Mines Maths 2 PSI 2001

Thème de l'épreuve Étude des solutions d'une équation différentielle
Principaux outils utilisés développement en série entière, dérivation sous les signes somme et intégrale, calcul différentiel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math PSI 2 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES. ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAU'I'IQUÈ ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECONMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELEC0...CADONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNÏQÜE (Filière STI). CONCOURS D'ADMISSION 2001 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIEME EPREUVE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE--ENR Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 2--Filière PSI. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'objet de ce problème est l'étude de l'équation différentielle suivante : E;_: xy"+(l--x)y'--Ày=0. où la fonction _y est une fonction inconnue deux fois confinûment défivable de la variable x et À un réel donné. PREMIÈRE PARTIE I--1. Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle : 11 est admis qu'il existe une fonction f ),, somme d'une série entière de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0, (fi (O) = 1), solution dans l'intervalle ]--R,R[ de l'équation différentielle E 1. Cette fonction est définie par la relation : fa(x) : 1 +Za,,x". n=l a Déterminer les coefficients a... n 2 l, en fonction de l'entier n et du réel À. Préciser les foncüonsfl , fo, f_1 , f_2. Tournez la page S.V.P. - 1/4 -- b. Pour quelles valeurs du réel À la fonction fg, est-elle un polynôme ? Préciser son degré en fonction de la valeur --p donnée au réel À et le coefficient du terme de plus haut degré (le terme dominant). c. Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général a" x", n 2 1, lorsque le réel À est différent des valeurs obtenues précédemment ? Il est admis, dans la suite, que la fonction f 1 est la seule fonction, développable en série entière sur toute la droite réelle, qui soit solution de l'équation différentielle E 1 et qui prenne la valeur 1 en 0. 1--2. Solution de l'équation différentielle E 1 : Dans cette question le réel 2. est égal à l : El: xy"+(l----x)y'--y=0. a. Déterminer la solution générale fi de l'équation différentielle E 1 sur la demi-droite ]O, OO[, exprimer cette solution à l'aide de fonctions usuelles et de la fonction définie sur la demi--droite ]O,oe[, par la relation x --t ): +--+ [ £---dt. 1 i b. Déterminer de même la solution générale de l'équation difi'érentielle E 1 sur la demi--droite ]--oo, 0 [. c. Déterminer enfin les fonctions solutions sur R de l'équation différentielle E 1. 1--3. Relation entre les fonctions f}, : Etant donné un réel À, soit g a la fonction définie sur la droite réelle R par la relation suivante : 8106) = ex fa(--X)-- a. Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par la fonction g a. b. En déduire, en admettant que le produit de deux fonctions réelles développables en série entière sur la droite réelle R est encore une fonction développable en série entière sur la droite réelle R, que, pour tous réels A et x, il vient : f...,(x) = exfx(--x)-- c. Préciser, lorsque p est un entier strictement positif, les foncüons_&,. En déduire les fonctions f2 6tf3. d. Soit p un entier donné supérieur ou égal à 1 (p 2 l) ; quelle est, lorsque le réel x croît indéfiniment, la limite de l'expression ci--dessous : fp+1(X) ? xfp(x) -2/4- 1--4. Application à une équation aux dérivées partielles : Soit Q le sous--ensemble ouvert de R3 , rapporté à un repère Oxyz, obtenu en retranchant de R3 le plan 0197 : Q = { 

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 Mines Maths 2 PSI 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) et Alexander Gewirtz (ENS Lyon) ; il a été relu par François Michel (École Polytechnique) et Olivier Bertrand (ENS Lyon). Ce problème comporte deux parties. Son objet est l'étude de l'équation différentielle E : xy + (1 - x)y - y = 0 · Dans la première partie, on commence par étudier les solutions de cette équation qui sont développables en série entière. Puis on se place dans le cas particulier = 1 et on essaie d'exprimer ces solutions de manière plus explicite à l'aide de fonctions usuelles. Enfin, on applique les résultats précédents à l'étude d'une équation aux dérivées partielles. · Dans la seconde partie, on se place dans le cas particulier = 1/2 et on étudie les propriétés de la solution développable en série entière f 21 . Il s'agit là d'un problème assez classique, qui ne présente pas de grosses difficultés. Sa résolution permet de tester ses connaissances sur les développements en série entière et sur l'utilisation des intégrales dépendant d'un paramètre. Indications Première partie I-1.c Penser à la règle de D'Alembert. I-2.a On connaît déjà une solution de E1 ; utiliser la méthode de variation de la constante. I-2.c Donner l'expression d'une solution de E1 (sur R) sur chacun des intervalles ] - , 0[ et ]0, [, puis étudier le « raccord » en 0 par continuité. I-3.b Bien utiliser les résultats admis aux questions I-1.c et I-3.b. I-3.d Utiliser le résultat des questions I-1.b et I-3.c. Seconde partie II-1 Chercher une relation de récurrence entre les (Ip )pN à l'aide d'une intégration par parties. II-2.a Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale dans sa version la plus simple. II-2.b Montrer que vérifie la même équation différentielle que f 21 . En déduire qu'elle lui est proportionnelle. II-3.a Utiliser la convexité de la fonction exponentielle inverse 1/exp. II-3.b Faire le changement de variable u = tan , puis reconnaître la dérivée d'une fonction connue. II-3.c Utiliser la question II-3.a et la valeur de J(x). h i et appliquer la croissance II-3.d Montrer que 0 6 sin u 6 u sur l'intervalle 0 ; 2 de l'intégrale. II-3.e Utiliser les résultats des questions II-3.c et II-3.d pour obtenir un encadrement de sur ] - , -1]. En déduire les limites demandées. II-4.a La parité de h se déduit de la relation obtenue à la question I-3.b dans le cas 1 = . 2 Pour obtenir la représentation intégrale de h, utiliser la propriété du cosinus hyperbolique comme partie paire de l'exponentielle. Puis procéder par changements de variables pour faire apparaître . II-4.b Déterminer d'abord la limite de h en - en utilisant les encadrements des questions précédentes. Conclure en utilisant la parité de h. II-4.c Utiliser la parité de h et le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Première partie I-1 Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle I-1.a D'après l'énoncé, il est admis qu'il existe une fonction f , somme d'une série entière de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0 (f (0) = 1), solution dans l'intervalle ] -R ; R [ de l'équation différentielle E . Cette solution est définie par la relation : + P x ] - R, R[ f (x) = 1 + an xn n=1 Détermination des coefficients (an )n>1 f étant somme d'une série entière sur l'intervalle ] -R ; R [, elle est C sur cet intervalle et ses dérivées première et seconde sont obtenues en dérivant terme à terme. Ainsi : + P x ] -R ; R [ f (x) = nan xn-1 f (x) = x ] -R ; R [ n=1 + P n(n - 1)an xn-2 n=2 Par suite, pour x ] -R ; R [ : + P · xf (x) = n(n - 1)an xn-1 n=1 + · (1 - x)f (x) = P + nan xn-1 - n=1 P nan xn n=1 Ainsi f est solution de E si et seulement si, pour tout x ] -R ; R [, + P + n(n - 1)an xn-1 + n=1 P + nan xn-1 - n=1 P + nan xn - - n=1 P an xn = 0 n=1 Soit, en modifiant les indices de sommation : + P + n(n + 1)an+1 xn + n=0 P + (n + 1)an+1 xn - n=0 P + nan xn - - n=1 P an xn = 0 n=1 Or une série entière est nulle si et seulement si chacun de ses coefficients est nul. On en déduit donc que f est solution de E si et seulement si : a1 = soit encore et n > 1 n(n + 1)an+1 + (n + 1)an+1 - nan - an = 0 n > 1 an+1 = n+ an (n + 1)2 D'où l'on déduit l'expression des an : n > 1 an = 1 (n !)2 n-1 (k + ) k=0 Calcul effectif de f1 , f0 , f-1 et f-2 · Pour = 1, on a alors : n > 1 donc x R an = 1 n! f1 (x) = ex · Pour = 0, on a n > 1 par suite an = 0 f0 (x) = 1 x R · Pour = -1, on a a1 = -1 et : n > 2 Ainsi x R an = 0 f-1 (x) = 1 - x 1 et : 2 n > 3 an = 0 · Pour = -2, on a a1 = -2, a2 = Par conséquent x R f-2 (x) = 1 - 2x + x2 2 Il est très important d'ajuster les indices de sommation de façon à ce que toutes les expressions aient le même indice en puissance de x. Sinon on a de grandes chances d'oublier de compter un terme constant, voire de se tromper dans les indices de la suite (c'est-à-dire remplacer an par an+1 par exemple). I-1.b Déterminons les valeurs de pour lesquelles f est un polynôme. On sait que c'est le cas si et seulement si tous les coefficients de la série entière définissant f sont nuls, sauf éventuellement un nombre fini. Or n N an+1 = n+ an (n + 1)2 et dès qu'un coefficient est nul, tous les suivants le sont. Ainsi : f est un polynôme n N n N n N D'où an = 0 1 (n !)2 n-1 (k + ) = 0 k=0 = -n f est un polynôme si et seulement si est un entier négatif. Supposons à présent cette dernière condition satisfaite (c'est-à-dire que = -p, avec p entier) et déterminons le degré de f ainsi que le coefficient du terme de plus haut degré.