Mines Maths 2 PSI 2018

Thème de l'épreuve Estimation de la vitesse de convergence dans le théorème central limite
Principaux outils utilisés intégration, probabilités
Mots clefs transformation d'Ornstein-Uhlenbeck, générateur infinitésimal, intégrales, variables aléatoires, fonctions à croissance lente, espérance, indépendance

Corrigé

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CONCOURS MINES COMMUN... PONTS .. ECOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT--ETIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines--Télécom, Concours Commun TPE / EIVP. CONCOURS 2018 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES n - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d 'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck Définition 1 (Fonctions dérivables) Pour tout entier k, on notera C{Î(R) l'ensemble des fonctions bornées de classe C'EUR sur R dont toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal et k sont aussi bornées. On note l|flloe = sup lf(OE)l et llfllk,oe = sup l|f(')lloo, OEGR j=0,...,k où, comme d'habitude, f(0) : f. Définition 2 (Fonctions à croissance lente) On dira qu'une fonction f est a crois- sance lente si et seulement si il emiste (A,m) EUR Ri >< N tels que pour tout réel oe, lf(OE)l S A(1 + lOEl'")- On notera CAR) l'ensemble des fonctions continues sur R qui sont a croissance lente. On note CÏ(R) l'ensemble des fonctions a croissance lente, de classe C"EUR dont toutes les dérivées jusqu 'à l'ordre k: sont a croissance lente. On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : pour k: 2 O, pour toute fonction f de classe Ck+1 sur [a,b], f(b) : Î: fü;'(a) (b _ a)j + _ /b(b _ t)kf(k+1)(t) dt. j=0 ' a" I Préliminaires 1. Montrer que pour toute fonction f de classe C'Ç+1 sur [a, b], f(b) = Îj f....(a) (b a)' + (" _â)k+1/01(1 6)kf(k+1l(a + 6(b -- a)) de. Pour n E N et cz > 0, on définit n --CMOE £L'l-->OEEUR 2. Démontrer que pour tout oz > O, pour tout n 2 O, lim oe29n7a(æ) = O, |OEl-->+OO et en déduire que g...l est intégrable sur R. On admettra que / e_y2/2 dy : \/ 277. R 3. Calculer oo e--3t / _ dt 0 \/ 1 -- e_2t en utilisant le changement de variables EUR : arcsin(e_t). 4. Démontrer que pour tout (m, n) EUR N2, la fonction (1+ |OElm)(1 + |âïl") oe r--> --, 1 + |m|"+m est bornée sur R. En déduire que C;(R) est un R--espace vectoriel qui est stable par produit, puis que les fonctions polynomiales appartiennent a Cg(R). II Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck Pour simplifier les notations, pour t 2 0, on pose [Bt = ]. -- 6--2t. 5. Démontrer que pour tout f E Cl(R), pour tout oe E R et tout t 2 0 la fonction R-->R est intégrable sur R. Pour tout t 2 0, on définit alors la fonction Pt f par PO f = f et pour tout t > O, 2 dy Pour 33 E R, on note hOE la fonction définie par hx : R+ --> R Ël--> Ptf(oe). 6. Démontrer que, pour tout f E CAR) et tout x E R, hm est une fonction continue sur R+ vérifiant tlim Ptf(zv )=/R( f(y )e_yÎ\/_ Indication. On pourra utiliser, après l'avoir prouvée, l'inégalité suivante : pour tout (oe,y) E R2 et toutt Z 0 : le_toe +fitÿ! S |æ| + |y|. 7. A l'aide d'un changement de variables, démontrer que pour tout f E CZ(R), tout oe,hEURRettoutt>0z afloe+hwaéjoeäæ+aywfll-- äy--ïÎm) d_y. & Æ Pour oz > 0 et y G R fixés, soit «by la fonction définie par 1% : [--1/a,1/a]-->R h i--> exp(--â(y -- ah)2). 8. Montrer que OE(lyl + 1) si lyl £ 1, wp '%OE"S{amm+nam--äm--lfi snm>L hG[--1/a,1/a] 9. Soit f E CNR) et t > 0 fixé. Déterminer l' PJ(æ--l--h) --Ptf(OE) 1H1 --' h-->O h En déduire que Pt f est de classe C1 sur R et que pour tout :U E R, sa dérivée est donnée par : 2 _t y (Raw Mât/f(e oe+&y>y e--î &. l\!) âloe 10. Démontrer que pour tout (a, I)) E R2 et tout m 2 0 : la + blm S 2... (|a|m + lblm)- En déduire que pour tout f E CZ(R), on a m r--> Ptf(æ) EUR CNR). On admet dorénavant le lemme suivant. Lemme 1 Si f appartient a Cf alors pour tout t > 0, la fonction x r--> Ptf(æ) est de classe Ck et (Ptf>=e--ktAfe--ä % ... III Générateur infinitésimal Dans toute cette partie, on suppose que f appartient à C? (R) et l'on fixe 30 E R. 11. Démontrer que 1136 est C1 sur Ri et que pour tout to > O, h&(to) = --e_t° $ (Ptof')(oe) + 12. Soit 9 EUR C}(R), montrer que _% dy _ / --% dy. /Rg(fitûy)ye Æ--ÜtO/Rÿ(fitgy)e Æ 13. Montrer que hOE est C1 sur R+ à l'aide du théorème de prolongement et que @@ = f"(æ) -- æf'(oe). On notera L l'opérateur défini par L : cf -->C;(R) f H Lf : (oe ... f"<æ> -- æf'<æ>) ou de façon plus simple, pour tout :1: E R, (Lf)(w) = f"(OE) -- OEf'(OE)- IV Théorème central limite On admet le théorème de représentation suivant. Théorème 1 Pour toute fonction f E CÎ(R), pour tout y E R, «% /R f<æ)e_m2/2 dl" -- f @) = /Û°O L(Ptf)(y) dt. Soit (X... n 2 1) une suite de variables aléatoires discrètes, mutuellement indépen-- dantes et de même loi, toutes définies sur le même espace probabilisê (O, A, P). On suppose de plus que \X1l3 a une espérance finie. 14. Montrer que X1 et X12 ont une espérance finie. Indication. On pourra découper l'espace probabilisê Q selon la position de |X1(w)| par rapport à 1. On suppose dorénavant que E [XÏ] = 1 et E[X1] : 0. On fixe n 2 1 et l'on pose 1 Xi. äl "M '1--Lll K>.>--' 1 " _ S=-- X...tS...= «% 15. Rappeler la définition de l'indépendance mutuelle des variables X 1, -- - -- ,Xn. En dé-- duire que les variables X1 et (X2, -- ---- ,Xn) sont indépendantes. 16. Pour g fonction bornée, montrer que pour m EUR {1, 2, 3} et tout i E {1, - -- - ,n}, E [X£"g(S"))l = E [X%"l E {gl . <2> . . 3 Dans les questions suivantes, on suppose g E Ch. 17. Déduire de (2) l'identité suivante : E Lç" -- Sg'] = %2 E {g" -- g">J 18. En appliquant deux fois la formule de Taylor établie dans la question 1, établir l'identité suivante : 1 " 1 . 9 EL s =-- E Xi/ <3>S<1> --Xi dû} ig<>in...g[ Og< +fl> --LÎE xë/1(1_9) (3)(S(Ü+in)d9 n3/21=1 'L 0 g \/ñ @ . 19. Montrer que lEiLg O, pour tout réel :r, dy e--3t (Ptf)(3>æ)( Î/ f"<--e oe+fity)ye--y/2 Æ, puis que 2 e--3t ll(Ptf)(3)lloe £ \/-- -- llfllzoe- W t 21. En déduire que sup fec2E S)--/f(v) e--y/ ed--î < % ""Ë°° E{\X1|+|Xll3l. On admet que l'expression suivante sup lE [f(X)l -- E ifil feCâ ||fll2,ooS1 définit une distance entre les lois de X et de Y. On a donc montré que la vitesse de convergence dans le théorème de la limite centrée est de l'ordre de l/fl. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Romain Panis (ENS Ulm) ; il a été relu par Loïc Devilliers (ENS Cachan) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Ce problème a pour objectif, dans la dernière partie, d'établir un résultat sur la vitesse de convergence dans le théorème central limite. Aucune connaissance sur ce théorème hors programme n'est requise. Pour progresser vers ce résultat, le sujet établit des résultats préliminaires qui utilisent l'analyse (intégration, continuité, dérivabilité,...) et les probabilités (indépendance, espérance,...). De nombreuses questions de cours sont glissées dans le sujet, ce qui permet d'insister sur l'importance de l'apprentissage du cours lors de la préparation du concours des Mines. Le sujet est assez technique et certaines questions (plus spécifiquement les questions 3, 8, 9, 17 et 21) demandent une rédaction précise. · La première partie établit quelques résultats techniques qui seront utiles dans les parties suivantes. · La deuxième partie s'intéresse à la transformation d'Ornstein-Uhlenbeck, qui à une fonction f continue sur R et à croissance lente associe, pour t > 0, l'application Z y2 1 f e -t x + 1 - e -2t y e - 2 dy Pt f : x R 7- 2 R Cette partie repose sur les grands théorèmes du cours d'intégration. On utilise ainsi de nombreuses fois le théorème de convergence dominée et le théorème de continuité des intégrales à paramètre. Il faut vérifier soigneusement les conditions d'application de ces théorèmes ; l'obtention des dominations est parfois délicate (question 9). · La troisième partie est dédiée à l'introduction de l'opérateur L qui à f de classe C 2 sur R et à x R associe Lf (x) = f (x) - xf (x). Cet opérateur servira en particulier à l'énoncé du théorème 1 dans la partie suivante. · La quatrième et dernière partie concerne l'obtention d'une vitesse de convergence en O (1/ n) dans le théorème central limite pour le cas particulier de variables aléatoires admettant un moment d'ordre 3. Les outils probabilistes utilisés sont classiques (indépendance, calcul d'espérance de produit de variables aléatoires indépendantes,...). En conclusion, le sujet est bien équilibré, de longueur raisonnable et reste tout à fait abordable sous réserve d'être à l'aise avec les intégrales à paramètre. La dernière partie, plus originale et assez technique, constitue un bon exemple d'énoncé mêlant analyse et probabilités, ce qui semble devenir un incontournable des concours Mines et Centrale. Indications Partie I 1. Utiliser le rappel de l'énoncé et effectuer un changement de variable affine. 2. Penser au critère de Riemann. 3. Effectuer le changement de variable proposé par l'énoncé, puis utiliser une formule trigonométrique pour se ramener à une intégrale plus simple. Partie II 5. Utiliser le fait que f C (R) pour obtenir une majoration intégrable de la fonction étudiée. 6. Pour le calcul de limite, utiliser le théorème de convergence dominée et la caractérisation séquentielle de la limite. 8. Commencer par calculer la dérivée de y puis obtenir la majoration souhaitée en distinguant selon les cas. Pour obtenir la majoration dans le cas |y| > 1 on cherchera à étudier le terme dans l'exponentielle définissant y . 9. Pour la première partie de la question utiliser le résultat de 8 et appliquer le théorème de convergence dominée. Pour montrer la continuité de (Pt f ) , utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre en cherchant une domination intégrable sur un intervalle borné pour le paramètre. 10. Pour l'inégalité distinguer selon le cas |a| 6 |b| et |a| > |b|. Partie III 12. Commencer par justifier l'existence des deux intégrales puis penser à effectuer une intégration par parties. 13. Utiliser l'expression de la question 11, puis appliquer la question 12 à f pour obtenir une expression de hx (t0 ) sans singularité en 0. Partie IV 14. Utiliser l'écriture |X1 | = |X1 |1{|X1 |61} + |X1 |1{|X1 |>1} . 17. Partir du terme de droite dans l'égalité et utiliser la question 16. 18. Appliquer le résultat de la question 1 deux fois avec, dans un premier temps k = 0, f = g , b = S et a = S(i) ; puis avec k = 1, f = g , b = S et a = S(i) . 20. Partir du lemme 1 appliqué à f pour k = 2 puis utiliser le résultat de la question 9. 21. Il y a une erreur d'énoncé, dans le terme de gauche de l'inégalité il ne doit pas y avoir de sup. Utiliser le théorème I et les questions 19 et 20 pour obtenir une majoration du terme de gauche. Ensuite pour obtenir la majoration de l'énoncé utiliser la question 3. Admettre le fait que l'espérance commute avec l'intégrale. I. Préliminaires 1 Soit f une fonction de classe C k+1 sur [ a ; b ]. D'après la formule de Taylor avec reste intégral rappelée par l'énoncé, on a Z k X f (j) (a) 1 b f (b) = (b - a)j + (b - t)k f (k+1) (t) dt j! k! a j=0 et en effectuant le changement de variable affine non constant donc licite t = a + (b - a), t-a dans l'intégrale ci-dessus, on obtient b-a Z b Z 1 (b - t)k f (k+1) (t) dt = (b - a)k+1 (1 - )k f (k+1) (a + (b - a)) d soit = a 0 ce qui donne finalement la formule désirée f (b) = k X f (j) (a) j=0 j! (b - a)j + (b - a)k+1 k! Z 1 0 (1 - )k f (k+1) (a + (b - a)) d 2 Soient > 0 et n N. Pour tout x R on a 2 |x2 gn, (x)| = |x2 xn e -x | = |x|n+2 e -x 2 Par croissances comparées on a 2 |x|n+2 e -x ----- 0 |x|+ La fonction gn, est continue sur R et vérifie par le calcul précédent 1 gn, (x) = O |x|+ x2 On en déduit alors par critère de Riemann, puisque 2 > 1, le résultat recherché La fonction gn, est intégrable sur R. 3 Commençons par observer que l'intégrale proposée par l'énoncé existe bien. En effet, notons pour t > 0 h(t) = e -3t 1 - e -2t La fonction h est continue sur ] 0 ; + [ et de signe constant positif. De plus, elle est intégrable au voisinage de l'infini car équivalente à la fonction t 7- e -3t intégrable au voisinage de l'infini par critère de Riemann, puisque c'est un O 1/t2 . Enfin, au voisinage de 0 on a 1 1 h(t) = O 1/2 t0+ t 2t t0+ Donc par critère de Riemann, h est intégrable en 0 (1/2 < 1). Finalement, l'intégrale généralisée est bien définie. On utilise maintenant l'indication de l'énoncé et on effectue le changement de variable = Arcsin (e -t ) qui est bijectif de classe C 1 . En effet, t 7- Arcsin (e -t ) réalise une bijection C 1 strictement décroissante de ] 0 ; + [ dans ] 0 ; /2 [ : cette fonction est la composée de t 7- e -t , bijection décroissante de ] 0 ; + [ dans ] 0 ; 1 [, avec Arcsin , bijection croissante de ] 0 ; 1 [ dans ] 0 ; /2 [. Cela donne sin() = sin(Arcsin (e -t )) = e -t car e -t ] -1 ; 1 [ si t > 0, et cos() d = -e -t dt = - sin() dt On a donc, en utilisant le fait que cos est positif sur [ 0 ; /2 ] Z + 0 e -3t dt = - 1 - e -2t Z = Z 0 2 2 0 Z 0 or Z 2 + -3t e dt = 1 - e -2t sin2 () d = 0 Z 2 0 Z d'où Z 2 sin3 () cos() q d sin() 2 1 - sin () sin2 () cos() d cos() sin2 () d 0 = 2 1 - cos(2) sin(2) d = - = 2 2 4 4 =0 + 0 e -3t dt = 4 1 - e -2t 4 Soit (m, n) N2 . On introduit R - R n,m : (1 + |x|n )(1 + |x|m ) x 7- 1 + |x|n+m Cette application est continue sur R comme quotient d'applications continues sur R et dont le dénominateur ne s'annule pas. On dispose de l'équivalent suivant n,m (x) On en déduit |x|+ n,m Par conséquent, |x|n |x|m =1 |x|n+m - |x|+ 1 la fonction n,m est bornée sur R. De plus, n,m est strictement positive sur R et par la remarque précédente, en notant Cn,m = sup n,m (x), pour tout x R, xR 0< (1 + |x|n )(1 + |x|m ) 6 Cn,m 1 + |x|n+m