X/ENS Maths PSI 2003

Thème de l'épreuve Équations différentielles dans Mn(R)
Principaux outils utilisés théorème de Cauchy-Lipschitz, crochet de Lie, décomposition de Gram-Schmidt
Mots clefs exponentielle de matrice, orthonormalisation

Corrigé

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MATHÉMATIQUES DURÉE: 4 HEURES Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de poche a alimentatim1 autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule a la fois étant admise sur la table ou le poste de travail. et aucun n 'échange n'est autorisé entre les candidats. NOTATIONS ET DÉFINITIONS Dans tout le problème on considère des matrices carrées n >< n à coefficients réels, et on note M,, l'ensemble de ces matrices. Si il! appartient à M... m,-j désignera son coefficient sur la ligne i et la colonne j . On définit les sous--ensembles de M,, suivants : GL,, : {M e M.,; det M # 0} o., = {M EUR M.,; "MM : 11} où ]l est la matrice identité, n'ayant que des 1 sur la diagonale et nulle ailleurs, - A,, = {.M EUR Mn; 'il/[ : ----.M}, l'ensemble des matrices antisymétriques, 'J'n : {IW : (m,-,) E M,,; m,-j : 0 si i < j}, l'ensemble des matrices triangulaires inférieures, et son sous--ensemble [J'-n = {]VÎ == (m,--j) EUR Tn;Vi, mi,: > O} . Une application bilinéaire @ : E >< E ----+ F, où E et F sont deux espaces vectoriels, est dite alternée si, pour tout u E E, qfi(u,u) == 0. Dérivation : si 11. est une fonction dérivable d'une variable réelle t, on note ù(t0) sa dérivée en to. 0. PRÉLIMINAIRES On munit M..., de la norme suivante (qu'on ne demande pas de justifier) mER"--{O},Hællfil "OEil l:cll : \/OEÎ + - - - + 516%, est la norme euclidienne de II:. 1. Soit B une matrice de Mn. Montrer que la série où est convergente. 2. Justifier que exp(----B) est l'inverse de exp B . En déduire que exp B appartient à GL... 3. Montrer que l'application çb : R ----+ M... t l----> exp(tB) est une fonction de classe C1 et calculer sa dérivée. 4. Montrer que B commute avec exp(tB ) LI. ÉQUATION DE LAX L'objectif est de résoudre certaines équations différentielles ordinaires du premier ordre dL / dt : f (L) où L appartient à un sous--espace vectoriel E C Mn. 1. On définit le crochet de deux matrices A, B de Mn par [A,B] : AB ----BA . (a) Montrer que A, B +----> [A, B] est une application bilinéaire alternée. (b) Que peut--on dire de la trace de [A, B] '? (0) Montrer que le crochet de deux matrices antisymétriques est une matrice antisymétrique. (d) Montrer que si A,B EUR 7... alors AB EUR 'Il}. et [A, B] E '.Tn. 2. (a) Soit t r----> A(t) une application de classe C'1 d'un intervalle I dans GL... Justifier que t +----+ A"'(t) est également de classe C'1 et donner une expression simple de sa dérivée en fonction de la dérivée A. b Soit maintenant X une matrice fixée. Dériver l'a lication t +---+ A t "1X A t et montrer que PP %(A"XA) : [A"'XA,A"À] . 3. On considère l'équation différentielle ordinaire suivante dans Mn (dite de LAX) : L = [L, M] { L(O) : X ... où M = M (L) est une matrice dépendant continûment de L et X une matrice constante fixée. Montrer que si t +--+ L(t) est une solution de (l) sur un intervalle I, alors Tr L(t) est constante. 4. Dans toute la suite du problème L est une solution de (1). On rappelle que le spectre d'une matrice M est l'ensemble de ses valeurs propres (y compris complexes). Nous nous proposons d'étudier le spectre de L(t) quand t varie. (a) Soit I un intervalle et B : I ----> M... une fonction de classe C1 dont le déterminant ne s'annule jamais. i. On suppose ici que B (O) = Il; calculer la dérivée en zéro de det B. ii. Calculer la dérivée de det B dans le cas général et pour tout t. (b) Montrer que si pour un certain to EUR I , det L(to) # 0, alors detL est constant (non nul). Que peut-on dire de det(L(t) ---- À]l) où A est un nombre complexe fixé ? (c) Oonclure que le spectre de L ne varie pas avec t. On dit que la solution est isospectmle. 5. On suppose que X possède 77. valeurs propres réelles distinctes. (a) Montrer qu'il existe pour tout t une matrice A(t) telle que L(t) : A(t)"'XA(t). Est-elle unique? (b) En admettant que l'on peut choisir t r--> A(t) de telle sorte que A soit de classe C 1, quelle équation différentielle A satisfait-elle (on pourra faire intervenir la matrice M) ? (c) Vérifier qu'une solution du système suivant dans Mn À=AM 2 { A An et 7r2 : Mn ----> 'J'n les projections qui à un élément B associent les deux termes dans la somme directe (c'est--à--dire B : 7r1 (B) + 7T2(B)). (b) Montrer que O." et {Pn sont des sous--groupes de GL... (c) Montrer que si M EUR A,, alors exp M EUR On. De même si M EUR 'J'... expM EUR il)". (d) Soit I un intervalle de R. Montrer que si R : I _---> On (respectivement T : I ----> (Pn) est une application de classe C' 1, alors R'"1R (resp. T"1T) est à valeur dans An (resp. '.T,,). 2. (a) Montrer que tout élément B EUR GLn peut s'écrire comme le produit RT d'une matrice R EUR On par une matrice T EUR 'J'n (on pourra s'inspirer de la décomposition de CRAM--SCHMIDT). (b) Montrer que cette décomposition est unique. On notera respectivement 111 et 112 les appli-- cations de GLn dans Mn qui à B associent les éléments R EUR 0" et T EUR '.Pn issus de la décomposition de la question Il.2a. (c) Soit 1 un intervalle et B : I ----+ Mn une application de classe C'1 telle que Vt EUR I , B (t) EUR GL... Pour tout t EUR I, on pose R(t) : H1(B(t)) et T(t) : H2(B(È)). Montrer que R et T sont des applications de classe C1 à valeur dans Mn. 3. On veut résoudre l'équation dans M : L= L,7r1(L) { L(O)[=X ] (3) (a) On cherche la solution sous la forme A(t)"'XA(t). Donner une équation différentielle pour A et une condition en t = 0 qui garantissent que L : t r---+ A(t)"1XA(t) satisfait (3). (b) Montrer que A(t) : (H1(exp(tX ))) est la solution. III. RÉSEAU DE TODA On considère 77. particules de masse 1 se déplaçant sur une droite, de position q.-- et vitesse p.- pour i entre 1 et n. Par souci de concision, on notera q le n--uple (q1, . . . , qn) ; de même pour p. La i--ème particule est repoussée par les particules z' ---- 1 et i + 1 et subit une accélération ç'j.-- : p.- ----2EUR2('""q*'+1) + 262(qi--1"9i) (équation de NEWTON) ; la formule est modifiée aux deux extrémités : Q} 151 : _282(q1--q2) et (Ïn : Ï>n : 2e2(Qn--l--qn)_ On considérera le système différentiel de 271 équations à 2n fonctions inconnues issu des équations ci--dessus : Il q',;=p.-- pourlîi_<_n pl : _282(Q1--42) (*) p.-- : --282(q""'"+1) + 282(q*'-1"q") pour 1 < i < n pn : 282(qn_1--qn) avec les conditions initiales q(0) : ("j, p(0) : p. 1. Vérifier que le système (*) satisfait les conditions de Cauchy--Lipschitz pour l'existence d'une solution sur un intervalle (non précisé) ] =] -- EUR, EUR[. On notera par la suite t »----> (q(t), p(t)) une telle solution. 2. On définit l'énergie mécanique du système par : 1 n n----1 ._ . H(q,p) : î ZPÎ + z 82(Qz Qz+l) _ i=1 i=1 Vérifier que t »----> H (q(t), p(t)) est constant. On dit que la fonction H est une intégrale première du mouvement. 3. Vérifier que la fonction P : (q, p) s----> ZÎ=1 p,- est aussi une intégrale première. 4. Soit Q la fonction (q, p) t--+ ZÎ=1 q,--. Que peut--on dire de la fonction t |_) Q(q(t), p(t))--tP(q(t), p(t)) ? 5. On suppose désormais que 2, p,-- = O. Considérons les matrices n >< n suivantes pl eql--q2 () . . . . . . 0 8111 "'Q2 p2 eq2--QS O , . , 0 0 eQZ_Q3 193 L = 0 pn--1 eqn--l_qn 0 () eqn-I_Qn pn et 0 egl_q2 0 0 _te--Q2 () eqz--qs () 0 0 _eQ2--'Q3 () M = 0 () eQn--l--Qn () () _eqn--1--qn () autrement dit - si z' = ' ._ . . . . pâi_Qi+l . .:]. e'h q*+1 s1_y =z+1 EUR _ e 813 z+1 _ qa'--9j+1 ..__. 1 _ij'" eqj--Qj+l Sii=j+1 , mij-- --e sit--J+ . 0 smon 0 smon Montrer que L satisfait une équation de Lax de type (3). En déduire l'expression générale de la solution. 6. Résoudre explicitement (*) dans le cas n = 2, pl + pg = (11 +, q2 : 0, avec la condition initiale q1(0) = 93 et p1(0) == 0-

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 X/ENS Maths PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Lévy (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Le sujet traite d'équations différentielles dans Mn (R). Cependant, un bon tiers des questions porte sur des résultats assez classiques d'algèbre linéaire. Les autres questions proposent de démontrer des propriétés très simples sur les solutions de ces équations. Les questions vraiment techniques n'interviennent généralement qu'à la fin des parties. Seules ces dernières questions font intervenir des résultats précédents, de sorte que les trois parties sont dans une large mesure indépendantes. · En guise de préliminaires, on propose de redémontrer les propriétés classiques de l'exponentielle de matrices. C'est presque du cours (même si ce cours est à la limite du programme de la filière PSI). · La première partie traite d'une équation différentielle faisant intervenir le crochet de Lie de deux matrices. On commence par démontrer quelques résultats simples d'algèbre linéaire, puis on montre que les solutions de cette équation ont un spectre constant. Enfin, de la résolution d'un cas particulier au niveau des conditions initiales, on déduit une méthode générale pour résoudre l'équation. · La deuxième commence par des résultats d'algèbre linéaire (plus complexes cependant). On se sert ensuite de ces résultats pour résoudre un système de la forme donnée dans la partie précédente. · La troisième partie propose de résoudre un problème de physique où des particules se déplacent sur une droite, chacune étant repoussée par ses voisines. On montre que pour une certaine modélisation de la force de répulsion, le système différentiel composé des vitesses et des positions des n particules se ramène à un système de la forme précédente, et on en déduit la solution à ce problème. Le sujet est long. Certaines questions sont assez techniques, notamment celles où l'on demande de montrer que certaines applications définies sur GLn (R) sont de classe C 1 . Il est vivement conseillé de s'intéresser au début de chaque partie, notamment à toutes les questions d'algèbre linéaire, puisque ce sont des résultats importants qui introduisent des techniques utiles. Indications Préliminaires 1 Montrer que pour toutes matrices A et B, la norme de AB est inférieure au produit des normes de A et de B. 2 Montrer la relation exp(A + B) = exp(A) exp(B) pour toutes matrices A et B qui commutent. On pourra pour cela introduire la grandeur n i n j! n (A + B)k PA PB P n = - k! i=0 i! j=0 j! k=0 P 3 Montrer que la série de fonctions tk Bk /k! converge normalement sur tout intervalle de la forme [ -a ; a ]. 4 Passer à la limite. I. Équation de Lax I.1.d Montrer que si A et B sont triangulaires inférieures, alors pour tous indices i < j, le coefficient (AB)i,j est nul. I.2.a Utiliser la relation liant A-1 et la comatrice de A. Dériver ensuite l'égalité A-1 A = 1. I.4.a.i Écrire B(t) = 1 + B (0)t + o(t) puis chercher à écrire det B = det 1 + Ct + o(t), le but étant de trouver la valeur de C. I.4.a.ii Considérer pour tout t l'application s 7 B(t + s)B(t)-1 . I.4.b Utiliser le résultat de la question précédente et l'équation différentielle vérifiée par L. I.5.a Utiliser la question précédente pour montrer qu'il existe D une matrice diagonale, telle que pour tout t, L(t) est semblable à D. I.5.b Utiliser le résultat de la question I.2.b. I.5.c Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz. I.6 Utiliser le résultat de la question 3. II. Décomposition de matrices II.1.b Le plus ardu est de montrer que l'inverse B d'un élément A de Pn est dans Pn . Pour cela, montrer par récurrence sur les lignes que les coefficients de chaque ligne sont tous nuls au-dessus de la diagonale. II.1.c Pour toute matrice triangulaire inférieure M, exprimer les éléments de la diagonale de Mk en fonction de ceux de M. En déduire les éléments diagonaux de exp M. t II.1.d Dériver la relation R R = 1. II.2.a Raisonner en termes de bases de Rn . Utiliser alors le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur les vecteurs colonnes de B. II.2.b Il y a deux façons de procéder : soit montrer que la construction des bases dans la question précédente se fait de manière unique, soit montrer dans un premier temps que l'intersection de Pn et On est réduite à 1. II.2.c Montrer que les vecteurs construits suivant le procédé de la question II.2.b sont des fonctions de classe C 1 de la variable t. II.3.a Dériver la relation exp(tB) = 1 exp(tB) et utiliser le résultat h 2 exp(tB) -1 i de la question I.1.d pour en déduire 1 1 exp(tB) X1 exp(tB) . III. Réseau de Toda III.1 Utiliser le théorème de Cauchy-Lispschitz. III.2 Utiliser les équations différentielles pour montrer que la dérivée est nulle. En particulier, exprimer e2(qi -qi+1 ) en fonction des (pi ). III.5 Remarquer que M = 1 (L). Calculer LM et déduire des symétries de L et M une relation entre LM et ML. Pour trouver la forme de la solution, utiliser le résultat de la question II.3.b. III.6 Pour trouver la forme de 1 (exp(tX)), utiliser les formules obtenues par la construction de la base orthonormée à la question II.2.a. Préliminaires 1 Montrons d'abord la propriété suivante, concernant la norme sur Mn introduite par l'énoncé : A, B Mn N(AB) 6 N(A) N(B) Pour cela, il est plus commode d'introduire une définition équivalente de la norme de l'énoncé, mais qui soit plus souple. Soit x un élément de Rn r {0}. On pose y = x/||x||. Le vecteur y est alors de norme 1 et on a : ||Ay|| ||Ax|| = ||Ay|| = ||y|| ||x|| d'où l'on déduit que les trois formules suivantes donnent la même définition : N(A) = ||Ax|| ||Ax|| = sup = sup ||Ax|| n xRn r{0} ||x|| xR r{0} ||x|| xRn sup ||x||=1 ||x||61 Servons-nous de la première définition pour montrer la propriété voulue. Pour tout élément x de Rn , on pose y = Bx. Si y est nul, la norme de ABx est nulle et sinon, on a ||ABx|| ||Bx|| ||Ay|| ||Bx|| ||ABx|| = = ||x|| ||Bx|| ||x|| ||y|| ||x|| De cette égalité, il vient pour tout x non nul ||ABx|| ||Ay|| 6 sup ||x|| n yR r{0} ||y|| donc sup xRn r{0} soit sup xRn r{0} ||ABx|| ||Ay|| 6 sup ||x|| n yR r{0} ||y|| ||Bx|| ||x|| sup xRn r{0} ||Bx|| ||x|| N(AB) 6 N(A) N(B) On déduit de cette propriété que la norme de Bk est inférieure à N(B)k , d'où k n n N(B)k P P B 6 6 eN(B) N k! k! k=0 k=0 La série de matrices est donc absolument convergente dans l'espace vectoriel Mn complet, et par conséquent : La série Bk P est convergente. k=0 k! La norme introduite par l'énoncé peut en fait être définie pour toute application linéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie (généralement désignée sous le nom de norme triple ­ ou triple norme, ou encore norme subordonnée ­ et notée ||| · |||). Sur un espace de dimension infinie, il y a équivalence entre le fait que cette norme soit bien définie et le fait que l'application linéaire soit continue (au sens usuel, pour la distance induite par la norme de l'espace vectoriel).