Mines Maths 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve Déterminants et formules de condensation
Principaux outils utilisés déterminants
Mots clefs développements selon les lignes et les colonnes

Corrigé

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A 2010 MATH II PSI ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PSI). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS 2010 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filiere PSI (Duree de l'epreuve : trois heures) Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES II - PSI L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Determinants et formule de condensation. Le but de ce probleme est de montrer la formule dite de condensation sur les determinants et d'en explorer les applications et generalisations. Notations Soit n un entier superieur ou egal a 1 et M une matrice de Mn (R) (l'ensemble des matrices carrees d'ordre n a coefficients reels). On dira aussi que M est une matrice de taille n × n. · On note Mi,j le coefficient de M qui se trouve sur la i-eme ligne et j-eme colonne. · On note t M sa transposee definie par t Mi,j = Mj,i pour tout i, j {1, 2, ..., n}. · On note detM son determinant. · Pour n 2 et i, j {1, 2, ..., n}, on note [M ]ji la matrice de Mn-1 (R) obtenue a partir de M en enlevant la i-eme ligne et la j-eme colonne. · Plus generalement, soit r 0. Pour n r + 1 et i1 , ..., ir , j1 , ..., jr {1, 2, ..., n}, verifiant ik 6= il et jk 6= jl si ,...,jr k 6= l, on note [M ]ji11,...,i la matrice de Mn-r (R) obtenue a partir de M en enlevant r les lignes d'indices i1 , ..., ir et les colonnes d'indices j1 , ..., jr . On conviendra que cette matrice vaut M si r = 0. · On note ComM la comatrice de M definie par (ComM )i,j = (-1)i+j det[M ]ji · On designera par In la matrice identite de Mn (R) et par e = (e1 , . . . , en ) la base canonique de l'espace vectoriel reel Rn . I. Preliminaires. 1 - Soit n N un entier non nul. Montrer que l'application N de Mn (R) dans R definie par M Mn (R), N (M ) = sup |Mi,j |, i,j{1,...,n} est une norme sur Mn (R). Dans le cas ou M Mn (R) n'est pas inversible, on rappelle qu'il existe deux matrices inversibles P et Q (de tailles n × n) telles que M = P.J.Q ou 1 . . (0) , 1 J = (0) 0 . 0 2 J etant une matrice diagonale dont les r premiers elements diagonaux valent 1 et dont les n - r derniers elements diagonaux valent 0. Si J = 0 on convient que r = 0. 2 Rappeler l'interpretation de r. 3 - On conserve les notations de la question precedente. Montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles (Jk )kN de Mn (R) telle que M = limk+ P.Jk .Q au sens de la distance associee a la norme N. 4 - Montrer que le determinant definit une fonction continue de Mn (R), muni de la distance associee a la norme N , dans R (on pourra ecrire le determinant comme une somme de fonctions toutes en forme de produits). II. Formule de condensation On se propose de montrer dans cette partie la formule de Desnanot-Jacobi, dite de condensation, suivante ou n est un entier 3 : M Mn (R), 1 n 1 n detM det[M ]1,n 1,n = det[M ]1 det[M ]n - det[M ]n det[M ]1 (1) 5 - Soit i {1, 2, ..., n}. Calculer Mi,1 det[M ]1i - Mi,2 det[M ]2i + ... + (-1)n-1 Mi,n det[M ]ni en fonction de detM et de i. 6 - Montrer que Mj,1 det[M ]1i - Mj,2 det[M ]2i + ... + (-1)n-1 Mj,n det[M ]ni = 0 pour i, j {1, 2, ..., n}, verifiant i 6= j (on interpretera le membre de gauche comme le developpement par rapport a une ligne du determinant d'une certaine matrice). 7 - Deduire des deux questions precedentes le fait que M . t (ComM ) = xIn ou x est un nombre reel que l'on precisera. On introduit la matrice de Mn (R) suivante : det[M ]11 0 0 . . 2 -det[M ] 1 0 . . 1 3 det[M ]1 0 1 . . . . . . M = . . . . . . . (-1)n det[M ]n-1 0 0 . . 1 n+1 n (-1) det[M ]1 0 0 . . 3 . 0 (-1)n+1 det[M ]1n . 0 (-1)n+2 det[M ]2n . 0 (-1)n+3 det[M ]3n . . . . . . . . 1 -det[M ]n-1 n . 0 det[M ]nn Autrement dit, M est obtenue a partir de t (ComM ) en remplacant, pour chaque i {1, . . . , n} et chaque j {2, . . . , n - 1} le coefficient t (ComM )i,j par 0 si i 6= j et par 1 si i = j. 8 - Calculer detM en fonction de det[M ]11 , det[M ]nn , det[M ]1n , det[M ]n1 . 9 - Ecrire le calcul explicite de la matrice produit M . M sous la forme du tableau usuel de taille n × n. 10 - En utilisant la question precedente, demontrer (1) dans le cas ou M est inversible. 11 - Demontrer (1) dans le cas ou M n'est pas inversible. III. Algorithme de Lewis Carroll Le Reverend Charles L. Dodgson, plus connu sous son nom de plume, Lewis Carroll, s'est servi de la formule de condensation (1) pour mettre au point un algorithme de calcul de determinant n × n, n'utilisant que le calcul de determinants 2 × 2. L'algorithme fonctionne comme suit. On doit trouver le determinant d'une matrice M de taille n × n. Pour cela, on met en jeu une suite de couples de matrices (A(k) , B (k) ) Mn-k (R)× Mn-k-1 (R) pour k = 0, ..., n - 2 definies comme suit. Pour k = 0, A(0) = M et B (0) est la matrice de Mn-1 (R) dont tous les coefficients valent 1. Voici comment l'on passe du couple (A(k) , B (k) ) (k n-3) au couple (A(k+1) , B (k+1) ). Si aucun des coefficients de B (k) n'est nul, (ce qui est le cas pour B (0) ) alors on pose, (k) (k) 1 Ai,j Ai,j+1 (k+1) , i, j {1, . . . , n - k - 1} Ai,j = (k) × (k) (k) Ai+1,j Ai+1,j+1 Bi,j (k+1) Bi,j (k) = Ai+1,j+1 , i, j {1, . . . , n - k - 2}. (k+1) Bien entendu, dans le membre de droite qui definit le terme Ai,j , | | designe un determinant 2×2. Enfin, si (A(n-2) , B (n-2) ) a pu etre defini par la precedente procedure, (n-1) alors on definit la matrice de taille 1 × 1, A(n-1) = (A1,1 ) par : (n-1) A1,1 = 1 (n-2) B1,1 (n-2) (n-2) A1,1+1 A1,1 . (n-2) (n-2) A1+1,1 A1+1,1+1 × Noter qu'il n'y a pas de terme B (n-1) . L'algorithme se termine en affirmant que (n-1) A1,1 = detM, on prouvera plus loin sa validite. Si l'un des coefficients de B (k) est nul, l'algorithme ne s'applique pas, et Lewis Carroll preconise de recommencer apres avoir echange (convenablement) des lignes dans la matrice initiale. 4 Exemple : 2 0 1 3 1 1 1 -1 2 1 -2 M = A(0) = B (0) = 1 1 1 0 -1 1 3 1 1 1 2 4 -3 2 4 -2 -5 2 1 (1) (1) 5 B = A = 1 3 -1 1 2 -1 11 7 5 (2) A = B (2) = 3 7 38 A(3) = 77 Le determinant de M vaut donc 77. 12 - Appliquer cet algorithme au calcul du determinant de 1 -2 -1 3 2 1 -1 2 -1 -2 1 -3 0 -1 -1 2 13 - Soit M Mn (R). On suppose que l'algorithme se termine sans qu'aucun des coefficients des matrices B (i) ne s'annule. Quel est le nombre un de determinants 2 × 2 que l'on a calcule au cours de la procedure ? Une autre methode de calcul de determinant consiste a repeter le developpement suivant des lignes par cofacteurs jusqu'a ce qu'on obtienne des determinants 2 × 2. L'objet de la question suivante est d'etudier le nombre vn de determinants 2 × 2 ainsi obtenus. 14 - Soit donc vn le nombre de determinants 2 × 2 calcules lorsque l'on applique la methode de developpements successifs par rapport a des lignes pour calculer le determinant d'une matrice de taille n × n. Etablir une relation entre vn et vn-1 . Puis, comparer un et vn lorsque n +. On se place desormais dans le cas ou l'algorithme de Lewis Carroll s'applique. On se propose de montrer sa validite. 15 - Soit r, s {1, 2, ..., n - 2}. En appliquant la formule de condensation, montrer (2) que Ar,s est le determinant d'une matrice 3 × 3, extraite de M , que l'on precisera. 16 - Soit k {1, 2, ..., n - 1} et r, s {1, 2, ..., n - k}. (k) Generaliser le resultat precedent en exprimant Ar,s comme le determinant d'une matrice de taille (k + 1, k + 1) extraite de M que l'on precisera. Prouver que (n-1) A1,1 = detM 5 ce qui etablit la validite de l'algorithme. IV. Le -determinant Soit R. On introduit la notion de -determinant d'une matrice M de Mn (R) convenable, note det M , de la maniere suivante. Soit (a) M1 (R), det (a) = a. a b a b Soit M2 (R), det = ad + bc. c d c d On impose de plus, pour toute matrice M de Mn (R), la formule de condensation suivante : 1 n 1 n det M det [M ]1,n 1,n = det [M ]1 det [M ]n + det [M ]n det [M ]1 (2) Cette condition (2) permet donc de definir, par recurrence, le -determinant pour une matrice M de taille n×n, a la condition de ne pas avoir a diviser par 0 au cours de son calcul. Plus precisement, supposons que cette procedure par recurrence ait permis de definir le membre de droite de (2) ainsi que det [M ]1,n 1,n et qu'en plus ce dernier soit non nul. Alors on definit det M par (2) puisqu'on peut diviser par det [M ]1,n 1,n 6= 0. Dans la suite, M designe une matrice de Mn (R) pour laquelle det M est bien defini. 17 - Soit t R\{0}, et j {1, ..., n}. On note Mt,j la matrice obtenue a partir de M par multiplication de la j eme colonne de M par t. Montrer que det Mt,j est bien defini et donner sa valeur en fonction de det M et de t. On considere un vecteur (x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn tel que les reels xi sont tous non nuls. On introduit la matrice de Vandermonde de taille n × n : V (x1 , x2 , . . . , xn ) = (xj-1 )1i,jn , i ou xj-1 est le coefficient situe sur la i-eme ligne et la j-eme colonne. i 18 - On suppose que xj + xi est non nul pour tous i, j {1, . . . , n} tels que 1 i < j n. Calculer det V (x1 , x2 , ..., xn ) en fonction des xj + xi , (i, j {1, . . . , n}). (On commencera par le cas n = 3 puis on procedera par recurrence sur n). Fin du Probleme 6

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 Mines Maths 2 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Baptiste Morisse (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce problème d'algèbre linéaire est composé de quatre parties relativement indépendantes. Il se propose d'établir la formule dite de condensation sur les déterminants et d'en explorer des applications et généralisations. · Dans une première partie, on démontre quelques propriétés classiques de Mn (R) muni de la norme supérieure N, qui seront utiles pour la suite (densité des matrices inversibles, continuité du déterminant). · Dans la deuxième partie, on établit la formule de condensation de DesnanotJacobi, qui fait le lien entre le déterminant d'une matrice et les déterminants de certaines matrices extraites. · On utilise cette formule dans la troisième partie afin de montrer la validité de l'algorithme de Lewis Carroll (l'auteur d'Alice au pays des merveilles), qui permet, sous certaines conditions, de calculer le déterminant d'une matrice de taille n en n'utilisant que des calculs de déterminants 2 × 2. · Enfin, on démontre quelques propriétés anecdotiques d'un -déterminant défini à partir d'une altération de la formule de condensation établie précédemment. Le sujet ne comporte pas de difficulté majeure et reste d'une longueur raisonnable. Les techniques employées sont classiques (développements de déterminants selon des lignes et des colonnes) et ne devraient pas surprendre un candidat bien préparé. D'ailleurs, la première partie est essentiellement constituée de questions de cours. De plus, les questions sont bien détaillées et comportent bon nombre d'indications. Notons quand même que la fin du problème fait appel à des récurrences doubles qu'il est assez pénible de rédiger proprement. L'enchaînement des trois premières parties est logique et conduit à établir la validité de l'algorithme de Lewis Carroll, ce qui aurait pu constituer une fin en soi. La quatrième partie tombe un peu comme un cheveu sur la soupe et ne débouche pas sur des applications concrètes intéressantes. Indications I. Préliminaires 1 Il suffit de montrer que l'application N vérifie les propriétés caractéristiques d'une norme sur un espace vectoriel. 3 Penser à des matrices diagonales et simples. 4 Prouver que les applications M 7- Mi,j sont continues et utiliser la formule générale définissant le déterminant. II. Formule de condensation 5 Reconnaître le développement d'un déterminant selon une ligne. 6 Appliquer le résultat précédent à une matrice M construite à partir de M. 8 Essayer cette fois de développer le déterminant selon des colonnes. 9 Calculer les termes de la matrice M · M en utilisant les résultats des questions 5 et 6. On traitera à part les termes des première et dernière colonnes. 10 Développer det (M · M ) selon la première et la dernière colonnes, puis utiliser le résultat de la question 8. 11 Utiliser les résultats des question 3, 4 et 10. III. Algorithme de Lewis Carroll 13 Combien faut-il calculer de déterminants 2×2 pour obtenir A(1) , A(2) , . . . ? (2) 15 Utiliser la définition de Ar,s en notant que les différents termes apparaissant dans son expression sont des déterminants extraits d'une même matrice 3×3, ce qui permet d'appliquer la formule de condensation. 16 Les techniques mises en oeuvre au cours de la question précédente permettent de démontrer le résultat au moyen d'une récurrence double. IV. Le -déterminant 17 Établir le résultat demandé par récurrence double à l'aide de la relation (2). 18 Même démarche qu'à la question précédente. I. Préliminaires 1 Afin de montrer que l'application N définit une norme sur l'espace Mn (R), assurons-nous qu'elle est positive, qu'elle vérifie la propriété de séparation, qu'elle est homogène et enfin qu'elle est sous-additive. Soient donc M et P Mn (R). · Positivité. Pour tout couple (i, j) [[ 1 ; n ]]2 , on a |Mi,j | > 0 donc N(M) = Sup |Mi,j | > 0 (i,j)[[ 1 ; n ]]2 · Séparation. De plus, N(M) = 0 Mi,j = 0 pour tout (i, j) [[ 1 ; n ]]2 M = 0 · Homogénéité. Soit R ; pour (i, j) [[ 1 ; n ]]2 , on a ( M)i,j = Mi,j donc N( M) = Sup | Mi,j | = (i,j)[[ 1 ; n ]]2 = || Sup Sup || |Mi,j | (i,j)[[ 1 ; n ]]2 |Mi,j | (i,j)[[ 1 ; n ]]2 N( M) = || N(M) · Sous-additivité. Pour tout couple (i, j) [[ 1 ; n ]]2 , on a |(M + P)i,j | = |Mi,j + Pi,j | 6 |Mi,j | + |Pi,j | 6 Sup |Mi,j | + (i,j)[[ 1 ; n ]]2 Sup |Pi,j | (i,j)[[ 1 ; n ]]2 6 N(M) + N(P) donc N(M + P) = Sup |(M + P)i,j | 6 N(M) + N(P) (i,j)[[ 1 ; n ]]2 Ainsi, L'application N définit une norme sur l'espace vectoriel Mn (R). 2 Les matrices P et Q étant inversibles, la relation M = PJQ implique que les matrices M et J sont équivalentes. En particulier, elles ont même rang. Or, rang(J) = r vue la définition de la matrice J. Ainsi, L'entier r est le rang de la matrice M. Même si la formulation de l'énoncé laissait penser que l'on attendait un résultat sans justification, le rapport de jury insiste sur la nécessité de justifier clairement que r est le rang de M. 3 Pour tout entier k N , posons Jk = J + 1 In . k 1 1 · Déjà, Jk est une matrice diagonale de termes diagonaux 1 + ou , donc tous k k non nuls. Ceci prouve que Jk est inversible. 1 M - PJk Q = PJQ - PJk Q = P(J - Jk )Q = - PQ k 1 donc N(M - PJk Q) = N(PQ) k De ce fait, lim N(M - PJk Q) = 0 · De plus, k+ Il existe une suite (Jk )kN de matrices inversibles de Mn (R) telle que l'on ait M = lim PJk Q au sens de la norme N. k+ Le rapport du jury insiste sur la nécessité de montrer proprement que « si la suite (Jk ) converge vers J, la suite (PJk Q) converge vers PJQ ». 4 Pour tout M Mn (R), on a avec les notations usuelles n P Q det(M) = (-1)() Mi,(i) i=1 Sn 2 Soit alors (i, j) [[ 1 ; n ]] fixé. Pour tous M et P Mn (R), |Mi,j - Pi,j | = |(M - P)i,j | 6 N(M - P) Ainsi, chaque application M 7- Mi,j est 1-lipschitzienne, donc continue sur Mn (R). De ce fait, le déterminant est une somme de produits de fonctions continues, ce qui montre que Le déterminant est une application continue de Mn (R), N dans R, | | . II. Formule de condensation 5 Soit i [[ 1 ; n ]]. Développons le déterminant de M selon la ie ligne : n k P det(M) = (-1)i+k Mi,k det M i k=1 = (-1)i+1 n P k (-1)k-1 Mi,k det M i k=1 Ainsi, i [[ 1 ; n ]] n P k=1 k (-1)k-1 Mi,k det M i = (-1)i+1 det(M) 6 Soit (i, j) [[ 1 ; n ]]2 avec i 6= j. Notons alors M la matrice obtenue à partir de M en remplaçant sa ie ligne par la j e . Autrement dit, k [[ 1 ; n ]] Mi,k = Mj,k et k k [M ]i = [M]i la seconde relation étant justifiée par le fait que les lignes des matrices M et M sont identiques hormis la ie , si bien que det [M ]ki = det [M]ki