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Mines Maths 2 PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Antoine Sihrener (professeur en CPGE) ; il a été
relu par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) et Céline Chevalier
(enseignantchercheur à l'université).
Ce sujet a pour but l'étude des endomorphismes échangeurs u d'un C-espace
vectoriel E de dimension finie, c'est-à-dire vérifiant la propriété :
« Il existe F et G supplémentaires dans E tels que u(F) G et u(G) F. »
Plus précisément, si u est un endomorphisme de E, ce problème propose de montrer
l'équivalence entre les trois propriétés suivantes :
(C1) u est échangeur.
(C2) u est somme de deux endomorphismes de E de carré nul.
(C3) u est semblable à -u.
· La première partie donne une condition suffisante pour qu'un endomorphisme
d'un espace vectoriel de dimension 2 soit échangeur. Les questions sont
abordables, mais l'application à des endomorphismes de notions utilisées en
général
pour les matrices a pu déconcerter certains candidats.
· Dans la deuxième partie, on montre que la condition (C1) implique les deux
autres. Cette partie ne pose pas de difficulté particulière.
· La troisième partie consiste à montrer que la condition (C2) implique la
condition (C1) dans le cas où u est un automorphisme. Elle n'est constituée que
de questions très classiques. De plus, cette partie et la précédente peuvent
être
traitées dès la première année de classe préparatoire.
· La quatrième partie étudie la suite des noyaux itérés et celle des images
itérées.
Les premières questions sont elles aussi abordables en première année, tandis
que les deux dernières nécessitent des raisonnements fins. Les résultats de
cette
partie sont indispensables pour traiter les suivantes.
· La cinquième partie permet de montrer que la condition (C2) implique la
condition (C1) dans le cas général. Elle est assez courte, mais la dernière
question
nécessite une bonne compréhension de la notion de somme directe.
· La dernière partie montre que la condition (C3) entraîne la condition (C1),
ce qui clôt l'équivalence des trois propriétés. Elle aussi nécessite une bonne
maîtrise des sommes directes, et les raisonnements sont assez élaborés.
En conclusion, c'est un sujet d'algèbre linéaire qui couvre l'ensemble du
programme de première année et qui utilise les notions fondamentales du
programme
de deuxième année (ce qui ne veut pas dire que les questions où elles sont
utilisées
soient élémentaires). Il y a de nombreuses questions, de difficultés variées.
Les résultats étant toujours donnés, quitte à les admettre on n'était nullement
handicapé
pour les questions suivantes. Ce sujet pourra être utilisé avec profit après le
cours de
réduction de seconde année pour vérifier que les notions de base ainsi que le
cours de
première année sont bien assimilés.
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Indications
1 Utiliser le fait que Tr (a b) = Tr (b a). Attention, on travaille avec des
endomorphismes et non des matrices !
2 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.
3 Poser D = Vect (X + Y) où X et Y sont deux vecteurs propres pour les deux
valeurs propres distinctes.
5 Calculer D2 .
6 Donner l'image des fi et gi dans la base B et se souvenir que u est échangeur.
7 Utiliser les questions 4 et 5.
8 Montrer que Im f est inclus dans Ker f puis appliquer le théorème du rang.
9 Regarder l'intersection des noyaux, puis minorer la dimension de leur somme
grâce
au résultat de la question 8. Appliquer ensuite le théorème du rang.
10 Montrer que u envoie Ker a sur Ker b et inversement en utilisant l'égalité
des
noyaux et images.
12 Considérer la suite des dimensions des noyaux et se souvenir qu'une partie
non
vide majorée de N admet un plus grand élément.
13 Montrer que l'intersection est nulle, puis appliquer le théorème du rang
comme à
la question 9. Montrer ensuite que v commute avec f afin d'établir les
stabilités.
14 Raisonner par l'absurde : considérer un x vecteur propre pour l'endomorphisme
induit par f et montrer qu'il appartient à la fois à Ec (f ) et à Im (v p ).
Ensuite,
se souvenir qu'une composée d'applications injectives est injective. Enfin,
prendre
un vecteur propre x pour une autre valeur propre µ et calculer v p (x).
15 Appliquer le théorème de Cayley-Hamilton à la restriction de f à Im v p après
avoir montré qu'elle n'admettait qu'une seule valeur propre.
16 Attention, a et b ne commutent pas.
17 En posant p = 2k, écrire up comme une composée d'endomorphismes qui
commutent avec a et b.
18 À l'aide de la question 13, exprimer E comme somme directe de deux espaces.
Utiliser le résultat admis pour prouver que l'endomorphisme (nilpotent) induit
par u sur le premier y est échangeur. Sur le deuxième, montrer à l'aide de la
question 14 que l'endomorphisme induit par u est injectif, puis échangeur
d'après
les questions 10 et 17. « Mélanger » ensuite les espaces obtenus pour prouver
que
u est échangeur.
19 Exprimer u en fonction de u-1 et .
20 Montrer que 2 admet une valeur propre puis poser f = 2 et v = f - IE .
Appliquer les questions 12, 13 et 14.
21 Utiliser la question 15.
22 Montrer que E est somme directe d'espaces vectoriels sur lesquels u est
indécomposable (en raisonnant par récurrence sur la dimension), puis « mélanger
» les
espaces vectoriels en raisonnant comme dans la question 18.
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Partie A
1 Supposons que u vérifie la condition (C3). Par définition de la similitude,
il existe
un automorphisme de E tel que u = (-u) -1 . Or, si a et b sont deux
endomorphismes de E, alors Tr (a b) = Tr (b a), d'où
Tr (u) = Tr (-u) -1 = Tr -u -1 = Tr (-u id ) = Tr (-u)
Par linéarité de la trace, il vient finalement Tr (u) = - Tr (u) c'est-à-dire
Si u vérifie la condition (C3), alors Tr (u) = 0.
2 Le polynôme caractéristique de u est égal à u = X2 - Tr (u)X + det(u) = X2 -
2
en utilisant les valeurs de Tr (u) et det(u) données par l'énoncé. D'après le
théorème
de Cayley-Hamilton, u (u) = 0 d'où
u 2 = 2 IE
Le polynôme caractéristique u = (X - )(X + ) admettant deux racines distinctes
(car 2 6= 0) en dimension 2, u est diagonalisable et les dimensions des
sous-espaces
propres sont égales aux multiplicités des racines correspondantes de u .
Le spectre de u est égal à {-, } et les sous-espaces propres sont de dimension
1.
3 Soient X et Y deux vecteurs propres de u pour les valeurs propres respectives
et -. D'après la question précédente, les valeurs propres étant distinctes, ils
forment
une base de E. Posons D = Vect (X + Y). Par linéarité de u,
u(X + Y) = u(X) + u(Y) = X - Y = (X - Y)
Comme est non nul, les coordonnées des vecteurs X + Y et (X - Y) dans la
base (X, Y), à savoir (1, 1) et (, -), ne sont pas proportionnelles, si bien
que X + Y
et (X - Y) sont linéairement indépendants. Ainsi, u(X + Y) n'appartient pas à D.
En d'autres termes,
En posant D = Vect (X + Y), alors D est une droite vectorielle et u(D) 6 D.
Posons F = D et G = Vect (X - Y). D'après ce qui précède, u(F) est inclus dans
G et
on montre de la même façon que u(G) est inclus dans F. Ils sont de plus
supplémentaires car ce sont deux droites vectorielles engendrées par des
vecteurs linéairement
indépendants en dimension 2. Finalement,
L'endomorphisme u est échangeur.
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Partie B
4 Notons cette matrice TB . Par définition d'un produit par blocs,
0n B
0n B
0n + B × 0p,n 0n × B + B × 0p
TB 2 =
×
=
0p,n 0p
0p,n 0p
0p,n
0p,n × B + 0p
TB 2 = 0n+p
Par suite,
De la même façon, si l'on pose
0n
TA =
A
0n,p
0p
alors TA 2 = 0n+p . Le résultat en découle en remarquant que M = TA + TB .
M est la somme des deux matrices
0n
A
0n,p
0p
et
0n
0p,n
B
0p
de carré nul.
5 Comme à la question 4, en effectuant un produit par blocs, il vient
In 0n,p
2
D =
= In+p
0p,n Ip
d'où
La matrice D est inversible et D-1 = D.
On pouvait également remarquer que det(D) = (-1)p 6= 0 donc D est inversible.
De plus, l'inverse d'une matrice diagonale est la matrice diagonale
dont les éléments diagonaux sont les inverses de ceux de la matrice d'origine,
ce qui permet également de conclure.
Toujours en effectuant un produit par blocs, on obtient
0n B
0n -B
DMD-1 =
D-1 =
= -M
-A 0p
-A 0p
c'est-à-dire que
La matrice M est semblable à -M.
6 Soit i [[ 1 ; n ]]. Puisque u(F) est inclus dans G, alors u(fi ) G donc il
existe
(aij )j[[ 1 ; p ]] Cp tels que
u(fi ) =
p
X
aij gj
j=1
Soit A Mp,n (C) de terme général aij . Par définition de la matrice associée à
un
endomorphisme dans une base donnée, les n premières colonnes de la matrice
associée
t
à u dans la base B sont 0n t A . De la même façon, il existe B Mn,p (C) telle
que
t t
les p colonnes suivantes de la même matrice soient
B 0p . En d'autres termes,
0n
Il existe A Mp,n (C) et B Mn,p (C) telles que Mat B (u) =
A
B
.
0p