Mines Maths 2 PSI 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2021 - MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Noyaux de type positif

Dans ce problème, on étudie quelques propriétés des opérateurs intégraux à 
noyau de
type positif.

La partie préliminaire comporte des résultats utilisés par la suite et qui 
pourront
éventuellement être admis.

La seconde partie définit les noyaux de type positif (en abrégé NTP) et en donne
quelques exemples.

Enfin, la dernière partie étudie certaines propriétés d'un opérateur à NTP, et 
montre sur
un exemple le lien avec la résolution d'une équation différentielle du second 
ordre ayant
certaines conditions aux limites. On démontrera également, sur cet exemple, le 
théorème

de Mercer (1909).

Notations

-- L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et p 
colonnes est
noté My ,p(R). On notera en particulier M,(R) = M, (R).

-- La matrice transposée d'une matrice À EUR M,,,(R) est notée A'.

-- On note S,(R)) le sous-espace vectoriel de M,(R) formé des matrices 
symétriques
réelles.

-- On dit qu'une matrice S'E S,(R) est positive si :
VX E MiilR), X' SX >0,
et on note S'(R) l'ensemble des matrices symétriques positives.

-- Les intervalles de R qui interviennent dans le problème seront toujours 
supposés
d'intérieur non vide.

Quelques résultats préliminaires

Soit A -- (@i j)1i jen (us Sn (R)).

T1
1 > Vérifier que pour tout vecteur X = | : | EUR M, 1(R) on a :

ln

X'AX -- > > Qi, Lit j :

i=1 j=1

2 > Montrer que si À EUR SYT(R), les valeurs propres de À sont des réels 
positifs ou nuls.
Soit f une application continue sur [a ;b] x |c;d], à valeurs dans R.

Pour (x,t) EUR {a;b] x [c;d] on pose : w(x,t) -- [ f(u,t) du.

a

3 > Montrer que pour tout x EUR |[a;b|, l'application t + w(x,t) est continue 
sur |c;d|.

d
On pose alors, pour tout x EUR [a ;b] : (x) -- | o(x,t) dt.
4 > Montrer que Y est de classe EUR! sur [a ;b] ; préciser w'.

5 > En déduire :

VxEe [a;b|, [ [ru ar du = f° [flan au) dé.

bf{ pd d {pb
On a donc, en particulier : | ( f(u,t) à) du -- | (| f(u,t) du) dt (c'est le

théorème de Fubini).
Cette quantité sera notée simplement :

[ [rte du dt.

Soit f une application continue sur {a :;b] x [c;d], à valeurs dans R. On 
suppose qu'il
existe M EUR R, tel que, pour tous (x,y), (x',y") EUR [a;b] x [c; d] :

feu) -- fx',y)| < M{lx -x|+ly-y|) (condition L). n désignant un entier naturel non nul, on pose, pour tout entier k EUR [0 ; nl, b-- a na ux = a+k et pour tout entier £ EUR [0;n|, d -- tr =c+l ° Enfin, on définit la somme de Riemann : SG) = PDO ST Fou te) 2 n k=0 £=0 b pd 6 > Démontrer que: lim S,(f) = [] f(u,t) du dt.

n-- +00

Pour la suite, on admettra que ce dernier résultat reste valable pour toute 
application
f continue sur {a ;b] x [c:d|].
Noyaux de type positif

Soit (2 un ensemble quelconque. Une application ÆK: (Q x (0 -- R s'appelle un 
noyau
de type positif (en abrégé NTP) si :

(i) K est symétrique, c'est-à-dire : V(x,y) EUR À, K(x,y) = K{(y,x):

(ii) pour tout n EUR N*, pour tout (x1,...,æ,) EUR (7, la matrice (appelée 
matrice de
covariance) :

Covx(t1,...,%n) = (K (xs, r;))

1<1,J (x |y)x

Soit ® un ensemble. On dit qu'une application K° sur Q x Q vérifie la propriété 
(R) s'il
existe un espace préhilbertien À et une application &: ( -- H tels que :

V(x,y) EUR ©, K(x,y) = (o(x) [o(y))x

8 > Montrer que si X vérifie la propriété (R), alors À est un NTP.

9 > Montrer que si Q -- {x1,...,x,} est un ensemble fini, et si X est un NTP 
sur Q,
alors K° vérifie la propriété (R).

Indication : on pourra diagonaliser la matrice Covx(æ1,...,2»).

On considère ici l'espace vectoriel H des fonctions f continues et de classe #1 
par
morceaux sur l'intervalle [0 ; 1], telles que f(0) -- 0 (on ne demande pas de 
vérifier qu'il
s'agit bien d'un espace vectoriel). Pour (f,g) EUR H°? on pose :

1
(flan = | FDg (0 àt:
10 > Montrer que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire sur H.

Soit le noyau
K:[0;:1]x{0;:1 -- R
(x, y) ----> min(x,y).

11 > Montrer que K vérifie la propriété (R).
Indication : pour tout x EUR [0;1], on pourra poser w(x) -- K,, où K,; désigne
l'application partielle y K{x,y).

Opérateurs à noyau

Soit { = |a;b] un segment de R. On notera E l'espace vectoriel #(1,R), que l'on
munit du produit scalaire habituel : (f|g) -- [O0 dt, et l'on note || |, la 
norme
I

associée.
Soit À une application symétrique et continue de 1 x T dans R. On lui associe 
alors
l'application ux définie sur Æ par :

VIE BP VreL wie) = f KO dt = (Ka)

où K, désigne l'application partielle {+ K{(x,t).

12 > Montrer que si X" est une autre application symétrique et continue de 7 x 
] dans
R telle que ux = uk. alors K = K".

13 > Montrer que ux est un endomorphisme de Æ, puis que cet endomorphisme est 
une
application continue de l'espace vectoriel normé (E | LL) dans lui-même.

14 > Montrer que ux est un endomorphisme symétrique de l'espace préhilbertien Æ.

En déduire que si À et 4 sont deux valeurs propres distinctes de ux et si f\, fu
en sont deux vecteurs propres associés, alors f\ et f, sont orthogonaux.

On suppose désormais que X° est un NTP.

15 > Montrer que, pour toute f EUR E, on a (ux(f)|f) Z 0. Que peut-on en 
déduire pour
les valeurs propres de ux ?

Indication : utiliser la question 6 ©.

On prend maintenant, 1 -- [0;1], et on note Æ l'espace vectoriel E = 
EUR([0;1|,R) que
l'on munit du produit scalaire : (f |g) = | f(t)g(t) dt, et l'on note || ||, la 
norme associée.
I

Soit f EUR E donnée. On cherche ici à déterminer les applications g de classe 
EUR? sur [0 ; 1]
qui satisfont au problème aux limites :
16 > Montrer que le problème (P) possède une solution unique g, donnée par

g = ux(})
où À est le NTP défini par :

K:IXI--R
(x,t) ---- min(x,t).

17 > Déterminer les valeurs propres de ux (on les exprimera sous forme d'une 
suite
strictement décroissante (Àz)gen ):

Montrer que pour tout k EUR N le sous-espace propre associé à la valeur propre 
ÀE£
est de dimension 1, et déterminer un vecteur propre unitaire ex qui l'engendre.

Pour tout entier n EUR N, on note F, -- Vect(eo,...,eh) et ph la projection 
orthogonale
sur F,.

18 > En admettant la relation :

vérifier l'égalité :

[x dr dt = Y 2
k=--0

19 > Montrer que :
nn Ke = (KE dr = 0

n-- +oo

20 > En déduire, pour toute f EUR E :

2

lim
n-- +00

LS Ar te| fes
k=0

21 > Montrer que la série de fonctions

+00
D eler|f) ex
k=0

est uniformément convergente sur Î, puis que

+00
= D A(ex]f) er
k=0
22 > Démontrer que :

V(x,y) EUR l°,K -ÿ Ager (x (1)

Indication : poser K'(x, y) -ÿ Are (x ) et montrer que Ux = UK.

23 > En déduire la formule de la trace :

[KG dM=Y XX (2)

k=0

puis la valeur de
+00 1

2

Les relations (1) et (2) se généralisent à tous les NTP; il s'agit du théorème 
de Mercer
(1909).

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Bosch (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école d'ingénieurs) et Gilbert Monna
(professeur honoraire en CPGE).

Ce problème porte sur l'étude des noyaux de type positif. Ces noyaux sont des
applications K :  ×   R ( désignant un ensemble quelconque) pour lesquelles
pour tout n  N , pour tout (x1 , x2 , . . . , xn )  n , la matrice (K(xi , xj 
))16i,j6n
est symétrique à valeurs propres positives. Cela généralise donc la notion de 
matrice
symétrique réelle à spectre positif (correspondant au cas où  est fini) en 
dimension
infinie.
· La première partie est consacrée à la démonstration de résultats préliminaires
qui serviront tout au long du problème : on démontre le théorème de Fubini,
qui permet de manipuler des intégrales doubles, et on généralise le théorème
des sommes de Riemann à des fonctions de plusieurs variables.
· La notion de noyau de type positif (en abrégé NTP) est introduite dans la
deuxième partie. On y démontre une autre représentation de ces NTP dans
deux cas particuliers : K est un NTP si, et seulement si, il peut s'écrire sous 
la
forme K(x, y) = h(x) | (y)iH où H est un espace préhilbertien et  :   H
est une application.
· Dans la dernière partie, on commence par étudier certaines propriétés 
générales
d'un opérateur (c'est-à-dire d'une application linéaire) à noyau de type 
positif :
on montre que cet opérateur est continu, symétrique, et admet une famille
orthonormale de vecteurs propres, tous associés à des valeurs propres positives
(généralisant en quelque sorte le théorème spectral). On étudie ensuite sur un
exemple la décomposition spectrale d'un opérateur à noyau de type positif, et
on démontre sur ce même exemple un résultat appelé formule de la trace.
Dans ce sujet, on aborde les notions suivantes : espaces vectoriels normés en 
dimension finie et infinie, espaces préhilbertiens et euclidiens, intégrales à 
paramètre,
suites et séries, équations différentielles.
Le sujet est assez calculatoire. On y retrouve des questions classiques où l'on
applique les principaux théorèmes du programme : les théorèmes de continuité et 
de
dérivation des intégrales à paramètre, le théorème spectral, etc., mais 
également des
questions plus difficiles qui sont à la limite du programme de PSI.

Indications
Quelques résultats préliminaires
Z x
5 Avec la question 4, reconnaître l'intégrale
 0 (u) du et appliquer le théorème
a

fondamental de l'analyse.
6 Utiliser le fait que Sn (f ) =

n-1
P n-1
P
k=0 `=0

Z

uk+1 Z

t`+1

f (uk , t` ) du dt.
uk

t`

Noyaux de type positif
9 Considérer l'endomorphisme f canoniquement associé à la matrice symétrique
CovK (x1 , . . . , xn ) puis diagonaliser f dans une base orthonormale de 
vecteurs
propres pour introduire un endomorphisme symétrique g tel que g 2 = f .
12 Montrer que si uK = uK0 , alors pour tout x  [ a ; b ], Kx - K0x est 
orthogonal à
tout élément de E.
Opérateurs à noyau
13 Ne pas oublier de justifier que x 7 hKx | f i est bien élément de E puis 
utiliser
l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour démontrer la continuité de uK .
14 Utiliser le résultat de la question 5 pour montrer que uK est symétrique.
15 Utiliser la question 6 et les notations qui la précède puis exprimer à 
l'aide de la
question 1 la somme
n-1
P n-1
P
K(uk , t` )f (uk )f (t` )
k=0 `=0

16 Montrer l'unicité et l'existence séparément. Pour dériver uK (f ), appliquer 
la reZ 1
lation de Chasles à l'intégrale
min (x, t)f (t) dt.
0

17 Raisonner par analyse et synthèse : supposer que f est un vecteur propre de 
uK
de valeur propre associée   R+ et trouver une équation différentielle linéaire
dont f est solution.
Z 1Z 1
18 Calculer l'intégrale
K(x, t)2 dx dt.
0

0
2

19 Développer kKx - pn (Kx )k2 et écrire pn (Kx ) =

n
P

hKx | ek iek .

k=0

20 Montrer que uK (f )(x) -

n
P

k hek | f iek (x) = hKx - pn (Kx ) | f i et utiliser l'in-

k=0

égalité de Cauchy-Schwarz.
P
21 Montrer que la série de fonctions
k hek | f iek converge normalement sur [ 0 ; 1 ]
puis utiliser le fait que k k2 6 k k .
22 Ne pas oublier de montrer que K0 est continu sur [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ]. 
Démontrer que
pour tout x  [ 0 ; 1 ], la suite
 n

P
k ek (x)ek
k=0

nN

converge pour la norme k k2 et utiliser à nouveau le fait que k k2 6 k k .

Publié dans les Annales des Concours

Quelques résultats préliminaires

x1

1 Soit X =  ...   Mn,1 (R) ; notons X> A = y1 · · · yn . Pour tout j  [[ 1 ; n 
]],
xn

on a

yj =
donc

X> AX =

n
P

xi ai,j

i=1
n
P

yj xj =

j=1

n P
n
P

xi ai,j xj

j=1 i=1

En permutant ces deux sommes finies, on obtient alors
n P
n
P

X> AX =

ai,j xi xj

i=1 j=1

On identifie ici une matrice de type (1, 1) à un scalaire. La matrice X> AX est
en effet de type (1, 1) car X> est de type (1, n), A est de type (n, n) et X est
de type (n, 1).
2 Soit A  Sn+ (R). La matrice A étant symétrique réelle, d'après le théorème
spectral, le spectre de A est contenu dans R (et A est diagonalisable dans une 
base
orthonormale de vecteurs propres). Soit   R une valeur propre de A. Montrons que
 est positif (ou nul). Considérons un vecteur propre de A
 
x1
 .. 
X =  .   Mn,1 (R)
xn
associé à la valeur propre . Puisque A est une matrice symétrique (réelle) 
positive,
on a
n
P
X> AX = X> X = X> X =  xk 2 > 0
k=1
n
P

Comme X est un vecteur propre, X est non nul, donc la somme

xk 2 est strictement

k=1

positive et on en déduit  > 0.
Les valeurs propres d'une matrice de Sn+ (R) sont des réels positifs ou nuls.
3 Soit x  [ a ; b ]. La fonction f est continue sur [ a ; b ] × [ c ; d ] qui 
est une partie
fermée bornée de R2 ; donc d'après le théorème des bornes, la fonction f est 
bornée
sur [ a ; b ] × [ c ; d ]. Soit M  R+ tel que
(u, t)  [ a ; b ] × [ c ; d ]

|f (u, t)| 6 M

On applique maintenant le théorème de continuité des intégrales à paramètre :
· Pour tout t  [ c ; d ], u 7 f (u, t) est continue par morceaux sur [ a ; x ].
· Pour tout u  [ a ; x ], t 7 f (u, t) est continue sur [ c ; d ].
· La fonction h : [ a ; x ]  R+ constante égale à M est positive, continue (donc
continue par morceaux), intégrable sur [ a ; x ] et l'on a |f (u, t)| 6 h(u) 
pour
tout (u, t)  [ a ; x ] × [ c ; d ].

Publié dans les Annales des Concours

Z
La fonction t 7

x

f (u, t) du est donc continue sur [ c ; d ].
a

Pour tout x  [ a ; b ], la fonction t 7 (x, t) est continue sur [ c ; d ].
4 Appliquons cette fois le théorème de dérivation des intégrales à paramètre à 
la
Z d
fonction x 7
(x, t) dt.
c

· Pour tout x  [ a ; b ], la fonction t 7 (x, t) est continue par morceaux sur
[ c ; d ] car continue d'après la question précédente.
· Pour tout t  [ c ; d ], la fonction x 7 (x, t) est de classe C 1 sur [ a ; b 
] car c'est
la primitive s'annulant en a de la fonction continue x 7 f (x, t).

(x, t) = f (x, t). La fonction f
· Soit x  [ a ; b ]. Pour tout t  [ c ; d ], on a
x

étant continue sur [ a ; b ] × [ c ; d ], en particulier t 7
(x, t) est continue par
x
morceaux sur [ c ; d ].
· Pour tout (x, t)  [ a ; b ] × [ c ; d ], on a

(x, t) = |f (x, t)| 6 M
x
où M est le majorant de |f | obtenu dans la question précédente. La fonction
constante t 7 M est de plus intégrable sur [ c ; d ].
Z
La fonction  : x 7

d

(x, t) dt est donc de classe C 1 sur [ a ; b ] et

c

Z

0

x  [ a ; b ]

d

 (x) =

f (x, t) dt
c

5 Soit x  [ a ; b ]. D'une part,
Z

d

x

Z

(x) =
c

f (u, t) du dt

a

D'autre part, en utilisant le résultat de la question 4 et le théorème 
fondamental de
l'analyse, on obtient
!
Z x Z d
Z x
f (u, t) dt du =
 0 (u) du = (x) - (a)
a

c

a
d

Z
(a) =

Or

(a, t) dt
c
a

Z
et

t  [ c ; d ]

(a, t) =

f (u, t) du = 0
a

d'où (a) = 0. Ainsi,
Z

x

Z

x  [ a ; b ]

!

d

f (u, t) dt
a

c

Z

d

Z

du =
c

x

f (u, t) du dt

a