Mines Maths 2 PSI 2014

Thème de l'épreuve Racines de l'opposé du laplacien et équation de la chaleur généralisée
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries de Fourier, théorème d'interversion
Mots clefs fourier, opérateur différentiel, équation de la chaleur

Corrigé

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A 2014 MATH Il PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2014 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initia- tives qu'il est amené à prendre. Racine de l'opposé du Laplacien et Equation de la chaleur généralisée Notations On note N l'ensemble des entiers naturels, Z l'ensemble des entiers relatifs, R l'en- semble des nombres réels, N* l'ensemble des nombres entiers strictement positifs, R-- l'ensemble des nombres réels négatifs ou nuls, R+ l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls et R+* l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On note %; l'ensemble des fonctions R --> C de classe (EURk, de période 2712, où k EUR [0,00] , et pourf EUR (@), on note "f" = supxEUR[0,2OE] |f (x)| . On note en la fonction R --> C définie par en (x) = e", et pour f E (@), c,,(f)=âJ f(6)e_,,(6)d6, nEZ. (1) Lorsqu'une série est absolument convergente, on montre que sa somme ne dépend pas de l'ordre des termes, ce qui justifie d'écrire do+Îd_n+Îdn=Zdn n=1 n=1 nEURZ . , . . . , . +00 et de d1re que la ser1e Enez dn converge absolument 51 et seulement 51 les ser1es Zn=1 d_,, + et Znîî dn convergent absolument. 1 Séries trigonométriques Question 1 Soit f E (@), démontrer que la suite des en ( f ) où n EUR Z, est bornée. Question 2 Soit f E %Ï, donner l'expression de en ( f 00) en fonction de en ( f ). En de'-- duire que pour tout k E N, il existe Ck > 0 tel que, pour tout entier relatif non nul n C Cn(f)l 5 fi (2) Soit (dn)nEURZ , une suite d'éléments de C, telle que la série ZnEURZ dn converge absolu- ment. Question 3 Montrer que pour tout x réel la série Enez de, (x) converge et que sa somme h (x) appartient à (EUR ; . Justifier que, pour tout n EUR Z dn = en (h). Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l'entier k, il existe Ck > O et Nk Z 1 tels que d n Ck lnl ues ion émon rer ue our ou en ier; asérie e conver enorma emen ; Q t 4D t q p t tl t 1 nezdn 2" g 1 t en déduire que h (x) = E dnen (x) appartient à (EUR ;° . nEURZ Un opérateur différentiel sur %? est une application linéaire B de (EUR? dans lui- même de la forme suivante : Bf = 2 bkf"<), k=O où les réels bk sont tous nuls sauf un nombre fini. On appelle ordre de B l'entier K défini parK =max{k EURNlbk #0}. Question 5 Démontrer qu'une application linéaire B de (EUR? dans lui-même est un opé-- rateur difiérentiel d'ordre K si et seulement si il existe un polynôme PK d'ordre K tel que, pour tout entier relatif n, et pour tout f E (EUR;O, cn (B f ) = PK (n) cn ( f ) . 2 Equation de la chaleur généralisée Soit ,a une fonction : R+ --> R+, strictement croissante, telle qu'il existe EUR EUR N+ avec Vy21,y5p(y)5y'. Question 6 Soit f E (EUR;O, démontrer que la série Enez ,o (lnl) cn ( f ) en converge norma- lement et que sa somme appartient à (6520. Question 7 Soit f E (@), démontrer que pour tout t > 0, la série Enez e_tp(lnl)cn ( f ) en converge normalement et que sa somme appartient à (6520. On définit l'opérateurA : (EUR? --> (EUR? par la formule A(f) =Zp(lnl)cn(f)en- (3) nEURZ I o + On suppose desorma1s que t E R *, et on définit l'opérateur Qt sur (672 par la formule suivante : Qt (f ) = Ze_'P('"')cn (f ) en. (4) nEURZ Question 8 Montrer que pour x réel fixé et f E (@), la fonction t +--> Qt ( f ) (x) est de classe (60° sur R+*. Question 9 Démontrer que, pour f EUR (EUR; et t > O, (? ÆQt (f) (x) = --A(Qt (f)) (x) Vx EUR R-- (5) On note I l'opérateur identité de (6520. Question 10 Soit a E C, a çÈ R_. Montrer que pour tout g EUR (EUR? il existe un et un seul élément, noté u, appartenant à %? qui soit solution de l'équation (A + ocI ) u = g. Question 11 Montrer que pour fie a > O et g E %Ï, et pour tout x réel, +OE) (A+ aI)_1(g)(x) = J e_atQt (g) (x) dt. 0 Question 12 Déterminer les valeurs propres de A, c'est-à-dire les  complexes tels qu'il existe g # O vérifiantA(g) = Âg. 3 Représentations intégrales Dans ce paragraphe on s'intéresse à deux occurences particulières de la fonction ,o : ,o1 et ,o2 définies sur R+ par p1(y) = y et ,o2 (y) = 3/2. On pose A1(f)=Zlnlcn(f)en etA2(f)=ancn(f)em (6) nEURZ nEURZ ainsi que Qî (f) = z e_tlnlcn (f) en: et Q? (f) = z e_tn26n (f) en° (7) nEURZ nEURZ Question 13 Démontrer que si f E CÏ, (A1 OA1) ( f ) = A2 ( f ) . Question 14 Démontrer que A2 est un opérateur difiérentiel et en donner l'expression. En est-il de même pour A1 ? Question 15 En référence aux résultats des questions 13 et 9, justifier le titre du document. Si g est une fonction continue et intégrable sur R, on pose ]' +OO ---ùox ÿ(g)(oe)=\/ÎÎJ_OE EUR g(x)dxn (8) où (U E R ; c'est la transformée de Fourier de f. On admettra les formules suivantes : 1 7Ï ---oe --x2 __ ---oe2 ÿ(1+x2)(oe)=\/ge ' |et.fi'(e /2)(oe)--e /2. (9) ues ion éerminer e rée a e ue, our ou , our ou rée e ou Qt16Dt llthpttEURfiÏpttylttt teR+*, + Qî(f)(y)=aJ ' ËETïÎSËËÏÏ()/----ÇX)(ÏXL 4 Données initiales continues On suppose dans ce paragraphe que f E (@), et on se limite à l'étude de (2% ( f ) . On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction f continue T périodique et tout 8 > 0, il existe un polynôme trigonométrique p, soit p(t)= che2imt/T oùcnEURC,etZN={nEZI--NSnSN}, nEURZN tel que "f --p|l S 8. Question 17 En s'aidant du théorème ci-dessus, montrer que pour tout y réel et tout t réel strictement positif t2+x2 --OO Qï(f)(y)=--J+OE#fa--X)dx. Question 18 En utilisant l'expression de Qî ( f ) sous forme de série, montrer que t-->O t>0 nm J % (f (y)--Qî exam =o. ...» Question 19 En utilisant l'expression intégrale de Qî obtenue à la question 17, montrer que pour tout y réel, f (y) = liggQî (f) (y)- (11) t>0 5 Décroissance de l'énergie Pourf EUR (@), on pose Që (f) =f et 1 27T 1 2 E(t)=î |Qt(f)(x)l dx, tZO. (12) 0 Question 20 Montrer que E est une fonction décroissante de t et déterminer sa limite en t = +00. Fin de l'épreuve

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 Mines Maths 2 PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (ENS Cachan) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). 2 T(t, x) - 2 T(t, x) = 0 t x se généralise en T(t, x) + (A(T(t, ·)) (x) = 0 t où A est une application linéaire sur les fonctions de classe C et 2-périodiques. On peut retrouver la première équation à partir de la deuxième en prenant pour A l'opposé du laplacien : A(f ) = -f (2) . Ce sujet a pour but d'étudier une solution de l'équation de la chaleur généralisée. Il comporte 20 questions réparties sur 5 parties. Les parties 2 à 5, les plus techniques, utilisent fréquemment des résultats de la partie 1. Dans chacune, les questions sont de longueur et de difficulté inégales. · La première partie montre des résultats préliminaires sur la convergence de la série de Fourier qui est associée à une fonction 2-périodique. On y établit certains critères pour qu'une somme de série soit de classe C . C'est la partie la plus abordable du sujet. · La deuxième partie calcule une solution de l'équation de la chaleur sous la forme d'une série. Ici f est une fonction continue et 2-périodique, qui correspond à la température initiale sur une barre circulaire (à t = 0). On étudie également des propriétés spectrales de A. · La troisième partie s'intéresse au cas particulier où l'opérateur A est l'opposé du laplacien, ce qui correspond à l'équation de la chaleur « classique », puis, surtout, au cas où A est une racine de l'opposé du laplacien au sens de la composition des applications linéaires sur les fonctions de classe C . On montre une formule avec une intégrale pour une solution de l'équation de la chaleur avec f de classe C . · La quatrième partie établit des résultats similaires en réduisant les hypothèses sur la fonction f . On la suppose seulement continue et non C . On étudie enfin des propriétés de convergence de la solution de l'équation de la chaleur. · La cinquième partie ne comporte qu'une question qui étudie à nouveau une propriété de convergence. Les outils mobilisés pour ce sujet sont essentiellement les théorèmes sur les séries de fonctions : interversion de limite et d'intégrale, dérivation terme à terme, intégration terme à terme, double limite. Beaucoup de majorations sont nécessaires pour vérifier toutes les hypothèses de ces théorèmes, ce qui est classique dans un problème d'analyse. Ce sujet varie peu les plaisirs, il est utile pour travailler spécifiquement ces techniques mais ne balaye qu'une petite partie du programme. Des points de cours de base sont utilisés avec parcimonie, comme l'intégrabilité sur [ 0 ; + [ de fonctions exponentielles, des primitives usuelles, la finitude du nombre de racines d'un polynôme, la définition d'une valeur propre et d'un vecteur propre. Le chapitre sur les séries de Fourier n'est plus au programme depuis 2014. Dans la mesure du possible, ce corrigé a été rédigé en utilisant seulement des outils au programme ; cependant, quelques passages nécessitent d'utiliser des théorèmes hors programme, qui sont rappelés dans les indications. L'équation de la chaleur Indications 2 Réaliser une intégration par parties pour exprimer le nombre cn (f (k) ) en fonction de cn (f (k-1) ) puis utiliser la question 1. 3 Montrer la convergence normale de la série de fonctions. Pour le calcul de cn (h), utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions. (l) 4 Appliquer l'hypothèse pour borner dn en (x) pour tout x R. Utiliser le théorème de dérivation terme à terme pour le cas C k . 5 [HP] Pour le sens direct, calculer en utilisant la question 2 et la linéarité de cn . Pour le sens réciproque, calculer cn (Bf ), et écrire les fonctions f (k) et Bf comme sommes de séries. Utiliser le théorème suivant : Soit f une fonction de P classe C 1 et 2-périodique de R dans C. Alors sa série de Fourier cn (f )en + nZ P converge simplement versf , c'est-à-dire f = cn (f )en . n=- 6, 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Appliquer les résultats des questions 2 et 4. Appliquer le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions. Utiliser la formule de la dérivée de t 7- Qt (f )(x) prouvée à la question 8. [HP] Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients cn (u) pour trouver une telle fonction u. Utiliser le théorème donné dans l'indication de la question 5. Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions. Trouver l'hypothèse minimale sur utilisée dans la question 10, puis montrer que si celle-ci n'est pas vérifiée le résultat devient faux. Utiliser la question 4 sur les coefficients cn (A1 (f )). [HP] Pour A2 , utiliser le théorème donné dans l'indication de la question 5. Pour A1 , utiliser le critère de la question 5, en raisonnant par l'absurde. f 2f 2f Le laplacien de f de classe C 2 est . L'équation de la chaleur est = . x2 t x2 [HP] Utiliser un changement de variables x = tx , puis le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions, ainsi que le théorème donné dans l'indication de la question 5. Utiliser le théorème de Weierstrass trigonométrique rappelé dans l'énoncé et couper la différence entre les deux membres de l'équation en trois morceaux que l'on majorera indépendamment. Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions à la définition de Q1t (f ). Dans la forme intégrale de Q1t (f ) obtenue à la question 17, montrer que l'intégrande converge uniformément vers la fonction nulle sur un intervalle ne contenant pas un voisinage de 0. Au voisinage de 0, effectuer le changement de variables x = tx puis utiliser la continuité de f en y. [HP] Utiliser la formule de Parseval ci-dessous pour les séries de Fourier, puis le théorème de la double limite pour les séries de fonctions. Cette formule donne une relation entre la norme 2 d'une fonction continue et 2-périodique et ses coefficients de Fourier cn (f ) : pour f C0 on a Z + P 1 2 2 2 |f (x)| dx = |cn (f )| 2 0 n=- Pour une famille (dn )nZ de complexes, P P P la série dn converge les séries dn et d-n convergent nZ où les séries de droite sont indexées par N. Dans ce cas, sa somme vaut + P + dn = d0 + n=- P + dn + n=1 P d-n n=1 Pour montrer la convergence de telles séries, il suffit d'étudier dn pour |n| grand. On définit de même la convergence absolue d'une famille de complexes et la convergence simple, absolue, uniforme et normale (sur un intervalle) d'une famille (fn )nZ de fonctions de la variable réelle à valeurs complexes. 1. Séries trigonométriques 1 Pour n Z, Z 1 2 f ()e -in d 2 0 Z 1 2 6 |f ()| e -in d (inégalité triangulaire) 2 0 Z 1 2 6 |f ()| d ( e -in = 1 pour R) 2 0 |cn (f )| = |cn (f )| 6 kf k Cette quantité ne dépend pas de n, ainsi La suite (cn (f ))nZ est bornée. 2 Soient f C , k N et n Z. Les fonctions f (k+1) et 7- e -in sont de classe C 1 sur [ 0 ; 2 ]. On peut donc effectuer une intégration par parties pour calculer Z 1 2 (k+1) cn (f (k+1) ) = f ()e -in d 2 0 Z 1 (k) 1 2 (k) -in 2 f ()e - f ()(-ine -in ) d = 0 2 2 0 1 = f (k) (2) - f (k) (0) + incn (f (k) ) 2 cn (f (k+1) ) = incn (f (k) ) où f (k) (2) = f (k) (0) car f , donc f (k) , sont 2-périodiques. Par conséquent, la suite (cn (f (k) ))kN est géométrique de raison in d'où k N cn (f (k) ) = (in)k cn (f ) k k Ainsi cn (f (k) ) = |n| |cn (f )|, donc |cn (f )| = cn (f (k) ) / |n| pour n Z . Comme la fonction f (k) est continue et 2-périodique sur R, elle est dans C0 . D'après la question 1, la suite (cn (f (k) ))nZ est bornée. Il existe donc Ck > 0 tel que cn (f (k) ) 6 Ck pour tout n Z. Ainsi, n Z |cn (f )| 6 Ck |n| k La question 1 fournit une borne explicite pour Ck . Pour que Ck soit strictement positive, on peut prendre Ck = 1 + kf (k) k. 3 Pour tout x R et tout n Z, |dn en (x)| = |dn | e inx = |dn | qui est le terme d'une série indexée par Z convergente, par hypothèse de l'absolue convergence de la série P P P dn , d'où les séries de fonctions dn en et d-n e-n convergent normalement sur R. nZ Par conséquent, La série de fonctions P dn en converge normalement sur R. nZ P D'après ce qui précède, la série de fonctions dn en est normalement convergente, donc uniformément convergente. Pour tout n Z, la fonction x 7- dn en (x) est continue sur R. En conséquence, les sommes h+ : x 7- + P + dn en (x) et h- : x 7- n=1 P d-n e-n (x) n=1 sont continues sur R. Puisque d0 e0 l'est également, la somme h = d0 e0 + h+ + h- de P la série de fonctions dn en est également continue. nZ Montrons la 2-périodicité de h en revenant à la définition : pour n Z et x R, + h(x + 2) = P + dn en (x + 2) = n=- P dn en (x) = h(x) n=- car les fonctions en sont 2-périodiques. Finalement, La somme h de la série de fonctions P nZ dn en appartient à C0 . Soit n Z. Calculons maintenant cn (h). Par définition, Z 1 2 cn (h) = h() e -in d 2 0 Z 1 2 +P dm e im e -in d 2 0 m=- Z Z 1 2 +P 1 2 +P im -in cn (h) = dm e e d + d-m e -im e -in d 2 0 m=0 2 0 m=1