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Mines Maths 2 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Martin (ENS Lyon) ; il a été relu par Sophie
Rainero (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).
Le sujet étudie des opérateurs sur l'ensemble Sn des endomorphismes symétriques
(n N ) qui étendent des fonctions f : R - R de la variable réelle : pour M Sn
,
on définit f (M) comme l'unique endomorphisme symétrique tel que, pour tout
vecteur
propre u de M associé à une valeur propre , le vecteur u est un vecteur propre
de f (M) pour la valeur propre f (). L'objectif de ce sujet est d'aboutir à
l'inégalité
de Löwner-Heinz, un résultat très important en théorie des opérateurs.
· La première partie introduit le quotient de Rayleigh d'un endomorphisme S
défini pour tout vecteur x non nul par
QS (x) =
(S(x), x)
||x||2
afin de caractériser les endomorphismes symétriques positifs et définis positifs
par le signe de leurs valeurs propres. Puis on démontre plusieurs propriétés sur
les opérateurs de Sn . Enfin, on traite les exemples classiques des opérateurs
inverse et racine carrée.
· La deuxième partie introduit la notion d'opérateur croissant de Sn après avoir
défini une relation d'ordre sur Sn . Les mêmes exemples qu'à la partie
précédente
sont abordés.
· La troisième partie propose d'établir l'inégalité de Löwner-Heinz qui exprime
le fait que, pour tout a ] 0 ; 1 [, la fonction puissance
(
R+ - R
a :
t 7- ta
s'étend en un opérateur croissant sur l'ensemble des endomorphismes symétriques
positifs. La démonstration fait appel à l'intégrabilité sur R+ d'une fonction
vectorielle.
Ce sujet nécessite une connaissance et une compréhension solide du cours sur les
endomorphismes symétriques (avoir oublié, par exemple, que tout endomorphisme
symétrique réel est diagonalisable dans une base orthonormale peut être très
préjudiciable). Les mêmes types de raisonnement étant utilisés tout au long du
problème,
il était préférable de ne pas sauter trop de questions, sous peine d'être
bloqué très
rapidement.
La difficulté reste modérée, hormis dans les questions 7 et 16 qui nécessitent
une
réflexion avancée, ainsi que, dans une moindre mesure, les questions 15 et 17.
Attention toutefois à ne pas bâcler les questions « faciles », les correcteurs
y sont sensibles
et plus disposés à valoriser une copie où clarté et rigueur sont les maîtres
mots.
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Indications
Partie I
2 Considérer les vecteurs propres associés à m(T) et M(T).
3 Se rappeler que tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable dans une
base orthonormale.
n
L
5 Si E =
Ei et que l'on souhaite définir une application linéaire u sur E égale
i=1
à ui sur Ei , alors, si l'on appelle pi la projection orthogonale sur Ei ,
poser :
u=
n
P
u i pi
i=1
7 Question assez subtile : penser aux polynômes interpolateurs de Lagrange.
10 Considérer g(t) = t et utiliser le résultat de la question 9.
11 Utiliser le résultat de la question 9. Puis, si C est une solution de C2 = S
alors
C S = C3 = S C et par conséquent les sous-espaces propres de S sont stables
par C. Pour le nombre de solutions dans Sn , bien voir qu'il y a deux racines
carrées
possibles pour chaque valeur propre non nulle de S (une positive et une
négative).
Partie II
13 Comme U Sn , pour tout V Ln on a U V U(x), x = V(U(x)), U(x) .
14 Regarder les valeurs propres de M2 2 - M1 2 .
16 Considérer T2 + T1
T2 - T1 .
Partie III
u
et utiliser le résultat de la question 15.
t+u
18 Introduire une matrice de changement de base.
17 Remarquer que fu (t) = 1 -
19 Pour l'intégrabilité, chercher des équivalents.
21 Utiliser le résultat de la question 17.
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I. Fonctions d'endomorphismes symétriques
1 Un endomorphisme u est symétrique si pour tous vecteurs x et y de Rn , on a
(u(x), y) = (x, u(y)). Considérons T1 , T2 Sn et x, y Rn . En utilisant la
bilinéarité
du produit scalaire, on obtient :
((T1 + T2 )(x), y) =
=
=
=
((T1 + T2 )(x), y) =
(T1 (x) + T2 (x), y)
(T1 (x), y) + (T2 (x), y)
(x, T1 (y)) + (x, T2 (y))
(x, T1 (y) + T2 (y))
(x, (T1 + T2 )(y))
car T1 , T2 Sn
Ainsi, T1 + T2 Sn , ce qui signifie que
Sn est stable par somme.
Comme ((T1 + T2 )(x), x) = (T1 (x), x) + (T2 (x), x) pour tout x Rn et
que Sn est stable par somme, Sn+ et Sn+ sont également stables par somme
car la somme de deux termes (strictement) positifs est (strictement) positive.
2 Notons xm et xM deux vecteurs propres associés respectivement aux valeurs
propres m(T) et M(T). En particulier, xm et xM ne sont pas nuls.
Tout endomorphisme symétrique réel a ses valeurs propres réelles. Par suite,
le sous-ensemble (T) de R est fini, il admet donc bien un plus petit et un plus
grand élément.
Calculons maintenant QT (xm ) :
QT (xm ) =
(m(T)xm , xm )
(xm , xm )
(T(xm ), xm )
=
= m(T)
= m(T)
2
2
||xm ||
||xm ||
||xm ||2
De même, QT (xM ) = M(T). Ainsi,
QT atteint les valeurs m(T) et M(T).
3 Tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable dans une base
orthonormale, i.e. on peut trouver une base orthonormale de Rn formée de
vecteurs propres.
Notons 1 , ..., n les valeurs propres de T et B = (x1 , ..., xn ) une base
orthonormale
de vecteurs propres associés. On fixe y Rn r {0} et on le décompose dans cette
base : y = 1 x1 + · · · + n xn . Calculons maintenant (T(y), y) :
n
n
P
P
(T(y), y) =
i T(xi ),
j xj
=
=
(T(y), y) =
i=1
j=1
n
P
n
P
i (i xi ),
i=1
P
j xj
j=1
i i j (xi , xj )
16i,j6n
n
P
i 2i
i=1
car la base B est orthonormale
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Or
m(T)||y||2 = m(T)
n
P
i=1
2i 6
n
P
i=1
i 2i 6 M(T)
n
P
i=1
2i = M(T)||y||2
m(T)||y||2 6 (T(y), y) 6 M(T)||y||2
Par conséquent,
Comme y 6= 0, on a
m(T) 6 QT (y) 6 M(T)
En outre, d'après la question 2, QT atteint les valeurs m(T) et M(T), d'où
m(T) =
Min
xRn r{0}
et
QT (x)
M(T) =
Max QT (x)
xRn r{0}
4 Essayons d'utiliser habilement QT :
T Sn+
T Sn+
x Rn r {0}
(T(x), x) > 0
x Rn r {0}
QT (x) > 0
m(T) =
(T) R+
Min
xRn r{0}
car ||x||2 > 0
QT (x) > 0
Pour T Sn+ , il suffit de remplacer les inégalités larges par des inégalités
strictes.
Attention, le passage à la borne inférieure (ou supérieure) ne préserve pas les
inégalités strictes. Par exemple, la fonction exponentielle est toujours
strictement positive et a une borne inférieure (sur R) nulle. Dans le cas de
Sn+ ,
le fait que m(T) soit atteint est alors essentiel.
Ainsi,
T Sn+ (T) R+
et
T Sn+ (T) R+
5 Commençons par montrer l'existence d'une telle application linéaire. Comme T
est diagonalisable, on a :
L
Rn =
Ker (T - I)
(T)
Notons p la projection orthogonale sur Ker (T - I) et posons U =
P
f ()p .
(T)
Tout d'abord, U est linéaire comme combinaison linéaire d'applications
linéaires.
Montrons que U vérifie bien (3). Soient 0 (T) et y Ker (T - 0 I), on a
P
U(y) =
f () p (y) + f (0 ) p0 (y) = f (0 )y
| {z }
| {z }
(T)r{0 }
=0
=y
Par conséquent, il existe une application linéaire U vérifiant (3). Montrer
qu'elle est
unique. Considérons deux applications linéaires V et W vérifiant (3) :
(T)
y Ker (T - I)
V(y) = f ()y = W(y)
Ainsi, V - W coïncide avec l'application nulle sur chacun des sous-espaces
propres.
Comme Rn est somme directe de ces derniers, V - W = 0 i.e. V = W, d'où
l'unicité.
Il existe une unique application linéaire U vérifiant (3).
La matrice de U dans B est diagonale (avec f (1 ), ..., f (n ) sur la
diagonale), elle est
donc symétrique, c'est-à-dire
U Sn