X/ENS Maths PSI 2008

Thème de l'épreuve Indice de rotation d'une courbe simple
Principaux outils utilisés complexes, fonctions de la variable réelle, fonctions de deux variables
Mots clefs homotopie, indice de rotation

Corrigé

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Banque commune École Polytechnique -- ENS de Cachan PSI Session 2008 Épreuve de MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures Aucun document n 'est autorisé L 'usage de toute calculatrice est interdit Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être un erreur d 'e'nonce', il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. Indice de rotation d'une courbe simple. Dans tout ce probleme, T designe un reel strictement positif. 1 Premiere partie On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1. On note FT l'ensemble des applications T -periodiques et continues de R a valeurs dans U et FT1 l'ensemble des applications T -periodiques de classe C 1 de R a valeurs dans U. On appelle relevement de u FT une fonction continue f : R R telle que u = eif . 1. Montrez que si u FT1 , et si f est un relevement de u que l'on suppose de plus derivable, alors f = -iuu . Montrez que, reciproquement, tout u FT1 admet un relevement f qui est de classe C 1 et qui est une primitive de -iuu . 2. Montrez que si f est un relevement de u et g est un relevement de v, alors f + g est un relevement de uv. 3. Montrez que si z U est de partie reelle positive, alors z = ei Arcsin y ,ou y est la partie imaginaire de z, puis que si u FT verifie ku - 1k 2, alors u admet un relevement f a valeurs dans [-/2, /2]. 4. Montrez que pour tout u FT , il existe w FT1 tel que ku-wk 2/2. Montrez que w ne s'annule pas et que v = w/|w| verifie kv - wk 2/2 et k uv - 1k 2. Deduisez-en que tout u FT admet un relevement. 5. Montrez que si f et g sont deux relevements d'un meme u FT , alors f -g est une fonction constante, egale a un multiple entier de 2. Deduisez-en que si u FT1 et si f est un relevement de u, alors f est de classe C 1 . 1 2 Deuxieme partie 6. Soit u FT , soit f un relevement de u et soit a un reel. On pose 1 dT (u) = (f (a + T ) - f (a)) (1) 2 et on appelle ce nombre le degre de u. Montrez que dT (u) est un entier et ne depend ni du choix du relevement f , ni de a. 7. Soient u FT et k N tels que |dT (u)| k. Montrez que pour tout z0 U et tout reel a l'equation u(t) = z0 admet au moins k solutions distinctes dans l'intervalle [a, a + T [. 8. Que vaut dT (u) si u n'est pas surjective ? 9. Montrez que pour tous u, v FT on a dT (uv) = dT (u) + dT (v) et dT (u/v) = dT (u) - dT (v). 10. Montrez que si u, v FT et si ku - vk < 2, alors dT (u/v) = 0, puis que dT (u) = dT (v). 11. Montrez que si u FT est de classe C 1 par morceaux alors pour tout reel a on a Z a+T 1 iu (t)u(t) dt. dT (u) = - 2 a 12. Montrez que si u F2 est de classe C 1 par morceaux alors X d2 (u) = n|cn |2 , nZ ou (cn )nZ designent les coefficients de Fourier de u. 13. Soit u FT1 et soit f un relevement de u. Soit z U et F = {t [a, a + T [ | u(t) = z}. Montrez que si F est fini et si pour tout t F on a f (t) 6= 0, alors dT (u) = p - q, ou p = Card{t F | f (t) > 0} et q = Card{t F | f (t) < 0}. 3 Troisieme partie On appelle homotopie entre u FT et v FT une application continue : [0, 1] × R U (, t) 7 (t) telle que, 0 = u, 1 = v, et (i) s [0, 1], FT , (ii) 0 [0, 1], lim k - 0 k = 0. 0 S'il existe une homotopie entre u et v, on dit que u est homotope a v. 2 14. Montrez que si satisfait la condition (i) ci-dessus et est lipschitzienne sur [0, 1] × [a, a + T ], ou a est un reel arbitraire, alors la condition (ii) est verifiee. 15. Montrez que si est une homotopie entre u FT et v FT , alors dT (u) = dT (v). 16. Montrez que pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1, l'application Mz definie pour t R par Mz (t) = z - eit 1 - zeit appartient a F2 , puis que d2 (Mz ) = 1. (Indication: on pourra considerer les applications Mz , ou parcourt l'intervalle [0, 1].) 17. Montrez que si u FT et dT (u) = 0, alors u est homotope a l'application constante egale a 1. 18. Montrez que u, v FT sont homotopes si et seulement si dT (u) = dT (v). 4 Quatrieme partie On note AT l'ensemble des arcs parametres de classe C 2 et T -periodiques de R dans R2 identifie a C, reguliers a l'ordre 1 en chaque point, c'est-adire dont la derivee ne s'annule pas. On dira que AT est simple si la restriction de a [0, T [ est injective. - Si AT , on appellera application tangente de l'application T FT definie par - (t) , T (t) = | (t)| pour t R. On appellera indice de AT l'entier - iT () = dT ( T ). 19. Determinez i2 (n ), ou n Z et n (t) = eint . - 20. On pose (t) = cos t + i sin(2t), et on designe par T son application - tangente. Montrez que pour tout reel t on a T (t) 6= i, puis que i2 () = 0. 21. Montrez que si AT est parametree par l'abcisse curviligne, alors 2iT () est l'integrale de la courbure de entre 0 et T . On suppose a present que AT et que de plus est simple. Pour tous (x, y) R2 tels que (x - y)/T / Z, on pose S (x, y) = (x) - (y) , sin T (x - y) 3 et pour tout y R et tout k Z on pose T (y). 22. Montrez que l'application S est bien definie sur R2 , ne s'annule pas, et que pour tous x, y R on a S (x + T, y) = S (x, y + T ) = -S (x, y) et S (x, y) = S (y, x). 23. Soit U = {(x, y) R2 | |x - y| < T }. Montrez que la fonction F definie pour (x, y) U , x 6= y par F (x, y) = sin x-y se prolonge par continuite ( T (x-y)) 1 sur U en une fonction de classe C . 24. En ecrivant (x)-(y) comme un reste integral, montrez que la fonction se prolonge par definie pour (x, y) R2 , x 6= y par G(x, y) = (x)-(y) x-y 2 1 continuite en une fonction de classe C sur R . 25. Montrez que S est de classe C 1 sur l'ouvert U defini a la question 23, puis sur R2 . Montrez que S est lipschitzienne sur R2 . 26. Montrez qu'il existe un reel a tel que Re((a)) = mintR Re((t)), et que pour un tel a le nombre complexe S (a, a) est imaginaire pur. On supposera dans la suite de cette partie que a = 0 convient. 27. Soit P0 : [0, T ] R2 l'application definie par S (y + kT, y) = (-1)k P0 (t) = (max(0, 2t - T ), min(T, 2t)) . Soit u0 l'application T -periodique de R dans U dont la restriction a [0, T [ 0 est |SS P P0 | . Montrez que u0 (T ) = S P0 (T ) |S P0 (T )| et que u0 FT . 28. Montrez u0 (0) {-i, i}, que la partie reelle de u0 est positive sur [0, T /2] et que pour tout t [0, T /2] on a u0 (t + T /2) = -u0 (t). 29. Deduisez de ce qui precede que la fonction f : [0, T ] R definie par ( Arcsin(Im(u0 (t)) si t [0, T /2[, f (t) = 2 Arcsin(Im(u0 (T /2)) - Arcsin(Im(u0 (t)) si t [T /2, T ] est un relevement de u0 sur l'intervalle [0, T ]. Montrez que f (T ) - f (0) = 2f (T /2) - 2f (0), puis que dT (u0 ) {-1, +1}. 30. Pour tout t [0, T ] on pose P1 (t) = (t, t), et pour tout [0, 1] on pose P = P1 + (1 - )P0 . Montrez que l'application X(, t) = P (t) est lipschitzienne sur [0, 1] × [0, T ]. Soit l'application T -periodique de R dans U dont la restriction a [0, T [ est |SS P P | . Montrez que definit une homotopie entre u0 et l'application tangente de , et que iT () {-1, +1}. Fin de l'epreuve 4

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 X/ENS Maths PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Cette épreuve d'analyse a pour objet de montrer que l'indice de rotation d'une courbe simple du plan, de classe C 2 et régulière à l'ordre 1, a pour valeur +1 ou -1. Bien évidemment, la notion d'indice est introduite par l'énoncé et aucune connaissance hors programme n'est requise. Le sujet se compose de quatre parties liées. On note T un réel strictement positif fixé et FT l'ensemble des applications continues et T-périodiques définies sur R et à valeurs dans l'ensemble des complexes unimodulaires U. · Dans la première partie, on montre notamment (question 4) que tout élément de FT possède un relèvement, c'est-à-dire que pour tout u FT , il existe une fonction continue f de R dans R telle que u(x) = eif (x) pour tout réel x. · À partir de l'existence de relèvements, la deuxième partie définit la notion de degré pour u FT en posant 1 dT (u) = f (a + T) - f (a) 2 On montre (question 6) que le degré dT (u) est un entier, qui ne dépend pas du relèvement f de u choisi ni du point a R utilisé. Cette partie est l'occasion de comprendre (question 13) que dT (u) compte, dans Z, le nombre de tours complets effectués par la « trajectoire » u sur le cercle unité en une période T. · La troisième partie introduit la notion d'homotopie entre éléments de FT : on dit que u et v, éléments de FT , sont homotopes s'il existe une application continue ( [ 0 ; 1 ] × R - U : (, t) 7- (t) telle que appartienne à FT pour tout dans [ 0 ; 1 ], et vérifiant 0 = u et 1 = v ; c'est-à-dire, plus intuitivement, si l'on peut passer continûment de u à v en restant dans FT . Elle est l'occasion de montrer (question 18) que deux éléments de FT sont homotopes si, et seulement si, ils ont le même degré. · Dans la quatrième partie, on considère un arc de classe C 2 du plan (identifié à C), régulier à l'ordre 1, défini par un paramétrage T-périodique . L'application tangente normalisée (c'est-à-dire / | |) d'un tel arc est un élément de FT . Cette observation permet de définir la notion d'indice de l'arc à partir du degré de l'application tangente normalisée. L'objet principal de cette dernière partie est la construction explicite d'une homotopie entre l'application tangente de l'arc (supposé simple) et un élément de FT de degré + - 1. On montre ainsi finalement que l'indice d'un arc simple, de classe C 2 , régulier à l'ordre 1, défini par un paramétrage T-périodique, est + - 1. Très long pour une épreuve de quatre heures, ce sujet bien construit est l'occasion de réviser de nombreuses notions d'analyse du programme des deux années de classes préparatoires et constitue à coup sûr une excellente préparation aux épreuves de concours. Indications Première partie 4 Il y a une erreur d'énoncé : il faut chercher w C 1 (R, C) uniquement T-périodique (et pas nécessairement dans FT1 , c'est-à-dire pas nécessairement à valeurs dans U). Penser à un théorème de Weierstrass. 5 Se servir du fait que f - g est un relèvement de la fonction constante égale à 1 et du théorème des valeurs intermédiaires. Deuxième partie 6 Utiliser la question 5. 7 Écrire que |f (a + T) - f (a)| > 2k et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. 8 Se servir de la question 7. 10 Montrer que u - v n'est pas surjective et utiliser les questions 8 et 9. 11 S'inspirer du raisonnement de la question 1. 12 Utiliser le fait que la série de Fourier de u converge vers u en moyenne quadratique et l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Troisième partie 15 Considérer une homotopie entre u et v et utiliser la question 10 pour montrer que l'application 7 dT ( ) est continue sur [ 0 ; 1 ]. 17 Pour un relèvement f de u, étudier l'application définie sur [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; T ] par (, t) = eif (t) . 18 Considérer la fonction u/v FT et utiliser la question précédente. Quatrième partie 19 Erreur d'énoncé : faire le calcul pour n 6= 0. - 20 Erreur d'énoncé : montrer que pour tout t R, T (t) 6= -i et utiliser la question 8. 21 Montrer que la courbure vérifie pour tout t R, (t) = -i (t) (t) et utiliser le résultat de la question 11. 23 Remarquer que F est une fonction de x - y. 25 Observer que S = F × G sur U privé de la première bissectrice. Utiliser les résultats de la question 22 pour étendre les résultats. 26 Utiliser la périodicité de pour se ramener à une fonction réelle continue sur un compact. 29 Il manque des parenthèses dans la définition de f donnée par l'énoncé. Considérer la fonction f : [ 0 ; T ] R définie par Arcsin Im u0 (t) si t [ 0 ; T/2 [ f (t) = 2 Arcsin Im u (T/2) - Arcsin Im u (t) si t [ T/2 ; T ] 0 0 30 Montrer que est lipschitzienne sur [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; T ] et utiliser le résultat de la question 14. Première partie Rappelons que si a C est tel que |a| = 1, alors il existe R tel que a = ei . En outre, l'équation d'inconnue µ C a = eiµ admet exactement + 2Z comme ensemble de solutions. Soit u FT . Si x R, alors |u(x)| = 1 et il existe f (x) R tel que u(x) = eif (x) . Bien entendu, il existe une infinité de fonctions f : R R vérifiant cette relation. Rien n'assure que la fonction f peut être choisie continue sur R. Ce résultat sera l'objet de la question 4. Dans un premier temps, on va montrer à la question 1 que si u FT1 , alors f peut être choisie de classe C 1 sur R. 1 Remarquons que si u FT1 , alors 2 |u(x)| = u(x)u(x) = 1 x R En particulier, u(x) 6= 0 et 1/u(x) = u(x). Soit f un relèvement dérivable de u. La relation x R fournit par dérivation Par conséquent, u(x) = eif (x) u (x) = if (x)eif (x) = if (x)u(x) x R x R f (x) = -i u(x)u (x) 2 Réciproquement, soit u FT1 . La fonction x 7 |u(x)| est de classe C 1 et constante sur R. Sa dérivée vérifie donc x R u (x)u(x) + u (x)u(x) = 2 Re u (x)u(x) = 0 Ainsi, la fonction x 7- -i u(x)u (x) est continue sur R à valeurs réelles. Puisque |u(0)| = 1, il existe R tel que u(0) = ei . Notons f la primitive de la fonction x 7- -i u(x)u (x) qui vaut en 0. La fonction f est alors de classe C 1 sur R à valeurs réelles. Considérons la fonction R - C v: eif (x) x 7- u(x) La fonction v est de classe C 1 sur R car les fonctions f , u et y 7 eiy le sont et u ne s'annule pas sur R. En outre, x R if (x)eif (x) u(x) - u (x)eif (x) u2 (x) i - i u(x)u (x) eif (x) u(x) - u (x)eif (x) = u2 (x) v (x) = = u (x)u(x)u(x)eif (x) - u (x)eif (x) u2 (x) = u (x)eif (x) - u (x)eif (x) u2 (x) v (x) = 0 Par suite, la fonction v est constante sur R. Puisque v(0) = Par conséquent, eif (0) ei = i = 1, u(0) e u(x) = eif (x) x R Toute fonction u FT1 admet un relèvement qui est de classe C 1 et est une primitive de -iuu . 2 Soient u, v FT admettant f et g comme relèvements respectifs. Pour tout x R, (uv)(x) = u(x)v(x) = eif (x) eig(x) = ei(f (x)+g(x)) (uv)(x) = ei(f +g)(x) Remarquons que uv FT et que f + g est continue sur R pour affirmer que f + g est un relèvement de uv. Il est facile de se rendre compte qu'en vertu des résultats du cours sur la continuité des fonctions numériques, FT est un groupe pour la multiplication des applications, dont l'élément neutre est la fonction constante égale à 1. 3 Soit z U tel que Re (z) > 0. Écrivons z = x + iy h i avec (x, y) R+ × R. Puisque x > 0, il existe - ; tel que 2 2 z = ei = cos + i sin Par conséquent, y = sin h i , on en déduit Puisque - ; 2 2 = Arcsin y Rappelons que la fonction sinus induit une bijection du segment [ -/2 ; /2 ] dans [ -1 ; 1 ]. La bijection réciproque de cette application est par définition la fonction Arcsin. z = ei Arcsin y Finalement, Soit u FT telle que ku - 1k 6 u(x) = a(x) + ib(x) Remarquons que 2. Fixons x R et écrivons avec (a(x), b(x)) R2 . 2 |u(x) - 1| = (a(x) - 1)2 + b2 (x) = a2 (x) - 2a(x) + 1 + b2 (x)