Mines Maths 2 PSI 2019

Thème de l'épreuve Le problème des moments
Principaux outils utilisés Intégrale généralisée, transformée de fourier
Mots clefs densité, moments, gaussienne

Corrigé

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Rapport du jury

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A2019 --- MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le problème des moments

Dans tout le problème 1 désigne un intervalle de R, qui pourra être [0,1] ou 
[0, +! ou R.
On dira qu'une fonction f : 1 -- R est une densité (de probabilité) sur 1 si 
elle est continue et
positive sur 1, intégrable sur 1 et de masse 1 c'est-à-dire

[raz = 1.

Pour n EUR N, on dira que le moment d'ordre n d'une densité f est fini si
x x" f(x) est intégrable sur 1,

et on définit alors le moment d'ordre n par le réel

mn(f) = fa" (dx

Dans tout le problème la densité gaussienne est la densité w : R -- R définie 
par

1  _x?
°W) = 7e 2 (1)

I Quelques exemples

1. On considère g : [0,+æ[-- R définie par g(x) = e *. Montrer que g est une 
densité sur
ID, +oo|, que tous ses moments sont finis et calculer m,(g) pour n EUR N.

2. Montrer que tous les moments de la densité gaussienne & sont finis.
3. Que vaut m2+1(%) pour p EUR N?

4. Calculer m2p(4) pour p EUR N.

On exprimera le résultat sous forme compacte avec des factorielles là où c'est 
possible.

5. Donner un exemple de densité f : R -- R dont le moment d'ordre 1 n'est pas 
fini.

Dans ce problème, on va s'intéresser à la question suivante : une densité est 
elle déterminée
par l'ensemble de ses moments ? Autrement dit, est-il vrai que

si deux densités f et g ont tous leurs moments finis et

Mn(f) = Mn(g) pour tout n E N alors f = g sur 1 ?
On va notamment voir que c'est vrai si 1 = [0,1] (partie IIT), mais faux si 1 = 
[0,+æ| (partie
V) ou I =R.
II Théorème de Stone-Weierstrass

On rappelle que (;) désigne le coefficient binomial "k parmi n".
6. Justifier que, pour tout x EUR [0,1},n EN,

5 h af (1 -- m)E 21.

k=--0

7. Montrer que, pour tout x EUR [0,1}, ne N,

8. Montrer que, pour tout x E [0,1], ne N,

> k° h af (1 = x) = nx + n(n -- 1jx.
k=--0

9. En déduire que, pour tout x EUR [0,1], ne N,

nm

DC -- nx) h a (1 -- x) < Cn, k=--0 pour une constante C > 0 à préciser.

On se donne maintenant f : [0,1] -- R continue et EUR > 0. On admet l'existence 
de a > 0 tel
que, pour tout (x,y) EUR [0,1/*,

x --yl 0

19. Montrer que f est bien une densité sur [0, +oo[. On admettra que tous ses 
moments sont
finis.

Pour n EUR N on pose

+00
In = | x" f(x) sin(27 In x)dx.
0

20. Montrer que

L, = Im (Gr-inue qu) |

vx le

où Im (2) désigne la partie imaginaire du complexe 2.

21. À l'aide de la partie IV, en déduire que 7, = 0.

Pour «a EUR KR, on pose
9a(t) = f(æ)(1 + asin(2r In x)).

22. Déterminer une infinité non dénombrable de a pour lesquels f et g, sont 
deux densités
sur [0,+co{, distinctes et m;(ga) = Mn(f) pour tout n EUR N.

FIN DU PROBLÈME