Mines Maths 2 PSI 2020

Thème de l'épreuve Caractérisation et exponentielle des matrices normales
Principaux outils utilisés matrices, normes, algèbre euclidienne, diagonalisation, séries numériques
Mots clefs matrices normales, matrices orthogonalement semblables, interpolation de Lagrange, théorème spectral, exponentielle de matrices

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2020 --- MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Caractérisation et exponentielle des matrices normales

Notations

-- n désigne un entier naturel non nul.

-- M, désigne l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille (n,n), 
dont la matrice unité est
notée J,.

-- E,, désigne l'espace vectoriel des matrices réelles de taille (n, 1) 
(matrices colonnes). On le munit
de son produit scalaire usuel et de la norme (euclidienne) associée définis par 
:

(X]Y) ='!XY et |X| = VIXX
-- Pour À EUR M, on note 'A, la transposée de À.

-- S, (respectivement 4,) désigne le sous-espace vectoriel de M,, constitué des 
matrices symétriques
(respectivement antisymétriques) de M.

-- On ={AE My, AA =--1I,} est le groupe orthogonal d'ordre n.
-- SO, = {AE O,, det(A) = 1} est le groupe spécial orthogonal d'ordre n.

-- Pour tout 0 EUR R, on note R(4) = Re nr) et S(4) -- Re n° 1

On rappelle que SO2 = {R(0), 0 E R} et Où = SOU {S(8), 0 ER}.

Définition 1 Une matrice À de M,, est dite normale lorsqu'elle commute avec sa 
transposée, c'est-a-

dire lorsque A'A = 'AA.

Définition 2 À EUR M, est dite orthogonalement semblable à B EUR M,,, s'il 
existe Q EUR ©, tel que
B ='QAQ. (On pourra noter en abrégé : À est ORTS à B)

Objectifs

-- Dans un premier temps, ce problème vise à établir que, pour une matrice À 
EUR M,,, les quatre
conditions suivantes sont équivalentes :

(C1) Il existe un polynôme P à coefficients réels tel que '4 = P(A).
(C2) La matrice À est normale.
(C3) Pour tout X EUR E,, ['AX| = [AX ||.

(Ca) La matrice À est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par 
blocs, dont
chaque bloc diagonal est :

-- soit de taille (1,1),
-- soit de taille (2,2) du type rR(8), où (r,0) EUR RY X R.

-- Dans un second temps, on définit et caractérise l'exponentielle d'une telle 
matrice.

On pourra utiliser, sans démonstration, les deux résultats suivants :

Théorème 1 Tout endomorphisme de R" admet au moins une droite ou un plan stable.

Théorème 2 Si À EUR M, et B EUR M, sont telles qu'il existe Q EUR O, vérifiant 
B = QAQ, alors, pour
tout polynôme P à coefficients réels, on a P(B) = 'QP(A)Q.

|. Question préliminaire

1. Montrer que la relation ORTS est une relation d'équivalence sur M.

Il. Exemples

2. Montrer que les éléments de S, vérifient les conditions (C1), (C2), (C3) et 
(Ca), et que ceux de
À, vérifient les conditions (C1), (C2) et (C3).

3. Montrer que les éléments de ©, vérifient les conditions (C2) et (C3).

4. Dans cette question seulement, on suppose n -- 2.
Montrer que les matrices rT', où r > 0 et TE Où, vérifient les conditions (C1) 
et (Ca).

11. Deux premières implications

Soit AE M,.

5. Montrer que si À vérifie la condition (C1), alors À vérifie la condition 
(C2).

6. Montrer que si À vérifie la condition (C2), alors À vérifie la condition 
(C3).

IV. La condition (C3) implique la condition (C4)

Dans cette question seulement, on suppose n = 2 et soit À -- F ' E Ma vérifiant 
la condition (C3).
7. Montrer que c = b ou bien (b Æ 0 et c = --b et a = d).
1 1
On pourra utiliser, par exemple, les vecteurs 6 et l de FE).

En déduire que À vérifie la condition (C4).
Dans toute la suite de cette partie, on se donne À EUR M, vérifiant la 
condition (C3).

8. Montrer que, pour tout réel À, la matrice À -- À, vérifie (C3).
9. En déduire que À et 'A ont les mêmes sous-espaces propres et qu'ils sont 
deux à deux orthogonaux.

10. En utilisant la question précédente, déterminer une condition nécessaire et 
suffisante sur la matrice
À pour qu'elle soit diagonalisable.

A
0  A2|°

11. Pour n > 3, montrer que À est orthogonalement semblable à une matrice du 
type | où

A, EUR M, et A EUR M, vérifient (C3), avec p EUR {1,2}.
On pourra commencer par montrer que toute matrice orthogonalement semblable à A 
vérifie (C3).

12. Montrer que si À vérifie la condition (C3), alors À vérifie la condition 
(C4).

V. La condition (C;) implique la condition (C:)
Soit Z = {z1,...,2n}, une famille de n complexes deux à deux distincts.

13. Établir l'existence d'un unique polynôme P de C,_1[X] tel que :
VkE {1,...,n}, P(2x) = %

On suppose de plus que, pour tout k EUR {1,...,n}, zx EUR Z.
Montrer alors que le polynôme P est réel.

Soient (r,9) EUR R° x R et P EUR R[X] tel que P(re?) = re".

14. Montrer que P(rR(4)) = '(rR()).
Lorsque sin 0 Æ 0, on pourra utiliser la division euclidienne de P par le 
polynôme caractéristique X

de la matrice rR(0) de M.

15. Montrer que si À EUR M, vérifie la condition (C4), alors À vérifie la 
condition (C1).

VI. Exponentielle d'une matrice normale

k k
kO kO
-- F7 -- col Let NS sr ) convergent et calculer

kEN kEN

16. Pour tout (r,0) EUR R* XR, montrer que les séries ÿ°

leur somme.

L'espace vectoriel M,, est désormais muni de la norme ||.| définie par :

VA = (A; ;higi jen EUR Mn: Al = max |A,

1 0

-- soit du type aR(B) EUR M, avec a > 0 et BER.

On note S;°* l'ensemble des matrices symétriques de M, à valeurs propres 
strictement positives, et FÆ,
l'ensemble des matrices B de M,, vérifiant les deux conditions :

-- Jes valeurs propres négatives de B sont de multiplicité paire

-- ilexiste SE ST et T EUR SO, telles que B = ST =TS.

21. Démontrer que Exp(£h) = Fh.

22. La matrice B = (B;;) EUR M, définie par :

p..-hll sil 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier
(ENS Ulm).

Tout au long de ce problème, une matrice réelle A est dite normale si elle 
commute
t
t
avec sa transposée, c'est-à-dire si A A = A A. L'objectif du sujet est la 
caractérisation de ces matrices et l'étude de leur exponentielle.
· On prouve tout d'abord dans une partie préliminaire que la relation notée
ORTS est une relation d'équivalence : par définition, une matrice (réelle) A
est dite orthogonalement semblable (ORTS) à une autre matrice réelle B s'il
t
existe une matrice Q orthogonale vérifiant B = Q AQ.
· Dans les parties II à V, on établit l'équivalence entre les quatre conditions
suivantes, pour une matrice réelle A :
(C1 ) Il existe un polynôme P à coefficients réels tel que t A = P(A).
(C2 ) La matrice A est normale.
(C3 ) Pour tout vecteur X réel, k t A Xk = kAXk.
(C4 ) La matrice A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale
par blocs, dont chaque
bloc diagonal

 est soit de taille 1, soit de taille 2
cos() - sin()
et de la forme r
avec (r, )  R+ × R.
sin()
cos()
La partie II permet d'abord de se familiariser avec les quatre conditions citées
ci-dessus sur des exemples simples. La partie III établit ensuite les 
implications
(C1 )  (C2 )  (C3 ) et on prouve dans la partie IV que (C3 )  (C4 ). Enfin,
la partie V conclut cette étude en montrant que (C4 )  (C1 ).
· La dernière partie du sujet définit ensuite l'exponentielle d'une matrice A 
par
l'expression
p 1
P
Ak
p+ k=0 k!

Exp(A) = lim

dont l'existence est prouvée dans la première question. La suite de la partie
est consacrée à démontrer que l'image des matrices normales par l'application
exponentielle est l'ensemble des matrices réelles B vérifiant deux conditions :
1. les valeurs propres négatives de B sont de multiplicité paire ;
2. il existe une matrice symétrique S à valeurs propres strictement positives
et une matrice orthogonale T de déterminant 1 telles que B = ST = TS.
Les parties de ce problème sont de difficultés inégales : si les deux premières 
sont
très faciles, les parties IV et VI proposent des questions plus longues et 
techniques qui,
sans être très difficiles, demandent d'avoir bien assimilé les résultats et 
notations des
questions précédentes. Ce sujet fait appel à quelques notions d'algèbre 
euclidienne, de
diagonalisation, de topologie et de séries numériques, mais il donne surtout 
l'occasion
de voir si l'on est à l'aise avec les manipulations de matrices, en particulier 
quand
elles sont écrites par blocs.

Indications
Partie I
1 Montrer que la relation est réflexive, transitive et symétrique.
Partie II
2 Pour (C4 ), utiliser le théorème spectral.
3 Écrire les normes intervenant dans (C3 ) en termes de produits scalaires.
4 Pour (C1 ), calculer le polynôme caractéristique de rT et appliquer le 
théorème
de Cayley-Hamilton.
Partie III
6 Les calculs sont similaires à ceux de la question 3.
Partie IV
7 Exploiter l'égalité des normes avec les vecteurs suggérés par l'énoncé.
8 Traduire les égalités de normes en égalités de produits scalaires.
9 Considérer une valeur propre pour A et un vecteur propre associé, et montrer
t
à l'aide de la question précédente qu'ils sont aussi propres pour A. Calculer
ensuite, pour X1 et X2 deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres 1
t
et 2 distinctes, la valeur X1 AX2 de deux façons différentes, faisant intervenir
le produit scalaire entre X1 et X2 .
10 Montrer que la matrice est diagonalisable si, et seulement si, elle est 
symétrique.
11 Pour la première partie, exprimer les normes associées en termes de produits 
scalaires. Considérer ensuite l'endormorphisme canoniquement associé à A et 
utiliser
le théorème 1 admis par l'énoncé pour obtenir les blocs de gauche. Appliquer 
ensuite la condition (C3 ) à des vecteurs bien choisis pour prouver que le bloc 
en
haut à droite est nul, puis que les deux blocs diagonaux vérifient également la
condition (C3 ).
12 Raisonner par récurrence.
Partie V
13 S'inspirer du théorème d'interpolation de Lagrange. Pour montrer que le 
polynôme P est réel, montrer que P est également solution du problème et 
conclure
par unicité.
14 Après avoir traité le cas sin() = 0, supposer que sin() 6= 0. Calculer le 
polynôme
caractéristique  de rR() et effectuer la division euclidienne de P par . 
Déterminer son reste à l'aide de la relation P(re i ) = re -i puis exploiter le 
théorème
de Cayley-Hamilton.
15 Écrire la condition (C4 ), puis appliquer le résultat de la question 13 à 
l'ensemble
des éléments diagonaux de la matrice obtenue et de leurs conjugués. Utiliser 
alors
l'égalité de la question 14 en effectuant les calculs par blocs.
Partie VI
16 Majorer brutalement les termes généraux des séries et calculer la somme de la
première série et de i fois la deuxième pour retomber sur une série connue.

17 Expliciter les coefficients du produit AB.
18 La suite converge si, et seulement si, toutes ses composantes (dans la base 
canonique de Mn ) convergent. Majorer alors la norme du terme général des séries
obtenues à l'aide de la question précédente. Utiliser enfin le théorème 2 admis
par l'énoncé.
t

t

19 Montrer que l'application A 7 A A - A A est continue en considérant ses 
composantes, puis exploiter le fait que En est l'image réciproque d'un fermé 
par cette
application. Commencer par montrer que si A  En , alors Sp (A)  En pour
tout p  N.
20 Montrer tout d'abord par récurrence que (R())k = R(k) pour tout   R
et k  N. Calculer ensuite Sp (R()) pour tout p  N et appliquer le résultat de la
question 18. Pour le sens direct, écrire le fait que A vérifie la condition (C4 
) et
effectuer les calculs par blocs. Pour le sens réciproque, s'inspirer des 
calculs tout
juste faits pour poser les bonnes valeurs.
21 Pour l'inclusion directe, utiliser la question précédente en séparant les 
éléments
réels de la diagonale dans S et les blocs de taille 2 dans T. Pour l'inclusion
réciproque, considérer les endormorphismes canoniquement associés à S et T et
les diagonaliser simultanément dans une base orthogonale. Si des valeurs propres
négatives apparaissent dans la diagonale, les regrouper deux par deux sous la
forme d'une matrice multiple de R() afin d'aboutir à la diagonale sous la forme
demandée par l'énoncé.
22 Expliciter la matrice donnée dans l'énoncé et calculer son déterminant et ses
valeurs propres, en séparant les cas n pair et impair.

I. Question préliminaire
1 Montrons que la relation ORTS est réflexive, transitive et symétrique. Pour 
cela,
fixons (A, B, C)  (Mn )3 .
t

· On a In  On et A = In AIn , donc A est ORTS à A. La relation est réflexive.
· Si A est ORTS à B et B est ORTS à C, alors il existe P et Q dans On telles que
t

B = P AP
t

Ainsi,

t

et

C = Q BQ

t

t

C = Q P APQ = (PQ) APQ

Or, PQ  On car On est un sous-groupe de GLn (R). Par suite, A est ORTS
à C, puis la relation est transitive.
· Si A est ORTS à B, alors il existe P  On telle que
t

B = P AP
Il vient

t

t

A = ( P)-1 BP-1 = (P-1 ) BP-1

puisque passage à l'inverse et transposition commutent. Comme P-1  On
car On est un sous-groupe de GLn (R), B est ORTS à A, puis la relation est
symétrique.
La relation ORTS est une relation d'équivalence sur Mn .

II. Exemples
2 Soit A  Sn . Vérifions successivement les quatre conditions :
t

· (C1 ) : comme A est symétrique, A = A et le polynôme P(X) = X convient.
t

t

· (C2 ) : la symétrie de A assure que A A = A2 = A A, donc A est normale.
t

· (C3 ) : pour tout X  En , A X = AX. Ainsi, leurs normes sont égales.
· (C4 ) : d'après le théorème spectral, l'endormorphisme canoniquement associé
à la matrice A est diagonalisable en base orthogonale, donc la condition est
vérifiée avec des blocs de taille 1.
Les éléments de Sn vérifient les conditions (C1 ), (C2 ), (C3 ) et (C4 ).
De même, pour A  An ,
t

· (C1 ) : comme A est antisymétrique, A = -A et le polynôme P(X) = -X
convient.
t

t

· (C2 ) : l'antisymétrie de A assure que A A = -A2 = A A, donc A est normale.
t

· (C3 ) : pour tout X  En , A X = -AX. Ainsi, leurs normes sont égales.
Les éléments de An vérifient les conditions (C1 ), (C2 ) et (C3 ).
On va démontrer dans la suite du problème que les quatre conditions sont
équivalentes, ce qui vérifiera indirectement que les matrices de An remplissent
aussi la condition (C4 ).