ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES
NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES
TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2005
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière PSI
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, EN ST IM, EN SAE (Statistique), INT, T PE--EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière PSI.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Les différentes parties sont indépendantes. Ceci étant, la
plus grande attention sera apportée à l'unité de votre travail.
La résolution intégrale de partie sera hautement appréciée.
Ce problème traite des applications de la notion de supplémentaire d'un
sous--espace vectoriel dans un espace vectoriel, et de ses applications tant en
algèbre qu'en analyse ou en géométrie.
Les théorèmes du cours utilisés lors de la résolution de ce problème de-
vront être énoncés avec précision, leurs hypothèses devront être soigneuse--
ment vérifiées.
Dans ce texte, C°°(IR, IR) représente l'ensemble des fonctions numé--
riques, de classe 60° sur IR. D'autre part, pour deux espaces vectoriels E
et F, £(E, F) représente l'ensemble des applications linéaires de E dans F.
I. Deux exemples simples de supplémentaires
1) Soit E : C°°(IR, IR) et soit F le sous-espace vectoriel constitué des
fonctions paires. Donner un supplémentaire de F dans E.
2) Soit E : C°°(1R,IR) et F le sous--espace vectoriel constitué des solutions
de l'équation différentielle y" + y' + y = 0.
Montrer qu'il existe deux fonctions fl et f2, que l'on déterminera explici--
tement, telles que tout élément f de F se décompose de manière unique
sous la forme :
f = aff1 + fiff2 avec (af,Bf) & ]R2.
3) Déterminer l'unique matrice A telle que l'on ait, pour tout f E F,
af ___ A f (0) _
Ûf f '(0)
4) Montrer que G = {9 EUR E telle que g(0) = g' (0) = O} est un supplémen-
taire de F dans E.
II. Supplémentaires, stabilité et diagonalisation
Soit f l'endomorphisme de ]R3 dont la matrice dans la base canonique
delR3 est:
3 ----4 8
5--61()
1--11
5) Montrer que f est diagonalisable.
6) Montrer que le plan (P) d'équation sc -- y + z = 0 est stable par f.
7) Déterminer un supplémentaire de (P) stable par f.
8) Soit E un IR--espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme
de E. Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes:
i - L'endom0rphisme f est diagonalisable.
ii -- Tout sous--espace vectoriel de E admet un supplémentaire stable
par f.
III. Supplémentaires et calcul différentiel
La définition suivante permet d'étendre les notions de famille génératrice
et de famille libre, aux espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie.
Soit E un III--espace vectoriel et 1 un ensemble d'indices non nécessairement
fini.
-- Une famille (ez--,z' EUR I ) est dite génératrice de E lorsque tout vecteur
de E est combinaison linéaire d'une sous--famille finie (ez--,z' E J) de
(e,;,z° EUR I )
-- Une famille (ez--,z' EUR I) est dite libre dans E lorsque toute sous--famille
finie de cette famille est libre.
Soit E l'espace des fonctions de classe C°° définies sur IR2 et à valeurs
dans IR. Pour (i, 3) EUR IN2, on définit la fonction
Soit F le sous--espace vectoriel engendré par la famille ( fij, (i, J') E lN2).
On
pose
E ----+ E E' ------> E
A: f +-------> êΣ..ÎÏ. et (1): f +-----> ô2f
8332 8312 ôxô'y
Pour 9 EUR F, on note gF l'ensemble des fonctions qui s'écrivent 9 f avec
f 6 F.
9) Prouver que la famille ( fij, (i, j) EUR lN2) est libre.
10) Montrer que les restrictions À (respectivement <Ï>) de A (respectivement
(I)) à F sont des endomorphismes de F.
11) Déterminer Ker <Ï>.
12) Montrer que F : æyF EB Ker <Ê. 13) Soit le changement de variables IR? __) ]R2 w: (u @) }_) (u+v u--v ' 2 ° 2 ) ainsi que l'application L={F----+E 'f*-->fow--
Montrer que L est un automorphisme de F.
14) Montrer que L(Ker À) : Ker <Î>.
15) Montrer que L[(a:2 -- y2)F] : qu.
16) Déterminer un supplémentaire de Ker À dans F.
IV. Supplémentaires et géométrie
17) Soient trois IR--espaces vectoriels: E, F et G. On suppose G de dimension
finie. On se donne g EUR £(E, G) et f E £(E, F).
Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes:
i) Il existe h EUR £(G, F) tel que f : hog.
ii) Kery C Ker f.
18) Soient E un lR--espace vectoriel et (k + 1) formes linéaires non nulles
notées fi pour i E {1,- -- , k + 1}. On note Hi : Ker fi. Montrer que les
deux assertions suivantes sont équivalentes:
i) L'inclusion suivante est satisfaite:
le
{) Hi C Hk+1-
i=1
ii) Il existe (a1,°-- , ak) EUR 1Rk tels que
le
fk+1 = Edifi--
i=1
Indication : on utilisera éventuellement l'application:
('Û' a: +---+ (f1(OE),---,fk(oell-
19) On considère, dans cette question, l'espace IR3 muni de sa structure affine
euclidienne canonique, que l'on rapporte à un repère orthonormé. Soit
(D) la droite définie par {(oe,_y, 2) EUR 1R3/ z = 0, y = 33}. Soit également
(S) la sphère d'êquation
æ2+y2+z2--2oe--6y--42+10=0.
En utilisant ce qui précède, déterminer les équations cartésiennes des
plans contenant (D) et tangents à (S).
FIN DU PROBLÈME
