Mines Maths 2 PSI 2008

Thème de l'épreuve Équation de la chaleur en dimension 2
Principaux outils utilisés séries de Fourier, séries de fonctions, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs équation de la chaleur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2008 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Équation de la chaleur en dimension 2 Dans ce qui suit, on dira qu'une fonction de plusieurs variables est de classe C si elle admet des dérivées partielles de tous ordres et si toutes ces dérivées partielles sont continues. Définition 1. Soit (an )nZ une suite de réels positifs indexée par Z. La série de terme général (an , n Z) est convergente lorsque les séries + X an et n=0 + X a-n n=1 sont convergentes. On a alors X an = nZ + X an + n=0 + X a-n . n=1 Définition 2. Soit (am,n )(m,n)Z2 une suite double (indexée par Z2 ) de nombres complexes telle que la série X X ( |am,n |) [respectivement X X ( |am,n |)] mZ nZ nZ mZ converge. On admet alors que la série X X ( |am,n |) [respectivement mZ nZ X X ( |am,n |)] nZ mZ P converge également. On dira alors que la série double m,nZ am,n est sommable. En outre, on a : X X X X ( am,n ) = ( am,n ). nZ mZ mZ nZ La valeur commune de ces deux nombres complexes sera notée P somme de la série double m,nZ am,n . P m,nZ am,n et appelée Pour u fonction bornée de R2 dans C, on note kuk = sup |u(x, y)|. x, y Soit (un (x, y), n Z) une suite de fonctions bornées de R2 dans C. Définition 3. La série de terme général (un (x, y), n Z) est dite normalement convergente sur R2 lorsque la série de terme général (kun k , n Z) est convergente. 2 On admet le théorème suivant : Théorème 1. Si a) pour tout entier relatif n, un est continue sur R2 , b) et la série de terme général (un (x, y), n Z) est normalement convergente alors la fonction u définie par u(x, y) = X un (x, y) nZ est continue sur R2 . I Série de Fourier à deux variables Dans les questions 1 à 9, u est une fonction de classe C sur R2 , à valeurs complexes et doublement 2-périodique, c'est-à-dire que pour tous les entiers relatifs k, l et tout couple de réels (x, y), on a : u(x, y) = u(x + 2k, y + 2l). On pose pour chaque couple d'entiers relatifs (m, n) : 1 Z 2 Z 2 am,n (u) = 2 u(x, y)e-imx e-iny dx dy. 4 0 0 (1) Pour tout entier relatif m, on introduit la fonction um définie pour tout réel y, par 1 Z 2 um (y) = u(x, y)e-imx dx. 2 0 1. Montrer, pour tout entier relatif m, que um est 2-périodique, continue sur R et que l'on a la relation suivante : Z 2 0 |um (y)|2 dy = 2 X |am,n (u)|2 . nZ 2. Pour tout réel y, établir l'identité 1 Z 2 |u(x, y)|2 dx. |um (y)| = 2 0 mZ X 2 3 3. Prouver que la série double X X |am,n (u)|2 mZ nZ converge et établir l'identité X X |am,n (u)|2 = mZ nZ 1 Z 2 Z 2 |u(x, y)|2 dx dy. 4 2 0 0 (2) On suppose maintenant, que pour tous les entiers positifs k et l, la suite double |am,n (u)| (1 + |m|)k (1 + |n|)l (m,n)Z2 est bornée. 4. Prouver que pour tout couple de réels (x, y), la série double suivante est sommable : X X am,n (u) eimx+iny . mZ nZ On pose alors v(x, y) = X X am,n (u) eimx+iny . mZ nZ 5. Prouver que v ainsi définie est continue. 6. Démontrer que v est de classe C sur R2 et que pour tout couple (k, l) d'entiers naturels : X X k+l v (x, y) = (im)k (in)l am,n (u) eimx+iny . k l x y mZ nZ 7. Soit un réel y. Montrer que pour tout entier relatif k, X 1 Z 2 v(x, y)e-ikx dx = ak,n (u)einy . 2 0 nZ 8. Pour tout couple (k, l) d'entiers relatifs, calculer ak, l (v). 9. En déduire que u = v. 4 II Application Soit u0 (x, y) une fonction de classe C sur R2 à valeurs complexes et doublement 2-périodique. On cherche à déterminer l'existence et l'unicité d'une fonction u(t, x, y) a) continue sur [0, +[×R2 , b) doublement 2-périodique en (x, y), c) de classe C sur R+ × R2 d) et dont toutes les dérivées partielles en (t, x, y) admettent un prolongement continu à [0, +[×R2 , e) qui soit solution du problème suivant : (x, y) R2 , u(0, x, y) = u0 (x, y), et 2u 2u u (t, x, y) R+ (t, x, y) - 2 (t, x, y) - 2 (t, x, y) = 0. × R2 , t x y 10. Pour tout couple d'entiers relatifs (m, n), exprimer am,n ( am,n (u0 ). (3) (4) u0 ) en fonction de x 11. Démontrer, pour tous les entiers naturels k et l, que la suite double |am,n (u0 )| (1 + |m|)k (1 + |n|)l (m,n)Z2 est bornée. 12. Construire une fonction u qui soit solution du problème posé. Indication : on pourra chercher u sous la forme u(t, x, y) = X X m, n (t)m, n eimx+iny . mZ nZ Soit u(t, x, y) une solution du problème précédent. Pour t réel positif, on pose 1 Z 2 Z 2 |u(t, x, y)|2 dx dy Eu (t) = 2 0 0 + Z t 0 Z 2 Z 2 0 0 2 u u (s, x, y) + (s, x, y) x y 5 2 dx dy ds. 13. Montrer que la fonction Eu est continue sur R+ et dérivable sur R+ . Exprimer sa 2 dérivée sous forme d'une intégrale sur [0, 2] . 14. Pour tout (t, x, y) appartenant à R+ × R2 , établir l'identité suivante : ! u u u u u u u u + + + (t, x, y) x x y y 2 t 2 t ! !! u u u u 1 + u + u u + u (t, x, y). = 2 x x x y y y 15. Prouver que Eu (t) = Eu (0) pour tout t > 0. 16. Montrer que le problème posé possède au plus une solution. Fin du problème 6

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 Mines Maths 2 PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Professeur en CPGE). L'objectif de ce problème d'analyse, qui traite de séries de Fourier à deux variables, T est de résoudre l'équation de la chaleur = T en dimension deux. Il est constitué t de deux parties, la seconde utilisant les résultats et les idées de la première. · La première partie propose de généraliser aux fonctions de deux variables réelles doublement 2-périodiques les résultats du cours sur les séries de Fourier : on introduit les coefficients doubles de Fourier avant d'établir un homologue de la formule de Parseval. Ensuite, on montre que la série double de Fourier d'une fonction de classe C sur R2 converge (normalement) vers cette fonction et que l'on peut la dériver terme à terme indéfiniment. · La seconde partie s'appuie sur ces résultats pour résoudre l'équation de la chaleur avec une condition initiale. On établit l'existence d'une solution sous la forme d'une série double de Fourier dont les coefficients dépendent du temps, avant de s'assurer que c'est la seule. C'est un sujet de difficulté moyenne, qui aborde des notions à la limite du programme et qui reste raisonnablement court. La rédaction peut toutefois s'avérer fastidieuse, car il faut adapter aux séries doubles des résultats sur les séries de fonctions. En outre, les vérifications des conditions d'application des théorèmes de dérivation sous le signe somme ou sous le signe intégral sont plutôt lourdes. Ce problème vous permettra de vérifier que vous maîtrisez les séries de Fourier, les séries de fonctions et les intégrales à paramètre. Indications Partie I 1 Pour la continuité, noter que u est bornée sur R2 . Ensuite, appliquer la formule de Parseval à la fonction um . 2 Procéder de même avec la fonction u(·, y) : x 7 u(x, y). P 2 3 Prouver que |um | converge normalement sur R2 afin de l'intégrer terme à terme sur [ 0 ; 2 ]. Faire alors appel aux résultats des questions 1 et 2. On peut aussi montrer que les sommes partielles sont majorées, puis établir la relation demandée à l'aide du théorème de convergence dominée. 4 Établir, à l'aide de la condition de décroissance rapide de la suite (am,n (u)), une double convergence normale afin de traiter la question 5 dans la foulée. 6 Procéder comme à la question 4 avec les séries des dérivées partielles. 7 Utiliser (en l'adaptant) la question 5 pour intervertir les sommes et l'intégrale. 8 Adopter la même démarche qu'à la question précédente. 9 Appliquer la relation (2) à la fonction v - u. Partie II k+ u0 pour (k, ) N2 . xk y 12 Ne pas tenir compte du terme m,n dans l'expression de u proposée dans l'énoncé. Utiliser le résultat de la question 11 pour montrer que la fonction obtenue est de classe C et dérivable terme à terme sur R+ × R2 . 11 Généraliser le résultat précédent à am,n 13 Noter que la fonction u est de classe C 1 sur R+ × R2 , ce qui permet de dériver Eu sous le signe intégral. 14 Partir du membre de droite et faire intervenir la relation (4). 15 Combiner les résultats des questions 13 et 14. 16 Si u et v sont deux solutions du problème, que peut-on dire de Eu-v ? I. Série de Fourier à deux variables 1 Soit m un entier relatif. Pour tout réel y, on a Z Z 1 2 1 2 um (y + 2) = u(x, y + 2) e-imx dx = u(x, y) e-imx dx 2 0 2 0 puisque la fonction u(x, ·) : y 7 u(x, y) est 2-périodique, si bien que um (y + 2) = um (y) Ceci prouve que La fonction um est 2-périodique. La fonction u est de plus continue sur R2 donc bornée sur le compact [ 0 ; 2 ]2 . Comme elle est doublement 2-périodique, elle est alors bornée sur R2 ; on notera kuk la borne supérieure de |u|. Ainsi : · pour tout x [ 0 ; 2 ], la fonction y 7 u(x, y) e-imx est continue sur R ; · pour tout y R, la fonction x 7 u(x, y) e-imx est continue donc intégrable sur l'intervalle [ 0 ; 2 ] ; · pour tout (x, y) [ 0 ; 2 ]× R, on a u(x, y) e-imx 6 kuk qui ­ comme toutes les fonctions constantes ­ est intégrable sur tout segment. On déduit du théorème de continuité des intégrales dépendant d'un paramètre que Z 1 2 La fonction um : y 7 u(x, y) e-imx dx est continue sur R. 2 0 La fonction um est donc continue et 2-périodique sur R. Pour tout n Z, Z 2 Z 2 Z 1 1 2 -imx -iny am,n (u) = u(x, y) e e dx dy = um (y) e-iny dy 4 2 0 2 0 0 est le ne coefficient de Fourier de cette fonction : on déduit alors de la formule de Parseval que Z X 1 2 |um (y)|2 dy = |am,n (u)|2 2 0 nZ soit Z 2 2 |um (y)| dy = 2 0 X |am,n (u)| 2 nZ Comme le signale le rapport du jury, lorsque l'on veut utiliser le théorème de continuité sous le signe somme, il faut veiller à « montrer que les hypothèses de ce théorème sont bien satisfaites afin d'en tirer les conclusions souhaitées ». 2 Soit y un réel. La fonction u(·, y) : x 7 u(x, y) est continue et 2-périodique sur R ; pour tout m Z, Z 1 2 um (y) = u(x, y)e-imx dx 2 0 est le me coefficient de Fourier de cette fonction. On déduit à nouveau de la formule de Parseval que Z X 1 2 2 2 |um (y)| = |u(x, y)| dx 2 0 mZ 3 Soit m un entier relatif non nul. En utilisant la relation entre les coefficients de Fourier d'une fonction 2-périodique de classe C 1 et ceux de sa dérivée, on obtient Z Z 2 1 2 1 u -imx y R um (y) = u(x, y) e dx = (x, y) e-imx dx 2 0 2im 0 x w w w 1 w w u w si bien que m Z kum k 6 w |m| x w d'après l'inégalité triangulaire. On retrouve la relation évoquée ci-dessus au moyen d'une simple intégration par parties sur [ 0 ; 2 ] ; en l'occurrence, on a pour tout réel y u u(x, y) e-imx = (x, y) e-imx - im u(x, y) e-imx x x En intégrant l'égalité précédente par rapport à x sur l'intervalle [ 0 ; 2 ], il vient Z 2 Z 2 u -imx x=2 -imx u(x, y) e =0= (x, y) e dx - im u(x, y) e-imx dx x=0 x 0 0 Z 2 Z 1 u 1 2 soit (x, y) e-imx dx = u(x, y) e-imx dx 2im 0 x 2 0 On sait, grâce au critère de Riemann, que la série numérique P 1/m2 mN est convergente ; on déduit alors de l'inégalité établie précédemment que : P 2 · la série de fonctions continues |um | converge normalement sur R, donc sa mN somme est continue et intégrable terme à terme sur tout segment ; ainsi, ! Z X 1 Z 2 1 2 X 2 2 |um (y)| dy = |um (y)| dy R 2 0 2 0 mN · la série de fonctions continues mN P 2 |u-m | converge normalement sur R, donc mN sa somme est continue et intégrable terme à terme sur tout segment ; ainsi, ! Z X 1 Z 2 1 2 X 2 2 |u-m (y)| dy = |u-m (y)| dy R 2 0 2 0 mN mN En additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient grâce à la linéarité de l'intégrale ! Z X 1 Z 2 1 2 X 2 2 |um (y)| dy = |um (y)| dy R () 2 0 2 0 mZ mZ Comme on vient de le voir, les propriétés usuelles des séries de fonctions indexées sur N (continuité de la somme, dérivabilité et intégrabilité terme à terme) s'étendent sans aucun problème aux séries de fonctions indexées sur Z : il suffit pour cela de séparer les indices positifs des indices négatifs. Par la suite, nous nous permettrons donc de manipuler directement des séries indexées sur Z.