X/ENS Maths PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude de polynômes orthogonaux
Principaux outils utilisés orthonormalisation de Gram-Schmidt, calcul matriciel, dualité en dimension finie, intégrales à paramètre

Corrigé

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MATHÉMATIQUES DURÉE: 4 HEURES Aucun document n 'est autorisé L'usage de toute calculatrice est interdit Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le sujet comporte 5 pages PRÉAMBULE Dans tout ce problème, R[X ] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Le degré du polynôme nul est pris par convention égal à --00. Pour tout entier naturel n, Rn[X] est le sous--espace vectoriel de R[X ] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On identifiera chaque fois que c'est nécessaire les éléments de R[X] à des fonctions réelles d'une variable réelle. _ On appelle W l'ensemble des fonctions w : R ------> R continues par morceaux telles que (i) Va: E R, w(oe) > 0, (ii) il existe un intervalle ouvert non vide sur lequel U) ne s'annule pas, (iii) pour tout entier naturel n, lim æ"w(æ) = lim oe"w(æ) : O. x--+--oo æ--++oo Soit n un entier strictement positif. On note (e1,. . . ,en) la base canonique de l'espace vectoriel R". On munit R" du produit scalaire (...,) défini comme suit: pour tous réels OE1,...,OEnety1,....,y... n n n (E OEiei> E :yjej> : E OEi3/z' i=1 j=1 i=1 Soit n un entier strictement positif et A une matrice de taille n >< n à coefficients réels. Pour tous entiers z' et j appartenant à {1,. . . ,n}, on note AÙ- le coefficient de A situé à l'intersection de sa i-ème ligne et de sa j--ème colonne. Pour tout n entier strictement positif, on note In la matrice identité de taille n >< n. On rappelle que si J est un intervalle fermé borné de R et si f : J ------> R est une fonction continue, alors pour tout 8 > 0, il existe P dans R[X] tel que sup | f (a:) --- P(æ) |< e." OEEJ La quatrième partie du problème est indépendante des trois autres. PREMIÈRE PARTIE 1. a. Donner un exemple de fonction appartenant à W. 1. b. Soit 10 un élément de W. Montrer que pour tous P et Q appartenant à R[X ], la fonction d'une variable réelle cc 1----> P(oe)Q(æ)w(oe) est intégrable sur R. On note alors (P | Q)... le nombre réel défini par . +oe (P | Q)... = / P(OE)Q(oe)w(oe) d... --oo 1. c. Montrer que l'application qui à un couple( (P ,Q) d' éléments de R[X] associe (P | Q)... est un produit scalaire. On notera ||Pll...= \/ (P | P) la norme associée. On appelle suite w-orthogonale échelonnée une suite (P...)...20 d'éléments de R[X] telle que ( ) VT). 0, P... est de degré n, (11) pour tous entiers naturels n et m distincts, (P... | P...)... = O. 2. a. Montrer qu'il existe une suite w-orthogonale échelonnée. On donnera une expression d'une telle suite, qui pourra faire intervenir le produit scalaire ( - [ -).... 2. b. Soient (P...)...20 et (Q...)...>O deux suites w-orthogonales échelonnées. Montrer que pour tout n > 0, les polynômes P... et Q... se déduisent l'un de l'autre par multiplication par un réel non nul. On choisit une suite w-orthogonale échelonnée que l'on note (P...)...20. Pour tout n > 1, on note (a...,b...) l'unique couple de réels tel que le polynôme P...(X ) --- a...X" -- b...X'""1 soit de degré inférieur ou égal à n -- 2. On pose (a0,bo) : (PO(O),O). 3. a. Montrer que pour tout n> 2 et pour tout Q EUR R..._ 2[X ], (XP... ] Q)... = 3. b. En déduire qu 'il existe un unique couple (a0,flg) de réels tels que X PO(X ) -- a0P1(X ) + ,BOPO(X ) et qu'il existe, pour tout n > 1, un unique triplet (d...,fl...,7...) de réels tels que ' - (1) XP... (X) : a...P...+1(X) + fi...P... (X) + y...P..._1(X). 3. c. Montrer que pour tout n> 1, on a les égalités bn __bn+1 an--1 lanllîu an-- _ ? TL _ ) n : ___--° 5 ii". " a. lIPn-1llä. DEUXIÈME PARTIE Soit 10 un élément de W. On note J un intervalle de R tel que Va: çÈ J, w(oe) : 0. Il n'est pas exclu que J soit égal à R. On choisit une suite w--orthogonale échelonnée (P...)...20. 4. Soit n> 1 fixé. On définit un entier naturel r... et un polynôme R... comme suit. Si P... n' a aucune racine dans J ou si toutes ses racines appartenant a J sont d' ordre pair, on pose 7"... = 0 et R... = 1. Sinon, on définit 7"... comme le nombre de racines distinctes d'ordre impair de Pn contenues dans .] . On note {t1,. . . ,tTn} l'ensemble de ces racines. On pose alors RMX) = (X -- tl) . . . (X -- tr"), ' 4. a. Montrer qu'il existe un polynôme Qn de signe constant sur ] tel que P" = Qan. 4. b. Montrer que si 7"... < n, alors (Pn | RTL)... : 0. En conclure que P" est scindé sur R,' que toutes ses racines sont simples et qu'elles appartiennent toutes à J. 5. a. Montrer qu'il existe une suite w-orthogonale échelonnëe dont tous les termes sont de norme 1 dans (R[X],H - |...). Une telle suite est--elle unique? On suppose jusqu'au 7 .a. inclus que pour tout n > 0, ||Pnllw : 1. On remarquera qu'avec cette hypothèse supplémentaire, % : ozn_1 pour tout n > 1. Soit T1 la matrice 1 >< 1 égale à. (,80) et, pour tout n > 2, Tn la matrice tri--diagonale n >< n suivante: 50 040 0 Tn : 010 31 ° ) ° . . . . an.--2 0 an--2 "fin--1 où les suites (an)n>0 et (fin)n20 sont celles qui ont été définies à la question 3. On fixe un entier n > 1. 5. b. Calculer, pour tout réel À, le vecteur P0(À) (Tn --- AI") ; Pn_1(/\) 5. c. Montrer que le spectre de Tn coïncide avec l'ensemble des racines de Pn. 6. Soit n > 2 fixé. Soit A une matrice symétrique réelle de taille 77. >< n dont toutes les valeurs propres sont simples. On note Sp(A) = D.... . . ,Àn} son spectre et (ul, . . . ,un) une base de R" telle que pour tout 'à entre 1 et n, on ait Au.-- : À.-u.--. On suppose que À1 < < ).... Soit B la matrice (n ---- 1) >< (n ---- 1) dont les coefficients sont donnés, pour tout (i,j) EUR {1,. . . ,'ÏL "1}2, par Bij : A»;j. _ ---- B det(æln --- A) ° 6. a. Soit x E R\Sp(A). En calculant de deux façons différentes le coefficient (nm) de la matrice (oeIn ---- A)"1, montrer que ((ccln -- A)"le...en) = r(æ). 6. b. Montrer que pour tout :c EUR R\Sp(A), T(ÇE) : z 1 (e......) . 33 -- Ài (u.--,tu) 6. c. En déduire que la fonction 7" est continue et strictement décroissante sur chaque intervalle où elle est définie. 6. d. On suppose que pour tout z' appartenant à. {1, . . . ,n}, (e...u,) # 0. Montrer que les valeurs propres de B sont simples et que si on les note ..., . . . ,,u..._1 de telle sorte que ... < <,un_1, alors ona /\1 1, on note À(n),. . ,ÀÂ"" les racines de P,, classées dans l'ordre croissant. 7. a. Soit 71 > 2 fixé. Montrer que Pn_1 et P.,, n'ont pas de racine commune puis déduire de ce qui précède qu'on a la suite d'inégahtés ,\gn> < A$""" < Ag") < A3"""< .< Aï,'ïä , < À("_ 1) < A5," 7. b. Montrer que le résultat reste vrai sans supposer que pour tout n > O, ||P,,||... = 1. TROISIEME PARTIE 8. Soit n> 1 un entier fixé. Soient oe1, . . . ,as,, des réels deux a deux distincts. Pour tout z' compris entre 1 et 71, on définit la forme linéaire cp,- : Rfl_1[X] -----+ R en posant, pour tOllt R EUR Rn--1[X]7 QÛ,;(R) : R(ÏEÙ. Montrer que (gm, . . . ,gon) est une base de l'espace dual de R,n_1[X ] Soit 10 un élément de W. On choisit une suite w--orthogonale échelonnée (Pn)n20. 9. Soit n> 1 un entier fixé. On rappelle que les racines de P,, sont toutes réelles et simples et qu'elles sont notées ÀÊ"' , . . . ,ÀÂn). Soit U un élément de R2n_1[X ] Soit R le reste de la division euclidienne de U par P.,. 9. a. Montrer que R est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à n --- 1 qui prend les mêmes valeurs que U aux points Àâ"', . . . ,ÀÂ"'. 9. b. Montrer qu'on a l'égalité /--+oo U(oe)w(oe) da: : /+oo R(oe)w(oe) dcr. 00 --00 9. c. Déduire de ce qui précède qu'il existe des constantes réelles c1, . . . ,cn telles que pour tout polynôme U appartenant à R2n_1[X], on ait / 00 U(æ)w(æ) da: = ZC,U(ÀY'). --00 9. d. Montrer que les réels cl, . . . ,en sont strictement positifs. 10. Pour tout intervalle fermé .] de R, on note W ] le sous--ensemble de W formé des fonctions qui prennent des valeurs strictement positives sur J et sont identiquement nulles hors de J . Soit J : [a,b], où a et b sont deux réels tels que a < b. Soit w un élément de W J. 10. a. Soient 3 et 15 deux réels appartenant à J tels que a < 3 < t < b. Montrer qu'il existe un polynôme V E R[X ] qui prend des valeurs strictement négatives sur J \]s,t[= [a,s]U[t,b] et tel que [j V(æ)w(oe) dcr: > 0. On pourra commencer par montrer qu'il existe une fonction continue affine par morceaux satisfaisant cette propriété. 10. b. Montrer que tout intervalle ouvert non vide contenu dans J a une intersection non vide avec l'ensemble A - U{Àî"', . . . ,ÀS,")}. n21 QUATR1ÈME PARTIE Pour tout intervalle fermé J de R, on considère le sous--ensemble W] de W défini à. la question 10. Soit J un intervalle fermé de R. On dit qu'une fonction 11) E W _] a la propriété (D J) 81 l'assertion suivante est vraie: (D ]) & f : J -----> H est une fonction continue telle que pour tout P appartenant & R[X], on ait (2) _ /, f(oe)P(æ)w(oe) dcr = 0, alors f est tdenttquement nulle sur J. 11. Soit J un intervalle fermé et borné. Soit w un élément de WJ. 11. a. Soit f une fonction continue de J dans R telle que l'égalité (2) ait lieu pour tout P appartenant à R{X]. Montrer que ]] f(æ)2w(oe) dcr: = O. 11. b. En déduire que 11) a la propriété (D J). 12. Soient ,a et a deux réels tels que ,a EUR]0,1[ et a E] -- %,%[. Soit n un entier naturel. 12. a. Montrer que l'intégrale +oo _ I,,(a,0z) = / e_æ,.e...oen da: 0 . est convergente. 12. b. Montrer que I ,,,(a a)= in+la fie K,,( ,où l'on a posé +oo _ K,, (a,)a )=e'Ya /Oa)e_ "... "j'--" dy. On s 'assurera en particulier que la définition de K,,( (,a, 04) a un sens. 12. c. Montrer que, n et ,a étant fixés, la fonction & 1----> K,, (a,oz) est continue et dérivable sur l'intervalle ] -- 5 E[. 212 12. (1. Montrer que cette fonction est constante sur ] ---- %,%[ 12. e. On suppose ,a < %. Calculer la partie imaginaire de I,,(,a,7w). 12. f. Soit J = [O, + oo[. Toutes les fonctions de WJ ont--elles la propriété (D J)?

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 X/ENS Maths PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par Juliette Leloup (ENS Ulm) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Ce problème se compose de quatre parties de longueur et de difficulté comparables. La quatrième partie est toutefois indépendante des trois premières et utilise des outils assez différents de celles-ci ; un candidat en difficulté dans le début de l'épreuve pourra avoir intérêt à y consacrer un peu de temps. · La première partie est consacrée à l'étude de suites échelonnées en degré de polynômes de R[X], qui sont orthogonaux pour un produit scalaire de poids w. · La deuxième partie vient compléter la précédente. On y prouve en particulier que les polynômes d'une telle suite (dite w-orthogonale échelonnée) sont scindés à racines simples sur R, on précise la localisation de ces racines et on montre qu'elles ne dépendent pas de la suite w-orthogonale échelonnée considérée. · La troisième partie est consacrée aux formules de quadrature de Gauss que l'on obtient à partir de ces racines. On montre notamment que si w est strictement positive sur [ a ; b ], alors l'ensemble des racines des polynômes de la suite est dense dans [ a ; b ]. · Enfin, dans la quatrième partie, on munit, sans vraiment le dire, un sous-espace de l'espace des fonctions de R+ dans R contenant les fonctions polynomiales d'un produit scalaire construit à partir d'un poids strictement positif sur R+ . On y exhibe ensuite une fonction continue de ce sous-espace orthogonale à tous les polynômes. Ce problème, plutôt long, est l'occasion d'utiliser nombre de notions issues des cours de première et deuxième années, notamment l'intégration sur un intervalle non borné de R, les intégrales à paramètre, les espaces préhilbertiens, les polynômes à coefficients réels, un peu de réduction des endomorphismes, de calcul matriciel et de dualité en dimension finie. Par ailleurs, le thème des polynômes orthogonaux est assez fréquent aux écrits des concours et cette épreuve pourra, à ce titre également, constituer un bon entraînement. Indications Première partie 1.b Montrer que P(x)Q(x)w(x) = o (x-2 ) et P(x)Q(x)w(x) = x+ o (x-2 ). x- 2.a Construire une telle famille de proche en proche à partir de la base canonique de R[X] en projetant orthogonalement à chaque étape le vecteur Xn+1 sur le sous-espace Rn [X] de l'espace euclidien (Rn+1 [X], h· | ·iw ). 2.b Raisonner par récurrence. 3.a Remarquer que (XPn |Q)w = (XQ|Pn )w et utiliser le fait que la famille (Pn )n>0 est w-orthogonale. 3.b Pour n > 1, décomposer le vecteur XPn dans la base (P0 , . . . , Pn+1 ) de Rn+1 [X] et utiliser la question précédente. 3.c Utiliser la question précédente. Deuxième partie 4.a Utiliser la décomposition de Pn en produit de polynômes irréductibles de R[X]. 4.b Raisonner par l'absurde pour montrer que Pn vérifie les propriétés demandées. 5.a Utiliser le résultat de la question 2.a. 5.b Utiliser le fait que pour tout n > 1, n = n-1 ainsi que l'identité (1) de la question 3.b. 5.c Utiliser le résultat de la question 4.b ainsi que celui de la question précédente. 6.a Pour exprimer (xIn - A)-1 , utiliser la formule faisant intervenir la comatrice de la matrice xIn - A. 6.b Utiliser la question précédente et diagonaliser la matrice A à l'aide de la base orthogonale de Rn (u1 , . . . , un ) formée de vecteurs propres de A. 6.c Utiliser la question précédente et montrer qu'il existe un indice i0 pour lequel le produit scalaire hui0 , en i est non nul. 6.d Penser au théorème des valeurs intermédiaires. 7.a Se servir de la relation (1) pour montrer que les polynômes Pn et Pn-1 n'ont pas de racine commune. Ensuite, utiliser les résultats des questions 5 et 6 avec A = Tn et B = Tn-1 . Troisième partie 8 Montrer que (1 , . . . , n ) est une famille libre de n vecteurs du dual de Rn-1 [X]. 9.a Pour l'unicité, utiliser le fait qu'un polynôme non nul de degré inférieur à n - 1 a au plus n - 1 racines. 9.c Utiliser la question précédente et décomposer R dans la base antéduale de la base (1 , . . . , n ) du dual de Rn-1 [X]. 9.d Appliquer le résultat de la question précédente aux carrés des polynômes de la base antéduale de la base (1 , . . . , n ). 10.a Construire une suite croissante de fonctions (fn )nN continues affines par morceaux sur J, constantes égales à -1 sur J r ] s ; t [ et telles que Z b fn (x)w(x) dx ---- + n a On pourra choisir fn constante égale à n sur un intervalle où w > 0. 10.b Raisonner par l'absurde et utiliser la question précédente. Quatrième partie 11.a Utiliser le théorème de Weierstrass rappelé dans le préambule de l'énoncé. 11.b Utiliser la question précédente. 12.a Montrer que l'intégrande est continue sur R+ , prolongeable par continuité en 0, et dominée par x-2 au voisinage de +. 12.b Effectuer le changement de variables y = xµ . 12.c Utiliser un théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre sur des segments de la forme [ - ; ] où ] 0 ; /2 [. 12.d Calculer la dérivée partielle de Kn par rapport à et utiliser une intégration par parties afin de montrer qu'elle est nulle. 12.e Utiliser la question précédente. 12.f Introduire pour µ ] 0 ; 1/2 [ la fonction wµ définie pour x > 0 par wµ (x) = exp(-xµ cos(µ)) et pour x < 0 par wµ (x) = 0. Montrer que wµ WJ . En considérant la fonction fµ continue sur J définie par fµ (x) = - sin(xµ sin(µ)) montrer que wµ ne possède pas la propriété (DJ ). Première partie 1.a Montrons que la fonction w: ( R - R x 7- e-x 2 est un élément de l'ensemble W. Cette fonction est indéfiniment dérivable sur R, donc elle est continue par morceaux sur R. · Elle est positive sur R ; par suite, elle vérifie (i). · Elle ne s'annule pas sur l'intervalle ouvert non vide R ; ainsi, elle vérifie (ii). · Enfin, pour tout entier n N, on a en utilisant les théorèmes de croissance comparée des fonctions de référence, 2 xn e-x ---- 0 x+ 2 et xn e-x ----- 0 x- donc w vérifie (iii). On a finalement montré que wW W contient aussi des fonctions moins régulières et qui peuvent s'annuler plus souvent, comme par exemple la fonction caractéristique de tout segment de R non-réduit à un point. 1.b Montrons que pour tout P R[X], l'application ( R - R w (P) : x 7- P(x)w(x) est intégrable sur R. Si P R[X], alors w (P) est continue par morceaux sur R. Par suite, w (P) est intégrable sur tout segment de R. Si de plus P = 0, alors w (P) est identiquement nulle et est ainsi intégrable sur R. Supposons donc P 6= 0 et soit d N le degré du polynôme P. Écrivons P = ad Xd + ad-1 Xd-1 + · · · + a1 X + a0 Puisque w vérifie (iii), il vient que pour tout i {0, . . . , d}, x2 xi w(x) = x2+i w(x) ---- - 0 + x- Ainsi, par combinaison linéaire, x2 P(x)w(x) ----- 0 + x- Par conséquent, l'application w (P) est négligeable devant l'application x 7 x-2 au voisinage de + et au voisinage de -. Par un théorème de comparaison de fonctions positives, on obtient que l'application x 7 |P(x)w(x)| est intégrable au voisinage de + et de -. Par suite, l'application w (P) est (absolument) intégrable au voisinage de + et de -. On en déduit qu'il existe M1 et M2 strictement positifs tels que w (P) est intégrable sur ] - ; -M1 ] et sur [ M2 ; + [. Puisqu'en outre w (P) est intégrable sur [ -M1 ; M2 ], il vient que w (P) est intégrable sur R.