Mines Maths 2 PSI 2011

Thème de l'épreuve Course-poursuite
Principaux outils utilisés équations différentielles non linéaires
Mots clefs course-poursuite, le lièvre et la tortue, théorème de Cauchy-Lipschitz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2011 MATH II PSI ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PSI). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS 2011 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filiere PSI (Duree de l'epreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES II - PSI L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. COURSE-POURSUITE. On note R l'ensemble des nombres reels, R+ l'ensemble des nombres reels positifs, et R+ l'ensemble des nombres reels strictement positifs. On designe par N l'ensemble des entiers naturels et par N l'ensemble des entiers naturels strictement positifs. Soit : [0, +[ R une fonction continue telle que (0) = 0. L'objet du probleme est l'etude de l'equation differentielle 2 E() : x (t) = . x(t) - (t) On dira qu'une fonction de classe C 1 sur un intervalle non vide I est solution de E() si pour 2 tout t I, (t) 6= (t) et (t) = . (t) - (t) Soit x0 > 0 un reel strictement positif. On appelle solution de E(, x0 ) une fonction : [0, a[ R (a R+ ou a = +) de classe C 1 telle que (0) = x0 , et t [0, a[ , (t) 6= (t) et (t) = 2 . (t) - (t) Une solution de E(, x0 ) est dite maximale si ou bien elle est definie sur [0, +[ ou bien elle est definie sur un intervalle [0, a[ (a > 0) et elle n'est pas la restriction d'une solution definie sur un intervalle plus grand [0, a [ (a > a). On admettra le resultat suivant : Theoreme 1. 1] Soit t0 > 0 et y0 ](t0 ), +[. Alors il existe > 0 tel que le probleme de Cauchy x(t0 ) = y0 , et t ]t0 - , t0 + [ , x(t) 6= (t) et x (t) = 2 x(t) - (t) possede une unique solution definie sur ]t0 - , t0 + [. 2] Soient I, J deux intervalles inclus dans [0, +[. On considere deux solutions : I R, : J R de E() de classe C 1 . On suppose qu'il existe t1 I J tel que (t1 ) = (t1 ). Alors, et coincident sur I J. 3] Pour tout x0 > 0 il existe une unique solution maximale, notee t 7 (t, x0 ), de E(, x0 ). Son domaine de definition est alors note [0, T (x0 )[ ; T (x0 ) est appele temps de vie de la solution maximale t 7 (t, x0 ). Ou bien T (x0 ) R+ , ou bien T (x0 ) = +. Le probleme de Cauchy E(, x0 ) represente une course poursuite entre le lievre et x la tortue. Au temps t = 0, le lievre est a l'origine 0 = (0) tandis que la tortue est en x0 > 0. On verra que si T (x0 ) < + alors le lievre rattrape la tortue, on dit qu'il y a capture. Si T (x0 ) = + alors la tortue parvient a s'echapper. On pourra utiliser librement les resultats de la Partie 1 pour traiter la suite, meme si on ne les a pas demontres. 2 1 Generalites. 1) On fixe x0 > 0. Soit (·, x0 ) : [0, T (x0 )[ R la solution maximale de E(, x0 ). Montrer que t [0, T (x0 )[ , (t, x0 ) > (t). Preciser le sens de variation de la fonction (·, x0 ) et montrer qu'elle admet une limite reelle ou egale a + en T (x0 ). 2) Dans cette question et la suivante on suppose que T (x0 ) < +. Montrer que si lim tT (x0 ), t T (y0 ) et utiliser les questions 4), 3) et 1)). 2 Etude de deux exemples. 6) Soient x0 > 0 et 0 la fonction nulle : t 0, 0 (t) = 0. Expliciter la solution maximale de E(0 , x0 ). Peut il y avoir capture ? On considere la fonction 1 : [0, +[ R definie par : t [0, 1], 1 (t) = 4(1 - 1 - t); t 1, 1 (t) = 4. 7) Montrer qu'il existe un reel a > 0 que l'on precisera, tel que la fonction 0 determinee par t [0, 1], 0 (t) = a - (a - 2) 1 - t, definit la solution maximale de E(1 , 2). Puis prouver que T (2) = 1. Jusqu'a la fin de cette partie 2 on considere une autre solution de E(1 ), = (·, x0 ), telle que : (0) = x0 R+ \ {2}. 8) Pour chaque t [0, min(1, T (x0 ))[, donner une expression simple de dtd ln |(t) - 0 (t)| en fonction de - (t) - 1 (t) 1 - t . 3 9) Montrer que la fonction 2 1-t t 7 C(t) = ln |(t) - 0 (t)| - (t) - 0 (t) est bien definie sur [0, min(1, T (x0 ))[ et y est constante. (On pourra utiliser les questions 4 et 8). 10) On suppose que x0 ]0, 2[. Prouver que C(0) est superieur ou egal a 1+ln 2. En supposant T (x0 ) < 1, calculer C(T (x0 )) et aboutir a une contradiction. En deduire que T (x0 ) = 1. Dans la question suivante on suppose x0 = (0) > 2. 11) Montrer que T (x0 ) 1. Puis montrer, en considerant C(t) quand t 1 par valeurs inferieures, que T (x0 ) ne peut pas etre egal a 1. Enfin montrer, en resolvant l'equation E(1 ) pour t 1, que T (x0 ) ne peut pas etre un nombre reel. Conclure. (On rappelle que t 1, 1 (t) = 4). 3 Une condition suffisante pour qu'il n'y ait pas de capture. Soit f : [0, +[ R une fonction continue telle que f (0) = 0. On rappelle que la fonction du probleme E() verifie ces deux hypotheses. On note M (f ) = sup 0 0, T (x0 ) = +. On raisonne par l'absurde, pour aboutir a une contradiction. Soit donc x0 > 0 tel que la solution maximale, notee t 7 x(t), de E(, x0 ) ait un temps de vie T (x0 ) < + (fini). 13) Montrer que M () est strictement positif. (On pourra utiliser la question 6). br la fonction definie sur R+ par Soit un reel r > 0. On designe par br (t) = 1 (r2 t). t R+ , r br ) = M (). On admettra que M ( br , 1 x0 ) a un 14) Montrer qu'il existe r R+ , que l'on precisera, tel que la solution maximale x b de E( r temps de vie egal a 1 et peut etre prolongee par continuite en 1 en posant x b(1) = (1). (On pourra montrer que x b est de la forme t 7 1r x(bt) ou b est une constante a preciser). 4 br , 1 x0 ), on peut donc supposer que la solution maximale t 7 x(t) de Quitte a remplacer (, x0 ) par ( r E(, x0 ) a un temps de vie T (x0 ) = 1 et peut etre prolongee par continuite en 1 en posant x(1) = (1). 15) Montrer que t [0, 1] , x(t) - (t) M () 1 - t, et en deduire que t [0, 1] , x(1) - x(t) 4 1 - t. M () 16) Montrer alors que t [0, 1] , x(t) - (t) (M () - 4 ) 1 - t. M () (On utilisera la deuxieme inegalite de la question precedente et la definition de M ()). 17) Soit µ un reel > 0 tel que t [0, 1] , x(t) - (t) µ 1 - t. Montrer alors que t [0, 1] , x(t) - (t) (M () - Conclure que M () - 4 ) 1 - t. µ 4 est strictement positif. µ On rappelle que M () < 4. 18) Deduire de ce qui precede l'existence d'une suite (un )nN de reels strictement positifs verifiant : u0 = M (), n N, un+1 = M () - 4 . un Etudier la convergence de cette suite (un )nN et aboutir a une contradiction. En deduire que pour tout reel x0 > 0, T (x0 ) = +. Fin du Probleme L'equation E() a ete introduite par Loewner. Elle joue un role important dans diverses branches des mathematiques (analyse complexe, processus stochastiques...etc). 5

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 Mines Maths 2 PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jean Louet (ENS Cachan) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Ce problème est consacré à l'étude précise d'une équation différentielle modélisant une poursuite. Le comportement de ses solutions, selon les paramètres, permet de déterminer si le poursuivant rattrapera le poursuivi. C'est un problème qui aurait pu être très difficile, mais les résultats essentiels sont rappelés en préambule et l'énoncé donne beaucoup d'indications sur les méthodes à utiliser. · La première partie repose principalement sur le théorème de Cauchy-Lipschitz et sur de l'analyse élémentaire, comme le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des accroissements finis. Si certains raisonnements sont un peu fins, plusieurs indications figurent cependant dans l'énoncé. De plus, garder à l'esprit l'analogie physique du lièvre et de la tortue permet de s'approprier facilement les résultats démontrés dans cette partie afin de les réutiliser par la suite. · La deuxième partie est consacrée à l'étude de deux exemples. On n'y trouvera pas, comme dans la partie précédente, l'utilisation de théorèmes profonds, mais des calculs qui peuvent être astucieux et sollicitent donc un autre type de compétences. La cerise sur le gâteau est de comprendre la situation physique décrite dans chacun des deux cas. · La dernière partie est plus théorique, le but étant de montrer qu'il n'y a pas de capture possible sous une certaine condition. Après quelques questions techniques, on termine par un joli raisonnement par l'absurde. En résumé, c'est un très beau problème, intéressant à travailler, entre autres parce qu'il aborde des aspects assez inhabituels de la théorie des équations différentielles. Il est relativement difficile et utilise tout le cours de spéciale sur la question. Il est donc préférable d'attendre que le cours soit fini (et même bien assimilé) pour vous y attaquer. Indications Partie 1 1 Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. 2 Penser que la fonction est bornée sur [ 0 ; T(x0 ) ]. Conclure en utilisant le théorème des accroissements finis. 3 Utiliser le résultat de la première question. 4 Remarquer (pour conclure) que (0, x0 ) 6= (0, y0 ). Partie 2 6 Remarquer que l'équation différentielle est à variables séparables. 2 7 Identifier 0 (t) et pour déterminer a. 0 (t) - 1 (t) 8 Rester calme... ce n'est que du calcul. 9 Simplifier le calcul de la dérivée en utilisant l'équation différentielle et celui de la question précédente. 2 10 Introduire la fonction t 7 ln(2 - t) + et étudier ses variations. 2-t 11 Utiliser le résultat de la question 5. Partie 3 12 Déterminer F par identification, puis poser u = s/t et étudier les variations de la fonction obtenue. 14 Poser b = r2 . Pour la conclusion, penser que le temps de vie T(x0 ) vérifie x(T(x0 )) = (T(x0 )). 15 Utiliser la croissance de x vue à la question 1, puis la définition de M() pour obtenir l'inégalité x (t) > M() 2 1-t qu'on intègre entre t et 1. 16 Utiliser la question précédente en pensant que x(1) = (1). 17 Se servir des méthodes employées aux questions 15 et 16. 18 Remarquer que la suite (un )nN est définie par la relation de récurrence un+1 = f (un ) où f est la fonction définie sur R+ par 4 x Montrer que la suite (un )nN est décroissante. Utiliser la question 17 pour montrer qu'elle est à valeurs positives puis aboutir à une contradiction en étudiant les points fixes de la fonction f . f (x) = M() - Tout au long du problème, il sera bon de se replacer dans le contexte cinématique du lièvre et de la tortue pour interpréter facilement les résultats demandés par l'énoncé et comprendre pourquoi ils sont « naturels ». Il sera d'autant plus facile de s'en souvenir pour les réutiliser par la suite au moment opportun. On notera que comme certains élèves de prépa, la tortue a besoin d'être talonnée par le lièvre pour être efficace : tant que l'échéance est lointaine, elle avance d'un pas tranquille, mais quand le lièvre se rapproche, elle s'oblige à passer la vitesse supérieure. Tout le jeu consiste à savoir dans quel cas cette stratégie est efficace et s'il n'aurait pas mieux valu bien avancer dès le début. 1. Généralités 1 Puisque (·, x0 ) est solution de l'équation x (t) = 2/(x(t) - (t)) sur l'intervalle [ 0 ; T(x0 ) [, la fonction (·, x0 ) est définie sur l'intervalle [ 0 ; T(x0 ) [, ce qui entraîne que la fonction t 7 (t, x0 )-(t) est non nulle sur [ 0 ; T(x0 ) [. Cette dernière fonction étant continue, elle est, d'après le théorème des valeurs intermédiaires soit strictement positive, soit strictement négative. Comme en t = 0, (0, x0 ) = x0 > 0 = (0), la fonction t 7 (t, x0 ) - (t) est positive en 0 donc positive sur tout [ 0 ; T(x0 ) [. Ainsi, t [ 0 ; T(x0 ) [ (t, x0 ) > (t) La tortue est partie devant et comme la téléportation n'est pas de ce monde (n'en déplaise à M. Spock), la tortue reste devant le lièvre tant qu'elle n'a pas été rattrapée (capturée). D'après ce qui précède, (·, x0 ) est positive sur [ 0 ; T(x0 ) [ ce qui implique que La fonction (·, x0 ) est croissante. Pour éviter d'être rattrapé, mieux vaut aller de l'avant ! Puisque (·, x0 ) est croissante, soit elle est bornée et admet alors une limite réelle quand t tend vers +, soit elle ne l'est pas et tend alors vers +. 2 La fonction est continue sur R+ . Elle est par conséquent bornée sur le segment [ 0 ; T(x0 ) ]. De ce fait, lim tT(x0 ) t