X/ENS Maths PSI 2007

Thème de l'épreuve Approximation de ln(2) et de γ par diverses suites
Principaux outils utilisés séries alternées, calcul intégral, séries de fonctions, combinatoire, algorithmique, analyse générale
Mots clefs Critère de Leibniz, constante d'Euler, accélération de convergence

Corrigé

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CX7611 MATHÉMATIQUES DURÉE: 4 HEURES Aucun document n 'est autorisé L'usage de toute calculatrice est interdit Sr, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursu1t sa composüion en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le sujet comporte 7 pages PRÉAMBULE Le but général de ce problème est d'étudier différentes méthodes d'approximation de _ deux réels particuliers, ln 2 d'une part et la constante d' Euler 7 d'autre part. La définition de ces deux réels sous forme de limites de suites et les premiers encadrements associés . sont étudiés dans la partie I. Une autre méthode d'approximation de la constante d'Euler a l'aide d'une expression de celle--ci sous forme d'intégrale est proposée dans la partie II. La partie III consiste à. exprimer 'y a partir de la somme d'une certaine série alternée. Les parties IV et V proposent ensuite deux méthodes générales d'accélération de convergence pour le calcul des sommes de séries alternées et les appliquent a l'approximation de ln2. Les cinq parties sont assez largement indépendantes. Dans tout le problèrne, on note pour tout s > O, Ça(s) la somme de la série alternée de (--1)"' terme général --TÎ--_ pour n _>_ 1 et pour tout 3 > 1, Ç ( ) la somme de la série de terme 1 général fi; pour n _>_ 1. PREMIÈRE PARTIE 1.1 En appliquant une formule de Taylor à. la fonction a: +---+ ln(1 +33) définie pour a: > ---1, montrer que 1n2=Ça(1)=n--liæoeîîfl)k _ (1) =() ' 2 1.2 En déduire une première méthode d'approximati0n permettant d'obtenir ln2 avec une précision 6 > 0 donnée. 1.3 On définit la suite de terme général un pour n 2 1 par la relation: la Montrer que pour tout 71 E N*, un EUR [0,1]. 1.4 Montrer que la suite (un)neN* est monotone. En déduire que la suite (un)neN* est convergente. Dans toute la suite de ce problème, on définit un réel, noté 7 et appelé constante d'Euler, par la relation: "' 1 7: lim un: lim ( Ë--lnn). (2) 1 n---->+oo n---++oo le 1.5 Pour tout 71 E N *, on note Dn le domaine de R2 défini par: 1 n+1 Représenter graphiquement Dn dans le plan muni du repère orthon0rmé (O,z' , j ) et montrer que l'aire de D.,, est égale à un -- un+1. 1 Dn={(æ,y)EURR2, n_<_oe£n+l et _<_y_<_--g;}. 1( 1 1 11 1 2 n+1 n+2 1.6 Montrer que l'aire de D..., est comprise entre 1.7 En déduire l'encadrement suivant de la constante d'Euler valable pour tout 77. E N *: 1 1 1 ___--< < ---- .... "" 2n--7--u" 2n+2n(n+1) 1.8 Décrire une première méthode d'approximatîon permettant d'obtenir 7 avec une_pré-- cision & > 0 donnée. On supposera connue une approximation de la fonction logarithme avec une précision arbitraire. DEUXIÈME PARTIE 2.1 Soit a > 0. Montrer que la fonction réelle fa définie sur ]a, + o<>[ et telle que a . I 0 . _a fa(îÙ) : (l ---- --)'" est cr01ssante et verifie hm fa(g;) : e _ ZE OE--++oo 71. +00 2.2 Montrer que les intégrales In : / f,:(n) ln tdt pour 71 E N* et I = / e"tlntdt 0 0 sont correctement définies. 2.3 Montrer que lim In : ]. n--++oo 2.4 Etablir l'expression suivante de In: TL n+11 In= ---- -- . n+1(lnn zic) k=1 En déduire que la constante d'Euler ? définie par la relation (2) peut aussi s'exprimer sous la forme d'une intégrale: +oo = -- / e"'lntdt. (3) 0 2.5 Montrer qu'on peut définir deux fonctions F et R sur R3_ par les relations suivantes: a:__-t F(oe)=/l EUR dt 0 t +oo e--t R(oe) : / ------dt t et que ces deux fonctions vérifient pour tout a: E Ri: 7=F(æ) --lnoe--R(oe) 2.6 Montrer que pour tout a: E Rj_, on a F(oe) : Z(--l)"" --. n=1 2.7 Etablir les inégalités suivantes valables pour tout a: E R1" et tout entier N > a:: N--1 __ __ n--1ÆÎ. __1_ î£'îN |F<æ> Z< 1) ... "eN(N) e--æ < < O_R(oe)_ a: 2.8 Proposer une méthode permettant de déterminer, à EUR > 0 fixé, une valeur de a: > 0 et une valeur de N EUR N* de telle sorte qu'on ait: N----1 " n_ m | E :("1) 1W--lnfE--7lîê n=l . TROISIEME PARTIE 3.1 Montrer que la fonction Ça définie dans le préambule est une fonction continue sur Ri. 3.2 Montrer que Ça est une fonction dérivable sur R'; et exprimer sa dérivée sous forme de série. 3.3 Vérifier que pour tout 3 > 1, on a Ça(s) : (1 -- 21--3)Ç(8) où la fonction Ç a été définie dans le préambule. 1 +°° 1 3.4 En remarquant que ;? = s / t dt pour tout s > 0 et tout n E N*, établir que TL où E(t) représente la partie entière du réel t. 3.5 Montrer qu'au voisinage de 5 = 1 par valeurs supérieures, on a Ç(s) = 1 3 ---- 1 où 7 désigne la constante d'Euler définie par la relation (2). +7+0(1) ln n 3 3.6 Vérifier que la série de terme général (--1)"-----%--_--Êä--)- pour n E N est une série alternée. En notant S sa somme, montrer à l'aide des questions précédentes que ln(2) + 1 1 : _-- -- S 4 ' 2 ln(2) ( ) QUATRIÈME PARTIE Dans toute cette partie, (ak)kEURN désigne une suite réelle convergente vers 0. Cette suite est supposée de plus décroissante a partir de la question 4.4. 4.1 Soit (%.)ng une suite de réels strictement positifs telle la série de terme général A,, diverge vers +oo. Montrer que 2 Àkak k=g : O Dk k=0 lim n--++oo 4.2 On définit A l'opérateur Opérant sur une suite quelconque (uk)keN par la relation: Vk EUR Na (Au)k : Uk '" uk+1 puis on note A" la puissance itérée n--ième de l'opérateur A: A0 = Id et pour tout n E N, A"+1 : A 0 A" Montrer que pour tous le et n dans N, on a k = Î<--1r' (';) u... i=0 4.3 Montrer, a n fixé dans N, que lim (A"a),EUR : 0 et, a k fixé dans N, que lim : k--++oo n'"'+°° 271 5 4.4 On suppose a partir de maintenant que la suite (ak)keN est décroissante et convergente vers 0. On note S la somme de la série alternée de terme général (--1)'"ak pour tout k E N. On definit pour tous le et n dans N: (le) _ __ k (Ana)k _ (An+la)k &" --( 1) [ 2n 2n+1 \ ' I . I ' k Montrer,a k fixe dans N, que la ser1e de terme general (al. ))neN est convergente avec pour somme: +oo Za£l" = (...1)k..., n=0 \ I I . I , k et, a n fixe dans N, que la serre de terme general (al,, ));OEN est convergente avec pour somme: +oo (k) _ Z% ---- k=0 (A"CI)Q 2n 1 ° + +oo 4.5 On note r£,'Ï) : z ag"). Montrer que la série de terme général (r$))kEURN est conver-- n=m gente. On note R... sa somme. TL Am 4.6 Montrer que lim R... = 0 et z (2mÎ)O : Ro -- Rn+1. m-->+oo 1 m=0 (Ama)o 2m+1 4.7 En déduire que la série de terme général ( ) est convergente et a pour mEURN somme S. 4.8 On suppose en outre que la suite (ak)kEURN peut s'écrire sous la forme ak : f (le) pour tout le E N où f est une fonction appartenant à C°°(R+,R) et telle que Vk E N, Va: & R+, (--1)kf(k)(oe) > 0 Montrer dans ce cas que pour tout n E N et tout k 6 N, (Ana)k Z 0. En déduire que pour tout m E N, 1 k + 1' proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision 6 > 0 donnée. Quelle expression de ln2 retrouve t-on'? 4.9 En appliquant les résultats de cette partie a la suite de terme général ak = CINQUIÈME PARTIE Dans toute cette partie, (bk)kEURN désigne une suite réelle pouvant s'écrire pour tout k E N: 1 bk=/ a:'°w(oe)doe 0 où U) est une fonction réelle continue sur ]0,1[, positive et dont l'intégrale sur ]0,1[ est convergente. 5.1 Montrer que la suite (bk)keN est décroissante et convergente vers 0. 5.2 Soit (Pn)nEURN une suite de fonctions réelles telle que, pour tout 33 EUR R, Po(oe) = 1, P1(£E) : 1 -- 2513 et 'v'a: E R, 'v'n EUR N*, Pn+1(æ) = 2(1---- 2oe)Pn(æ) -- Pn_1(oe). Montrer que Pn est un polynôme de degré 7). et établir une relation entre Pn et la fonction Tn définie sur [----1,1] par l'expression: Va: EUR [--1,1], Tn(oe) = cos(nArccos(oe)). Indication: on pourra essayer d'établir une relation de récurrence linéaire à deux termes sur les fonctions Tn du,méme type que celle portant sur les fonctions Pn. 5.3 Montrer que pour tout a: E R et tout n 65 N*: P,.(æ) = Î(--1)m " (" + ...) 22mæm. n+m 2771 m=0 En déduire que pour tout 77. E N, Pn(--1) 7': O. _ Pn --1 -- Pn 5.4 Pour tout 77. E N*, on définit le polynôme Qn tel que Qn(X ) = 75%... et on 1 note s(n) = / Q...(æ)w(æ)doe. Montrer que 0 8.VEURC 5.5 Calculer Pn(--1). En déduire que pour tout n E N* 25 |s(n) "'" Si 5 ... où S désigne la somme de la série alternée de terme général (--1)klnc pour tout k E N. 7 5.6 Soit n > 2. On suppose connus les n premiers termes de la suite (bk)keN. On se propose d'étudier l'algorithme suivant, écrit ici de manière pseudo-informatique: . d0 : 1, dl = 3; . Pour 1»: allant de 0 a n -- 2, faire: . tmp=dl, d1=6*d1--d0, d0=tmp; . fin; . b=--1,c=--dl, s=O; . Pour le allant de 0 a n ---- 1, faire: c=b--qs=s+c*OE; . b=b*(k+n)*(k--n)/((k+l/2)*(k+l)); . fin; . sn : s/d1; Quelles valeurs respectives prennent dl et sn a la fin de l'algorithme? Justifier la ré-- ponse. 5.7 En appliquant les résultats de cette partie a la suite de terme général bk : ..., proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision 6 > 0 donnée.

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 X/ENS Maths PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet a pour but de donner des méthodes pour déterminer une approximation numérique de deux réels : ln(2) et la constante d'Euler . Il fait appel à la quasi totalité des techniques d'analyse du programme de l'année (à l'exception des séries de Fourier). Les séries numériques y tiennent une place de choix, notamment le critère de Leibniz sur les séries alternées. Mais d'autres méthodes sont aussi mises en oeuvre : monotonie et convexité, séries de Taylor, polynômes de Tchebychev, développements limités, théorème de convergence dominée, dérivation de séries de fonctions, et même un peu de dénombrement et d'algorithmique. Les cinq parties sont, dans l'ensemble, largement indépendantes. · Dans une première partie, on étudie une série convergeant vers ln(2) et on estime sa vitesse de convergence. On étudie ensuite une suite convergeant vers , à laquelle on applique une méthode d'accélération de convergence. · Dans la deuxième partie, la constante est approchée par une troisième suite, et la vitesse de convergence est estimée par une étude d'intégrales. On montre notamment que la convergence de cette méthode est encore plus rapide que celle de la première partie. · La partie 3 permet de relier à une série alternée. Elle fait appel à quelques techniques de calcul intégral et de développement limité. Elle est d'un niveau très abordable. · La quatrième partie, extrêmement technique par moments, relie ln(2) à la somme d'une série formée par des différences successives de termes de la série harmonique. Elle permet de montrer comment on peut accélérer très notablement la convergence de la série harmonique alternée vers ln(2). Une de ses difficultés est l'accumulation de notations auxquelles il faut s'habituer. · La cinquième partie relie ln(2) à une dernière suite. On termine l'épreuve par l'étude d'un petit algorithme calculant les termes de cette suite, dont on peut montrer qu'il permet de calculer ln(2) avec une très grande précision et un nombre d'opérations remarquablement limité. Au total, l'épreuve, bien que longue, est intéressante, variée, et permet de tester sa rapidité et son aisance face à une situation parfois délicate. Indications Première partie 1.3 Faire un dessin ! 1.4 Former la différence un - un+1 et utiliser l'égalité des accroissements finis. 1.5 Utiliser la convexité de t 7 1/t. Deuxième partie 2.1 Poser ga : x 7 x ln(1 - a/x), et montrer que ga est positive grâce à une étude de ga . 2.4 Poser x = 1 - t/n, puis développer ln(1 - x) en série entière. 2.7 Prouver que eN-1 1 6 N . N! N Troisième partie 3.1 Se placer sur un intervalle de la forme [ a ; + [. La convergence uniforme sur [ a ; + [ se montre en majorant uniformément le reste grâce au théorème des séries alternées. 3.2 La même technique s'emploie, mais à partir d'un certain rang seulement pour que la suite de terme général ln(n)/nx décroisse. 3.3 Séparer les termes pairs des impairs. 3.4 Poser n (t) = t-(s+1) si t > n et 0 sinon. 3.5 Ajouter -t + t au numérateur dans l'intégrale pour faire apparaître la quantité bornée E(t) - t. 3.6 Effectuer un développement limité de (1 - 21-s ) et de a (s) au voisinage de 1. Quatrième partie 4.1 Question classique mais inutile pour la suite ! 4.2 Effectuer une récurrence. 4.4 Remarquer que la série (sur k) est télescopique. 4.5 Démontrer la propriété par récurrence sur m. 4.6 Écrire Rm sous la forme d'une somme double (dont une somme finie). Prouver que l'on peut intervertir ces deux sommes. Majorer ensuite la somme intérieure en utilisant le critère de Leibniz. 4.8 Question difficile ! Tout se simplifie en définissant par récurrence la suite (n f )n de premier terme 0 f = f et vérifiant n+1 f : x 7 (n f )(x) - (n f )(x + 1) Montrer que (-1)k (n f )(k) > 0 pour tout k N, par récurrence sur n. Cinquième partie 5.2 Montrer que Tn = Tn-1 + 2X Tn Vérifier ensuite que les fonctions Tn (1 - 2x) et Pn (x) vérifient la même relation de récurrence. 5.3 La question se résout par récurrence ; il vaut mieux cependant ne pas se focaliser sur ce calcul un peu pénible et se concentrer sur la suite. 5.4 Dans l'expression de Qn , développer (-1)m - xm en une somme de m termes. 5.5 Résoudre la relation de récurrence d'ordre 2 sur les coefficients Pn (-1). Montrer que Z 1 w(x) dx S= 1 +x 0 5.6 Montrer que d1 prend les valeurs successives Pk+2 (-1), et que c prend les valeurs (-1)k cn,k . Première partie 1.1 La fonction : x 7 ln(1 + x) étant de classe C sur ] -1 ; + [, fixons un entier n et appliquons la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre n + 1. On calcule d'abord les dérivées successives de par une récurrence immédiate : pour tout k N , (k) : x 7- (-1)k+1 (k - 1)! (1 + x)k Puisque (0) = 0, la formule de Taylor-Lagrange s'écrit donc, pour tout x > -1, ln(1 + x) - n+1 P (-1)k+1 k=1 k xk 6 xn+2 sup (n+2) (t) (n + 2)! t[ 0 ;x ] Posons maintenant x = 1. Pour tout k > 1, la fonction (k) est décroissante sur [ 0 ; 1 ] ; son maximum est donc en 0. Effectuons un glissement d'indice ; il vient ln(2) - n (-1)k P (n + 1)! 1 6 = k + 1 (n + 2)! n + 2 k=0 Le majorant tend vers 0 quand n tend vers l'infini, donc le terme de gauche aussi. n (-1)k P = a (1) n k=0 k + 1 ln(2) = lim 1.2 Considérons un réel > 0. Pour tout n N , on peut écrire ln(2) = n (-1)k P + Rn k=0 k + 1 avec Rn = (-1)k P k=n+1 k + 1 Le théorème de Leibniz sur les séries alternées permet de majorer la valeur absolue du reste Rn d'ordre n par son premier terme : |Rn | < 1/(n + 2). On pouvait également remarquer, si l'on avait fait la première question, que l'inégalité |Rn | 6 1/(n + 2) avait été démontrée directement en utilisant une formule de Taylor. Il suffit de poser maintenant n = E (1/) - 1. Alors, n + 2 = E (1/) + 1 > 1/, donc |Rn | < . Une approximation de ln(2) à la précision est alors donnée par la somme partielle d'ordre n. Rappelons, puisque ce théorème sera utilisé tout au long de l'épreuve, le « théorème spécial des séries alternées », également appelé « critère des séries alternées » ou « critère de Leibniz ». Soit (un )nN une suite réelle de signe alterné, P telle que (|un |)nN est décroissante et de limite nulle. Alors, la série un converge. Si l'on note (Sn )nN la suite des sommes partielles et (Rn )nN celle des restes, et S la somme de la série, alors |S| 6 |u0 | et |Sn | 6 |u0 | pour tout n N. De plus, le signe de Sn et de S est le signe de u0 .