Mines Maths 2 PSI 2017

Thème de l'épreuve Endomorphismes échangeurs
Principaux outils utilisés sommes directes, sous-espaces stables, valeurs propres
Mots clefs endomorphismes échangeurs, endomorphisme indécomposable

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2017 ­ MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Endomorphismes échangeurs Durée prévue : 3 h Dans tout le problème, les espaces vectoriels considérés ont C, le corps des nombres complexes, pour corps de base. Étant donné deux entiers naturels n et p non nuls, on note Mn,p (C) l'espace vectoriel des matrices à n lignes, p colonnes et à coefficients dans C (et 0n,p sa matrice nulle) et Mn (C) celui des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans C (et 0n sa matrice nulle). Soit E un C-espace vectoriel. On note L(E) l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Un endomorphisme u de E est dit échangeur lorsqu'il existe des sous-espaces vectoriels F et G de E tels que E = F G, u(F ) G et u(G) F. Étant donné deux endomorphismes u et v de E, on dit que v est semblable à u lorsqu'il existe un automorphisme de E tel que v = u -1 . On notera que dans ce cas u = -1 v (-1 )-1 , si bien que u est semblable à v. On dit que u est de carré nul lorsque u2 est l'endomorphisme nul de E. On dit que u est nilpotent lorsqu'il existe un entier naturel n 1 tel que un = 0. Une matrice A Mn (C) est dite de carré nul lorsque A2 = 0n . L'objectif du problème est d'établir, pour un endomorphisme u d'un C-espace vectoriel E de dimension finie, l'équivalence entre les conditions suivantes : (C1) L'endomorphisme u est échangeur. (C2) Il existe a L(E) et b L(E), tous deux de carré nul, tels que u = a + b. (C3) Les endomorphismes u et -u sont semblables. Chacune des parties A et B est indépendante des autres. Les résultats de la partie D sont essentiels au traitement des parties E et F. 1 A Quelques considérations en dimension 2 On se donne ici un C-espace vectoriel E de dimension 2 et un endomorphisme u de E. 1. Montrer que si u vérifie la condition (C3) alors u est de trace nulle. Jusqu'à la fin de cette partie, on suppose u de trace nulle et de déterminant non nul. On choisit un nombre complexe tel que 2 = - det u. 2. Montrer que u2 = 2 IE , déterminer le spectre de u et préciser la dimension des sous-espaces propres de u. 3. Expliciter, à l'aide de vecteurs propres de u, une droite vectorielle D telle que u(D) " D, et en déduire que u est échangeur. B La condition (C1) implique (C2) et (C3) Soit n et p deux entiers naturels non nuls. Soit A Mp,n (C) et B Mn,p (C). On considère dans Mn+p (C) la matrice ! " 0 B . M := n A 0p ! " 0n B 4. Calculer le carré de la matrice de Mn+p (C). Montrer ensuite que 0p,n 0p M est la somme de deux matrices de carré nul. 5. On considère dans Mn+p (C) la matrice diagonale par blocs ! " In 0n,p D := . 0p,n -Ip Montrer que D est inversible, calculer D-1 puis DM D-1 , et en déduire que M est semblable à -M . 2 TSVP Jusqu'à la fin de cette partie, on se donne un endomorphisme u d'un C-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose que u est échangeur, et on se donne donc une décomposition E = F G dans laquelle F et G sont des sous-espaces vectoriels vérifiant u(F ) G et u(G) F . 6. On suppose ici F et G tous deux non nuls. On se donne une base (f1 , . . . , fn ) de F et une base (g1 , . . . , gp ) de G. La famille B = (f1 , . . . , fn , g1 , . . . , gp ) est donc une base de E. Compte tenu des hypothèses, décrire la forme de la matrice de u dans B. 7. Déduire des questions précédentes que u vérifie les conditions (C2) et (C3). On n'oubliera pas de considérer le cas où l'un des sous-espaces vectoriels F et G est nul. C La condition (C2) implique la condition (C1) : cas d'un automorphisme Dans cette partie, u désigne un automorphisme d'un C-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes a et b de E tels que u = a + b et a2 = b2 = 0. 8. Soit f un endomorphisme de E tel que f 2 = 0. Comparer Ker f à Im f et en déduire dim E · dim Ker f 2 9. Démontrer que E = Ker a Ker b, et que Ker a = Im a et Ker b = Im b. 10. En déduire que u est échangeur. D Intermède : un principe de décomposition On se donne dans cette partie un C-espace vectoriel E de dimension finie, ainsi qu'un endomorphisme f de E. On se donne un nombre complexe arbitraire. On pose v := f - IE . 3 ! " 11. Montrer que la suite Ker(v k ) kN est croissante pour l'inclusion. 12. Montrer qu'il existe un entier naturel p tel que k p, Ker v k = Ker v p . On pourra introduire la plus grande dimension possible pour un sous-espace vectoriel de la forme Ker v k pour k dans N. Montrer qu'alors Ker v p = # Ker v k kN et que p peut être choisi parmi les entiers pairs. Dans la suite de cette partie, on fixe un entier naturel pair p donné par la question 12 et l'on pose Ec (f ) := # Ker v k = Ker v p . kN On notera que Ec (f ) est un sous-espace vectoriel de E. 13. Montrer que Ec (f ) = Ker(v 2p ) et en déduire E = Ec (f ) Im(v p ). Montrer en outre que les sous-espaces vectoriels Ec (f ) et Im(v p ) sont tous deux stables par f . 14. Montrer que n'est pas valeur propre de l'endomorphisme induit par f sur Im(v p ). Montrer que si Ec (f ) n'est pas nul alors est l'unique valeur propre de l'endomorphisme induit par f sur Ec (f ). 15. On se donne ici un nombre complexe µ différent de . On suppose que toute valeur propre de f différente de est égale à µ. Montrer que Im(v p ) Eµc (f ), puis que E = Ec (f ) Eµc (f ). On pourra s'intéresser au polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par f sur Im(v p ). 4 TSVP E La condition (C2) implique la condition (C1) : cas non bijectif Dans cette partie, on admet la validité de l'énoncé suivant : Théorème : Tout endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel de dimension finie est échangeur. On se donne ici un endomorphisme non bijectif u d'un C-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes a et b de E tels que u = a + b et a2 = b2 = 0. 16. Montrer que a et b commutent avec u2 . On fixe maintenant un entier pair p tel que E0c (u) = Ker up , donné par la question 12. 17. Montrer que le sous-espace vectoriel G := Im up est stable par a et b et que les endomorphismes induits aG et bG sont de carré nul. 18. En déduire que u est échangeur. On pourra utiliser, entre autres, le résultat final de la partie C. F La condition (C3) implique la condition (C1) Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Un endomorphisme u de E est dit indécomposable lorsque : (i) La condition (C3) est vérifiée par u. (ii) Il n'existe aucune décomposition E = F G dans laquelle F et G sont des sous-espaces vectoriels non nuls, stables par u et tels que les endomorphismes induits respectifs uF et uG vérifient tous deux la condition (C3). Jusqu'à la question 21 incluse, on se donne un endomorphisme indécomposable u de E. On dispose en particulier d'un automorphisme de E tel que -u = u -1 . 5 19. Montrer que 2 commute avec u. 20. Montrer que 2 possède une unique valeur propre . En déduire que les valeurs propres de sont parmi et -, pour un certain nombre complexe non nul . On utilisera l'indécomposabilité de u ainsi que les résultats des questions 13 et 14. 21. En déduire que u est échangeur. On pourra appliquer le résultat final de la question 15. 22. En déduire plus généralement que, pour tout endomorphisme d'un C-espace vectoriel de dimension finie, la condition (C3) implique la condition (C1). Fin du problème 6

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 Mines Maths 2 PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Antoine Sihrener (professeur en CPGE) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (professeur en CPGE) et Céline Chevalier (enseignantchercheur à l'université). Ce sujet a pour but l'étude des endomorphismes échangeurs u d'un C-espace vectoriel E de dimension finie, c'est-à-dire vérifiant la propriété : « Il existe F et G supplémentaires dans E tels que u(F) G et u(G) F. » Plus précisément, si u est un endomorphisme de E, ce problème propose de montrer l'équivalence entre les trois propriétés suivantes : (C1) u est échangeur. (C2) u est somme de deux endomorphismes de E de carré nul. (C3) u est semblable à -u. · La première partie donne une condition suffisante pour qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2 soit échangeur. Les questions sont abordables, mais l'application à des endomorphismes de notions utilisées en général pour les matrices a pu déconcerter certains candidats. · Dans la deuxième partie, on montre que la condition (C1) implique les deux autres. Cette partie ne pose pas de difficulté particulière. · La troisième partie consiste à montrer que la condition (C2) implique la condition (C1) dans le cas où u est un automorphisme. Elle n'est constituée que de questions très classiques. De plus, cette partie et la précédente peuvent être traitées dès la première année de classe préparatoire. · La quatrième partie étudie la suite des noyaux itérés et celle des images itérées. Les premières questions sont elles aussi abordables en première année, tandis que les deux dernières nécessitent des raisonnements fins. Les résultats de cette partie sont indispensables pour traiter les suivantes. · La cinquième partie permet de montrer que la condition (C2) implique la condition (C1) dans le cas général. Elle est assez courte, mais la dernière question nécessite une bonne compréhension de la notion de somme directe. · La dernière partie montre que la condition (C3) entraîne la condition (C1), ce qui clôt l'équivalence des trois propriétés. Elle aussi nécessite une bonne maîtrise des sommes directes, et les raisonnements sont assez élaborés. En conclusion, c'est un sujet d'algèbre linéaire qui couvre l'ensemble du programme de première année et qui utilise les notions fondamentales du programme de deuxième année (ce qui ne veut pas dire que les questions où elles sont utilisées soient élémentaires). Il y a de nombreuses questions, de difficultés variées. Les résultats étant toujours donnés, quitte à les admettre on n'était nullement handicapé pour les questions suivantes. Ce sujet pourra être utilisé avec profit après le cours de réduction de seconde année pour vérifier que les notions de base ainsi que le cours de première année sont bien assimilés. Indications 1 Utiliser le fait que Tr (a b) = Tr (b a). Attention, on travaille avec des endomorphismes et non des matrices ! 2 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton. 3 Poser D = Vect (X + Y) où X et Y sont deux vecteurs propres pour les deux valeurs propres distinctes. 5 Calculer D2 . 6 Donner l'image des fi et gi dans la base B et se souvenir que u est échangeur. 7 Utiliser les questions 4 et 5. 8 Montrer que Im f est inclus dans Ker f puis appliquer le théorème du rang. 9 Regarder l'intersection des noyaux, puis minorer la dimension de leur somme grâce au résultat de la question 8. Appliquer ensuite le théorème du rang. 10 Montrer que u envoie Ker a sur Ker b et inversement en utilisant l'égalité des noyaux et images. 12 Considérer la suite des dimensions des noyaux et se souvenir qu'une partie non vide majorée de N admet un plus grand élément. 13 Montrer que l'intersection est nulle, puis appliquer le théorème du rang comme à la question 9. Montrer ensuite que v commute avec f afin d'établir les stabilités. 14 Raisonner par l'absurde : considérer un x vecteur propre pour l'endomorphisme induit par f et montrer qu'il appartient à la fois à Ec (f ) et à Im (v p ). Ensuite, se souvenir qu'une composée d'applications injectives est injective. Enfin, prendre un vecteur propre x pour une autre valeur propre µ et calculer v p (x). 15 Appliquer le théorème de Cayley-Hamilton à la restriction de f à Im v p après avoir montré qu'elle n'admettait qu'une seule valeur propre. 16 Attention, a et b ne commutent pas. 17 En posant p = 2k, écrire up comme une composée d'endomorphismes qui commutent avec a et b. 18 À l'aide de la question 13, exprimer E comme somme directe de deux espaces. Utiliser le résultat admis pour prouver que l'endomorphisme (nilpotent) induit par u sur le premier y est échangeur. Sur le deuxième, montrer à l'aide de la question 14 que l'endomorphisme induit par u est injectif, puis échangeur d'après les questions 10 et 17. « Mélanger » ensuite les espaces obtenus pour prouver que u est échangeur. 19 Exprimer u en fonction de u-1 et . 20 Montrer que 2 admet une valeur propre puis poser f = 2 et v = f - IE . Appliquer les questions 12, 13 et 14. 21 Utiliser la question 15. 22 Montrer que E est somme directe d'espaces vectoriels sur lesquels u est indécomposable (en raisonnant par récurrence sur la dimension), puis « mélanger » les espaces vectoriels en raisonnant comme dans la question 18. Partie A 1 Supposons que u vérifie la condition (C3). Par définition de la similitude, il existe un automorphisme de E tel que u = (-u) -1 . Or, si a et b sont deux endomorphismes de E, alors Tr (a b) = Tr (b a), d'où Tr (u) = Tr (-u) -1 = Tr -u -1 = Tr (-u id ) = Tr (-u) Par linéarité de la trace, il vient finalement Tr (u) = - Tr (u) c'est-à-dire Si u vérifie la condition (C3), alors Tr (u) = 0. 2 Le polynôme caractéristique de u est égal à u = X2 - Tr (u)X + det(u) = X2 - 2 en utilisant les valeurs de Tr (u) et det(u) données par l'énoncé. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, u (u) = 0 d'où u 2 = 2 IE Le polynôme caractéristique u = (X - )(X + ) admettant deux racines distinctes (car 2 6= 0) en dimension 2, u est diagonalisable et les dimensions des sous-espaces propres sont égales aux multiplicités des racines correspondantes de u . Le spectre de u est égal à {-, } et les sous-espaces propres sont de dimension 1. 3 Soient X et Y deux vecteurs propres de u pour les valeurs propres respectives et -. D'après la question précédente, les valeurs propres étant distinctes, ils forment une base de E. Posons D = Vect (X + Y). Par linéarité de u, u(X + Y) = u(X) + u(Y) = X - Y = (X - Y) Comme est non nul, les coordonnées des vecteurs X + Y et (X - Y) dans la base (X, Y), à savoir (1, 1) et (, -), ne sont pas proportionnelles, si bien que X + Y et (X - Y) sont linéairement indépendants. Ainsi, u(X + Y) n'appartient pas à D. En d'autres termes, En posant D = Vect (X + Y), alors D est une droite vectorielle et u(D) 6 D. Posons F = D et G = Vect (X - Y). D'après ce qui précède, u(F) est inclus dans G et on montre de la même façon que u(G) est inclus dans F. Ils sont de plus supplémentaires car ce sont deux droites vectorielles engendrées par des vecteurs linéairement indépendants en dimension 2. Finalement, L'endomorphisme u est échangeur. Partie B 4 Notons cette matrice TB . Par définition d'un produit par blocs, 0n B 0n B 0n + B × 0p,n 0n × B + B × 0p TB 2 = × = 0p,n 0p 0p,n 0p 0p,n 0p,n × B + 0p TB 2 = 0n+p Par suite, De la même façon, si l'on pose 0n TA = A 0n,p 0p alors TA 2 = 0n+p . Le résultat en découle en remarquant que M = TA + TB . M est la somme des deux matrices 0n A 0n,p 0p et 0n 0p,n B 0p de carré nul. 5 Comme à la question 4, en effectuant un produit par blocs, il vient In 0n,p 2 D = = In+p 0p,n Ip d'où La matrice D est inversible et D-1 = D. On pouvait également remarquer que det(D) = (-1)p 6= 0 donc D est inversible. De plus, l'inverse d'une matrice diagonale est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les inverses de ceux de la matrice d'origine, ce qui permet également de conclure. Toujours en effectuant un produit par blocs, on obtient 0n B 0n -B DMD-1 = D-1 = = -M -A 0p -A 0p c'est-à-dire que La matrice M est semblable à -M. 6 Soit i [[ 1 ; n ]]. Puisque u(F) est inclus dans G, alors u(fi ) G donc il existe (aij )j[[ 1 ; p ]] Cp tels que u(fi ) = p X aij gj j=1 Soit A Mp,n (C) de terme général aij . Par définition de la matrice associée à un endomorphisme dans une base donnée, les n premières colonnes de la matrice associée t à u dans la base B sont 0n t A . De la même façon, il existe B Mn,p (C) telle que t t les p colonnes suivantes de la même matrice soient B 0p . En d'autres termes, 0n Il existe A Mp,n (C) et B Mn,p (C) telles que Mat B (u) = A B . 0p