J. Indication : on pourra supposer le contraire et calculer f (T , Z (T )) En déduire que T est la borne supérieure de J , puis que f(t, Z(t)) = f(t0,æ0) pour tout t dans J. 7. a. On suppose que Q = R2. Montrer que les seules solutions de (C) sont les fonctions constantes. 7 . b. Déterminer toutes les fonctions de la forme (t,:c) |----> l'é--((%, où P et Q sont des polynômes, qui sont solution de (C) sur leur ensemble de définition. Déterminer une so-- lution non constante de (O) lorsque Q = R* >< R. 8. a. On se donne une fonction a EUR C'(R) croissante. Montrer que pour tout t EUR R+ et tout 3: EUR R, il existe un unique réel a(t, oe) tel que a: = a(t, ac) + tu(a(t, r)). On admettra pour tout le reste du problème que la fonction a : R+ >< R ----> R ainsi définie est continue, qu'elle est de classe C1 sur R"; >< R et que ses dérivées partielles sont données sur cet ouvert par les formules ,, u(o(t, cc)) 1 V(t,æ) EUR R+ >< R, D1a(t,æ) -- --m , D2a(t,fc) -- m. 8. b. Montrer que la fonction f : R+ >< R ----> R définie par f (16, a:) : n(o(t, (E)) est continue sur R.,. >< R, de classe C1 sur R1 >< R, qu'elle est solution de (C) sur R*+ >< R et vérifie, pour tout a: E R, l'égalité f (0, :::) = u(:r). On notera F (u) la fonction f ainsi construite à partir de u. 8. c. Montrer que si une fonction g : R+ >< R ---> R est continue sur R+ >< R, de classe C1 sur R1 >< R et de plus est une solution de (C) sur RÎ'F >< R, alors la fonction 11 EUR C'(R) définie par o(:c) = g(O, 55) est croissante, et vérifie g = F (o) 9. a. Soit n la fonction définie par u(a:) : :::. Déterminer F (u) et comparer le résultat obtenu avec celui de la deuxième partie de la question 7. b. 9. b. En considérant la fonction n définie par __ 0 sioe0 ' déterminer une solution non constante de (C) sur l'ouvert Q = R2 \ ({O} >< R+). TROISIÈME PARTIE Soit (cn)n>1 une suite de réels telle que pour tout n> 1 on ait |cn|< \ 2---ä O.n définit par récurrence une suite (P,, )n>1 de polynômes en posant P1-- --- c1 puis, pour tout n > 2, n--1 P,',(t) = --% 2 Pk(t)Pn_k(t) , P,,(O) = c,,. k=1 Dans ce qui suit, on pourra utiliser, sans les démontrer, les inégalités e> 2et e\/e> 10. a. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer qu'on a l'égalité 1 oe(n--æ) ' Indication : on pourra chercher une écriture plus simple de la fonction a: 1--> 10. b. Montrer que 21nn { n, puis qu'on a l'inégalité k=1 k2(n -- lc)2 \ n2° 10. c. Montrer que pour tout n> 1 et tout t E R, on a l'inégalité 1 'Pn(t)l< \ _88nltl° 'ÏL2 10. d. En déduire que la série Zn>1 P,,(t)æ" converge, pour (t, :L') appartenant a un ouvert (2 contenant (0,0) qu'on précisera, vers une fonction f de classe C1 qui satisfait l'équation V(t,æ) E O , D1f(t,a:) + azf(t,oe)D2f(t,æ) : O. (D) 11. a. On suppose c1 # 0. Déterminer le degré de P,, pour tout n> 1. On pourra discuter selon le signe de cl. 11. b. Pour tout n> 1, on note d,, le coefficient dominant de B,. Établir une relation de récurrence satisfaite par la suite (dn)n>1. Soit (en)n>1 la suite définie par récurrence par 61 = 1 et n--1 Vn > 2, en = Zeken_k. k=1 Montrer que pour tout n> 1, on a |dnl< 11. c. On considère la série entière H ( )= 627,21 ens" et on note R son rayon de conver-- gence. Montrer que R : â--. Indication : on pourra commencer par supposer R > 0 et calculer, sous cette hypothèse, la valeur de H sur] -- R, R[. 11. (1. Montrer que sur l'intervalle ] --- à, à--[, la fonction G(s) = 27,21 dns" est solution de l'équation différentielle 8y'(8)(1+ y(8)l -- y(8) = 0- (E) 11. e. Montrer que pour tout 5 EUR [--e_1,+oo[, il existe un unique w(s) EUR [--1,+oo[ tel que w(s)ew

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 X/ENS Maths PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Victor Rabiet (ENS Cachan) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA). Ce sujet est centré sur l'analyse différentielle des fonctions à plusieurs variables. Il est composé de trois parties indépendantes. · Dans la première, on s'intéresse aux solutions, définies sur R2 , des équations aux dérivées partielles D1 f + cD2 f = 0 et D211 f - c2 D222 f = 0 dont on détermine, notamment, la forme générale. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux solutions, définies sur un ouvert de R2 , de l'équation D1 f + f D2 f = 0 On montre que les seules solutions définies sur R2 entier sont les fonctions constantes, puis on détermine des solutions non triviales sur des ensembles plus restreints. · Enfin, dans la troisième partie, on construit par récurrence une suite de polynômes permettant de définir, sur un certain ouvert de R2 , une solution de l'équation D1 f (t, x) + xf (t, x)D2 f (t, x) = 0 et une solution, définie sur ] -1/4 ; 1/4 [, de l'équation différentielle sy (s)(1 + y(s)) - y(s) = 0 Ce problème permet de réviser l'ensemble du cours d'analyse, dont tous les chapitres sont abordés hormis les séries de Fourier. Indications Première partie 1.a Remarquer que, pour tout couple (t0 , x0 ) de réels, (0) = (-t0 ). 1.b La surjectivité se déduisant de la question 1.a, il suffit de montrer l'injectivité. 2.a Soient f1 = E(u1 ) et f2 = E(u2 ) deux solutions de (A) (voir la question 1.b pour les notations). Montrer que f1 et f2 coïncident sur si et seulement si u1 et u2 coïncident sur q(), puis montrer, en utilisant la continuité, que u1 et u2 coïncident sur R. 2.b Une primitive d'une fonction continue est de classe C 1 ; on peut donc commencer par construire une fonction continue affine par morceaux et en donner une primitive. 4.a Montrer que g est solution de (A). Deuxième partie 6.c Pour montrer que T n'appartient pas à J, raisonner par l'absurde comme le suggère l'énoncé et appliquer les questions 6a et 6b (ne pas oublier que la seule condition sur (t0 , x0 ) est qu'il appartienne à ) à un autre point (t1 , x1 ) bien choisi pour aboutir à la contradiction. 9.b Commencer par construire une solution de (C) définie sur R+ × R à l'aide des questions 8.a à 8.c, et la recoller à une solution triviale pour la définir sur le reste du domaine. Troisième partie 10.b Pour la première inégalité à démontrer, ne pas faire une étude de fonction, ce qui serait malhabile et une véritable perte de temps, mais penser plutôt à intégrer une inégalité bien choisie. 10.d Montrer que n-1 P kak an-k = k=1 P n n-1 ak an-k 2 k=1 où les ak (1 6 k 6 n - 1) sont des réels quelconques (penser au calcul de n-1 P k). k=1 11.c Calculer H(s)2 à l'aide d'un produit de convolution (ou produit de Cauchy) et trouver une équation vérifiée par H(s). 11.d Voir l'indication concernant la question 10.d. 11.e Pour trouver, en fonction de w, la solution de (E) ayant même valeur et même dérivée en 0 que G, composer w avec une fonction bien choisie (ie w f ). Ne pas faire la méthode de variation de la constante ! Première Partie 1.a On remarque tout d'abord que est une fonction de classe C 1 puisqu'elle est elle-même la composée de fonctions de classe C 1 . En effet, (t) = f g(t) avec ( R - R2 g: t 7- (g1 (t), g2 (t)) = (t0 + t, x0 + ct) (t) = D1 f (g(t))g1 (t) + D2 f (g(t))g2 (t) Ainsi, = D1 f (g(t)) + cD2 f (g(t)) (t) = 0 puisque f est solution de (A). Par suite, la fonction est constante sur R. D'autre part, (0) = f (t0 , x0 ) et (-t0 ) = f (0, x0 -ct0 ). Puisque est constante, on obtient f (t0 , x0 ) = f (0, x0 - ct0 ). Comme le couple (t0 , x0 ) R2 est quelconque, on en déduit que (t, x) R2 f (t, x) = u(x - ct) avec u(x) = f (0, x). 1.b Pour montrer que l'application E (qui est linéaire), envoie C 1 (R) dans C 1 (R2 ), il suffit de montrer que si u appartient à C 1 (R), la fonction ( 2 R - R E(u) : (t, x) 7- u(x - ct) est de classe C 1 sur R2 , ce qui par composition est bien le cas. Par conséquent, L'application E envoie C 1 (R) sur C 1 (R2 ). Puisque l'application E est linéaire, pour montrer qu'elle est injective il suffit de montrer que son noyau est réduit au vecteur nul. Soit u Ker (E). Par définition, (t, x) R2 u(x - ct) = 0 En particulier, en prenant t = 0 dans la propriété précédente, on trouve u(x) = 0 pour tout réel x. La fonction u est donc nulle, ce qui prouve que le noyau de E est réduit à {0}. L'application E est injective. D'après la question précédente, l'ensemble des solutions de (A) est inclus dans l'image de E. Montrons l'inclusion réciproque : si f = E(u) est un élément de l'image de E, alors f (t, x) = u(x - ct) donc D1 f (t, x) = -cu (x - ct) et D2 f (t, x) = u (x - ct) ce qui implique que D1 f + cD2 f = 0 La fonction f est bien solution de (A), ce qui achève de prouver l'inclusion réciproque. L'image de E est l'ensemble des solutions de (A). Les résultats de ces deux questions montrent que E(u) est l'unique solution de classe C 1 sur R au problème de Cauchy pour l'équation d'advection linéaire t f + c x f = 0 f (0, ·) = u où u est de classe C 1 sur R. Le terme d'advection est synonyme de transport, comme l'illustre l'interprétation graphique suivante : t t0 = 0 x0 =x-c t x Pour t0 = 0 et x0 R, la fonction est constante sur R donc la donnée initiale est transportée le long de la droite d'équation x - ct = x0 . 2.a Soit R. Construisons une suite (an )nN d'éléments de q() qui converge vers . Si est un élément de q(), il suffit de prendre an = pour tout n N. Si R\q(), montrons plus précisément la propriété suivante : n N an q() | - an | < 1 n Supposons, par l'absurde, que cela ne soit pas le cas, c'est-à-dire que N N c q() | - c| > 1 N ce qui revient à dire que l'intervalle ] - 1/N ; + 1/N [ est inclus dans R\q(), ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de l'énoncé. Ainsi, l'inégalité vérifiée par an pour tout n permet de conclure que la suite (an )nN converge vers . Finalement, Tout nombre réel est la limite d'une suite d'éléments de q(). Soient f1 = u1 q et f2 = u2 q deux solutions de (A) qui coïncident sur (les fonctions sont sous cette forme d'après la question 1.b). On en déduit que u1 et u2 coïncident sur q(). Montrons à présent que u1 = u2 pour conclure que f1 = f2 . Soit R. D'après le résultat précédent, il existe une suite (an )nN d'éléments de q() qui converge vers . Comme u1 et u2 coïncident sur q(), n N u1 (an ) = u2 (an ) Puisque u1 et u2 sont continues en , lim u1 (an ) = u1 () n+ Ainsi, R et lim u2 (an ) = u2 () n+ u1 () = u2 () En conclusion, Deux solutions de (A) coïncidant sur sont égales.