X/ENS Maths PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants, du premier ordre, avec second membre
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, théorème de Fubini

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MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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Contrôlabilité

Notations

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie sur K = R ou (3. On note 
alors
C(R;E) (resp. CI(R;E)) l'ensemble des applications continues (resp. de classe 
Cl) sur R à

valeurs dans E .

Dans tout l'énoncé, n désigne un entier naturel non nul, et l'on munit R" de la 
structure

euclidienne canonique : pour (:c, y) EUR R" >< R'", (::: | y) : ZÎ=1 oe,-y,- désigne le produit scalaire de a: et y, et ||:cH : \/(:c | a:), la norme associée. La "notation M......(K) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et m colonnes et à coefficients dans K. Lorsque n = m, on utilise également la notation MAK}. On note GL,, (K) l'ensemble des matrices inversibles de MAK). La matrice diagonale de MAK) dont les coefficients diagonaux valent 1 est notée In. L'ensemble des valeurs propres complexes d'une matrice carrée A est noté SpA. Le polynôme det(A--Xln) est appelé polynôme caractéristique de A. On identifie une matrice A EUR M......(K) à l'application linéaire de matrice A par rapport aux bases canoniques de Km et de K". Si A EUR M......(K) a pour coefficients aij, la matrice B EUR M......(K) de coefficients b,,- = a,,-- pour 1 S_ i 5 m et 1 _<_ j _<_ n est appelée transposée de A, et notée 1'A. On identifie un vecteur colonne (resp. ligne) de lR" à une matrice de Mn,1(R) (resp. M1,AR)). En particulier, pour 3: EUR R", la notation ta: désigne le vecteur ligne de mêmes composantes que a:. Par conséquent, on a (a: l y) : 'ya: pour tout couple (a:,y) d'éléments de R". On appelle nome matricielle une norme ...... sur MAK) telle que V(A,B) EUR MAK) >< MAK), |HABHI S HlÆll IHBIH-- I. Exponentielles de matrices 1. Donner un exemple de norme matricielle sur MAC). 2. On suppose désormais que MAC) est muni d'une norme matricielle (H.... Soit A EUR MAC). Pour p EUR N, on pose SJp : î=0 %. (a) .Montrer que pour tout couple (p, m) EUR N2 tel que p > m, on a

P le
lllSp--Smllls '; '"îl" .

=m+ 1

(b) En déduire que la suite (Sp)peN converge dans Mn(C). On notera eA la limite 
de

cette suite.

(0) Vérifier que A et eA commutent, et que '(eA) : e'A.

A

3. On suppose que A est diagonalisable. Montrer que e est diagonalisable et 
déterminer

Sp eA en fonction de SpA.
4. Soit 3: E C". Pour t E R, on pose (t) : etAx.
(a) Montrer que ® est une fonction de classe C'1 sur R et vérifie l'équation 
différentielle

(1) X' = AX

avec condition initiale X (0) = m.

(b) Plus généralement, montrer que si f EUR C(R;C") alors

R -------> C"_
'Il: t v--> etA (æ+fâe"""f(r)dr)

est l'unique solution de classe C1 de
X': AX+f(t), X(O)=x.

5. Dans cette question, on suppose que A est diagonalisable. On dit qu'une 
solution (1) de
( l) est asymptotiquement stable si @ tend vers 0 en +oo.

Montrer que toutes les solutions de (1) sont asymptotiquement stables si et 
seulement si
les valeurs propres de A sont toutes à partie réelle strictement négative.

Il. Commandabilité

Dans cette partie, on se donne une paire (A, B) constituée d'une matrice carrée 
A E MAR)
et d'une matrice B E M......(R) (avec éventuellement m # n). A cette paire, on 
associe une
famille d'équations différentielles :

(C) X' = AX + Bu(t),

où la fonction (a priori inconnue) u appartient à C (R;Rm). Cette fonction u 
est appelée

contrôle.
On s'intéresse au problème de commandabz'lz'té associé à la paire (A, B). Plus 
précisément,

étant donné un temps T > 0 et un vecteur :cT E R", on cherche à déterminer s'il 
existe
un contrôle u EUR C(R;R"') tel que l'unique solution (1) E C 1(IR;IR") de (C) 
nulle en 0 vérifie
(T ) = 33T-- Si un tel contrôle existe, on dit que l'état SET est 
atteignable en temps T . On note
AT l'ensemble des états atteignables en temps T.

6. Montrer que AT est un sous--espace vectoriel de R".

7. Soit :rT EUR AT et u un contrôle amenant l'état nul à t = 0 à l'état a:T au 
temps T.
Montrer que l'on a

T
OET : / e(T"S)ABu(S) ds.
0
8. Soit C E Mn_...n(R) la matrice par blocs définie par
c : (B AB A2B A""'B).

On note ImC : {CZ/Z EUR Rmn}.

(a) Montrer que pour tout k EUR N , la matrice A'c est combinaison linéaire de 
la famille
(In,A,... 'Au--1)_
(b) En déduire que AT C ImC.
9. On rappelle que si F C R", alors F"L désigne {::: EUR R" /Vy EUR F, (a: | y) 
= 0}.
(a) Soit y EUR A%. Montrer que

T
/ tye(T--S)AB'Be(T--S)tAy ds : O.
0

(b) En déduire que y EUR (Im C')"L puis comparer AT et Im C.
(c) L'ensemble AT dépend-il de T ?
10. On dit que la paire (A, B) est commandable en temps T si tout état est 
atteignable en
temps T (i.e. AT : R").
(a) Montrer que la paire (A, B) est commandable si et seulement si le rang de 
C' est
n.

(b) En déduire qu'une paire commandable en temps T est aussi commandable en 
temps
T' pour tout T' > 0.

(c) Donner un exemple de paire non commandable.
T
11. On pose D :] e(T'S)AB'Be(T--sm ds.
0

(a) Montrer que D est une matrice carrée symétrique de taille n, et que Im D C 
AT.
(b) Montrer que KerD C A%.
(c) Montrer que, pour toute matrice symétrique M , on a (Im 1'/! )"L C Ker M .
(d) En déduire que AT : ImD.
12. Dans toute cette question, on suppose que la paire (A, B) est commandable.
(a) Justifier l'inversibilité de D.
(b) Soit 207 EUR IR". Pour 3 EUR R, on pose v(s) : 'Be !  0, la paire associée 
à l'équation
différentielle (H ' ) définie dans la question 13 est stabilisable.

15. Dans le cas A = O, peut-on trouver un réel le tel que toute solution de 
(H') avec
ut( ) : koe(t ) soit asymptotiquement stable?

16. On dit que la paire (A, B) est conjuguée 'a la paire (A B) s'il existe P 
EUR GLn (IR) telle
que A: P 1AP et B: P 1B. Montrer que la paire (A, B) est commandable si et

seulement si la paire (A, B) l'est.

17. Dans toute cette question, on suppose que m = 1 et que (A, B) est 
commandable. On
identifie B au vecteur b : (bl, - ,bn).

(a) Vérifier que la famille de vecteurs (b,Ab° -- ,A""'b) engendre R" et qu'il 
existe
(ao, - -- ,an_1) EUR R" tel que

A"b : a0b + -- - - + an_1An"lb.

(b) On pose fn : b et l'on définit (fn--b ' " ,f1) par la relation de 
récurrence fj =
Afj+1- ajfn pour 15j S n -- 1. Montrer que (f1,--- ,fn) est une base de R".

(c) En déduire que la paire (A, B) est conjuguée à la paire (Â, B) suivante :

O 1 0 0 0
A: : __ _. 0 et B: .
0 0 0 1 0
ao a1 (Ln--2 (In--1 1

(d) Soit F EUR R{X] un polynôme de degré n et de coefficient dominant (--1)". 
Montre1 qu 'il existe
K E M1 "(R) tel que F soit le polynôme caractéristique de la matrice A + BK

(EUR) En déduire l'existence de K E M...(R) tel que F soit le polynôme 
caractéristique
de la matrice A + BK.

18. Dans le cas m = 1, montrer que (A, B) commandable entraîne (A, B) 
stabilisable.