Mines Maths 2 PSI 2016

Thème de l'épreuve Matrices quasi-nilpotentes
Principaux outils utilisés matrices symétriques, éléments propres, dimension, sommes directes
Mots clefs matrice nilpotente, matrice de permutation, lemme des colonnes

Corrigé

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A 2016 - MATH II PSI. École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP). CONCOURS 2016 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international). Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Mathématiques II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Matrices quasi-nilpotentes Notations Dans tout le problème, K désigne R ou C. Étant donnés deux entiers naturels n et p non nuls, on note Mn,p (K) l'espace vectoriel des matrices à n lignes, p colonnes et à coefficients dans K, et Mn (K) celui des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans K. Pour i et j dans [[1, n]], on note Ei,j la matrice élémentaire de Mn (K) ayant exactement un coefficient non nul, situé en position (i, j) et de valeur 1. La transposée d'une matrice M sera notée t M . Une matrice carrée A Mn (K) est dite triangulaire supérieure stricte lorsqu'elle est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous nuls. On note Sn (K), An (K) et T++ n (K) les sous-ensembles de Mn (K) constitués, respectivement, des matrices symétriques, antisymétriques, et triangulaires supérieures strictes. On rappelle la notation du symbole de Kronecker : pour x et y deux entiers, x,y = 1 si x = y, sinon. 0 Définition 1 Étant donné un entier naturel non nul n, un sous-espace vectoriel V de Mn (K), et un élément j de [[1, n]], on note Cj (V ) l'ensemble des matrices de V dont toutes les colonnes sont nulles à l'exception éventuelle de la j-ième. Pour toute matrice M Mn (K) avec n > 2, on notera K(M ) Mn-1 (K), R(M ) Mn-1,1 (K), L(M ) M1,n-1 (K) et a(M ) K la décomposition de M en blocs suivante : M = K(M ) R(M ) L(M ) a(M ) . (1) On a en particulier défini des fonctions K : V Mn-1 (K) et L : V M1,n-1 (K), évidemment linéaires. 2 Objectifs Définition 2 Soit A une matrice de Mn (K). On dit que A est quasi-nilpotente lorsqu'elle ne possède aucune valeur propre non nulle dans K. Une partie V de Mn (K) est dite quasi-nilpotente lorsque tous ses éléments sont quasi-nilpotents. On se propose d'étudier les sous-espaces vectoriels quasi-nilpotents de Mn (K). En particulier, le résultat principal que nous souhaitons établir s'énonce comme suit : Théorème (Dimension des espaces quasi-nilpotents) Pour tout sous-espace vectoriel quasi-nilpotent V de Mn (K), on a dim V 6 n(n - 1) · 2 (QN) La clé pour démontrer ce résultat réside dans le lemme suivant, démontré dans la partie C. Lemme (Lemme des colonnes) Pour tout sous-espace vectoriel V de Mn (K), quasi-nilpotent, il existe un élément j de [[1, n]] tel que Cj (V ) = {0}. A Exemples Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. C D C D 0 -1 1. Montrer que la matrice D = est quasi-nilpotente vue comme matrice 1 0 de M2 (R). Est-elle quasi-nilpotente vue comme matrice de M2 (C) ? 1 i 2. Montrer que la matrice B = est quasi-nilpotente vue comme matrice i -1 de M2 (C). 3. Montrer que Sn (K), An (K) et T++ n (K) sont des sous-espaces vectoriels de Mn (K). Montrer que la dimension de Sn (K) est n(n + 1)/2. 4. Montrer que T++ n (K) est quasi-nilpotent dans Mn (K). Vérifier que dim T++ n (K) = 3 n(n - 1) · 2 TSVP 5. Soit A An (R). Montrer que pour tout X Mn,1 (R), t XAX = 0. En déduire que An (R) est quasi-nilpotent dans Mn (R). 6. Montrer qu'il n'existe pas de matrice inversible P GLn (R) telle que : An (R) = {P M P -1 | M T++ n (R)}. Indication : on pourra commencer par étudier le cas n = 2, en utilisant par exemple la matrice D introduite à la question 1. B Cas réel Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul. 7. Déterminer l'ensemble des matrices de Sn (R) qui sont quasi-nilpotentes dans Mn (R). Le résultat obtenu tient-il si l'on remplace R par C ? 8. Soit V un sous-espace vectoriel de Mn (R), quasi-nilpotent dans Mn (R). Déduire de la question précédente que : dim V 6 C n(n - 1) · 2 Lemme des colonnes On se propose ici de démontrer le lemme des colonnes par récurrence sur l'entier n. 9. Justifier que le lemme des colonnes est vrai dans le cas n = 1. Dans la suite, on fixe un entier naturel n > 2 et on suppose le lemme des colonnes vrai pour l'entier n - 1. On se donne un sous-espace vectoriel quasinilpotent V de Mn (K). On raisonne par l'absurde en supposant que Cj (V ) Ó= {0} pour tout j [[1, n]]. On introduit le sous-ensemble V de V constitué de ses matrices de dernière colonne nulle. Toute matrice M de V s'écrit donc par blocs 4 comme suit : M= 0 .. . K(M ) L(M ) 0 0 10. Montrer que l'ensemble K(V ) = {K(M ) | M V } est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de Mn-1 (K). 11. En déduire qu'il existe un entier j [[1, n - 1]] tel que En,j V . Soit une bijection de [[1, n]] dans lui-même. Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Kn . On considère l'application linéaire u de Kn dans Kn définie sur la base canonique par u (ej ) = e(j) pour tout j [[1, n]]. On considère la matrice P de Mn (K) : P = (i,(j) )16i,j6n . 12. Vérifier que u est inversible et préciser son inverse. 13. Vérifier que P est la matrice de u dans la base canonique de Kn . Montrer que P est inversible et préciser les coefficients de son inverse. 14. Pour M Mn (K), préciser les coefficients de P-1 M P en fonction de ceux de M et de . On pourra utiliser un changement de base. 15. Montrer que l'ensemble î V = P-1 M P | M V ï est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de Mn (K) et que Cj (V ) Ó= {0} pour tout j [[1, n]]. 16. En déduire que pour tout j [[1, n]] on peut choisir un f (j) [[1, n]] \ {j} tel que Ej,f (j) V . On obtient ainsi une fonction f : [[1, n]] [[1, n]]. 5 TSVP 17. En considérant les images successives de 1, montrer qu'il existe une suite finie (j1 , . . . , jp ) d'éléments deux à deux distincts de [[1, n]] telle que k [[1, p - 1]], f (jk ) = jk+1 et f (jp ) = j1 . 18. Ecrire un algorithme qui permette d'identifier une telle suite connaissant les valeurs de f . 19. Démontrer que 1 est valeur propre de la matrice N = p q k=1 D Ejk ,f (jk ) , et conclure. Cas général On va ici prouver l'inégalité (QN) par récurrence sur n. Le cas n = 1 est trivialement vrai. On fixe donc un entier naturel n > 2 et on suppose l'inégalité (QN) établie au rang n - 1. Soit V un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de Mn (K). On rappelle qu'on peut écrire toute matrice M de Mn (K), et en particulier de V , sous la forme (1) et qu'en particulier, les applications K : V Mn-1 (K) et L : V M1,n-1 (K) sont linéaires. On introduit le sous-espace vectoriel W = {M V | L(M ) = 0}. Jusqu'à la question 21 incluse, on suppose que Cn (V ) = {0}. 20. Montrer que : dim V 6 dim K(W ) + (n - 1). 21. En déduire que : dim V 6 n(n - 1) · 2 On ne suppose plus désormais que Cn (V ) = {0}. 22. Démontrer que : dim V 6 n(n - 1) · 2 Fin du problème 6

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 Mines Maths 2 PSI 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (ENS Cachan) ; il a été relu par Thierry Limoges (ENS Cachan) et Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE). Ce sujet traite des matrices quasi-nilpotentes dans Mn (K) avec K = R ou C. Ce sont les matrices qui ne possèdent aucune valeur propre non nulle dans K. L'objectif du problème est de démontrer que tout sous-espace vectoriel de Mn (K) constitué uniquement de matrices quasi-nilpotentes est de dimension majorée par n(n - 1)/2. Ce sujet est composé de quatre parties, dont les trois premières sont indépendantes. · La partie A s'intéresse aux exemples des matrices symétriques, antisymétriques et triangulaires. Certaines questions sont très proches du cours et ne posent aucune difficulté : structure de sous-espace vectoriel, calcul de dimension, etc. · La partie B propose de démontrer le résultat principal dans le cas réel, en s'appuyant sur les matrices symétriques. Cette partie est courte et facile. · La partie C démontre le lemme dit « des colonnes ». Cette partie est plus technique que les précédentes. Elle fait appel à l'écriture des matrices par blocs, aux matrices de permutation, aux changements de base et aux matrices élémentaires de Mn (K). La fin de cette partie est aussi l'occasion de pratiquer un peu de combinatoire et d'algorithmique sur les suites récurrentes d'ordre 1 prenant un nombre fini de valeurs. · La partie D, enfin, démontre le résultat principal dans le cas général par récurrence sur n, en appliquant le lemme des colonnes. Ce sujet couvre une vaste partie du programme d'algèbre linéaire des deux années. Il pouvait être traité dans le temps imparti à condition de répondre rapidement aux quelques questions faciles, afin de ménager une réserve de temps pour aborder les plus difficiles. Indications Partie A 1 Calculer le polynôme caractéristique de D. 3 Exhiber une base pour calculer la dimension de Sn (K). 4 De même, exhiber une base pour déterminer la dimension de T++ n (K). 5 Calculer la transposée du produit. Appliquer la relation que l'on vient d'établir à un vecteur propre de A. 6 Dans le cas n = 2, montrer que D A2 (R) mais que D n'est pas de la forme P M P-1 avec P GL2 (R) et M T++ n (K). Pour n > 2 compléter par blocs la matrice D de la façon la plus simple pour avoir une matrice antisymétrique vérifiant la propriété voulue. Partie B 7 Utiliser la diagonalisabilité des matrices symétriques réelles. Penser à la matrice étudiée à la question 2. 8 Noter que V et Sn (R) sont en somme directe. Partie C 10 Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice M. 11 Appliquer l'hypothèse de récurrence à K(V ). 15 Utiliser la question 14. 16 Appeler la permutation qui échange j et n, puis appliquer les résultats des questions 11 et 15. 17 Une suite à valeurs dans un ensemble fini ne peut être injective. 18 Commencer par créer un tableau qui stocke les entiers déjà visités par la suite des images successives de 1. De cette manière, trouver un élément qui est atteint deux fois par la suite des images successives de 1. 19 Au moins au brouillon, simplifier le problème en supposant que jk = k pour tout k [[ 1 ; p ]]. Partie D 20 Considérer l'application M 7- (K(M), L(M)) et un supplémentaire de W dans V. 21 Appliquer l'hypothèse de récurrence à K(W). 22 Utiliser le lemme des colonnes et la question 15 pour se ramener à ce qui précède. A. Exemples 1 Le polynôme caractéristique de D, matrice carrée d'ordre 2, est D = X2 - Tr (D)X + det(D) = X2 + 1 Ce polynôme n'admet pas de racine dans R. Les valeurs propres étant exactement les racines du polynôme caractéristique, on en déduit que la matrice D ne possède aucune valeur propre dans R. A fortiori elle ne possède pas de valeur propre non nulle dans R, d'où La matrice D est quasi-nilpotente dans M2 (R). Néanmoins la matrice D possède deux valeurs propres complexes i et -i, qui sont non nulles. Ainsi, La matrice D n'est pas quasi-nilpotente dans M2 (C). 2 De même, la matrice B a pour polynôme caractéristique B = X2 - Tr (B)X + det(B) = X2 Par conséquent, la seule valeur propre complexe de B est 0. Ainsi, La matrice B est quasi-nilpotente dans M2 (C). 3 D'abord, la matrice nulle de Mn (K) est symétrique. Ensuite, pour A, B Sn (K) et K t t t (A + B) = A + B = A + B d'après la linéarité de la transposée. Ainsi A + B Sn (K). Ceci prouve que L'ensemble Sn (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K). La matrice nulle de Mn (K) est antisymétrique, de plus pour A, B An (K) et pour K t t t (A + B) = A + B = -A - B Ainsi A + B An (K). Ceci montre que L'ensemble An (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K). La matrice nulle de Mn (K) est triangulaire supérieure stricte. Soient A = (aij ), B = (bij ) T++ n (K) et K. On pose C = A + B = (cij ) on a (i, j) [[ 1 ; n ]]2 i > j = cij = aij + bij = 0 Ceci montre que C = A + B T++ n (K). On en conclut que L'ensemble T++ n (K) est sous-espace vectoriel de Mn (K). Une autre façon de procéder est d'utiliser le fait que les noyaux d'applications linéaires sont des sous-espaces vectoriels de l'espace de départ. Les ensembles Sn (K) et An (K) sont les noyaux des applications linéaires t t M 7- M - M et M 7- M + M, donc ce sont des sous-espaces vectoriels ++ de Mn (K). Pour Tn (K), introduisons pour k, [[ 1 ; n ]] la forme linéaire k, : (mij ) 7- mk définie sur Mn (K). Ainsi, T++ n (K) s'écrit sous la forme \ T++ n (K) = Ker k, 166k6n Les intersections de sous-espaces vectoriels étant encore des sous-espaces vectoriels, on en déduit que T++ n (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K). Montrons que la famille de matrices symétriques F = (Eii )16i6n (Eij + Eji )16i j, on obtient P P T= tij Eij = tij Eij 16i, j6n 16i