Mines Maths 2 PSI 2018

Thème de l'épreuve Estimation de la vitesse de convergence dans le théorème central limite
Principaux outils utilisés intégration, probabilités
Mots clefs transformation d'Ornstein-Uhlenbeck, générateur infinitésimal, intégrales, variables aléatoires, fonctions à croissance lente, espérance, indépendance

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CONCOURS MINES
COMMUN... PONTS
..

ECOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT--ETIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines--Télécom, Concours Commun TPE / EIVP.

CONCOURS 2018
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES n - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d 'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck

Définition 1 (Fonctions dérivables) Pour tout entier k, on notera C{Î(R) 
l'ensemble
des fonctions bornées de classe C'EUR sur R dont toutes les dérivées d'ordre 
inférieur ou égal
et k sont aussi bornées. On note

l|flloe = sup lf(OE)l et llfllk,oe = sup l|f(')lloo,
OEGR j=0,...,k

où, comme d'habitude, f(0) : f.

Définition 2 (Fonctions à croissance lente) On dira qu'une fonction f est a 
crois-
sance lente si et seulement si il emiste (A,m) EUR Ri >< N tels que pour tout réel oe, lf(OE)l S A(1 + lOEl'")- On notera CAR) l'ensemble des fonctions continues sur R qui sont a croissance lente. On note CÏ(R) l'ensemble des fonctions a croissance lente, de classe C"EUR dont toutes les dérivées jusqu 'à l'ordre k: sont a croissance lente. On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : pour k: 2 O, pour toute fonction f de classe Ck+1 sur [a,b], f(b) : Î: fü;'(a) (b _ a)j + _ /b(b _ t)kf(k+1)(t) dt. j=0 ' a" I Préliminaires 1. Montrer que pour toute fonction f de classe C'Ç+1 sur [a, b], f(b) = Îj f....(a) (b a)' + (" _â)k+1/01(1 6)kf(k+1l(a + 6(b -- a)) de. Pour n E N et cz > 0, on définit

n --CMOE

£L'l-->OEEUR

2. Démontrer que pour tout oz > O, pour tout n 2 O,

lim oe29n7a(æ) = O,
|OEl-->+OO

et en déduire que g...l est intégrable sur R.

On admettra que

/ e_y2/2 dy : \/ 277.
R
3. Calculer
oo e--3t
/ _ dt
0 \/ 1 -- e_2t
en utilisant le changement de variables EUR : arcsin(e_t).

4. Démontrer que pour tout (m, n) EUR N2, la fonction

(1+ |OElm)(1 + |âïl")
oe r--> --,
1 + |m|"+m

est bornée sur R. En déduire que C;(R) est un R--espace vectoriel qui est 
stable par
produit, puis que les fonctions polynomiales appartiennent a Cg(R).

II Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck

Pour simplifier les notations, pour t 2 0, on pose

[Bt = ]. -- 6--2t.

5. Démontrer que pour tout f E Cl(R), pour tout oe E R et tout t 2 0 la fonction

R-->R

est intégrable sur R.

Pour tout t 2 0, on définit alors la fonction Pt f par PO f = f et pour tout t 
> O,

2 dy

Pour 33 E R, on note hOE la fonction définie par

hx : R+ --> R
Ël--> Ptf(oe).

6. Démontrer que, pour tout f E CAR) et tout x E R, hm est une fonction 
continue sur
R+ vérifiant

tlim Ptf(zv )=/R( f(y )e_yÎ\/_

Indication. On pourra utiliser, après l'avoir prouvée, l'inégalité suivante : 
pour tout
(oe,y) E R2 et toutt Z 0 :

le_toe +fitÿ! S |æ| + |y|.

7. A l'aide d'un changement de variables, démontrer que pour tout f E CZ(R), 
tout
oe,hEURRettoutt>0z

afloe+hwaéjoeäæ+aywfll-- äy--ïÎm)

d_y.
& Æ

Pour oz > 0 et y G R fixés, soit «by la fonction définie par

1% : [--1/a,1/a]-->R

h i--> exp(--â(y -- ah)2).

8. Montrer que

OE(lyl + 1) si lyl £ 1,

wp '%OE"S{amm+nam--äm--lfi snm>L

hG[--1/a,1/a]

9. Soit f E CNR) et t > 0 fixé. Déterminer

l' PJ(æ--l--h) --Ptf(OE)
1H1 --'
h-->O h

En déduire que Pt f est de classe C1 sur R et que pour tout :U E R, sa dérivée 
est

donnée par :
2

_t y
(Raw Mât/f(e oe+&y>y e--î

&.
l\!)
âloe

10. Démontrer que pour tout (a, I)) E R2 et tout m 2 0 :

la + blm S 2... (|a|m + lblm)-

En déduire que pour tout f E CZ(R), on a m r--> Ptf(æ) EUR CNR).

On admet dorénavant le lemme suivant.

Lemme 1 Si f appartient a Cf alors pour tout t > 0, la fonction x r--> Ptf(æ) 
est de
classe Ck et

(Ptf>=e--ktAfe--ä % ...

III Générateur infinitésimal

Dans toute cette partie, on suppose que f appartient à C? (R) et l'on fixe 30 E 
R.

11. Démontrer que 1136 est C1 sur Ri et que pour tout to > O,

h&(to) = --e_t° $ (Ptof')(oe) +

12. Soit 9 EUR C}(R), montrer que

_% dy _ / --% dy.
/Rg(fitûy)ye Æ--ÜtO/Rÿ(fitgy)e Æ

13. Montrer que hOE est C1 sur R+ à l'aide du théorème de prolongement et que

@@ = f"(æ) -- æf'(oe).

On notera L l'opérateur défini par

L : cf -->C;(R)
f H Lf : (oe ... f"<æ> -- æf'<æ>)

ou de façon plus simple, pour tout :1: E R,

(Lf)(w) = f"(OE) -- OEf'(OE)-

IV Théorème central limite

On admet le théorème de représentation suivant.

Théorème 1 Pour toute fonction f E CÎ(R), pour tout y E R,

«% /R f<æ)e_m2/2 dl" -- f @) = /Û°O L(Ptf)(y) dt. Soit (X... n 2 1) une suite de variables aléatoires discrètes, mutuellement indépen-- dantes et de même loi, toutes définies sur le même espace probabilisê (O, A, P). On suppose de plus que \X1l3 a une espérance finie. 14. Montrer que X1 et X12 ont une espérance finie. Indication. On pourra découper l'espace probabilisê Q selon la position de |X1(w)| par rapport à 1. On suppose dorénavant que E [XÏ] = 1 et E[X1] : 0. On fixe n 2 1 et l'on pose 1 Xi. äl "M '1--Lll K>.>--'

1 " _
S=-- X...tS...=
«%

15. Rappeler la définition de l'indépendance mutuelle des variables X 1, -- - 
-- ,Xn. En dé--
duire que les variables X1 et (X2, -- ---- ,Xn) sont indépendantes.

16. Pour g fonction bornée, montrer que pour m EUR {1, 2, 3} et tout i E {1, - 
-- - ,n},

E [X£"g(S"))l = E [X%"l E {gl . <2>

. . 3
Dans les questions suivantes, on suppose g E Ch.

17. Déduire de (2) l'identité suivante :

E Lç" -- Sg'] = %2 E {g" -- g">J

18. En appliquant deux fois la formule de Taylor établie dans la question 1, 
établir
l'identité suivante :

1 " 1 . 9
EL s =-- E Xi/ <3>S<1> --Xi dû}
ig<>in...g[ Og< +fl>
--LÎE xë/1(1_9) (3)(S(Ü+in)d9
n3/21=1 'L 0 g \/ñ @ .

19. Montrer que

lEiLg O, pour tout réel :r,

dy

e--3t
(Ptf)(3>æ)( Î/ f"<--e oe+fity)ye--y/2 Æ, puis que 2 e--3t ll(Ptf)(3)lloe £ \/-- -- llfllzoe- W t 21. En déduire que sup fec2E S)--/f(v) e--y/ ed--î < % ""Ë°° E{\X1|+|Xll3l. On admet que l'expression suivante sup lE [f(X)l -- E ifil
feCâ
||fll2,ooS1

définit une distance entre les lois de X et de Y. On a donc montré que la 
vitesse de
convergence dans le théorème de la limite centrée est de l'ordre de l/fl.

FIN DU PROBLÈME