Thème de l'épreuve | Caractérisation et exponentielle des matrices normales |
Principaux outils utilisés | matrices, normes, algèbre euclidienne, diagonalisation, séries numériques |
Mots clefs | matrices normales, matrices orthogonalement semblables, interpolation de Lagrange, théorème spectral, exponentielle de matrices |
A2020 --- MATH II PSI Cm Concours commun Mines-Ponts ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH. MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH. Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2020 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énontcé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts. Caractérisation et exponentielle des matrices normales Notations -- n désigne un entier naturel non nul. -- M, désigne l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille (n,n), dont la matrice unité est notée J,. -- E,, désigne l'espace vectoriel des matrices réelles de taille (n, 1) (matrices colonnes). On le munit de son produit scalaire usuel et de la norme (euclidienne) associée définis par : (X]Y) ='!XY et |X| = VIXX -- Pour À EUR M, on note 'A, la transposée de À. -- S, (respectivement 4,) désigne le sous-espace vectoriel de M,, constitué des matrices symétriques (respectivement antisymétriques) de M. -- On ={AE My, AA =--1I,} est le groupe orthogonal d'ordre n. -- SO, = {AE O,, det(A) = 1} est le groupe spécial orthogonal d'ordre n. -- Pour tout 0 EUR R, on note R(4) = Re nr) et S(4) -- Re n° 1 On rappelle que SO2 = {R(0), 0 E R} et Où = SOU {S(8), 0 ER}. Définition 1 Une matrice À de M,, est dite normale lorsqu'elle commute avec sa transposée, c'est-a- dire lorsque A'A = 'AA. Définition 2 À EUR M, est dite orthogonalement semblable à B EUR M,,, s'il existe Q EUR ©, tel que B ='QAQ. (On pourra noter en abrégé : À est ORTS à B) Objectifs -- Dans un premier temps, ce problème vise à établir que, pour une matrice À EUR M,,, les quatre conditions suivantes sont équivalentes : (C1) Il existe un polynôme P à coefficients réels tel que '4 = P(A). (C2) La matrice À est normale. (C3) Pour tout X EUR E,, ['AX| = [AX ||. (Ca) La matrice À est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, dont chaque bloc diagonal est : -- soit de taille (1,1), -- soit de taille (2,2) du type rR(8), où (r,0) EUR RY X R. -- Dans un second temps, on définit et caractérise l'exponentielle d'une telle matrice. On pourra utiliser, sans démonstration, les deux résultats suivants : Théorème 1 Tout endomorphisme de R" admet au moins une droite ou un plan stable. Théorème 2 Si À EUR M, et B EUR M, sont telles qu'il existe Q EUR O, vérifiant B = QAQ, alors, pour tout polynôme P à coefficients réels, on a P(B) = 'QP(A)Q. |. Question préliminaire 1. Montrer que la relation ORTS est une relation d'équivalence sur M. Il. Exemples 2. Montrer que les éléments de S, vérifient les conditions (C1), (C2), (C3) et (Ca), et que ceux de À, vérifient les conditions (C1), (C2) et (C3). 3. Montrer que les éléments de ©, vérifient les conditions (C2) et (C3). 4. Dans cette question seulement, on suppose n -- 2. Montrer que les matrices rT', où r > 0 et TE Où, vérifient les conditions (C1) et (Ca). 11. Deux premières implications Soit AE M,. 5. Montrer que si À vérifie la condition (C1), alors À vérifie la condition (C2). 6. Montrer que si À vérifie la condition (C2), alors À vérifie la condition (C3). IV. La condition (C3) implique la condition (C4) Dans cette question seulement, on suppose n = 2 et soit À -- F ' E Ma vérifiant la condition (C3). 7. Montrer que c = b ou bien (b Æ 0 et c = --b et a = d). 1 1 On pourra utiliser, par exemple, les vecteurs 6 et l de FE). En déduire que À vérifie la condition (C4). Dans toute la suite de cette partie, on se donne À EUR M, vérifiant la condition (C3). 8. Montrer que, pour tout réel À, la matrice À -- À, vérifie (C3). 9. En déduire que À et 'A ont les mêmes sous-espaces propres et qu'ils sont deux à deux orthogonaux. 10. En utilisant la question précédente, déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la matrice À pour qu'elle soit diagonalisable. A 0 A2|° 11. Pour n > 3, montrer que À est orthogonalement semblable à une matrice du type | où A, EUR M, et A EUR M, vérifient (C3), avec p EUR {1,2}. On pourra commencer par montrer que toute matrice orthogonalement semblable à A vérifie (C3). 12. Montrer que si À vérifie la condition (C3), alors À vérifie la condition (C4). V. La condition (C;) implique la condition (C:) Soit Z = {z1,...,2n}, une famille de n complexes deux à deux distincts. 13. Établir l'existence d'un unique polynôme P de C,_1[X] tel que : VkE {1,...,n}, P(2x) = % On suppose de plus que, pour tout k EUR {1,...,n}, zx EUR Z. Montrer alors que le polynôme P est réel. Soient (r,9) EUR R° x R et P EUR R[X] tel que P(re?) = re". 14. Montrer que P(rR(4)) = '(rR()). Lorsque sin 0 Æ 0, on pourra utiliser la division euclidienne de P par le polynôme caractéristique X de la matrice rR(0) de M. 15. Montrer que si À EUR M, vérifie la condition (C4), alors À vérifie la condition (C1). VI. Exponentielle d'une matrice normale k k kO kO -- F7 -- col Let NS sr ) convergent et calculer kEN kEN 16. Pour tout (r,0) EUR R* XR, montrer que les séries ÿ° leur somme. L'espace vectoriel M,, est désormais muni de la norme ||.| définie par : VA = (A; ;higi jen EUR Mn: Al = max |A, 1 0 -- soit du type aR(B) EUR M, avec a > 0 et BER. On note S;°* l'ensemble des matrices symétriques de M, à valeurs propres strictement positives, et FÆ, l'ensemble des matrices B de M,, vérifiant les deux conditions : -- Jes valeurs propres négatives de B sont de multiplicité paire -- ilexiste SE ST et T EUR SO, telles que B = ST =TS. 21. Démontrer que Exp(£h) = Fh. 22. La matrice B = (B;;) EUR M, définie par : p..-hll sil
© Éditions H&K Mines Maths 2 PSI 2020 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). Tout au long de ce problème, une matrice réelle A est dite normale si elle commute t t avec sa transposée, c'est-à-dire si A A = A A. L'objectif du sujet est la caractérisation de ces matrices et l'étude de leur exponentielle. · On prouve tout d'abord dans une partie préliminaire que la relation notée ORTS est une relation d'équivalence : par définition, une matrice (réelle) A est dite orthogonalement semblable (ORTS) à une autre matrice réelle B s'il t existe une matrice Q orthogonale vérifiant B = Q AQ. · Dans les parties II à V, on établit l'équivalence entre les quatre conditions suivantes, pour une matrice réelle A : (C1 ) Il existe un polynôme P à coefficients réels tel que t A = P(A). (C2 ) La matrice A est normale. (C3 ) Pour tout vecteur X réel, k t A Xk = kAXk. (C4 ) La matrice A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, dont chaque bloc diagonal est soit de taille 1, soit de taille 2 cos() - sin() et de la forme r avec (r, ) R+ × R. sin() cos() La partie II permet d'abord de se familiariser avec les quatre conditions citées ci-dessus sur des exemples simples. La partie III établit ensuite les implications (C1 ) (C2 ) (C3 ) et on prouve dans la partie IV que (C3 ) (C4 ). Enfin, la partie V conclut cette étude en montrant que (C4 ) (C1 ). · La dernière partie du sujet définit ensuite l'exponentielle d'une matrice A par l'expression p 1 P Ak p+ k=0 k! Exp(A) = lim dont l'existence est prouvée dans la première question. La suite de la partie est consacrée à démontrer que l'image des matrices normales par l'application exponentielle est l'ensemble des matrices réelles B vérifiant deux conditions : 1. les valeurs propres négatives de B sont de multiplicité paire ; 2. il existe une matrice symétrique S à valeurs propres strictement positives et une matrice orthogonale T de déterminant 1 telles que B = ST = TS. Les parties de ce problème sont de difficultés inégales : si les deux premières sont très faciles, les parties IV et VI proposent des questions plus longues et techniques qui, sans être très difficiles, demandent d'avoir bien assimilé les résultats et notations des questions précédentes. Ce sujet fait appel à quelques notions d'algèbre euclidienne, de diagonalisation, de topologie et de séries numériques, mais il donne surtout l'occasion de voir si l'on est à l'aise avec les manipulations de matrices, en particulier quand elles sont écrites par blocs. © Éditions H&K Indications Partie I 1 Montrer que la relation est réflexive, transitive et symétrique. Partie II 2 Pour (C4 ), utiliser le théorème spectral. 3 Écrire les normes intervenant dans (C3 ) en termes de produits scalaires. 4 Pour (C1 ), calculer le polynôme caractéristique de rT et appliquer le théorème de Cayley-Hamilton. Partie III 6 Les calculs sont similaires à ceux de la question 3. Partie IV 7 Exploiter l'égalité des normes avec les vecteurs suggérés par l'énoncé. 8 Traduire les égalités de normes en égalités de produits scalaires. 9 Considérer une valeur propre pour A et un vecteur propre associé, et montrer t à l'aide de la question précédente qu'ils sont aussi propres pour A. Calculer ensuite, pour X1 et X2 deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres 1 t et 2 distinctes, la valeur X1 AX2 de deux façons différentes, faisant intervenir le produit scalaire entre X1 et X2 . 10 Montrer que la matrice est diagonalisable si, et seulement si, elle est symétrique. 11 Pour la première partie, exprimer les normes associées en termes de produits scalaires. Considérer ensuite l'endormorphisme canoniquement associé à A et utiliser le théorème 1 admis par l'énoncé pour obtenir les blocs de gauche. Appliquer ensuite la condition (C3 ) à des vecteurs bien choisis pour prouver que le bloc en haut à droite est nul, puis que les deux blocs diagonaux vérifient également la condition (C3 ). 12 Raisonner par récurrence. Partie V 13 S'inspirer du théorème d'interpolation de Lagrange. Pour montrer que le polynôme P est réel, montrer que P est également solution du problème et conclure par unicité. 14 Après avoir traité le cas sin() = 0, supposer que sin() 6= 0. Calculer le polynôme caractéristique de rR() et effectuer la division euclidienne de P par . Déterminer son reste à l'aide de la relation P(re i ) = re -i puis exploiter le théorème de Cayley-Hamilton. 15 Écrire la condition (C4 ), puis appliquer le résultat de la question 13 à l'ensemble des éléments diagonaux de la matrice obtenue et de leurs conjugués. Utiliser alors l'égalité de la question 14 en effectuant les calculs par blocs. Partie VI 16 Majorer brutalement les termes généraux des séries et calculer la somme de la première série et de i fois la deuxième pour retomber sur une série connue. © Éditions H&K 17 Expliciter les coefficients du produit AB. 18 La suite converge si, et seulement si, toutes ses composantes (dans la base canonique de Mn ) convergent. Majorer alors la norme du terme général des séries obtenues à l'aide de la question précédente. Utiliser enfin le théorème 2 admis par l'énoncé. t t 19 Montrer que l'application A 7 A A - A A est continue en considérant ses composantes, puis exploiter le fait que En est l'image réciproque d'un fermé par cette application. Commencer par montrer que si A En , alors Sp (A) En pour tout p N. 20 Montrer tout d'abord par récurrence que (R())k = R(k) pour tout R et k N. Calculer ensuite Sp (R()) pour tout p N et appliquer le résultat de la question 18. Pour le sens direct, écrire le fait que A vérifie la condition (C4 ) et effectuer les calculs par blocs. Pour le sens réciproque, s'inspirer des calculs tout juste faits pour poser les bonnes valeurs. 21 Pour l'inclusion directe, utiliser la question précédente en séparant les éléments réels de la diagonale dans S et les blocs de taille 2 dans T. Pour l'inclusion réciproque, considérer les endormorphismes canoniquement associés à S et T et les diagonaliser simultanément dans une base orthogonale. Si des valeurs propres négatives apparaissent dans la diagonale, les regrouper deux par deux sous la forme d'une matrice multiple de R() afin d'aboutir à la diagonale sous la forme demandée par l'énoncé. 22 Expliciter la matrice donnée dans l'énoncé et calculer son déterminant et ses valeurs propres, en séparant les cas n pair et impair. © Éditions H&K I. Question préliminaire 1 Montrons que la relation ORTS est réflexive, transitive et symétrique. Pour cela, fixons (A, B, C) (Mn )3 . t · On a In On et A = In AIn , donc A est ORTS à A. La relation est réflexive. · Si A est ORTS à B et B est ORTS à C, alors il existe P et Q dans On telles que t B = P AP t Ainsi, t et C = Q BQ t t C = Q P APQ = (PQ) APQ Or, PQ On car On est un sous-groupe de GLn (R). Par suite, A est ORTS à C, puis la relation est transitive. · Si A est ORTS à B, alors il existe P On telle que t B = P AP Il vient t t A = ( P)-1 BP-1 = (P-1 ) BP-1 puisque passage à l'inverse et transposition commutent. Comme P-1 On car On est un sous-groupe de GLn (R), B est ORTS à A, puis la relation est symétrique. La relation ORTS est une relation d'équivalence sur Mn . II. Exemples 2 Soit A Sn . Vérifions successivement les quatre conditions : t · (C1 ) : comme A est symétrique, A = A et le polynôme P(X) = X convient. t t · (C2 ) : la symétrie de A assure que A A = A2 = A A, donc A est normale. t · (C3 ) : pour tout X En , A X = AX. Ainsi, leurs normes sont égales. · (C4 ) : d'après le théorème spectral, l'endormorphisme canoniquement associé à la matrice A est diagonalisable en base orthogonale, donc la condition est vérifiée avec des blocs de taille 1. Les éléments de Sn vérifient les conditions (C1 ), (C2 ), (C3 ) et (C4 ). De même, pour A An , t · (C1 ) : comme A est antisymétrique, A = -A et le polynôme P(X) = -X convient. t t · (C2 ) : l'antisymétrie de A assure que A A = -A2 = A A, donc A est normale. t · (C3 ) : pour tout X En , A X = -AX. Ainsi, leurs normes sont égales. Les éléments de An vérifient les conditions (C1 ), (C2 ) et (C3 ). On va démontrer dans la suite du problème que les quatre conditions sont équivalentes, ce qui vérifiera indirectement que les matrices de An remplissent aussi la condition (C4 ).