Mines Maths 2 PSI 2002

Thème de l'épreuve Équations différentielles linéaires du deuxième ordre
Principaux outils utilisés théorème de Cauchy-Lipschtiz, norme d'opérateurs, suites récurrentes linéaires, formules de Taylor
Mots clefs séries entières, transformations de Laplace, équivalent de sommes

Corrigé

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12070 A 2002 Math PSI 2 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTÏQUÈ ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATÏONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIENOE EPREUVE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle Intemafional, ENSTIM, INT, TPE--ENR Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 2-Filière PSI. Cet énoncé comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dans tout le problème, ] est le segment [O, 1], fest une fonction réelle définie et continue sur le segment I, p est une fonction définie et continue sur le segment [, positive (pour tout réel x de [, 1200 2 0)- L'objet du problème est l'étude et l'approximation des solutions réelles, définies sur le segment ] , deux fois confinûment défivables (de classe C 2) des équations différentielles suivantes : EO ---- u"(x) +p(x) u(x) : O, E --- u"(x) +P(X) u(Jf) =f(X)-- vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segment [ : C u(0) = o, u(l) : 0. Une fonction u, de classe C 2, définie sur le segment I, vérifiant les conditions C, est dite solution du problème Po si elle est solution de l'équation différentielle Eo, respectivement solution du problème P si elle est solution de l'équation différentielle E. Tournez la page S.V.P. -- 1/6 -- Première partie Exemples, résultats généraux. 1--1. Exemples : Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle E vérifiant les conditions C dans les deux cas suivants : a. La fonction p est nulle et la fonction f constante et égale à 1 : P(X) = 0, f(x) = 1- b. La fonction p est constante et égale à 1 ; la fonction f est la fonction ): r----> e'" où a est un réel donné : P(X) = 1, f(x) = 6". I--2. Unicité des solutions : a. Soit u une fonction solution de l'équation EO vérifiant les conditions C ; démontrer que cette solution u vérifie la relation : 1 [ [z1'(x)2 +p(x) u(x)2 :| dx : O. 0 En déduire que la seule solution du problème P0 est la solution nulle. b. Démontrer que, pour des fonctions p et f données, il existe, au plus, une solution du problème P. 1--3. Existence d'une solution : a. Étant données deux fonctions ul et u2 solutions de l'équation différentielle EO, soit g la fonction définie sur l'intervalle [ par la relation suivante : g(x) = u1(0) u2(x) -- u2(0) u1(x)- Démontrer que, si la fonction g s'annulle au point 1 (g(l) = 0), la fonction g est nulle sur l'intervalle I . En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les deux solutions ul et u; pour que la fonction g ne s'annulle pas en 1 (g(l) # 0). Soient ul et 112 deux solutions de l'équation différentielle Eg, v une solution de l'équation E et À et # deux scalaires. Soit u etX la fonction et le vecteur définis par les relations suivantes : u(x) : À u1(x) +uu2(x) +v(x) ; X: u b. Démontrer que, pour que la fonction u soit solution du problème P, il faut et il suffit que le vecteur X vérifie la relation matricielle suivante : UX=B, où U est une matrice carrée d'ordre 2 et B un vecteur qui seront précisés. c. Démontrer que le problème P admet une solution unique. -2/6-- Deuxième partie Quelques propriétés de certaines matrices de M ,,(R). Il est admis que l'application de l'espace R" dans R+ : X= (xi)1gign '--* "X" = SUP |in: ËL2 ..... n est une norme. Il est admis que l'application de l'espace des matrices carrées d'ordre n, M,,(R) dans R+ : A H N(A) =SUP "AX", HXHSI est une norme. Un vecteurX : (x ,) 155" de R" est dit positif si toutes ses coordonnées x ,-- sont positives ou nulles (x ,-- Z 0). Cette propriété s'écrit : X20. Une matrice A = (al.]-) de M,,(R) est dite positive si tous ses tenues al.]. sont positifs 15ëm135n ou nuls. Cette propriété s'écnt : A20. Étant donnée la base canonique de R", (el , 32, en ) , soit E le vecteur dont toutes les 1 1 coordonnées sont égales à 1 : E = [H. Quelques propriétés matricielles : Soit A : (";;--) l_ O). Démontrer que la matrice A est injective puis qu'elle est inversible et que son inverse A"1 est une matrice positive. II-2. Un exemple : SoientA et H les deux matrices carrées d'ordre 11 suivantes : Les termes de la matrice A situés sur la diagonale principale sont égaux à 2, ceux situés juste au dessus et juste au dessous à --1, les autres sont nuls. La matrice H est diagonale et positive ; les termes h,, 1 S i S n, de la diagonale principale sont positifs ou nuls (h ,-- _>_ O) : 2 ----l 0 0 111 0 0 0 --l 2 --l 0 0 kg 0 . A = 0 --1 2 0 ; H= 0 0 kg 0 0 0 , 0 2 0 0 0 h,, a. SoitX un vecteur de R"1 de coordonnées x,, i = l, 2, n, tel que le vecteur (A + H )X soit positif. Démontrer que le vecteurX est positif à l'aide d'un raisonnement par l'absurde, par exemple, en complétant la suite (x,-)lSËH par des termes xo et x,... nuls (xo = x,... = O), et en considérant l'entier k pour lequel le réel xk est égal au plus petit des réels x,, 0 5 i 5 n + 1 : xk = min x,-. 05i£n+1 b. Déduire du résultat précédent que les deux matrices A + H etA sont inversibles. Il--3. Norme de la matrice (A +H)"1 : Soit Vet Wles deux vecteurs définis par les relations suivantes : V= (A +H)'1E, W = A"'E. &. Démontrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurA(W--- V). b. Comparer les normes des deux vecteurs Vet W; en déduire : pour tout vecteur X de R", ||(A+H)"1X|| 5 "WII |le|- -4/6- 114. Une majoration de la norme du vecteur W: Soit S l'ensemble des suites réelles infinies (xk) ,ÊO vérifiant, pour k > 0, la relation de récurrence suivante : --xk_1+2xk--xk+l =1. Soit So l'ensemble des suites réelles (xk) ezo vérifiant, pour k > 0, la relation de récurrence . suivante : --xk_1+2xk--xk+l = 0. a. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace So. b. Déterminer une suite (yk) kZO appartenant à l'espace S qui soit un monome du deuxième degré : yk : ak2. 0. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace S ; en particulier celles qui vérifient les deux conditions suivantes : XO : O, xn+1 : 0. (1. Déterminer les coordonnées du vecteur W = A'1E ; en déduire que la norme de ce vecteur vérifie l'inégalité suivante : HWH .<_ %2. Troisième partie Approximation de la solution du problème P. Dans toute la suite l'entier n est supérieur ou égal à 3 (n 2 3 ). Soit h et tk, k = O, 1, 2, n + 1, les réels définis par les relations suivantes : h== 1 , tk=h.k= " , k=0,1,2,...,n+1. n+l n+l III--1 Une approximation de la dérivée seconde : Soit u une fonction quatre fois conünûment défivable sur le segment ] . Soit M le maximum de la valeur absolue de la dérivée quatrième : M =sup |u...(x) !. xe] Soient t et h des réels tels que les réels t ---- h et t + h appartiennent au segment I. Démontrer l'existence d'une fonction R des réels t et h qui vérifient les relations suivantes : u(t+h) +u(t--h) -2 u(t) : h2 u"(t) +R(t,h), lR(t,h)l 5 %M. Tournez la page S.V.P. - 5/6 -- [[[--2. Problème P discrétisé : a. Démontrer que, si les deux fonctions p et f sont deux fois confinûment défivables, la solution u du problème P est quatre fois continûment défivable. SoientX et Y les vecteurs de R" et H la matrice diagonale de MHÇR) définis par les relations suivantes : ll(11) f(t1)h2 p(l1)h2 () : u(t2) , Y : f(lz) h2 , H = 0 1902) h2 0 u(t,,) f(t,,) h2 0 0 p(tn) h2 b. Déterminer, en désignant toujours parA la matrice définie àla question H--2, un majorant de la norme du vecteur Z = (A + H )X -- Y , au moyen des réels M et 11. Soit ÎÎ le vecteur défini par la relation suivante : ')? = (A + H) -1 Y. c. Démontrer la majoration : ||X--ÎË|| 5 1012, où K est une constante ; en donner une valeur à l'aide de M. Donner une signification du vecteurX. Préciser comment ce vecteur se calcule. FIN DU PROBLÈME -6/6--

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 Mines Maths 2 PSI 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques). Ce problème est composé de trois parties, les deux premières étant indépendantes l'une de l'autre. La troisième partie, en revanche, utilise les résultats de la deuxième. Dans l'ensemble, cette épreuve est assez accessible, en dépit de quelques questions un peu plus difficiles. Le thème central est l'étude des équations des différentielles linéaires d'ordre 2 sur [ 0 ; 1 ] du type : -u (x) + p(x)u(x) = f (x) où les fonctions p et f sont données, avec p positive. Les solutions cherchées doivent satisfaire en outre les conditions au bord u(0) = u(1) = 0. · La première partie commence par quelques cas particuliers, applications directes de méthodes du cours, avant d'aborder l'étude générale d'existence et d'unicité de solutions pour ce problème différentiel. Une bonne maîtrise du théorème de Cauchy et de ses conséquences est nécessaire pour les dernières questions. · La deuxième partie a pour but l'estimation de la norme d'une certaine application linéaire. On y introduit la norme « infinie » sur Rn et une notion de positivité sur Mn (R). En dehors de quelques résultats de cours (norme induite sur Mn (R), suite récurrente linéaire d'ordre 2), les questions sont assez détaillées et très liées les unes aux autres. · La troisième partie fait le lien entre les deux premières. Le problème initial est discrétisé sur un réseau régulier de [ 0 ; 1 ], on compare alors les solutions obtenues sur ce réseau. La majoration de l'erreur repose sur la formule de Taylor et les estimations de la seconde partie. En conclusion, ce problème, d'une longueur très raisonnable, ne devrait pas poser trop de difficultés techniques et constitue un bon entraînement. Indications Partie I I.1.b Chercher une solution particulière de la forme P(x)ex (avec P un polynôme de degré adapté), en distinguant les cas = 1 et = -1 des autres cas. I.2.a Utiliser le fait que u = pu. I.3.a Montrer que si g(1) = 0, alors g est solution du problème P0 . I.3.c Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz. Partie II II.1.d Prendre deux vecteurs X1 et X2 de même image par A. Montrer qu'alors X1 - X2 et X2 - X1 sont positifs, et donc que X1 = X2 . II.2.a Utiliser l'indication de l'énoncé. En outre, prendre le plus petit indice k tel que xk soit minimal (ou bien à l'inverse le plus grand indice). II.3.a Exprimer A(W - V) en fonction de V uniquement. II.4.d Pour majorer la suite, majorer le trinôme. Partie III III.1 Définir la fonction R par la première relation et montrer qu'elle vérifie la deuxième grâce à la formule de Taylor-Lagrange. III.2.b Calculer les coordonnées de Z et les majorer, grâce aux formules établies à la question III.1. III.2.c Exprimer la différence X - X en fonction de Z. I. Exemples, résultats généraux I.1.a Lorsque p = 0 et f = 1, l'équation E devient -u = 1. En intégrant deux fois de suite, il apparaît que les solutions de E sont les fonctions de la forme : u : x 7- - x2 + ax + b 2 où a et b sont deux constantes. Pour vérifier les conditions C (u(0) = u(1) = 0), il faut que ces constantes vérifient le système : ( b =0 1 - +a+b = 0 2 1 et b = 0 2 La solution du problème P est donc ici la fonction : soit a= u : x 7- - x (1 - x) 2 I.1.b On prend cette fois p = 1 et f : x 7- ex , avec un réel fixé. E est ici une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, son équation homogène E0 associée est alors -u + u = 0. La solution générale de E0 est donc de la forme Aex + Be-x , avec A et B deux constantes. Pour trouver toutes les solutions de E, il nous suffit par conséquent d'en trouver une solution particulière. · Lorsque est différent de 1 et de -1, cherchons cette solution particulière sous la forme u(x) = ex . En dérivant deux fois ce terme, on obtient u (x) = 2 ex , et donc -u (x) + u(x) = 1 - 2 ex u est alors solution de E si et seulement si la constante vérifie la condition : -2 + 1 = 1 1 ex est ici une solution particulière de E. La solution 1 - 2 générale de E est donc de la forme La fonction x 7- x 7- Aex + Be-x + 1 ex 1 - 2 Les conditions C nous donnent alors le système : 1 =0 A+B+ 1 - 2 B e Ae + + =0 e 1 - 2 On obtient A= e+1 - 1 (e2 - 1) (2 - 1) et B= e2 - e+1 (e2 - 1) (2 - 1) Donc, si 6= 1 et 6= -1, la solution de P est la fonction +1 +1 1 e -1 x e - e2 -x x u : x 7- 2 e + e -e ( - 1) e2 - 1 1 - e2 · Lorsque = 1 ou = -1, on peut chercher la solution particulière de E sous la forme u(x) = xex . En fait, on cherche cette solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 1 fois ex , mais ici le terme constant peut être éliminé car il correspond à la solution générale de l'équation homogène. De la même façon, on dérive deux fois cette fonction pour obtenir : u (x) = 2 x + 2 ex donc -u (x) + u(x) = 1 - 2 x - 2 ex (car ici 2 = 1) = 2ex Pour que cette fonction soit solution de E, on obtient la condition sur : 2 = -1 soit =- 1 2 La solution générale de E est donc de la forme x 7- Aex + Be-x - 1 x xe 2 Ensuite, pour trouver la solution du problème P, les conditions C nous donnent ici le système : A+B =0 B e Ae + - =0 e 2 d'où A= e+1 (e2 - 1) (2) et B= -e+1 (e2 - 1) (2) La solution de P est donc pour = 1 pour = -1 1 u : x 7- 2 u : x 7- 1 2 - ex+2 e-x+2 - - xex e2 - 1 e2 - 1 ex e-x + + xe-x e2 - 1 e2 - 1 Lorsque le second membre d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants est comme ici une « exponentielle polynôme », on recherche toujours une solution particulière sous cette forme. En effet, le membre de gauche est alors encore une « exponentielle polynôme », ce qui permet de