Mines Maths 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires
Principaux outils utilisés calcul matriciel, équations différentielles, polynômes
Mots clefs polynôme, Hermite, équation différentielle, déterminant

Corrigé

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A 2009 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires Rappels On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent de n! quand n tend vers l'infini n! 2 nn+1/2 e-n . On rappelle aussi que le déterminant d'une matrice M de coefficient (mi, j ; 1 6 i, j 6 n) peut s'exprimer comme det M = X () m1,(1) m2,(2) . . . mn,(n) , Sn où Sn est l'ensemble des permutations de {1, · · · , n} et () est la signature de la permutation . I Polynômes d'Hermite Pour tout entier naturel k, on définit la fonction hk par hk : R - R x- 7 (-1)k x2 k -x2 e D (e ), 2k 2 2 où Dk (e-x ) désigne la dérivée k-ième de la fonction g(t) = e-t prise au point t = x. 2 2 (Par convention D0 (e-x ) = e-x .) 1) Calculer h0 et h1 et établir pour tout entier n, pour tout réel x, l'identité suivante : 2hn+1 (x) - 2xhn (x) + hn (x) = 0. (1) 2) En déduire que hn est un polynôme de degré n et de coefficient dominant 1. On admet que pour tous les entiers m et n, Z + -x2 hm (x)hn (x)e dx = - 2 n! 2-n 0 si m = n si m = 6 n. (2) On notera dorénavant dn = n! 2-n . 3) Montrer que pour tout réel x, l'identité suivante est satisfaite : dn -(x-t)2 e dtn 2 = 2n e-x hn (x). t=0 4) Montrer que pour tout réel x, la fonction fx de la variable réelle t définie par 2 fx (t) = e-(x-t) , admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence, + X tk 2 fx (t) = 2k hk (x) e-x . k=0 k! On considère la fonction w définie par w : R × R - R 2 (x, t) - 7 e2xt-t . Il est évident (et admis dans la suite) que w satisfait la propriété suivante : pour tout réel x et tout réel t, w (x, t) - (2x - 2t)w(x, t) = 0. (3) t 5) Établir pour tout réel x et tout entier positif n, l'équation de récurrence suivante : 2hn+1 (x) - 2xhn (x) + nhn-1 (x) = 0, avec la convention h-1 (x) = 0. 6) Montrer que pour tout entier n, l'identité hn = nhn-1 est satisfaite. On pose maintenant pour tout entier k et pour tout réel x, x2 1 k (x) = e- 2 hk (x). dk 3 (4) Les égalités (2) impliquent que Z + m (x)2 dx = 1 et que - Z + m (x)n (x) dx = 0, si m 6= n. (5) - 7) Calculer n (0) et n (0) pour tout entier n. 8) Pour tout entier k, tout réel x et tout réel y, exprimer (x - y)hk (x)hk (y) uniquement en fonction de hk+1 (x), hk+1 (y), hk (x), hk (y), hk-1 (x) et hk-1 (y). 9) Établir, pour des réels x et y distincts, les identités suivantes : (x - y) 1 1 hk (x)hk (y) = (hn (x)hn-1 (y) - hn (y)hn-1 (x)), dn-1 k=0 dk n-1 X (6) n-1 X k (x)k (y) = k=0 II r n n (x)n-1 (y) - n-1 (x)n (y) · 2 x-y Étude de 2m Dans toute cette partie, m est un entier naturel fixé. Soient et deux réels non nuls et r une fonction continue sur R, on considère l'équation différentielle suivante : (x) + 2 (x) = r(x), pour tout réel x, (S(r, , )) (0) = , (0) = 0. 10) Montrer que l'équation différentielle (S(r, , )) a une solution unique dont on donnera l'expression. 4 Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l'admet dorénavant) que pour tout m, 2m est solution de l'équation différentielle suivante : (x) + (4m + 1)(x) = x2 (x), pour tout réel x, (S) (0) = 2m (0), (0) = 2m (0). 11) Montrer que pour tout réel x, Z 2m (x) = 2m cos( 4m + 1 x) + sin( 4m + 1(x - y)) 2 y 2m (y) dy, 4m + 1 x 0 avec pour tout entier m : 2m = (-1)m 1 4 q (2m)! 2m m! · 12) Trouver un équivalent de 2m quand m tend vers l'infini. 13) Montrer que pour tout réel x, l'inégalité suivante est vérifiée : 5 Z x sin( 4m + 1(x - y)) 2 |x| 2 1 · y 2m (y) dy 6 0 4m + 1 4m + 1 5 On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5). 14) Établir pour tout réel x > 0, la limite suivante : 1 x lim (-1)m m 4 2m ( ) = cos(x). m+ 2 m III Intégrales de déterminants Pour tout entier N , on note K (N ) la fonction de R2 dans R donnée par K (N ) (x, y) = N -1 X k=0 pour tout (x, y) R2 . 5 k (x)k (y), 15) Montrer, pour tout x et y dans R, les identités suivantes : Z + K (N ) (x, z)K (N ) (z, y) dz = K (N ) (x, y), - Z + K (N ) (x, x) dx = N. - Soit k un entier tel que k > 2, et une permutation de l'ensemble {1, . . . k}. Pour deux entiers i et j de {1, . . . k}, on note (i, j) la transposition qui échange i et j. On fait la convention : (i, j) est égale à l'identité de Sk si i = j. On pose b = (k, (k)) . 16) Montrer que b définit une permutation de {1, . . . , k} telle que b (k) = k. Calculer sa signature en fonction de celle de . (On distinguera le cas où (k) = k du cas où (k) 6= k.) On note e la restriction de b à {1, · · · , k - 1}. On considère l'application définie par : : Sk - Sk-1 - 7 e . Soit Sk , on rappelle que -1 {()} = { Sk / ( ) = ()}. 17) Soit Sk , établir les propriétés suivantes : 1 cardinal -1 ({()}) = k-1 si (k) = k, sinon. 18) Montrer pour tout (x1 , · · · , xk ) Rk , pour tout entier N , les identités suivantes : Z + Y k - i=1 K (N ) (xi , x(i) ) dxk = k-1 Y K (N ) (xi , xe(i) ) N i=1 k-1 Y K (N ) (xi , xe(i) ) i=1 6 si (k) = k, sinon. Si L est une fonction de R2 à valeur dans R, on note Rk , L(x1 , x1 ) L(x1 , x2 ) L(x2 , x1 ) L(x2 , x2 ) Det L(x1 , · · · , xk ) = det .. . L(xk , x1 ) ... pour tout (x1 , · · · , xk ) dans . . . L(x1 , xk ) . .. . . . . L(xk , xk ) ... On notera que si L est continue sur R2 alors Det L est continue sur Rk . 19) En utilisant l'expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entier k > 1, Z + Det K (N ) (x1 , · · · , xk ) dxk = (N - k + 1) Det K (N ) (x1 , · · · , xk-1 ), - avec par convention Det K (N ) (x1 , · · · , xk ) = 1 si k = 0. IV Déterminants et intégrales Pour tout entier N > 1, on note (N ) la fonction de RN dans R définie par (N ) (x1 , . . . , xN ) = e- (N ) Pour 1 6 k 6 N , on note k PN i=1 x2i Y (xi - xj )2 . 16i 0 et tout (x1 , . . . , xk ) Rk , k lim (2N )- 2 N + xk x1 1 (N ) k ( , . . . , ) = det S(x1 , · · · , xk ), d0 · · · dN -1 2N 2N où S : R2 - R sin(x - y) si x 6= y (x, y) - 7 (x - y) 1 (x, x) - 7 . Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l'on choisit une matrice hermitienne de taille N ,« au hasard », la probabilité que k de ses valeurs propres soit dans un voisinage de (x1 , . . . , xk ) est proportionnelle à det S(x1 , · · · , xk ) pour N grand. Ces considérations sont particulièrement d'actualité pour l'étude des systèmes radio à plusieurs antennes utilisés dans les « box ». 8

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 Mines Maths 2 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (Professeur agrégé) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur l'étude des polynômes d'Hermite, leurs propriétés et celles des fonctions qui s'en déduisent. La partie III examine des déterminants qui s'expriment à l'aide de cette famille et qui ont un rôle important dans le transfert de données, par exemple en Wifi. · La première partie introduit les polynômes d'Hermite (hk )kN . Ils sont définis par l'énoncé comme fonctions de la variable réelle par l'expression dk -x2 (e ) dxk Les premières questions donnent une relation entre eux et leurs dérivées, qui permet de justifier qu'il s'agit bien de fonctions polynomiales. L'introduction d'une série entière explicite la relation de récurrence double associée à cette suite de polynômes (hk )kN . En fin de partie, on introduit des fonctions k 2 proportionnelles à x 7 e-x /2 hk (x), qui seront l'objet d'étude de toute la suite de l'épreuve. hk (x) = ex 2 · Étant admis que 2m vérifie une certaine équation différentielle linéaire homogène du second ordre (de coefficient d'ordre 0 non constant), l'objectif de la deuxième partie est de montrer, après un changement d'échelle adéquat dépendant de m, que la fonction x 7 2m (x) tend à se comporter, lorsque m tend vers l'infini, comme x 7 cos x. L'idée clef est d'isoler dans l'équation différentielle une partie du coefficient non constant en considérant cette dernière comme second membre ; on met ensuite en oeuvre des techniques classiques d'analyse sur l'équation intégrale obtenue sur 2m après résolution de l'équation différentielle à coefficients constants. · La troisième partie introduit un déterminant qui s'exprime en fonction de k . Après une étude préliminaire de l'ensemble des permutations, on calcule ce déterminant par récurrence. On utilise essentiellement les développements sur les colonnes pour calculer les déterminants, ainsi que les connaissances au programme sur le groupe des permutations d'un ensemble fini. · La quatrième partie est une application directe, mais technique, de la troisième : elle combine l'utilisation d'un déterminant de Vandermonde, d'intégrales généralisées et des polynômes d'Hermite. Son interprétation, décrite en annexe de l'énoncé, est une étude asymptotique à un terme, pour une matrice hermitienne choisie « au hasard » et de taille N, de la probabilité qu'un k-uplet de ses valeurs propres soit dans un voisinage de (x1 , . . . , xk ) lorsque N tend vers l'infini. Attention aux étourderies et aux erreurs de calcul dans ce sujet, tout particulièrement dans les raisonnements portant sur les permutations et la formule du déterminant. Les polynômes d'Hermite constituent un thème d'étude très classique qu'il faut avoir vu au moins une fois pendant sa prépa. Indications Partie I 2 I.1 Le raisonnement par récurrence est ici à éviter. Calculer la dérivée de Dk (e -x ) et en déduire hk (x). I.2 Raisonner par récurrence. I.4 Décomposer fx en un produit de fonctions développables en série entière. I.5 Calculer fx (t) sous la forme d'une série entière de deux façons. I.7 Calculer d'abord hn (0) en considérant les cas n pair ou impair. I.9 Exprimer la somme sous la forme d'une somme télescopique en utilisant la question 8. Partie II II.10 Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver une expression de la solution. II.11 Montrer que 2m est une solution d'une équation différentielle de la forme S(r, , ). II.14 Trouver les limites de chaque terme dans la formule de la question 11. Partie III III.15 Intervertir les signes somme et intégrale, et utiliser l'orthogonalité des fonctions k . III.17 Attention, il y a une erreur d'énoncé. Montrer que le cardinal est toujours égal à k. III.19 Décomposer la somme définissant le déterminant suivant que la permutation admet k comme point fixe ou non. Partie IV IV.20 Il y a une erreur dans l'énoncé, il faut montrer que le déterminant vaut : 16i 0. · P(0) est vraie puisque h0 est la fonction constante égale à 1. · P(n) = P(n + 1) : supposons que P(n) est vérifiée. D'après la question précédente, on a x R hn+1 (x) = x hn (x) + 1 h (x) 2 n Or, d'après l'hypothèse de récurrence P(n), il existe Qn de degré strictement inférieur à n tel que hn (x) = xn + Qn (x) pour tout x R et donc 1 hn+1 (x) = x hn (x) + hn (x) 2 1 n-1 = x xn + Qn (x) + nx + Qn (x) 2 1 n xn-1 + Qn (x) x R hn+1 (x) = xn+1 + x Qn (x) + 2 1 En posant Qn+1 (x) = x Qn (x)+ n xn-1 +Qn (x) pour tout x R on obtient 2 bien la propriété escomptée puisque le degré de Qn+1 est strictement inférieur à n + 1. x R · Conclusion : P(n) est donc vraie pour tout entier n. Pour tout n N hn est un polynôme de degré n et de coefficient dominant 1. Comme indiqué dans le rapport du jury, il s'agit de la première démonstration par récurrence, il est donc important de soigner la rédaction pour montrer la rigueur dont on est capable. 3 Soit x un réel fixé. On pose x : t 7 (x - t). Montrons par récurrence que : P(n) : pour tout t R, (g x )(n) (t) = (-1)n g (n) x (t) est vraie pour tout n > 0. · P(0) est vraie car on a : g x (t) = (-1)0 g x (t) pour tout t R. · P(n) = P(n + 1) : supposons la propriété P(n) vraie. D'après l'hypothèse de récurrence t R (g x )(n+1) (t) = (-1)n g (n) x (t) = (-1)n x (t) g (n) x (t) t R (g x )(n+1) (t) = (-1)n+1 g (n+1) x (t) · Conclusion : P(n) est donc vraie pour n > 0 et pour tout t R (g x )(n) (t) = (-1)n g (n) x (t) Or x (0) = x. On applique cette égalité en t = 0 et on obtient avec les notations de l'énoncé dn dn g (g x (t)) = (-1)n n n dt dt t=x t=0 2 Le membre de droite est exactement (-1)n Dn (e -x ) et par définition de hn x R n N dn -(x-t)2 2 (e ) = 2n e -x hn (x) n dt t=0