A2017 MATH II PSI
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Endomorphismes échangeurs
Durée prévue : 3 h
Dans tout le problème, les espaces vectoriels considérés ont C, le corps des
nombres complexes, pour corps de base.
Étant donné deux entiers naturels n et p non nuls, on note Mn,p (C) l'espace
vectoriel des matrices à n lignes, p colonnes et à coefficients dans C (et 0n,p
sa
matrice nulle) et Mn (C) celui des matrices carrées à n lignes et à
coefficients dans
C (et 0n sa matrice nulle).
Soit E un C-espace vectoriel. On note L(E) l'espace vectoriel des
endomorphismes de E.
Un endomorphisme u de E est dit échangeur lorsqu'il existe des sous-espaces
vectoriels F et G de E tels que
E = F G,
u(F ) G et u(G) F.
Étant donné deux endomorphismes u et v de E, on dit que v est semblable
à u lorsqu'il existe un automorphisme de E tel que v = u -1 . On notera
que dans ce cas u = -1 v (-1 )-1 , si bien que u est semblable à v.
On dit que u est de carré nul lorsque u2 est l'endomorphisme nul de E. On
dit que u est nilpotent lorsqu'il existe un entier naturel n 1 tel que un = 0.
Une matrice A Mn (C) est dite de carré nul lorsque A2 = 0n .
L'objectif du problème est d'établir, pour un endomorphisme u d'un C-espace
vectoriel E de dimension finie, l'équivalence entre les conditions suivantes :
(C1) L'endomorphisme u est échangeur.
(C2) Il existe a L(E) et b L(E), tous deux de carré nul, tels que u = a + b.
(C3) Les endomorphismes u et -u sont semblables.
Chacune des parties A et B est indépendante des autres. Les résultats de la
partie D sont essentiels au traitement des parties E et F.
1
A
Quelques considérations en dimension 2
On se donne ici un C-espace vectoriel E de dimension 2 et un endomorphisme
u de E.
1. Montrer que si u vérifie la condition (C3) alors u est de trace nulle.
Jusqu'à la fin de cette partie, on suppose u de trace nulle et de déterminant
non nul.
On choisit un nombre complexe tel que 2 = - det u.
2. Montrer que u2 = 2 IE , déterminer le spectre de u et préciser la dimension
des sous-espaces propres de u.
3. Expliciter, à l'aide de vecteurs propres de u, une droite vectorielle D telle
que u(D) " D, et en déduire que u est échangeur.
B
La condition (C1) implique (C2) et (C3)
Soit n et p deux entiers naturels non nuls. Soit A Mp,n (C) et B Mn,p (C).
On considère dans Mn+p (C) la matrice
!
"
0 B
.
M := n
A 0p
!
"
0n B
4. Calculer le carré de la matrice
de Mn+p (C). Montrer ensuite que
0p,n 0p
M est la somme de deux matrices de carré nul.
5. On considère dans Mn+p (C) la matrice diagonale par blocs
!
"
In 0n,p
D :=
.
0p,n -Ip
Montrer que D est inversible, calculer D-1 puis DM D-1 , et en déduire que
M est semblable à -M .
2
TSVP
Jusqu'à la fin de cette partie, on se donne un endomorphisme u d'un C-espace
vectoriel E de dimension finie. On suppose que u est échangeur, et on se donne
donc une décomposition E = F G dans laquelle F et G sont des sous-espaces
vectoriels vérifiant u(F ) G et u(G) F .
6. On suppose ici F et G tous deux non nuls.
On se donne une base (f1 , . . . , fn ) de F et une base (g1 , . . . , gp ) de
G. La
famille B = (f1 , . . . , fn , g1 , . . . , gp ) est donc une base de E.
Compte tenu des hypothèses, décrire la forme de la matrice de u dans B.
7. Déduire des questions précédentes que u vérifie les conditions (C2) et (C3).
On n'oubliera pas de considérer le cas où l'un des sous-espaces vectoriels F
et G est nul.
C
La condition (C2) implique la condition (C1) :
cas d'un automorphisme
Dans cette partie, u désigne un automorphisme d'un C-espace vectoriel E de
dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes a et b de E tels
que
u = a + b et a2 = b2 = 0.
8. Soit f un endomorphisme de E tel que f 2 = 0. Comparer Ker f à Im f et en
déduire
dim E
·
dim Ker f
2
9. Démontrer que E = Ker a Ker b, et que Ker a = Im a et Ker b = Im b.
10. En déduire que u est échangeur.
D
Intermède : un principe de décomposition
On se donne dans cette partie un C-espace vectoriel E de dimension finie, ainsi
qu'un endomorphisme f de E. On se donne un nombre complexe arbitraire. On
pose v := f - IE .
3
!
"
11. Montrer que la suite Ker(v k )
kN
est croissante pour l'inclusion.
12. Montrer qu'il existe un entier naturel p tel que
k p, Ker v k = Ker v p .
On pourra introduire la plus grande dimension possible pour un sous-espace
vectoriel de la forme Ker v k pour k dans N.
Montrer qu'alors
Ker v p =
#
Ker v k
kN
et que p peut être choisi parmi les entiers pairs.
Dans la suite de cette partie, on fixe un entier naturel pair p donné par la
question 12 et l'on pose
Ec (f ) :=
#
Ker v k = Ker v p .
kN
On notera que Ec (f ) est un sous-espace vectoriel de E.
13. Montrer que Ec (f ) = Ker(v 2p ) et en déduire
E = Ec (f ) Im(v p ).
Montrer en outre que les sous-espaces vectoriels Ec (f ) et Im(v p ) sont tous
deux stables par f .
14. Montrer que n'est pas valeur propre de l'endomorphisme induit par f sur
Im(v p ). Montrer que si Ec (f ) n'est pas nul alors est l'unique valeur propre
de l'endomorphisme induit par f sur Ec (f ).
15. On se donne ici un nombre complexe µ différent de . On suppose que toute
valeur propre de f différente de est égale à µ.
Montrer que Im(v p ) Eµc (f ), puis que E = Ec (f ) Eµc (f ).
On pourra s'intéresser au polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit
par f sur Im(v p ).
4
TSVP
E
La condition (C2) implique la condition (C1) :
cas non bijectif
Dans cette partie, on admet la validité de l'énoncé suivant :
Théorème : Tout endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel de dimension
finie est échangeur.
On se donne ici un endomorphisme non bijectif u d'un C-espace vectoriel E
de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes a et b de E tels
que
u = a + b et a2 = b2 = 0.
16. Montrer que a et b commutent avec u2 .
On fixe maintenant un entier pair p tel que E0c (u) = Ker up , donné par la
question 12.
17. Montrer que le sous-espace vectoriel G := Im up est stable par a et b et que
les endomorphismes induits aG et bG sont de carré nul.
18. En déduire que u est échangeur. On pourra utiliser, entre autres, le
résultat
final de la partie C.
F
La condition (C3) implique la condition (C1)
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Un endomorphisme
u de E est dit indécomposable lorsque :
(i) La condition (C3) est vérifiée par u.
(ii) Il n'existe aucune décomposition E = F G dans laquelle F et G sont des
sous-espaces vectoriels non nuls, stables par u et tels que les endomorphismes
induits respectifs uF et uG vérifient tous deux la condition (C3).
Jusqu'à la question 21 incluse, on se donne un endomorphisme indécomposable
u de E. On dispose en particulier d'un automorphisme de E tel que
-u = u -1 .
5
19. Montrer que 2 commute avec u.
20. Montrer que 2 possède une unique valeur propre . En déduire que les
valeurs propres de sont parmi et -, pour un certain nombre complexe
non nul .
On utilisera l'indécomposabilité de u ainsi que les résultats des questions 13
et 14.
21. En déduire que u est échangeur.
On pourra appliquer le résultat final de la question 15.
22. En déduire plus généralement que, pour tout endomorphisme d'un C-espace
vectoriel de dimension finie, la condition (C3) implique la condition (C1).
Fin du problème
6
