Mines Maths 2 PSI 2006

Thème de l'épreuve Ordre de Löwner sur les matrices symétriques et fonctions matriciellement croissantes
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, réduction des matrices, plus particulièrement des matrices symétriques, intégration sur un intervalle quelconque

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATICNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATICNS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQ UES II _ PSI. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. On désignera dans tout le problème par: -- M..., l'espace des matrices réelles à n lignes et p colonnes. On note 0...... la matrice nulle. ---- M... l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre n. On note 0... la matrice nulle. -- till la transposée d'une matrice JW . -- S... le sous--ensemble de M... constitué des matrices symétriques d'ordre n, c'est--à--dire les matrices A qui satisfont 'A = A. ---- I" la matrice identité d'ordre n. -- (X | Y) le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matrice A de M,", et tout couple de matrices colonnes (X ,Y) où X EUR M...1 et Y EUR Mp,1, l'identité suivante est satisfaite: (AX | Y) = (X | tAY). Définition 1. Une matrice A E Sn est dite positive lorsque pour tout X de Mn,1, (AX|X)ZO. ' Une matrice A E Sn est dite définie positive lorsque pour tout X de Mn,l\{0n,1}7 (AX IX) > 0-- Définition 2. Si A et B sont deucc matrices de S... on dit que A est plus petite que B pour l'ordre de Lôwner, et on note A 5 B, si la matrice B -- A est positive. On notera A --< B si B -- A est définie positive., On suppose dorénavant que A est une matrice symétrique réelle I. 1) d'ordre n. Matrices positives Montrer que si A est positive, alors pour toute matrice réelle M E M...... la matrice "M A M est symétrique positive. Montrer que toutes les puissances entières d'une matrice symétrique po-- sitive A sont positives. Montrer que A E Sn est positive, respectivement définie positive, si et seulement si les valeurs propres de A sont toutes positives, respectivement strictement positives. Si A est définie positive, montrer qu'il existe une matrice C , symétrique définie positive telle que C2 = A. Si A et C sont symétriques définies positives et C2 = A, montrer que, pour toute valeur propre À de A, on a: Ker (A ---- ÀI,,) : Ker (C -- \/Xln). En déduire que si A est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive C telle que C2 = A et que dans toute base orthonormale de vecteurs propres de A, la matrice C est diagonale. On notera désormais C = A1/2. On suppose A définie positive. Montrer que A est inversible et qu'il existe une unique matrice, notée A"1/2, symétrique définie positive telle que A--1/2A--1/2 : A_1. 8) Prouver que (Al/2)"1 : A"1/2. II. Ordre de Lôwner 9) Montrer que l'ordre de Lôwner est une relation d'ordre sur Sn. 10) Soit B EUR Sn avec A 5 B. Montrer que pour toute matrice réelle C' E M...... la relation tCA C' -_5 tCB C est vérifiée. 11) Montrer que si In 5 A alors A est inversible et A"1 5 In. 12) En déduire que si On < A _<_ B alors B est inversible et B"1 5 A"1. 13) Donner un système de conditions nécessaires et suffisantes portant sur a b . ) smt p051t1ve. les réels a, b et c pour que la matrice D = (b c 14) On considère les deux matrices suivantes: D=abetB=2ao. bl 02 Montrer qu'il existe des réels a et b de sorte que 0" _<_ D 5 B mais que D2 73 B2. III. Fonctions matriciellement croissantes Soit n un entier non nul et M une matrice diagonalisable à valeurs propres positives. Il existe donc une matrice diagonale A et une matrice inversible P telles que M = PAP--1. Notons (À...i : 1, -- -- ,n) les valeurs propres de M, répétées suivant leur multiplicité, qui sont donc les coefficients diagonaux de A. Définition 3. Si f est une fonction de R+ dans R et A une matrice diagonale positive, on note f(A) la matrice diagonale dont les coefi'icients diagonauæ sont donnés par f(A),,« = f(À,-) pouri = l, ,n. 15) On considère f une fonction de R+ dans R et l'on note R = Pf(A) P"1. Soit X EUR M...1 et À un réel positif tels que MX = ÀX . Calculer RX. 16) Montrer que, pour toutes matrices P et @ inversibles et toutes matrices diagonales Ap et AQ de M,, telles que M = PApP"1 = QAQQ"1, on a: PfP--l = Qfo--l. Désormais, si M est une matrice diagonalisable à valeurs propres positives et ACI = PAP_1 est une diagona1isation de .M , on définit f (M ) par f(M)=Pf(A)P"I- Définition 4. Une fonction f est dite matriciellenient croissante sur R+ si pour tout n 2 1 et tout couple (A, B), de matrices symétriques, l'implication suivante est satisfaite : OjAfiB:f(/l)jf(B). Soit E l'ensemble des fonctions go continues sur ]0, + oo[, à valeurs dans R+, telles que (s r----> sc,o(s)) soit intégrable sur [0,1] et 90 soit intégrable sur [1, + oo[. On définit une fonction LSD : R+ --> R+ par: 1+st L;=/ °° "' sada 17) Pour 7" E R, on pose go,.(s) = s ""--1. Pour quelles valeurs de 7° a--t--on 90,-- E E? Exprimer alors, pour tout t > O, LW(t) en fonction de L%_(1) . 1 18) Soit 3 2 0. On pose pour tout t 2 O, fs(t) = 1-- 1_--Ï_t . Exprimer fs(A) 5 lorsque A est une matrice symétrique positive. 19) Montrer que fs est matriciellement croissante sur R+. 20) Pour toute matrice A E Sn positive et toute matrice colonne X EUR Mn,1, établir l'identité: <...A>X IX) = / °° w(8)(fs(A)X | X) ds. 21) Montrer que, pour toute 90 E E, l'application LW est matriciellement croissante sur R+. 22) Soient A et B deux matrices symétriques telles que 0 _--S A _<_ B. Compte-- tenu des questions précédentes, pour quelles valeurs du réel positif r, pouvez--vous montrer que A'" 5 B"? FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Arnaud Durand (ENS Cachan) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) et David Lecomte (Professeur en CPGE). Le problème est principalement consacré à l'étude des matrices symétriques positives et définies positives. Il propose également de s'intéresser à une classe particulière de fonctions de R+ dans R : les fonctions matriciellement croissantes. Il se compose de trois parties. · La première partie traite des matrices symétriques positives et définies positives. Plus précisément, on y caractérise le fait qu'une matrice symétrique est positive ou définie positive en fonction du signe de ses valeurs propres. On s'intéresse également à l'existence et l'unicité de la racine carrée d'une matrice symétrique définie positive. · La deuxième partie propose l'étude d'une relation d'ordre sur l'ensemble Sn des matrices symétriques d'ordre n N : l'ordre de Löwner. On se penche en particulier sur le comportement de la relation lors du passage à l'inverse et au carré. · Dans la troisième partie, on étudie une classe particulière de fonctions. Soit f une fonction définie sur R+ et prenant ses valeurs dans R. On montre qu'il est possible d'associer à toute matrice M diagonalisable à valeurs propres positives une matrice f (M). La fonction f est alors dite matriciellement croissante si elle préserve l'ordre de Löwner sur Sn . Le but de la fin du problème est d'établir que certaines fonctions sont matriciellement croissantes, à savoir les fonctions t 7 1-(1+s t)-1, pour tout réel positif s, et les fonctions t 7 tr , pour certaines valeurs du réel positif r. Pour bien traiter ce sujet, il est nécessaire (et presque suffisant) de maîtriser le cours d'algèbre bilinéaire, notamment la partie concernant la réduction des matrices symétriques réelles. La première partie peut paraître facile, car elle propose d'établir des résultats très classiques sur les matrices symétriques définies positives. La deuxième partie est un peu plus technique, mais ne présente pas vraiment de difficultés d'ordre théorique. La troisième partie fait intervenir des notions plus originales, comme l'image d'une matrice diagonalisable à valeurs propres positives par une fonction de R+ dans R, ou la notion de fonction matriciellement croissante. De surcroît, cette dernière partie fait appel au cours concernant l'intégrabilité des fonctions réelles sur un intervalle quelconque. Les deux premières parties ne sont pas indépendantes l'une de l'autre. En effet, pour répondre à la plupart des questions de la deuxième partie, il convient d'utiliser les résultats établis dans la première, par exemple la caractérisation des matrices symétriques définies positives à l'aide du signe de leurs valeurs propres ou la possibilité d'attribuer de manière unique une racine carrée à ces matrices. En revanche, la dernière partie est quasiment indépendante des deux précédentes, car elle n'utilise guère que les résultats des questions 3, 11 et 12. Ce sujet est un bon compromis, car il permet, par l'intermédiaire de questions de difficulté variable, de revoir certains résultats classiques d'algèbre bilinéaire et de découvrir des notions moins classiques mais néanmoins intéressantes. Indications 1 Utiliser l'identité rappelée dans l'introduction de l'énoncé. 2 Un entier naturel m étant fixé, observer que, si la matrice Am est positive, il en va de même pour la matrice Am+2 . 3 Diagonaliser la matrice symétrique A. 5 Observer que A - In = (C + In )(C - In ). 6 Utiliser la question précédente. 7 Pour mettre en évidence l'inversibilité de A, observer que cette matrice ne peut admettre 0 comme valeur propre. Afin d'établir l'existence et l'unicité de la matrice A-1/2 , appliquer le résultat de la question 6 à la matrice A-1 . 8 Vérifier que (A1/2 )-1 est une matrice symétrique définie positive dont le carré vaut A-1 , puis invoquer l'unicité de la matrice A-1/2 . 9 Montrer que la relation est réflexive, antisymétrique et transitive sur Sn . t t t 10 Observer que C B C - C A C = C (B - A) C et utiliser l'identité rappelée dans l'introduction de l'énoncé. 11 Montrer que la matrice A est définie positive pour en déduire son inversibilité grâce au résultat de la question 7. Faire par ailleurs appel au résultat de la question 10 en prenant C = A-1/2 . 12 Utiliser le résultat de la question 10 avec C = A-1/2 , puis le résultat de la question 11 et enfin à nouveau le résultat de la question 10 avec la même matrice C. 13 Commencer par supposer que la matrice D est positive. En exploitant la condition (D X | X) > 0 avec des matrices colonnes X judicieusement choisies, montrer que les réels a et c sont positifs. Établir en outre que le déterminant de la matrice D est positif. Prouver ensuite que les conditions nécessaires de positivité de D ainsi obtenues sont en fait suffisantes. 14 Utiliser le résultat de la question 13 pour caractériser les conditions 0n D B et D2 6 B2 en fonction des réels a et b. 15 Montrer que R X = f () X. 16 Grâce au résultat de la question 15, s'assurer du fait que les endomorphismes qui sont canoniquement associés aux matrices P f (P ) P-1 et Q f (Q ) Q-1 coïncident sur une base de vecteurs propres de la matrice M. 17 Montrer que la fonction r appartient à E si et seulement si r figure dans l'intervalle ] 0 ; 1 [. Pour le calcul de Lr (t), procéder au changement de variable u = s t. 18 Prouver que fs (A) = In - (In + s A)-1 en écrivant A sous la forme P-1 P, où P et désignent respectivement une matrice inversible et une matrice diagonale. 19 Si A et B sont deux matrices symétriques d'ordre n qui vérifient 0n A B, établir que (In + s B)-1 (In + s A)-1 à l'aide du résultat de la question 12. 20 Présenter la matrice A sous la forme t P P, avec P orthogonale et diagonale. Une matrice colonne X de Mn,1 étant fixée, exprimer le produit scalaire (L (A) X | X) en fonction des coefficients de Y = P X et des coefficients diagonaux de la matrice L (). 21 Utiliser successivement les résultats des questions 19 et 20. 22 Soit r un réel de l'intervalle ] 0 ; 1 [. En s'appuyant sur le résultat démontré dans la question 20, garantir que Lr (A) Lr (B). Utiliser alors le résultat de la question 17 pour conclure que les deux membres de cette dernière relation sont respectivement Lr (1) Ar et Lr (1) Br . I. Matrices positives 1 Soit A une matrice appartenant à Sn . Supposons que la matrice A est positive et prenons une matrice réelle M appartenant à Mn,p . D'une part, on observe que t t t t t ( M A M) = M A M = M A M t puisque la matrice A est symétrique. Ainsi, la matrice M A M est symétrique. D'autre part, prenons une matrice colonne X appartenant à Mp,1 . L'identité rappet lée dans l'introduction de l'énoncé permet d'écrire ( M A M X | X) = (A M X | M X). t Comme A est positive, ce dernier produit scalaire est positif. La matrice M A M est donc positive. Finalement, t Pour toute matrice réelle M Mn,p , la matrice M A M est symétrique positive. Signalons que le résultat qui est rappelé dans l'introduction de l'énoncé comporte une erreur mineure. Si n et p sont deux entiers naturels non nuls et si A désigne une matrice réelle de Mn,p , l'identité t (A X | Y) = (X | A Y) est vraie dès que X et Y désignent respectivement des matrices colonnes de Mp,1 et Mn,1 et non de Mn,1 et Mp,1 comme l'indique à tort l'énoncé. 2 Soit A une matrice symétrique positive d'ordre n. Pour m N, observons que la matrice Am est symétrique et notons P(m) l'assertion « la matrice Am est positive ». Montrons par récurrence que P(m) est vraie quel que soit m N. · P(0) est vraie car la matrice A0 = In est positive. · P(1) est vraie puisque la matrice A1 = A est positive. · P(m) = P(m + 2) : Sachant que la matrice A est symétrique, on peut t écrire Am+2 sous la forme A Am A. Dès lors, si la matrice Am est positive, m+2 la matrice A l'est aussi en vertu du résultat de la question 1. Le principe de récurrence permet de conclure que la matrice Am est positive quel que soit l'entier naturel m. Autrement dit, Toutes les puissances entières d'une matrice symétrique positive sont positives. 3 Soit A une matrice de Sn . A admet alors une base orthonormée de vecteurs propres de Mn,1 et toutes ses valeurs propres sont réelles. Considérons une telle valeur propre R et notons X Mn,1 r {0} un vecteur propre associé. On a (A X | X) = ( X | X) = kXk2 p où kXk = (X | X) > 0 désigne la norme euclidienne de X. Par suite, si A est positive, le produit scalaire (A X | X) est positif si bien que le réel est positif. Si A est définie positive, ce produit scalaire et le réel sont strictement positifs. Établissons maintenant la réciproque. Comme A appartient à Sn , il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale vérifiant t A = P-1 P = P P En outre, les coefficients diagonaux 1 , 2 , . . . , n de la matrice sont réels et désignent les valeurs propres de la matrice A. Une matrice réelle Q Mn est dite orthogonale si elle vérifie l'égalité t Q Q = In . Rappelons de plus que toute matrice de passage d'une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien à une autre est orthogonale. L'existence des matrices P et définies précédemment est justifiée par le fait que la matrice A, en tant que matrice symétrique réelle d'ordre n, admet une base orthonormée de vecteurs propres de Mn,1 qui sont associés à des valeurs propres réelles. Supposons que les valeurs propres 1 , 2 , . . . , n de la matrice A sont toutes positives. La matrice est alors positive. En effet, pour toute matrice colonne X Mn,1 , on a ( X | X) = n P i xi 2 > 0 i=1 t où x1 , x2 , . . . , xn désignent les réels tels que X = x1 x2 · · · xn . Le résultat de la question 1 permet alors de conclure que la matrice A = t P P est positive. Supposons désormais que les valeurs propres de la matrice A sont strictement positives et considérons une matrice colonne non nulle X Mn,1 . Notons Y la matrice colonne P X et appelons y1 , y2 , . . . , yn ses coefficients. En vertu de l'inversibilité de P, la matrice Y est non nulle, si bien qu'il existe un entier i0 [[ 1 ; n ]] pour lequel yi0 est non nul. L'identité rappelée dans l'introduction de l'énoncé garantit alors que (A X | X) = ( t P P X | X) = ( Y | Y) = n P i yi 2 > i0 yi0 2 > 0 i=1 ce qui implique que la matrice A est définie positive. Finalement, Une matrice symétrique réelle est positive (respectivement définie positive) si et seulement si ses valeurs propres sont toutes positives (respectivement strictement positives). 4 Soit A une matrice symétrique définie positive. Notons 1 , 2 , . . . , n les valeurs propres de A. D'après le résultat de la question 3, ces valeurs propres sont des réels strictement positifs. Appelons la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont 1 , 2 , . . . , n . Il existe alors une matrice orthogonale P telle que t A = P-1 P = P P Considérons la matrice sont les réels diagonale , dont les coefficients diagonaux t strictement positifs 1 , 2 , . . . , n , puis la matrice C = P-1 P = P P. Montrons que cette dernière est une matrice symétrique définie positive dont le carré vaut A. Tout d'abord, C est symétrique. En effet, t t t t C = ( P P) = P P = C puisque la matrice est symétrique. les Ensuite, valeurs propres de la matrice C sont les réels strictement positifs 1 , 2 , . . . , n . Le résultat de la question 3 prouve alors que la matrice symétrique C est définie positive. Enfin, 2 C2 = (P-1 P)2 = P-1 P = P-1 P = A On peut en conclure que Pour toute matrice symétrique définie positive A, il existe une matrice symétrique définie positive C qui vérifie C2 = A.