Mines Maths 2 PSI 2003

Thème de l'épreuve Étude d'un sous-groupe de M3(R) × M3(R) isomorphe au groupe des déplacements de R³
Principaux outils utilisés algèbre des groupes, rotations et translations dans l'espace
Mots clefs déplacement, rotation, translation

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏÏQÜE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCA"HONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIEME EPREUVE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle Intemaüonal, ENSTIM, INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 2-Filière PSI. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Première partie Soit M l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre 3. Soit C le produit cartésien M x M. 11 est admis que cet ensemble est un espace vectoriel réel à l'aide de la loi interne, addition, et de la loi externe, multiplication par un réel, définies par les relations suivantes : La somme de deux éléments de C, (P, Q) et (R, S) est l'élément (P + R, Q + S) : (P, Q) + (R, s) = (P+R, Q+S). Le produit d'un réel À et de l'élément (P, Q) est l'élément (AP, ÀQ) de C : A(P, Q) = (AP, AQ)- En plus de ces lois de composion, soit * la loi de composition interne, appelée produit, qui, aux deux éléments de C, (P, Q) et (R, S) fait correspondre l'élément de C, (PR, P.S + QR), (PR, PS et Q.R sont respectivement les produits des matrices P, R, P, S et Q, R). (P, Q) * (R, s) = (PR, P.S+ QR). L'algèbre (C, +, ., *) : 1. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel C ? 2. Démontrer que l'espace C est une R-algèbre associative unitaire. L'élément unité de cette algèbre est noté e. Éæm donné l'élément (P, Q) de C, soit '(P, Q) l'élément de (: défini à l'aide des matrices transposées 'P et ' Q des matrices P et Q de la façon suivante : '(H Q) = ('P, @- Soit G le sous--ensemble des éléments (P, Q) de C tels que : - la matrice P est orthogonale directe : son déterminant est égal à l. - les matrices P et Q vérifient la relation : 'P.Q + 'Q.P = 0 G = {(P, Q) | (P, Q) & C, P EUR sofia--*), 'P.Q+ iQ.P = o}. Le groupe G : 3. Démontrer que le sous--ensemble G de C est, pour la loi produit *, un groupe. 4. Soit H le sous--ensemble des éléments (P, O) du groupe G. Démontrer que B est un sous--groupe de G isomorphe au groupe SO (R3 ) 5. Soit A le sous--ensemble des éléments (13, Q) de G (13 est la matrice unité). A ={(1,, Q) | (13, Q) e G}. Est--ce que A est un sous--groupe de G ? 6. Démontrer que, pour qu'un élément (P, Q) de C apparüenne à G, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice P soit égal à 1 et que la relation ' (P, Q) * (P, Q) = e ait lieu : (P, Q) EUR G <=» '(P, Q) * (P, Q) = e, detP = 1. Seconde partie Le but de cette partie est de montrer qu'il existe un isomorphisme entre le groupe des déplacements de l'espace de la géométrie afline euclidienne et le groupe G étudié ci-dessus. Dans toute la suite, E3 est un espace vectoriel euclidien orienté par une base orthonormée --.>-.+-+ directe B = ( 1 , _] , k ). Le produit scalaire de deux vecteurs ? et ? est noté ?.ÿ' Un résultat préliminaire : 7 . Soit 71' un vecteur de E3 ; soit p; l'endomorphisme de E3 dans lui--même qui, au vecteur ?, associe le produit vectoriel des vecteurs ?? et ? : ? r--+ ?? /\ ?. Quelle est la matrice P; associée à l'application p--3 dans la base B de E3 ? 8. Soit rune rotation de E:; dans Jui--même ;... comparer pour.deux vecteurs quelconques Yet ? de E3 les expressions suivantes : r(Y/\ÿ), r(Îc') Ar('ÿ'). 9. Démontrer que, si r est une rotation de E3 et 3 un vecteur de E3, il existe un vecteur ? de E3 tel que l'endomorphisme r o p;, composé de p; et de r, est égal à l'endomorphisme pî o r, composé de r et de p--5 : " ° P3 = P;; ° '" ; . --v . _ ... . expnmer ce vecteur b en fonction du vecteur a et de la rotation r. Dans toute la suite, soit E l'espace de la géométrie affine euclidienne orientée ; E est supposé être un espace affine de direction un espace vectoriel euclidien orienté E3. Soit 0 une origine et --O ---D --D _ , . - \ ' i, j , k trors vecteurs orthonormes consütuant avec le pomt O un repere Om direct. Détermination d'une droite à l'aide de deux vecteurs et d'un repère : L'espace E est muni d'un repère orthonormé direct Oxyz ; soit D une droite de l'espace affine E, A un point de cette droite et 17 un vecteur directeur unitaire de cette droite. 10. Soit M un point quelconque de la droite D. Démontrer que le vecteur ?, égal au produit vectoriel des vecteurs OM et îl', est indépendant du poth de la droite D : V=OMAË Comparer les directions des deux vecteurs ? et 'V. 11. Soient îr' et 7 deux vecteurs de l'espace E 3 tels que le vecteur ï! soit unitaire ( " îl' " = 1 ) et ? orthogonal à î? (ii.? : 0). Déterminer, à l'aide des deux vecteurs "z? et Îc' A V, les vecteurs ? de E3, solutions de l'équation suivante : 12. Étant donnés deux vecteurs îc' et V de l'espace E3 tels que le vecteur ? soit unitaire ( || îî " = 1 ) et ? orthogonal à îl' (Ti? = O), démontrer qu'il existe une seule droite D de l'espace E telle qu'un vecteur directeur unitaire de la droite D soit le vecteur 37 et que tout point M de D vérifie la relation suivante : ÔÜAÜ=V 13. Exemple : les vecteurs "i? et ? sont définis, dans le repère 01322, par les relations suivantes : -+ ïl'= i ; V=bî+cï, où b et c sont deux réels donnés. Déterminer la droite D correspondante. Soit P le sous--ensemble de E3 x E 3 des couples de deux vecteurs ('û', V) tels que le premier vecteur 'û' soit unitaire et le second îf' soit perpendiculaire à ïï. 14. À quelle condition nécessaire et suffisante deux couples de vecteurs ("û', ?) et (îî', V'), appartenant à P, déterminent la même droite D '? Soit d un déplacement de l'espace E muni du repère orthonormé direct Oxyz ; par définition, il est égal à l'application composée d'une rotation r de l'espace E3 et d'une translation de vecteur ?? ' r , ' r , ' ___" ' r de E3 ; sortM ] image par ce deplacement d d un poth ; le vecteur OM est rehe au vecteur -- . 0 OM par la relation suivante : OÏ/I' : 'ä'+r(Oü). Isomorphîsme entre le groupe des déplacements de l'espace E et le groupe G : Soient d un déplacement, D une droite quelconque de l'espace E et D' l'image de la droite D par le déplacement d : D' = d(D). 15. Aux deux droites D et D' de l'espace E, muni du repère orthonormé direct Oxyz, sont associés d'après la question 14 des couples de vecteurs (u, ?) et (u', "1?" ); démontrer que, le - couple de vecteurs (u, ?) étant fixé, il est possible de choisir le couple de vecteurs(u', ?' ) de façon que les vecteurs u' et ?" s'expriment au moyen des vecteurs u et V par les relations suivantes : Îl" : a('û'), V' = (t(?) +fl(îî), où a et ,6 sont deux endomorphismes de E3 tels que le déterminant de a soit strictement positif (deta > O). 16. Au déplacement d est donc associé le couple des deux endomorphismes a et B. SoientA et B les mat1ices associées aux endomorphismes a et [3 dans une base orthonormée directe de E3. Démontrer que le couple de matrices (A, B) appartient au groupe G 17. Démontrer que l'application qui, au déplacement d de E associe l'élément (A, B) du groupe G, est inj ective. 18. Exemple: soit D la droite du plan xOy d'équafion y= yo (yo est un réel différent de zéro donné); soit D' son image par le déplacement égal a la rotation d' axe Oz et d'angle 9 suivie de la translation de vecteur j + k Déterminer les endomorphismes a et B associés à ce déplacement et les couples de vecteurs (u, ?) et (îï', V' ) associés respectivement aux droites D et D' Vérifier dans ce cas particulier la relation obtenue' a la question 15. 19. Démontrer que l'application J qui, à un déplacement d de l'espace E associe le couple de matfices (A, B) du groupe G est bijecfive. Droite invariante dans un déplacement: 20. Soit d un déplacement, distinct de l'application identique, à ce déplacement est associé un couple de matrices (A, B) appartenant à G. Rechercher ] existence d'une droite invariante par le déplacement d en considérant le couple de vecteurs (îï, îf') associé à cette droite. Ecrire les relations vérifiées par ces vecteurs inconnus Îc', ?. Quelle conclusion y a--t--il lieu d'en tirer sur le ..) vecteur u '? 21. Déterminer la droite invariante dans l'exemple de la question 18. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 2 PSI -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) ; il a été relu par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE), Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux parties et le lien entre elles se fait dans les dernières questions du problème. On apportera un soin tout particulier à la rédaction, notamment dans la deuxième partie où il est question de géométrie affine euclidienne. Le début du problème exige quant à lui de bien connaître les structures algébriques usuelles : espace vectoriel, groupe, algèbre. On s'intéresse d'abord à l'espace vectoriel C défini comme le produit cartésien de l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre 3 par lui-même. On se donne notamment une loi de composition interne multiplicative faisant de C une algèbre réelle, associative et unitaire. La fin de cette partie a pour but l'étude d'un sous-ensemble de C, noté G, dont on démontre qu'il s'agit d'un groupe ; après avoir caractérisé deux de ses sous-ensembles, on termine sur une condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément appartienne à G. Dans la deuxième partie, on commence par établir un résultat préliminaire très utile pour la suite, concernant l'image d'un produit vectoriel par rotation. On s'intéresse ensuite à une caractérisation des droites affines au moyen de deux vecteurs, pour en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux couples de vecteurs définissent une même droite. Enfin il est question d'images de droites par des déplacements, et l'on montre qu'il existe un isomorphisme entre le groupe des déplacements de l'espace affine euclidien et le groupe G de la première partie. Indications Première partie 4 Construire une application « naturelle » entre H et SO(R3 ) et commencer par vérifier qu'il s'agit bien d'un morphisme de groupes. 6 Écrire la définition de SO(R3 ). Seconde partie - -i , - 7 Décomposer le vecteur - a suivant la base B = ( , k ) et calculer l'image de cette base par l'endomorphisme p~a . 8 Montrer l'égalité après avoir l'avoir projetée sur un vecteur quelconque de E3 pour faire apparaître des produits mixtes. 9 Utiliser le résultat de la question précédente. 11 Calculer le produit vectoriel de - u par - v. 12 Utiliser les résultats établis aux questions 10 et 11. 14 Utiliser la question 12 pour construire une droite à partir d'un élément de P. -- 15 Calculer l'image du vecteur OM par le déplacement d, après avoir paramétré les points M de D. Identifier l'expression obtenue avec la paramétrisation analogue de D . 16 On remarquera que P est une matrice antisymétrique quel que soit le vecteur - a. ~ a 17 Traduire en termes d'endomorphismes les égalités A = A et B = B . 19 D'après la question 17, il ne reste qu'à montrer la surjectivité. L'existence d'une rotation est immédiate et on cherchera à montrer que B s'écrit comme le produit d'une matrice antisymétrique avec A. 20 Utiliser les résultats des questions 14 et 15 et traduire le problème sous forme matricielle pour discuter l'existence d'une droite invariante. Première partie 1 De manière générale, si E et F désignent deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, alors le produit cartésien E × F (muni de la loi interne et de la loi externe précisées dans l'énoncé) est un espace vectoriel de dimension n + p. Dans notre cas, E = F = M, et M est un espace vectoriel réel de dimension 9. C est donc un espace vectoriel réel de dimension 9 + 9 = 18. Pour se convaincre du résultat précédent, il suffit de considérer l'ensemble des couples {(ei , 0) , (0, fj )} où (ei )16i6n et (fj )16j6p désignent des bases respectives de E et F, et de montrer que cette famille est elle-même libre et génératrice, c'est-à-dire une base de E × F. 2 Il est admis que C est un R-espace vectoriel et que la loi de composition appelée produit est interne. Pour obtenir une structure d'algèbre, il ne reste qu'à démontrer les deux axiomes suivants : · Tout d'abord, cette multiplication interne doit être distributive par rapport à l'addition. Pour montrer cela, notons x = (P1 , Q1 ) , y = (P2 , Q2 ) et z = (P3 , Q3 ) trois éléments de C. x (y + z) = (P1 , Q1 ) (P2 + P3 , Q2 + Q3 ) = (P1 · (P2 + P3 ) , P1 · (Q2 + Q3 ) + Q1 · (P2 + P3 )) On utilise alors la distributivité de la multiplication matricielle par rapport à l'addition, d'où x (y + z) = (P1 · P2 + P1 · P3 , P1 · Q2 + P1 · Q3 + Q1 · P2 + Q1 · P3 ) = (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + (P1 · P3 , P1 · Q3 + Q1 · P3 ) = (P1 , Q1 ) (P2 , Q2 ) + (P1 , Q1 ) (P3 , Q3 ) x (y + z) = x y + x z De même, on vérifie que (x + y) z = x z + y z. · Il ne reste qu'à montrer le dernier axiome : R (x · y) = (x) · y et (x · y) = x · (y) Pour cela soit un réel, x = (P1 , Q1 ) et y = (P2 , Q2 ) désignant deux éléments de C. Alors (x · y) = (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 ) = ( (P1 · P2 ) , (P1 · Q2 + Q1 · P2 )) = ((P1 ) · P2 , (P1 ) · Q2 + (Q1 ) · P2 ) (x · y) = (x) · y On vérifie la deuxième égalité de façon analogue. À ce stade, nous avons montré que C possède une structure d'algèbre. · D'autre part, montrons que cette loi de composition est associative. En effet : x (y z) = (P1 , Q1 ) (P2 · P3 , P2 · Q3 + Q2 · P3 ) = (P1 · (P2 · P3 ) , P1 · (P2 · Q3 + Q2 · P3 ) + Q1 · (P2 · P3 )) Or, la multiplication matricielle est une loi associative, d'où : x (y z) = ((P1 · P2 ) · P3 , (P1 · P2 ) · Q3 + (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) · P3 ) = (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 ) (P3 , Q3 ) x (y z) = (x y) z · Enfin, en notant e = (I3 , 0) où I3 désigne l'élément neutre de M, on vérifie facilement que x e = (P1 , Q1 ) (I3 , 0) = (P1 , Q1 ) = e x = x C est donc une R-algèbre associative et unitaire. 3 Rappelons qu'un groupe est un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne associative, d'un élément neutre, et dont chaque élément est inversible pour cette loi. Montrons donc que (G, ) possède une structure de groupe : · G 6= car e G. · est une loi interne : si x = (P1 , Q1 ) et y = (P2 , Q2 ) sont deux éléments de G, alors x y = (P1 · P2 , P1 · Q2 + Q1 · P2 ) Or, SO(R3 ) est un sous-groupe de l'ensemble des matrices inversibles 3 par 3, donc le produit P1 · P2 appartient à SO(R3 ). Il reste à vérifier la seconde condition d'appartenance à G : t t (P1 · P2 ) · (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) · (P1 · P2 ) = t P2 · t P1 · (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + ( t Q2 · t P1 + t P2 · t Q1 ) · (P1 · P2 ) = t P2 · ( P1 ·Q1 + Q1 ·P1 ) ·P2 + ( P2 ·Q2 + Q2 ·P2 ) | {z } | {z } t t t =0 t t =0 t (P1 · P2 ) · (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) + (P1 · Q2 + Q1 · P2 ) · (P1 · P2 ) = 0 t t où l'on a utilisé le fait que P1 ·P1 = P1 · P1 = I3 .