Mines Maths 2 PSI 2005

Thème de l'épreuve Sous-espaces vectoriels supplémentaires en algèbre, analyse et géométrie
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, équations différentielles, calcul différentiel, géométrie analytique

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2005 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PSI Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, EN ST IM, EN SAE (Statistique), INT, T PE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2 - Filière PSI. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Les différentes parties sont indépendantes. Ceci étant, la plus grande attention sera apportée à l'unité de votre travail. La résolution intégrale de partie sera hautement appréciée. Ce problème traite des applications de la notion de supplémentaire d'un sous--espace vectoriel dans un espace vectoriel, et de ses applications tant en algèbre qu'en analyse ou en géométrie. Les théorèmes du cours utilisés lors de la résolution de ce problème de- vront être énoncés avec précision, leurs hypothèses devront être soigneuse-- ment vérifiées. Dans ce texte, C°°(IR, IR) représente l'ensemble des fonctions numé-- riques, de classe 60° sur IR. D'autre part, pour deux espaces vectoriels E et F, £(E, F) représente l'ensemble des applications linéaires de E dans F. I. Deux exemples simples de supplémentaires 1) Soit E : C°°(IR, IR) et soit F le sous-espace vectoriel constitué des fonctions paires. Donner un supplémentaire de F dans E. 2) Soit E : C°°(1R,IR) et F le sous--espace vectoriel constitué des solutions de l'équation différentielle y" + y' + y = 0. Montrer qu'il existe deux fonctions fl et f2, que l'on déterminera explici-- tement, telles que tout élément f de F se décompose de manière unique sous la forme : f = aff1 + fiff2 avec (af,Bf) & ]R2. 3) Déterminer l'unique matrice A telle que l'on ait, pour tout f E F, af ___ A f (0) _ Ûf f '(0) 4) Montrer que G = {9 EUR E telle que g(0) = g' (0) = O} est un supplémen- taire de F dans E. II. Supplémentaires, stabilité et diagonalisation Soit f l'endomorphisme de ]R3 dont la matrice dans la base canonique delR3 est: 3 ----4 8 5--61() 1--11 5) Montrer que f est diagonalisable. 6) Montrer que le plan (P) d'équation sc -- y + z = 0 est stable par f. 7) Déterminer un supplémentaire de (P) stable par f. 8) Soit E un IR--espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes: i - L'endom0rphisme f est diagonalisable. ii -- Tout sous--espace vectoriel de E admet un supplémentaire stable par f. III. Supplémentaires et calcul différentiel La définition suivante permet d'étendre les notions de famille génératrice et de famille libre, aux espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. Soit E un III--espace vectoriel et 1 un ensemble d'indices non nécessairement fini. -- Une famille (ez--,z' EUR I ) est dite génératrice de E lorsque tout vecteur de E est combinaison linéaire d'une sous--famille finie (ez--,z' E J) de (e,;,z° EUR I ) -- Une famille (ez--,z' EUR I) est dite libre dans E lorsque toute sous--famille finie de cette famille est libre. Soit E l'espace des fonctions de classe C°° définies sur IR2 et à valeurs dans IR. Pour (i, 3) EUR IN2, on définit la fonction Soit F le sous--espace vectoriel engendré par la famille ( fij, (i, J') E lN2). On pose E ----+ E E' ------> E A: f +-------> êΣ..ÎÏ. et (1): f +-----> ô2f 8332 8312 ôxô'y Pour 9 EUR F, on note gF l'ensemble des fonctions qui s'écrivent 9 f avec f 6 F. 9) Prouver que la famille ( fij, (i, j) EUR lN2) est libre. 10) Montrer que les restrictions À (respectivement <Ï>) de A (respectivement (I)) à F sont des endomorphismes de F. 11) Déterminer Ker <Ï>. 12) Montrer que F : æyF EB Ker <Ê. 13) Soit le changement de variables IR? __) ]R2 w: (u @) }_) (u+v u--v ' 2 ° 2 ) ainsi que l'application L={F----+E 'f*-->fow-- Montrer que L est un automorphisme de F. 14) Montrer que L(Ker À) : Ker <Î>. 15) Montrer que L[(a:2 -- y2)F] : qu. 16) Déterminer un supplémentaire de Ker À dans F. IV. Supplémentaires et géométrie 17) Soient trois IR--espaces vectoriels: E, F et G. On suppose G de dimension finie. On se donne g EUR £(E, G) et f E £(E, F). Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes: i) Il existe h EUR £(G, F) tel que f : hog. ii) Kery C Ker f. 18) Soient E un lR--espace vectoriel et (k + 1) formes linéaires non nulles notées fi pour i E {1,- -- , k + 1}. On note Hi : Ker fi. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes: i) L'inclusion suivante est satisfaite: le {) Hi C Hk+1- i=1 ii) Il existe (a1,°-- , ak) EUR 1Rk tels que le fk+1 = Edifi-- i=1 Indication : on utilisera éventuellement l'application: ('Û' a: +---+ (f1(OE),---,fk(oell- 19) On considère, dans cette question, l'espace IR3 muni de sa structure affine euclidienne canonique, que l'on rapporte à un repère orthonormé. Soit (D) la droite définie par {(oe,_y, 2) EUR 1R3/ z = 0, y = 33}. Soit également (S) la sphère d'êquation æ2+y2+z2--2oe--6y--42+10=0. En utilisant ce qui précède, déterminer les équations cartésiennes des plans contenant (D) et tangents à (S). FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 PSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Thomas Vidick (ENS Ulm) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires ; cette notion est illustrée en algèbre, en calcul différentiel et en géométrie. L'énoncé est composé de quatre parties, toutes indépendantes. Les deux premières sont très classiques, les deux autres un peu moins. Dans l'ensemble, le niveau du problème est modéré. Certaines questions, par exemple, les questions 8, 17 et 18, sont assez délicates ­ au point de constituer chacune un exercice classique. · Dans la première partie, on s'intéresse à la construction de supplémentaires de sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel C (R, R) : le sous-espace vectoriel constitué des fonctions paires, puis celui des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2, homogène et à coefficients constants. · La deuxième partie est consacrée aux relations entre la diagonalisabilité et l'existence de supplémentaires stables. Après avoir étudié un exemple d'endomorphisme de R3 , on établit un résultat très général : un endomorphisme f d'un espace vectoriel E de dimension finie est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire stable par f . · La troisième partie traite de calcul différentiel. Dans l'espace vectoriel F des polynômes à deux indéterminées, on définit les opérateurs différentiels F - F F - F e e 2 2 2 : et : f 7- f - f f 7- f 2 2 x y x y e on utilise le changement Après avoir construit un supplémentaire de Ker , de variable (x, y) 7- ((x + y) /2, (x - y) /2) pour obtenir un supplémentaire e de Ker . · Enfin, dans la dernière partie, on s'intéresse à des problèmes de géométrie. On établit le résultat théorique suivant : une forme linéaire fk+1 est combinaison linéaire de k formes linéaires f1 , . . . , fk si et seulement si son noyau contient l'intersection des noyaux des formes linéaires f1 , . . . , fk . Cette partie se conclut sur une application de ce résultat dans R3 : on détermine les plans contenant une droite donnée et tangents à une sphère donnée. De nombreux résultats de cours sont passés en revue dans cette épreuve, de nombreuses techniques d'algèbre linéaire y sont utilisées : elle constitue donc un excellent sujet de révision. Indications Partie I 2 Commencer par résoudre l'équation différentielle. 4 Étant donnée f E, utiliser le théorème de Cauchy pour trouver sa composante selon F. Partie II 7 Chercher un vecteur propre de f qui n'est pas dans (P). 8 Pour l'implication i ii, définir une base de vecteurs propres et utiliser le théorème de la base incomplète. Pour l'autre implication, raisonner par l'absurde en supposant que la somme des sous-espaces propres de f est un sous-espace vectoriel strict de E. Partie III 9 Se ramener à des sous-familles finies de la forme (fi,j )(i,j)[[ 0 ; n ]]×[[ 0 ; m ]] , avec (n, m) N2 . n P m P 12 Pour décomposer un élément f de F, l'exprimer sous la forme i,j fi,j et i=0j=0 identifier les composantes. 13 Pour la bijectivité, chercher la fonction réciproque. e (L(f )) à l'aide des dérivées partielles de f . 14 Pour une fonction f F, exprimer 16 Rassembler les résultats des questions précédentes. Partie IV 17 Pour l'implication ii i, construire h par condition nécessaire puis montrer que l'application obtenue convient. 18 Pour l'implication i ii, utiliser l'indication fournie et le résultat de la question précédente. 19 Remarquer que la tangence à la sphère est équivalente au fait que la distance du centre au plan est égale au rayon de la sphère. I. Deux exemples simples de supplémentaires 1 Soit G le sous-espace vectoriel de E constitué des fonctions impaires. Montrons que G est un supplémentaire de F dans E. · Analyse : soit f E. Supposons trouvées p et i deux fonctions respectivement paire et impaire telles que f = p + i, c'est-à-dire telles que x R f (x) = p(x) + i(x) Soit alors x R. On a f (x) = p(x) + i(x) et f (-x) = p(-x) + i(-x) donc, comme p est paire et i impaire, f (-x) = p(x) - i(x). Sommant et soustrayant membre à membre ces deux égalités, il vient p(x) = f (x) + f (-x) 2 et i(x) = f (x) - f (-x) 2 C'est-à-dire que, nécessairement, p est la fonction x 7- f (x)/2 + f (-x)/2 et i la fonction x 7- f (x)/2 - f (-x)/2. D'où l'unicité de la décomposition de f . · Synthèse : soit f E, et soient les fonctions p : x 7- f (x) + f (-x) 2 et i : x 7- f (x) - f (-x) 2 Clairement f = p+i. D'après les théorèmes généraux sur les fonctions de classes C , on sait que p et i sont de classe C , donc dans E. On a par ailleurs, pour tout réel x, p(-x) = et i(-x) = f (-x) + f (-(-x)) = p(x) 2 f (-x) - f (-(-x)) = -i(x) 2 C'est-à-dire que p est paire et i impaire. D'où l'existence de la décomposition de f comme la somme d'un élément de F et d'un élément de G. G est un supplémentaire de F dans E. C'est presque un résultat de cours. Bien sûr, il n'y a pas unicité du supplémentaire, on peut notamment en construire une infinité en s'inspirant de celui-ci. Par exemple, si est un réel strictement positif, on montre de façon analogue que l'ensemble des fonctions de E vérifiant la propriété : x > 0 f (-x) = -f (x) est un supplémentaire de F dans E. 2 Commençons par résoudre l'équation différentielle y + y + y = 0. C'est une équation différentielle linéaire d'ordre deux à coefficientsconstants. Son équation caractéristique r2 + r + 1 = 0 admet pour racines -1 - i 3 /2 et -1 + i 3 /2. Les solutions complexes de l'équation différentielle sont donc les fonctions de la forme x 7- e -1-i 3 x 2 + µe -1+i 3 x 2 avec et µ complexes. Par suite, les solutions réelles sont les fonctions de la forme ! x 3 x 3 + B sin avec x 7- e-x/2 A cos 2 2 Posons f1 : R - R x 3 x 7- e-x/2 cos 2 et f2 : A et B réels. R - R x 3 x 7- e-x/2 sin 2 On obtient F = Vect (f1 , f2 ), c'est-à-dire que tout élément f de F s'écrit sous la forme f = f f1 + f f2 , avec (f , f ) R2 . Pour l'unicité, il suffit de montrer que (f1 , f2 ) est une famille libre. Soient et deux réels tels que f1 + f2 = 0. En appliquant la relation au point 0, on obtient f1 (0)+f2 (0) = 0, soit = 0. En l'appliquant au point / 3, il vient e-/2 3 = 0 donc = 0. Donc la famille est libre. Tout élément f de F se décompose de manière unique sous la forme f = f f1 + f f2 , avec (f , f ) R2 . 3 Appliquée en 0, la relation f = f f1 + f f2 donne f (0) = f . Par dérivation, f = f f1 + f f2 et donc f (0) = f f1 (0) + soit f (0) = -f /2 + 3f /2. f f2 (0), On en déduit que f = f (0) et f = f (0)/ 3 + 2f (0)/ 3. Ainsi f f ! = 1 0 1/ 3 2/ 3 ! f (0) ! f (0) On a trouvé une matrice qui convient. Montrons qu'elle est unique. Pour cela, il suffit de considérer nos deux solutions particulières f1 et f2 . f1 se décompose de manière unique en f1 = 1 · f1 + 0 · f2 , donc la matrice A (ou plutôt l'application linéaire canoniquement associée à A) doit envoyer le vecteur (f1 (0), f1 (0)) sur le vecteur (1, 0). De même, elle doit envoyer le vecteur (f2 (0), f2 (0)) sur le vecteur (0, 1). Or les deux vecteurs (f1 (0), f1 (0)) et (f2 (0), f2 (0)) forment une base de R2 (ils sont envoyés sur une famille libre donc forment nécessairement une famille libre). A est ainsi déterminée de manière unique par ces deux conditions. 4 Montrons tout d'abord que F G = {0}, où 0 désigne ici la fonction nulle. Soit f F G. D'une part, f G donc f (0) = f (0) = 0. D'autre part, f F donc, d'après la question 2, on peut trouver deux réels f et f tels que f = f f1 + f f2 . D'après la question 3, ! ! ! 1 0 f f (0) = f f (0) 1/ 3 2/ 3 D'où Ce qui prouve que f = f = 0 et donc f =0 F G = {0}