Mines Maths 2 PSI 2012

Thème de l'épreuve Fonctions d'endomorphismes symétriques
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques, diagonalisation
Mots clefs quotient de Rayleigh, opérateurs

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2012 MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2012 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Fonctions d'endomorphismes Dans ce texte on note l'ensemble des nombres réels, positifs ou nul et l'ensemble des réels strictement positifs. l'ensemble des réels Pour tout entier strictement positif on note l'ensemble des endomorphismes de l'identité de est notée i. Le produit scalaire Euclidien de est noté et la norme associée Si s l'ensemble des valeurs propres de s est noté s On définit la fonction s sur à valeurs dans de la façon suivante : s s (1) c'est le quotient de Rayleigh de s. On note l'ensemble des endomorphismes symétriques de Si t on note respectivement t et t le minimum et le maximum de t On dit que t est un endomorphisme positif (resp. strictement positif) si on a t (resp. t ). L'ensemble des endomorphismes positifs (resp. strictement positifs) est noté (resp. ). 1 Fonctions d'endomorphismes symétriques Dans cette partie on considère t Question 1 Soient t et t appartenant à démontrer que t Question 2 Montrer que t t atteint les valeurs t et t Question 3 Démontrer que l'on a t t et t (2) t On pourra faire appel à une base de vecteurs propres de t à cet effet. Question 4 Montrer que t (resp. t ) si et seulement si t t ). (resp. Soit un intervalle contenant t et une fonction définie sur à valeurs dans Question 5 Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire u telle que u t t i (3) et que u On notera u t l'endomorphisme symétrique ainsi défini, ce qui conduit à considérer comme une application de dans lui-même. Question 6 Soit la restriction à d'une fonction polynômiale à coefficients réels ; on note avec pour tout vérifiant Démontrer que l'endomorphisme symétrique t est égal à i t où t |t t {z t} fois Question 7 Y-a-t-il des fonctions : polynôme de t ? telles que t ne soit pas égal à un Question 8 Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de t en fonction de ceux de t. Question 9 Pour des fonctions et définies sur l'intervalle démontrer que t t t Question 10 On considère s et la fonction définie sur par Montrer que s s où s note l'inverse de l'endomorphisme s. 2 Question 11 On considère s Lorsque on note s l'endomorphisme ( ) s. En admettant s s Montrer que l'endomorphisme s est bien défini et que que toutes les valeurs propres de s sont simples, combien y-a-t-il de solutions c dans puis dans à l'équation c s 2 Relation d'ordre sur Soient t et t deux éléments de On note t t si et seulement si t t Question 12 Démontrer que la relation définit une relation d'ordre dans estelle totale ? Question 13 Soit u démontrer que si t t alors ut u ut u Soit un intervalle de on dit que la fonction définit un opérateur croissant si pour tout t et tout t endomorphismes symétriques vérifiant t t alors t t t t (4) Question 14 Démontrer que l'application définit pas un opérateur croissant. donnée par ne On pourra considérer à cet effet les endomorphismes t et t de matrices respectives ) ) ( ( m (5) et m dans la base canonique. Question 15 Soient t et t tels que t t en s'aidant de la question 13 montrer que les valeurs propres de ut u sont inférieures ou égales avec u t à En déduire que u t u i puis que l'application donnée par définit un opérateur croissant. Question 16 Soient t et t tels que t t Démontrer que les valeurs propres de t t sont positives. En déduire que l'application donnée par définit un opérateur croissant. 3 Inégalité de Löwner-Heinz On va montrer que pour tout la fonction définit un opérateur croissant. Pour on note fonction donnée par définie par la Question 17 Démontrer que définit un opérateur croissant. On pourra à cet effet s'aider de la question 15. 3 Soient une application et une base de ) ( la matrice de l'endomorphisme dans la base et On note les applica- tions coordonnées de On dira que est continue et intégrable sur si les fonctions coordonnées le sont. Par définition on notera d l'endomorphisme dont la matrice dans la base a pour coefficients les d Cette matrice sera notée d Question 18 Montrer que cette définition est indépendante du choix de la base On considère s et Question 19 Montrer que la fonction à valeurs dans définie par s est continue et intégrable sur On pourra trouver utile de faire appel à une base orthonormée adaptée à s. On admet que d (6) s d (7) Question 20 Montrer que s Question 21 En déduire que la fonction définit un opérateur croissant. Fin de l'épreuve 4

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 Mines Maths 2 PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Martin (ENS Lyon) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le sujet étudie des opérateurs sur l'ensemble Sn des endomorphismes symétriques (n N ) qui étendent des fonctions f : R - R de la variable réelle : pour M Sn , on définit f (M) comme l'unique endomorphisme symétrique tel que, pour tout vecteur propre u de M associé à une valeur propre , le vecteur u est un vecteur propre de f (M) pour la valeur propre f (). L'objectif de ce sujet est d'aboutir à l'inégalité de Löwner-Heinz, un résultat très important en théorie des opérateurs. · La première partie introduit le quotient de Rayleigh d'un endomorphisme S défini pour tout vecteur x non nul par QS (x) = (S(x), x) ||x||2 afin de caractériser les endomorphismes symétriques positifs et définis positifs par le signe de leurs valeurs propres. Puis on démontre plusieurs propriétés sur les opérateurs de Sn . Enfin, on traite les exemples classiques des opérateurs inverse et racine carrée. · La deuxième partie introduit la notion d'opérateur croissant de Sn après avoir défini une relation d'ordre sur Sn . Les mêmes exemples qu'à la partie précédente sont abordés. · La troisième partie propose d'établir l'inégalité de Löwner-Heinz qui exprime le fait que, pour tout a ] 0 ; 1 [, la fonction puissance ( R+ - R a : t 7- ta s'étend en un opérateur croissant sur l'ensemble des endomorphismes symétriques positifs. La démonstration fait appel à l'intégrabilité sur R+ d'une fonction vectorielle. Ce sujet nécessite une connaissance et une compréhension solide du cours sur les endomorphismes symétriques (avoir oublié, par exemple, que tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable dans une base orthonormale peut être très préjudiciable). Les mêmes types de raisonnement étant utilisés tout au long du problème, il était préférable de ne pas sauter trop de questions, sous peine d'être bloqué très rapidement. La difficulté reste modérée, hormis dans les questions 7 et 16 qui nécessitent une réflexion avancée, ainsi que, dans une moindre mesure, les questions 15 et 17. Attention toutefois à ne pas bâcler les questions « faciles », les correcteurs y sont sensibles et plus disposés à valoriser une copie où clarté et rigueur sont les maîtres mots. Indications Partie I 2 Considérer les vecteurs propres associés à m(T) et M(T). 3 Se rappeler que tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable dans une base orthonormale. n L 5 Si E = Ei et que l'on souhaite définir une application linéaire u sur E égale i=1 à ui sur Ei , alors, si l'on appelle pi la projection orthogonale sur Ei , poser : u= n P u i pi i=1 7 Question assez subtile : penser aux polynômes interpolateurs de Lagrange. 10 Considérer g(t) = t et utiliser le résultat de la question 9. 11 Utiliser le résultat de la question 9. Puis, si C est une solution de C2 = S alors C S = C3 = S C et par conséquent les sous-espaces propres de S sont stables par C. Pour le nombre de solutions dans Sn , bien voir qu'il y a deux racines carrées possibles pour chaque valeur propre non nulle de S (une positive et une négative). Partie II 13 Comme U Sn , pour tout V Ln on a U V U(x), x = V(U(x)), U(x) . 14 Regarder les valeurs propres de M2 2 - M1 2 . 16 Considérer T2 + T1 T2 - T1 . Partie III u et utiliser le résultat de la question 15. t+u 18 Introduire une matrice de changement de base. 17 Remarquer que fu (t) = 1 - 19 Pour l'intégrabilité, chercher des équivalents. 21 Utiliser le résultat de la question 17. I. Fonctions d'endomorphismes symétriques 1 Un endomorphisme u est symétrique si pour tous vecteurs x et y de Rn , on a (u(x), y) = (x, u(y)). Considérons T1 , T2 Sn et x, y Rn . En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, on obtient : ((T1 + T2 )(x), y) = = = = ((T1 + T2 )(x), y) = (T1 (x) + T2 (x), y) (T1 (x), y) + (T2 (x), y) (x, T1 (y)) + (x, T2 (y)) (x, T1 (y) + T2 (y)) (x, (T1 + T2 )(y)) car T1 , T2 Sn Ainsi, T1 + T2 Sn , ce qui signifie que Sn est stable par somme. Comme ((T1 + T2 )(x), x) = (T1 (x), x) + (T2 (x), x) pour tout x Rn et que Sn est stable par somme, Sn+ et Sn+ sont également stables par somme car la somme de deux termes (strictement) positifs est (strictement) positive. 2 Notons xm et xM deux vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres m(T) et M(T). En particulier, xm et xM ne sont pas nuls. Tout endomorphisme symétrique réel a ses valeurs propres réelles. Par suite, le sous-ensemble (T) de R est fini, il admet donc bien un plus petit et un plus grand élément. Calculons maintenant QT (xm ) : QT (xm ) = (m(T)xm , xm ) (xm , xm ) (T(xm ), xm ) = = m(T) = m(T) 2 2 ||xm || ||xm || ||xm ||2 De même, QT (xM ) = M(T). Ainsi, QT atteint les valeurs m(T) et M(T). 3 Tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable dans une base orthonormale, i.e. on peut trouver une base orthonormale de Rn formée de vecteurs propres. Notons 1 , ..., n les valeurs propres de T et B = (x1 , ..., xn ) une base orthonormale de vecteurs propres associés. On fixe y Rn r {0} et on le décompose dans cette base : y = 1 x1 + · · · + n xn . Calculons maintenant (T(y), y) : n n P P (T(y), y) = i T(xi ), j xj = = (T(y), y) = i=1 j=1 n P n P i (i xi ), i=1 P j xj j=1 i i j (xi , xj ) 16i,j6n n P i 2i i=1 car la base B est orthonormale Or m(T)||y||2 = m(T) n P i=1 2i 6 n P i=1 i 2i 6 M(T) n P i=1 2i = M(T)||y||2 m(T)||y||2 6 (T(y), y) 6 M(T)||y||2 Par conséquent, Comme y 6= 0, on a m(T) 6 QT (y) 6 M(T) En outre, d'après la question 2, QT atteint les valeurs m(T) et M(T), d'où m(T) = Min xRn r{0} et QT (x) M(T) = Max QT (x) xRn r{0} 4 Essayons d'utiliser habilement QT : T Sn+ T Sn+ x Rn r {0} (T(x), x) > 0 x Rn r {0} QT (x) > 0 m(T) = (T) R+ Min xRn r{0} car ||x||2 > 0 QT (x) > 0 Pour T Sn+ , il suffit de remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes. Attention, le passage à la borne inférieure (ou supérieure) ne préserve pas les inégalités strictes. Par exemple, la fonction exponentielle est toujours strictement positive et a une borne inférieure (sur R) nulle. Dans le cas de Sn+ , le fait que m(T) soit atteint est alors essentiel. Ainsi, T Sn+ (T) R+ et T Sn+ (T) R+ 5 Commençons par montrer l'existence d'une telle application linéaire. Comme T est diagonalisable, on a : L Rn = Ker (T - I) (T) Notons p la projection orthogonale sur Ker (T - I) et posons U = P f ()p . (T) Tout d'abord, U est linéaire comme combinaison linéaire d'applications linéaires. Montrons que U vérifie bien (3). Soient 0 (T) et y Ker (T - 0 I), on a P U(y) = f () p (y) + f (0 ) p0 (y) = f (0 )y | {z } | {z } (T)r{0 } =0 =y Par conséquent, il existe une application linéaire U vérifiant (3). Montrer qu'elle est unique. Considérons deux applications linéaires V et W vérifiant (3) : (T) y Ker (T - I) V(y) = f ()y = W(y) Ainsi, V - W coïncide avec l'application nulle sur chacun des sous-espaces propres. Comme Rn est somme directe de ces derniers, V - W = 0 i.e. V = W, d'où l'unicité. Il existe une unique application linéaire U vérifiant (3). La matrice de U dans B est diagonale (avec f (1 ), ..., f (n ) sur la diagonale), elle est donc symétrique, c'est-à-dire U Sn