Mines Maths 2 PSI 2025

A2025 ­ MATH II PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2025
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
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Mines Ponts.

Modèle SIR pour la propagation d'épidémie et séries de Dirichlet

Notations
Soit J un intervalle de R.
· L'ensemble C k (J, R) avec k  N désigne l'ensemble des fonctions f : J  R dont
les dérivées jusqu'à l'ordre k existent et telles que f (k) soit continue sur J.
· L'ensemble C  (J, R) désigne l'ensemble des fonctions f : J  R indéfiniment
dérivables sur J.
· Si f : J  R une fonction bornée, on note
f ,J = sup {|f (x)|, x  J} .

Introduction
Dans ce sujet, on étudie l'équation di!érentielle non linéaire
(E) :

y  (x) + y(x) + 1 =

1 y(x)
e ,
2

dont l'inconnue est une fonction y : R+  R. On montrera en Partie V que cette
équation peut-être utilisée pour caractériser la propagation d'une épidémie non 
létale au
sein d'une population d'individus.
On admet dans tout le sujet que le problème de Cauchy
(C) :

y  (x) + y(x) + 1 =
y(0) = 0

1 y(x)
e
,
2

admet une unique solution y  C  (R+ , R), que l'on va chercher à approcher de 
plusieurs
manières.

Partie I : Linéarisation de (E)
Pour approcher la solution y du problème de Cauchy (C), on propose dans un 
premier
temps de linéariser l'équation (E). Comme y est continue et vérifie y(0) = 0, 
on remarque
au voisinage de 0 que
exp(y(x))  1 + y(x).

1

On propose donc d'approcher y par la solution de l'équation di!érentielle 
linéaire
1
u (x) + u(x) + 1 = (1 + u(x)),
2

(E ) :

dont l'inconnue est une fonction u : R+  R. On introduit de même le problème de
Cauchy associé

1
 
u (x) + u(x) + 1 = (1 + u(x))
(C ) : 
.
2
u(0) = 0
1  Justifier qu'il existe une unique solution u au problème de Cauchy (C ), 
donner
son expression et dresser son tableau de variation.
2  Montrer qu'il existe une unique solution constante de l'équation (E ), notée 
  R,
et vérifier que la solution u trouvée en question 1 satisfait
lim u(x) = .

x+

On admet à présent dans toute la suite du sujet que les propriétés observées 
sur u,
la solution de (C ), restent vérifiées sur y, la solution de (C). En 
particulier, on admet
que :
· y est décroissante sur R+ ,
· lim y(x) = c, où c  R.
x+

3  Montrer que c est une solution constante de (E), puis que (E) admet 
exactement
deux solutions constantes notées c1 et c2 telles que c1 < 0 < c2 . En déduire la valeur de c en fonction de c1 et c2 . Partie II : Séries de Dirichlet On propose dans cette partie d'étudier des séries de fonctions particulières appelées séries de Dirichlet. Définition 1 Une série de fonctions $ fn est dite de Dirichlet si n0 x  R+ fn (x) = an en x , 2 où la suite de réels (an )nN vérifie, pour une valeur donnée M  R+ , n  N |an | M , 2n et la suite de réels (n )nN est strictement croissante et vérifie 0 = 0, lim n = +, et n+ Pour tout k  N, on définit alors la quantité bk = + $ n = n+ O (n) . kn an . n=1 4  Montrer que pour tout k  N, les réels bk sont bien définis. 5  Montrer que toute série de Dirichlet $ fn converge uniformément sur R+ . On n0 note alors f sa somme. Justifier que f est continue sur R+ . 6  Exprimer f (0) et lim f (x) en fonction de a0 et b0 . x+ 7  Soit k  N . Montrer que f  C k (R+ , R) et donner une expression de x  f (k) (x). Exprimer ensuite f (k) (0) en fonction de bk . 8  Montrer que si f (x) = 0 pour tout x  R+ alors an = 0 pour tout n  N. Partie III : Relations sur les coe!cients de la série de Dirichlet Revenons au problème de Cauchy (C), et à l'étude de sa solution y  C  (R+ , R). Supposons dorénavant que y est la somme d'une série de Dirichlet, c'est-à-dire que x  R+ y(x) = + $ an en x , n=0 où les suites (an )nN et (n )nN vérifient les propriétés mentionnées en Définition 1. On introduit également la fonction g  C  (R+ , R) définie par x  R+ g(x) = ey(x) . 9  Exprimer a0 et b0 en fonction de la constante c introduite en partie I. 3 10  En utilisant l'équation (E) satisfaite par y, calculer b1 . 11  Montrer que pour tout k  N , g (k) (0) = (1)k dk , où les coe"cients dk sont définis par d0 = 1, et k  1 dk = k $ i=1 % & k1 dki bi . i1 12  Soit k  N . En utilisant l'équation (E), satisfaite par y, exhiber une relation de récurrence liant bk+1 , bk et dk . Partie IV : Approximation de la solution y Soit N  N . Pour approcher la solution y de (C), on propose dans cette partie de tronquer toutes les sommes en s'arrêtant au terme de rang N . Les résultats de la Partie III permettent d'obtenir une approximation des quantités k définies pour tout k  N par k = N $ kn an . n=1 On introduit également la fonction tronquée yN : R+  R définie par x  R+ yN (x) = N $ an en x . n=0 En se donnant les valeurs de la suite (n )nN , on veut dans cette partie calculer les valeurs des coe"cients an pour n de 1 à N . On utilisera les notations a1 a2 N A =  .. R , . et aN B= 13  Montrer que 0 1 .. . N 1 RN . M , 2N et déduire que yN converge uniformément vers y sur R+ . Proposer ensuite un intervalle J  R+ où la majoration de yN  y,J serait plus fine. yN  y,R+ 4 14  Montrer que V A = B où V  MN (R) est une matrice que l'on explicitera. 15  Prouver que le système V A = B admet une unique solution A  RN . Partie V : Modèle de propagation d'épidémie SIR Pour modéliser la propagation d'une épidémie non létale au sein d'une population d'individus, on peut utiliser le modèle de propagation d'épidémie appelé SIR. Dans ce modèle, la population est séparée en trois groupes : · Le groupe des personnes susceptibles, n'ayant pas attrapé la maladie, est noté S et sa proportion au cours du temps est représentée par la fonction S  C  (R+ , R). · Le groupe des personnes infectées par la maladie est noté I et sa proportion au cours du temps est représentée par la fonction I  C  (R+ , R). · Le groupe des personnes ayant contracté la maladie puis récupéré est noté R. On suppose qu'un individu ne peut attraper la maladie qu'une seule fois dans sa vie. Une fois dans le groupe des individus récupérés, il y reste définitivement et ne redevient jamais susceptible. La proportion du groupe R au cours du temps est représentée par la fonction R  C  (R+ , R). On a ainsi la relation x  R+ S(x) + I(x) + R(x) = 1. Dans un modèle de propagation d'épidémie SIR, ces trois fonctions sont de plus des solutions d'un problème de Cauchy associé à un système d'équations di!érentielles non linéaires S (x) = I(x)S(x) I  (x) = I(x)S(x)  I(x) (F ) : , R (x) = I(x) S(0) = S0 , I(0) = I0 , R(0) = R0 où S0 , I0 , R0  [0, 1] sont les conditions initiales. On admet dans la suite le résultat suivant : Théorème 1 Pour (S0 , I0 , R0 ) fixés, le problème de Cauchy (F) admet une unique so. I, . R) . sont les solutions lution (S, I, R)  (C  (R+ , R))3 . De plus, si (S, I, R) et (S, / , I. , R / ), alors associées aux conditions initiales (S0 , I0 , R0 ) et (S 0 0 0 / , I. , R /) (S0 , I0 , R0 ) = (S 0 0 0 x  R+ 5 . . . (S(x), I(x), R(x)) = S(x), I(x), R(x) . 16  Supposons que S0 = 0. Donner l'expression du triplet solution (S, I, R) du système (F ). 17  Montrer que si S0 > 0 alors la fonction S du triplet solution (S, I, R) de 
(F ) ne
s'annule jamais, et en déduire que S est strictement positive.
18  Supposons que S0 > 0. Montrer que la fonction S du triplet solution (S, I, 
R) de
(F ) vérifie la relation
%
&
S
S

= S  + .
S
S

On se place à partir de maintenant dans le cas où S0 = 1/2, I0 = 1/2 et R0 = 0. 
On
introduit de plus la fonction h : R+  R définie par
x  R+

%

S(x)
h(x) = ln
S0

&

= ln (2S(x)) .

19  Montrer que h est solution du problème de Cauchy (C).

Pour approcher la fonction S, on introduit la fonction SN : R+  R définie par
x  R+

SN (x) = S0 e

yN (x)

%

&

N
$
1
= exp
an en x .
2
n=0

20  Montrer que SN converge uniformément vers S sur R+ quand N  + et que
SN  S,R+ 

M e2M
.
2N +1

Partie VI : Modèle probabiliste
Toutes les variables aléatoires que l'on sera amené à considérer
dans la suite sont
 
a
définies sur un espace probabilisé (!, A, P). On rappelle que b est nul si b > 
a.
Pour toute suite de variables aléatoires (Un )n0 , on note :
n  N,

"Un = Un+1  Un .

6

Dans tout ce qui suit, on considère une population P de M  1 individus, et l'on 
fixe
K  {0, . . . , M }. On note
E = {(s, i, r)  N3 , s + i + r = M }.
On considère maintenant un autre modèle de propagation de la même épidémie non
létale pendant plusieurs jours au sein de la population P.
Chaque matin, la population se répartit en trois classes distinctes : les 
personnes
susceptibles (jamais infectées), les personnes infectées, et les personnes 
rétablies (et
désormais immunisées). On note Sn , I~n et Rn les e!ectifs des trois classes au 
matin du
n-ième jour et l'on convient que
S0 > 0, I~0  1,
de sorte que l'on ne soit pas dans un cas trivial où l'épidémie est finie ou ne 
peut pas
commencer.
Lorsqu'au matin du n-ième jour, (Sn , I~n , Rn ) = (s, i, r)  E, l'évolution 
quotidienne
est la suivante :
-- dans la journée, chacune des s personnes saines rencontre, indépendamment des
autres, K personnes au hasard parmi les M personnes de la population totale. Dès
que l'une au moins des rencontres se fait avec une personne infectée, la 
personne
saine en question devient infectée le lendemain matin ;
-- dans le même temps, chaque personne infectée peut guérir à la fin de la 
journée
avec une probabilité  fixée dans ]0, 1[.

21  Soit (s, i, r)  E. Conditionnellement à l'événement (Sn , I~n , Rn ) = (s, 
i, r) , quelle
est la probabilité, notée p(i), pour une personne susceptible d'être infectée 
lors de
cette journée ?
22  Soit Z une variable aléatoire à valeurs dans {0, . . . , M }, montrer que :
E [Z] =

$

(s,i,r)E

%M
$

k=0

&

k P Z = k  (Sn , I~n , Rn ) = (s, i, r) P (Sn , I~n , Rn ) = (s, i, r) .

(1)

23  Justifier que pour tout n  0, les variables aléatoires Sn , I~n et Rn ainsi 
que les
variables aléatoires "Sn , "I~n et "Rn , ont une espérance finie.
24  Établir l'identité suivante :

E "Rn = E I~n .

7

25  Établir l'identité suivante : pour (s, i, r)  E, pour tout k  {0, · · · , 
s},

P

% &

k 
sk

s

~
"Sn = k  (Sn , In , Rn ) = (s, i, r) =
p(i)
1  p(i)
.

26  Montrer que

k

E "Sn = E Sn p(I~n ) ,

puis en déduire l'équation satisfaite par E "I~n .

Fin du problème

8