Mines Maths 2 PSI 2015

Thème de l'épreuve Matrices symplectiques
Principaux outils utilisés calculs matriciels par blocs, déterminant
Mots clefs matrice, symplectique, produit par blocs, centre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2015 MATH. II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP, Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Matrices symplectiques Notations Dans tout le problème n désigne un entier naturel non nul : n N . -- Dans En = Mn,1 (R) espace vectoriel réel de dimension n, on utilisera le produit scalaire canonique défini par : (U |V ) = t U V. U, V En , -- On notera Mn = Mn (R), l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients réels. -- Pour A Mn , on notera ker A, le noyau de A vu comme endomorphisme de En . -- Dans Mn , on notera 0n la matrice nulle et In la matrice unité. Le déterminant est noté det. -- Gn = GLn (R) = {M Mn , det(M ) #= 0} désigne le groupe linéaire des matrices inversibles de Mn . -- On = {M Mn , t M M = In } désigne le groupe orthogonal d'indice n, formé des matrices orthogonales de Mn . -- On sera enfin amené à utiliser des décompositions par blocs. On rappelle en particulier que si A, B, C, D, A , B , C , D Mn , on a alors dans M2n : ! A B C D det #! "! A B C D A C 0n D "$ " = = det ! #! 2 AA + BC AB + BD CA + DC CB + DD A 0n C D "$ " . = det(A) det(D). I Le groupe symplectique Soit n N et soit Jn ou simplement J la matrice de M2n définie par J= ! 0n -In In 0n " . On note Sp2n = {M M2n , t M JM = J}. 1. Calculer J 2 et tJ en fonction de I2n et J. Montrer que J est inversible et identifier son inverse. 2. Vérifier que J Sp2n et que pour tout réel , K() = ! 0n In -In In 3. Pour tout U Gn , vérifier que LU = ! U 0n " Sp2n . 0n t -1 U " est dans Sp2n . 4. Si M Sp2n , préciser les valeurs possibles de det(M ). 5. Montrer que le produit de deux éléments de Sp2n est un élément de Sp2n . 6. Montrer qu'un élément de Sp2n est inversible et que son inverse appartient à Sp2n . 7. Montrer que si M Sp2n alors t M Sp2n . Soit M une matrice de M2n écrite sous la forme M= ! A B C D " , avec A, B, C, D Mn . 8. Déterminer des relations sur A, B, C et D caractérisant l'appartenance de M à Sp2n . II Centre de Sp2n On s'intéresse ici au centre Z de Sp2n c'est-à-dire : Z = {M Sp2n , N Sp2n , M N = N M }. 3 TSVP 9. Justifier l'inclusion suivante : {-I2n , I2n } Z. Réciproquement, soit M Z écrite sous la forme M= 10. En utilisant L = ! ! " A B C D In In 0n In " , avec A, B, C, D Mn . et sa transposée, obtenir B = C = 0n et D = A, A étant inversible. 11. Soit U Gn . En utilisant LU = ! U 0n 0n t -1 U " , montrer que A commute avec toute matrice U Gn . 12. Conclure que A {-In , In } et Z = {-I2n , I2n }. Indication : on montrera d'abord que les matrices In + Eij commutent avec A, où (Eij , 1 i, j n) est la base canonique de Mn . III Déterminant d'une matrice symplectique Soit M dans Sp2n que l'on décompose sous forme de matrices blocs M= ! A B C D " (1) avec A, B, C, D Mn . Dans toute cette partie, les matrices A, B, C, D sont les matrices de cette décomposition. On suppose dans les questions 13 et 14 que D est inversible. 13. Montrer qu'il existe quatre matrices Q, U, V, W de Mn telles que ! In Q 0n In "! U 0n V W 4 " = ! A B C D " . 14. En utilisant la question 8, vérifier que BD-1 est symétrique, puis que det(M ) = det(t AD - t CB) = 1. Soit P, Q Mn telles que t P Q soit symétrique et Q non inversible. On suppose qu'il existe deux réels différents s1 , s2 et deux vecteurs V1 , V2 non nuls dans En tels que : (Q - s1 P )V1 = (Q - s2 P )V2 = 0. 15. Montrer que le produit scalaire (QV1 |QV2 ) est nul. On suppose dorénavant D non inversible. 16. Montrer que ker B ker D = {0}. Soit m un entier, m n. Soit s1 , · · · , sm des réels non nuls et deux à deux distincts et V1 , · · · , Vm des vecteurs non nuls tels que (D - si B)Vi = 0 pour i = 1, · · · , m. 17. Montrer que pour tout i {1, · · · , m}, DVi %= 0 et que la famille (DVi , i = 1, · · · , m) forme un système libre de En . 18. En déduire qu'il existe un réel tel que D - B soit inversible. 19. Montrer alors que toute matrice de Sp2n est de déterminant égal à 1. Fin du problème 5

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 Mines Maths 2 PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Matthias Moreno (ENS Lyon) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Le groupe orthogonal réel On est l'ensemble des matrices carrées M de taille n t t vérifiant M M = In . En remplaçant cette condition par M · J · M = J où (lorsque n est pair) 0n/2 -In/2 J= In/2 0n/2 les matrices M forment le groupe symplectique réel, noté Spn . L'étude de ce groupe est l'objet de cette épreuve. Les parties II et III sont indépendantes, mais chacune utilise l'ensemble des résultats de la partie I, notamment celui de la question 8. · La partie I montre que le produit de deux matrices de Sp2n , l'inverse, et la transposée d'une matrice de Sp2n sont aussi des matrices de Sp2n . On examine quelques éléments de ce groupe et on termine par une description générale par blocs des matrices de Sp2n . Hormis la question 7, où l'on peut tourner en rond, cette partie ne présente pas de difficultés particulières. · La partie II montre que l'ensemble des matrices de Sp2n qui commutent avec toutes les autres est égal à {-I2n , I2n }. Si l'on pense à réutiliser les exemples vus précédemment, cette partie est encore relativement facile, mis à part la dernière question où l'on démontre le résultat classique suivant : une matrice commute avec toutes les matrices de GLn (R) si, et seulement si, elle est de la forme In avec R. · La partie III montre que toutes les matrices de Sp2n ont pour déterminant 1. On étudie d'abord un cas particulier, en montrant que la matrice s'écrit comme le produit d'une matrice triangulaire supérieure par une matrice triangulaire inférieure (par blocs). Ensuite, l'examen des vecteurs propres d'une matrice symétrique permet de ramener le cas général au cas particulier précédent. Cette épreuve est élémentaire, la plupart des questions se résolvent par un simple calcul. Elle permet de travailler sur les différentes opérations matricielles (produit par blocs, transposée, inverse, déterminant). Dans la dernière partie, on aborde quelques questions d'algèbre bilinéaire (produit scalaire, matrice symétrique, vecteurs propres orthogonaux). Indications Partie I 1 Utiliser la formule de calcul du produit de matrices par blocs rappelée dans l'énoncé. Déduire directement l'inverse de J du calcul de J2 . 2 Utiliser les résultats de la question 1 pour J. 4 Prendre le déterminant dans l'équation qui définit l'appartenance à Sp2n . 6 La question 4 donne directement l'inversibilité. 7 Commencer par prendre l'inverse dans l'égalité définissant Sp2n . 8 Faire les calculs par blocs, puis identifier les blocs. Partie II 10 Reconnaître la matrice de la question 2 pour = -1. Écrire que M commute t avec L et L. Une fois M de la forme voulue, l'examen de son déterminant montre que A est inversible. 11 Se reporter à la question 3, puis écrire que M commute avec LU . 12 L'indication de l'énoncé permet de montrer que A est de la forme In avec R. On conclut avec la question 4. Partie III 13 Raisonner par analyse-synthèse, en effectuant des calculs par blocs. Penser à utiliser l'hypothèse que D est inversible. 14 La question 8 permet de montrer que BD-1 est symétrique. Appliquer ensuite le déterminant à la formule de la question 13 et utiliser à nouveau la question 8 pour simplifier le résultat. 15 Le produit scalaire se calcule matriciellement. En utilisant sa symétrie, on fait apparaître une première fois s1 , puis s2 . 16 La question 8 permet de conclure directement. 17 Pour la liberté, montrer que les vecteurs sont deux à deux orthogonaux. 18 Si D - B n'est pas inversible, alors son noyau possède un vecteur non nul. 19 Multiplier M par K() permet de se ramener au cas de la question 14. Conclure grâce à l'égalité det K() = 1. I. Le groupe symplectique 1 Tout d'abord, utilisons la formule de calcul par blocs donnée dans l'énoncé : 0n -In 0n -In 0n · 0n - In · In 0n · (-In ) - In · 0n 2 J = = In 0 n In 0 n In · 0n + 0n · In In · (-In ) + 0n · 0n -In 0n 2 Ainsi, J = = -I2n 0n -In t t t 0n -In 0 In 0 n In t Ensuite, J= = t n = t In 0 n -In 0n (-In ) 0n t d'où J = -J Attention, lorsque l'on écrit la transposée d'une matrice par blocs, il faut penser à échanger les blocs anti-diagonaux ! Enfin, l'égalité J2 = -I2n se réécrit J · (-J) = I2n donc J est inversible et J-1 = -J. t 2 On a J M2n . D'après la question 1, J · J · J = -J · J2 = -J × (-I2n ) = J d'où Soit R, on a t K() = In 0n J Sp2n -In . Calculons In K() J In 0n | donc z }| { z }| { 0n -In In 0n In 0 n -In In -In -In 0n -In -In t = K() · J · K() In 0n In 0 n In {z } | {z } t K() t K()·J R 3 Soit U Gn , on a bien LU M2n K() Sp2n t U 0n t puis LU = d'où 0n U-1 LU J z }| z }| { !{ U 0n 0n -In -1 In 0 n 0n t U t t 0n -In U 0n 0n - U t = LU ·J · LU In 0 n 0n U-1 U-1 0n | {z } | {z } tL U t t car U U -1 t L ·J U t t = (U-1 U) = In = In . Finalement, U Gn LU Sp2n t La notation U-1 n'est pas ambiguë car pour toute matrice U inversible, t t t la matrice U est inversible et (U-1 ) = ( U)-1 d'après le cours. t 4 Soit M Sp2n . Alors M JM = J. D'après les propriétés du déterminant, on a t t det J = det ( M JM) = det ( M) × det J × det M = det J × (det M)2 | {z } =det M Puisque J est inversible (question 1), det J est non nul d'où (det M)2 = 1. Ainsi, Si M Sp2n alors det M = + - 1. 5 Soit (M, N) (Sp2n )2 . Alors MN Sp2n . Calculons t t t (MN) J(MN) = N( M JM)N t (car M Sp2n ) (MN) J(MN) = J (car N Sp2n ) = N JN t donc (M, N) (Sp2n )2 MN Sp2n 6 Soit M Sp2n . D'après la question 4, M est inversible car de déterminant non nul. Multiplions l'égalité t M JM = J à gauche par ( t M)-1 et à droite par M-1 . Il vient t J = ( t M)-1 JM-1 = (M-1 ) JM-1 d'où M Sp2n et M-1 Sp2n M G2n t 7 Soit M Sp2n . D'après la question 6, M-1 Sp2n d'où (M-1 ) JM-1 = J. Prenons l'inverse : t ( M-1 ×J × M-1 )-1 = J-1 Comme (AB)-1 = B-1 A-1 pour toutes matrices A, B G2n , on obtient t (M-1 )-1 × J-1 × ( M-1 )-1 = J-1 t M × (-J) × M = -J (J-1 = -J, question 1) MJ t M = J t t ( M) J t M = J soit Ainsi, t M Sp2n M Sp2n t Si l'on prend la transposée dans M JM = J, on retombe sur la même égalité. En effet, la transposée échange l'ordre des matrices et elle transforme égat lement M en M ! En prenant l'inverse, on échange l'ordre des matrices sans t t transformer M en M, ce qui fait passer M du bon côté. C 8 On a M= t D t t t t A C 0n -In C - A t d'où MJ = t = t t t In 0 n B D D - B t t t t t t C - A A B CA - AC CB - AD t puis M JM = t = t C D D - tB D A - tB C tD B - tB D t t A t B t Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont les mêmes coefficients, d'où