Mines Maths 2 PSI 2013

Thème de l'épreuve La formule du triple produit de Jacobi
Principaux outils utilisés suites et séries numériques, séries entières, convergence normale
Mots clefs produits infinis, partitions d'un entier, formule du triple produit de Jacobi, formule des nombres pentagonaux d'Euler

Corrigé

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A 2013 MATH II PSI ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2013 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQ UES II _ PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. La formule du triple produit de J acobi On note N l'ensemble des entiers naturels, N* l'ensemble des entiers naturels non nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs, C l'ensemble des nombres complexes et C* l'ensemble des nombres complexes non nuls. Si a,,, n > 1 est une suite numérique, on note H+oe n_, a,, la limite (si elle existe) de la suite A,, =Hk=1 a;,-- -- a1a2. .a,,_1a,,. L'expression : i = 1, m signifie "pour tout i entier tel que 1 S i $ m." Soit { E C, on rappelle que si 9%Ç > 0, alors ArgÇ : Arc tg ("im Ç/ fie Ç) . Dans tout ce problème ?: notera un nombre complexe non nul et a: un nombre réel tel que la:l < 1. 1 Préambule Question 1 Soient OEk)ng une suite dans C et n E N, démontrer par récurrence que 'n H(1+g,,) )--1 k=1  1 quand a: --> 0. On pose F (a:,z) : H (33,2) H (a:,z_1) . (3) Question 7 Montrer que F (a:, a:z) : (1 + 75--2371) H( (1 + 22.95%") )H( (1 + z_2æ2k_l) k= 1 k= 1 et en déduire que a:z2F (a:, 332") = F (a:, z) . On admettra que F (a:, 2) se décompose de façon unique sous la forme suivante : F (3372) = F1(ffaz) + F2 (337771)? où pour a: fixé, F1 (33, EUR ) et F2 (33, EUR ) sont les sommes respectives de deux séries entières de rayon de convergence infini, soit +OE> +OE> F1<æ,o = 2% (a:) EUR" et F2 (a:,o = Za_k (as) e ; k=0 k=1 les fonctions al,, k = 0, +00 et a_k, k = 1, +00 de la variable réelle 3: étant a valeurs dans C. On notera + F(a:,z) : Z ak (a:)z'", Z E C*. (4) k=--OED Question 8 On pose F{' (a:, z) : ZZ=0 ak (a:) z'"". Démontrer que a0 (33) : F1 (a:, 0) et que, pour n 2 O, an+1 (a:) : 1irnz_>0 (F1 (a:, z) -- F1" (a:, z)) /zn+1. Question 9 En déduire que si F (a:, z) vérifie a la fois (4) et F (a:, z) : k__OO dk (a: )Z'": , alors Vk EUR Z les fonctions ak et dk sont égales, c'est--à--dire que les coefiîcients ak(a: ) dans l'eæpression (4) de F (a:, 2) sont déterminés de façon unique. Question 10 Montrer qu'il eoeiste des fonctions b..., m EUR Z, de la variable réelle a:, à valeurs dans C, telles que VzEC", =Îb...(oe m=--oo Question 11 A l'aide de la question 7, montrer que Vm EUR Z, b... (a:) : b..._1 (a:) a:2m_1. Question 12 Montrer que Vm E N, b... (a:) = b_... (a:) et donner l'eæpression de b... (a:) en fonction de 190 (a:) et 33. Question 13 A l'aide de l'inégalité (1) démontrer que H (a:, 2) + 1 quand a: + 0. Question 14 En déduire que 190 (a:) + 1 quand a: + 0. On pose P (a:, z) = Q (33) F (a:, z) et 77 : e'fi/4. (5) Question 15 Montrer que =ñ(1--OE4k)ñ(l--ætk ' )(fi 1+æ4k 2) k=1 k=1 k= 1 3 uestion 16 En déduire ue P a: = P 334 i . Q q ,77 , On pose c... (a:) = Q (33) b... (a:) . Question 17 A l'aide de la question 16 et de l'eacpression de b... (a:) de la question 12, montrer que c0 (334) : co (33) . Question 18 En utilisant une récurrence et a l'aide des questions 14 et 6, en déduire que pour tout a: E ]--1, 1[, co (33) = 1 et la formule du triple produit 00 00 00 +00 H( (1 -- 332 )(H (1 + z2332'"' 1) )H( (1 + Z_2OE2k_l) : î: oem2z2m. (6) k= 1 k=1 k= 1 m=--oo 3 Le nombre de partitions d'un entier Question 19 En posant a:- -- t3/2 et par un choice judicieuæ de % déduire la formule des nombres pentagonaux d'Euler . 00 +00 H (1 --tm> = 2 <--1>W<3r+m>/ï te R. o 5 t < 1. ... m=1 m=--oo de celle du triple produit (6). Si n est un entier positif? on note p (n) et on appelle nombre de partitions de n le nombre de façons de représenter n comme une somme d'entiers positifs sans prendre en considération l'ordre des termes ; c'est encore le nombre de solutions (r1,r2, . . . ,rn) E (N*)" de l'équation 'ÏL er=n, telles que r1 Zr22 . >rn> 1. (8) j=1 On aura par exemple p(3) : 3 car 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, partitions que l'on représente sous la forme des trois diagrammes de Ferrer suivants : On note & l'ensemble des solutions de (8). On note également 32 l'ensemble des solutions (q1, q2, . . . ,qn) E (N*)" de 2ij = n- (9) On note f l'application (N*)" % (N*)" définie par f (ch, (12, . . . ,qn) : (r1,r2, . . . ,rn) OÙ. 7°j : ZÎ=j %- Question 20 En s'atdant de l'application f, démontrer que 31 et 32 comportent le même nombre d'éléments. Question 21 Démontrer que pour n > 0, p (n) est le eoefiîetent de t" dans le déve-- loppement de HZ=1 (ZÎ=0 t""") . Question 22 A l'aide de la formule d'Euler (7), démontrer que ("Î'("") ( Î <1>mt<3"'+"'/2) "' m=--oo Question 23 En déduire la valeur de p (n) , n = 1, 7. Fin de l'épreuve

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 Mines Maths 2 PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Simon Billouet (Doctorant en mathématiques) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet a pour but de démontrer et d'appliquer la formule du triple produit de Jacobi, qui stipule que pour tous z C et x ] -1 ; 1 [ : Q k=1 (1 - x2k ) Q k=1 (1 + z 2 x2k-1 ) Q + (1 + z -2 x2k-1 ) = k=1 L'énoncé est composé de trois parties de longueurs inégales. P 2 xm z 2m m=- · La première partie est constituée d'une seule question, qui demande de démontrer par récurrence une inégalité qui sera utilisée dans la deuxième partie. · La deuxième partie vise à établir la formule du triple produit de Jacobi. Elle est constituée d'une quinzaine de questions, souvent assez longues, dans lesquelles il s'agit de justifier rigoureusement les convergences, regroupements de termes ou autres manipulations calculatoires que l'on opère. · La troisième partie étudie d'abord un corollaire de la formule démontrée dans la deuxième partie (la formule des nombres pentagonaux d'Euler), puis utilise ce corollaire pour démontrer une équation sur la série génératrice du nombre de partitions d'un entier, ce qui permet d'en déduire la valeur de ce nombre pour de petits entiers. La question 22 est particulièrement difficile. On ne peut commenter ce sujet sans faire une note historique : les techniques mises en oeuvre sont à peu près les mêmes que celles qu'Euler lui-même utilisait au XVIIIe siècle... Mais lui ne se souciait pas de justifier la convergence des produits infinis ou les regroupements de termes ! Ce sujet est difficile : peu d'exemples sont abordés, les parties ne sont pas indépendantes et il est quasiment impossible d'avancer substantiellement en sautant des questions. Certaines questions (6, 17 et 22, en particulier) nécessitent une rédaction longue pour que la démonstration soit complète. Cet énoncé vous permettra de vérifier votre capacité à mener un raisonnement rigoureux et à justifier des calculs. Il permet également de se familiariser avec les produits infinis, qui font partie des classiques des concours. Indications Partie 1 1 Regarder comment on passe du rang n = 2 au rang n = 3 pour comprendre comment la récurrence s'enclenche. Partie 2 2 Montrer que la suite des produits est décroissante. 3 Penser à utiliser les deux sens de l'inégalité triangulaire. Attention, la suite (ln(k ))nN n'est pas de signe constant ! 4 Quand y 0, Arctan (y) y. 6 Utiliser le fait que e y > 1 + y pour y > 0. 7 Regrouper les produits infinis (en justifiant qu'on a le droit de le faire). 8 Isoler le terme qu'on souhaite obtenir à la limite et utiliser les propriétés de régularité d'une série entière. 9 Montrer la proposition par récurrence forte. 10 Comparer F(x, z) et F(x, -z). 14 Étudier F(x, 1). 15 Regrouper les produits infinis. 17 Identifier les parties réelle et imaginaire de l'égalité trouvée en 16. Attention à bien montrer la non-nullité des termes par lesquels vous divisez. Partie 3 19 Choisir z tel que z 2 = -t1/2 . 20 Attention, il y a une erreur dans l'énoncé : S2 est l'ensemble des solutions dans Nn n P de jqj = n. j=1 22 Montrer que Q m=1 P i=0 xim = 1+ P p(k)xk . Cette question est très difficile. k=0 1. Préambule 1 Montrons par récurrence sur n N la propriété P(n) : pour toute suite de nombres complexes (k )kN , n Q (1 + k ) - 1 6 k=1 n Q (1 + |k |) - 1 k=1 L'énoncé demande de prouver la propriété à partir du rang n = 0 qui ne sera jamais utilisé dans la suite et était probablement une erreur d'énoncé. Si l'on accepte la convention qu'un produit indexé par un ensemble vide vaut 1 (convention non explicite dans le programme de PSI), P(0) est vraie car les deux termes de l'inégalité sont nuls. · P(1) signifie que pour toute suite de nombres complexes (k )kN , |1 | 6 |1 |, ce qui est manifestement vrai. · P(n) = P(n + 1) : supposons la propriété vraie au rang n N . On a n+1 Q (1 + k ) - 1 = (1 + n+1 ) k=1 n Q (1 + k ) - 1 k=1 Par inégalité triangulaire, il vient n+1 Q n Q (1 + k ) - 1 6 k=1 n Q (1 + k ) - 1 + n+1 k=1 (1 + k ) k=1 En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a n+1 Q n Q (1 + k ) - 1 6 k=1 (1 + |k |) - 1 + |n+1 | k=1 n Q |1 + k | k=1 Or, pour tout k [[ 1 ; n ]], |1 + k | 6 1 + |k | donc n+1 Q (1 + k ) - 1 6 k=1 n Q (1 + |k |) - 1 + |n+1 | n Q (1 + |k |) k=1 k=1 Par ailleurs, n Q (1 + |k )|) - 1 + |n+1 | k=1 n Q (1 + |k |) = k=1 n+1 Q (1 + |k |) - 1 k=1 On en conclut que n+1 Q (1 + k ) - 1 6 k=1 n+1 Q (1 + |k |) - 1 k=1 On vient de prouver P(n + 1). · Conclusion : P(n) est vraie pour tout n N : n N n Q k=1 (1 + k ) - 1 6 n Q (1 + |k |) - 1 k=1 2. La formule de Jacobi 2 Soit, pour n > 1, un = n Q 1 - x2k k=1 Puisque |x| < 1 par hypothèse, on a également x2k = (xk )2 = x2k < 1 pour tout k N . Par suite, tous les termes dans le produit définissant un sont strictement positifs, si bien que un l'est aussi. Par ailleurs, un+1 /un = 1 - x2n+2 . Or, 2 x2n+2 = xn+1 > 0, donc un+1 /un 6 1 pour tout n N . Ainsi, (un )nN est une suite décroissante et minorée par 0 : elle converge donc, et Q(x) est bien défini. 3 Soit, pour n > 1, vn = n Q k k=1 Si, pour une certaine valeur de k, on a z 2 x2k-1 = -1, alors k = 0. La suite (vn )nN est nulle à partir du rang k ; par conséquent, elle converge. Sinon, (vn )nN est à termes strictement positifs, chaque k étant le module d'un nombre complexe. Suivant l'indication donnée par l'énoncé, considérons son logarithme népérien ln(vn ) = n P ln(k ) k=1 Par continuité de la fonction exponentielle, si (ln(vn ))nN converge, alors (vn )nN converge également. Il reste à montrer que ln(k ) est le terme général d'une série convergente. L'inégalité triangulaire stipule que (a, b) C2 , ||a| - |b|| 6 |a + b| 6 |a| + |b| On en déduit que 2 1 - |z| |x| 2k-1 2 6 k 6 1 + |z| |x| 2k-1 Le terme de gauche de l'inégalité tend vers 1 quand k tend vers (puisque |x| < 1), il est donc strictement positif à partir d'un certain rang. À partir de ce rang, les logarithmes de toutes les quantités ci-dessus sont définis, et par croissance de la fonction logarithme, il vient 2 ln(1 - |z| |x| d'où 2k-1 2 ) 6 ln(k ) 6 ln(1 + |z| |x| 2 |ln(k )| 6 Max ln(1 + |z| |x| 2k-1 2k-1 2 ), - ln(1 - |z| |x| Puisque ln(1 + h) = O (h), on en déduit que ) 2k-1 ) h0 2 |ln(k )| = O (|z| |x| k 2k-1 2k ) = O (|x| ) k 2 Par comparaison à une série géométrique de raison |x| < 1, la série donc absolument convergente. Ainsi, Q Le produit k converge. P ln(k ) est Il faut prendre garde au fait que les ln(k ) ne sont pas de signe constant. Il ne suffit donc pas de majorer ln(k ) pour conclure quant à la nature de la série sous-jacente.