Mines Maths 2 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude des équations différentielles du type y''(t)+φ(t)y(t)=0
Principaux outils utilisés équations différentielles, formules de Taylor, séries numériques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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00 MATH. [[ -- PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINTE'TIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRETSI). CONCOURDS D'ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--BNP. L'emploi de la calculette est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES Il -- PSI. L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 5 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de certaines équations différentielles du type suivant : (E) y"(t).+ (PU) W) = 0- Première partie L'objet de cette partie est l'étude de l'équation différentielle : (EI) y"(t) +e"y(t) = 0- 1.1. Caractérisation d'une solution périodique : Démontrer qu'une fonction f, définie sur toute la droite réelle, solution de l'équation différentielle (E), est 2n-péfiodique si et seulement si elle prend, ainsi que sa dérivée f ', mêmes valeurs en 0 et en 27: : f(0) =f(2fl), f'(0) =f'(2fl) 1.2. Construction d'une solution périodique : Soit f une fonction 2fl-péfi0dique solution de l'équation différentielle (El) ;_ soit c,,(/), n e Z, ses -1/5- coefficients de Fourier. 1 21EUR pour tout entier relatif n : c,,(f) = ï 0 a. Démontrer que la fonction f est la somme de sa série de Fourier, c'est-à--dire que, pour tout réel f(t) = E c,,(/) e'"'. n=--oo b. Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction dérivée seconde f " de f en fonction de ceux def. En déduire, à l'aide de l'équation différentielle, la relation de récurrence qui lie cn(f) à c,... (]). c. Préciser la valeur du coefficient de Fourier c_1(f) ; en déduire la valeur de tous les coefficients de Fourier de rang strictement négatif. Calculer les coefficients de Fourier de rang positif en fonction de co (f). En déduire l'expression de la fonction f 1.3. Inégalité vérifiée par la fonction f et sa dérivée f ' : a. Soit h un réel strictement positif ; établir une majoration du module des deux nombres complexes C et D, définis ci--dessous par les relations : C=f(t+h)--f(t)--hf'(t) ; D=f(t--h)--f(î)+hf'(1)- en fonction de la norme de la convergence uniforme de la fonction f : Hf|| w = sup fil) |. { b. Déduire des deux inégalités obtenues la relation : Hf' II., 5 2 llfHoe. Deuxième partie Soit ("n>»=o,1,z,... la suite des fonctions définies sur la droite réelle par la relation suivante : unJÎ (prendre JÎ = 1,41). Troisième partie Le but de cette partie est d'étudier les zéros des solutions de l'équation différentielle suivante : (Ex) y"(t) +e'y(t) = 0- Dans toute cette partie y désigne une solution réelle de l'équation différentielle (E2). [[L1. Eros de la fonction y : a. Préciser la fonction y lorsqu'il existe un réel et tel que la fonction y et sa dérivée sont nulles en ce point a :y(a) = O, y'(a) : 0 . b. Soient a et b deux réels (a < b), z une solution réelle de l'équation différentielle suivante : (F) z"(t) + e" z(t) : 0. La fonction z est supposée s'annuler en deux points a et [3 de l'intervalle [a,b] (a S a < B 5 b) et être strictement positive sur l'intervalle ouvert ]a, [i [. Soit y une solution de l'équation différentielle (E 2). Soit H l'hypothèse : "la fonction y est strictement positive sur l'intervalle [a, fl]". Soit Wla fonction définie sur l'intervalle [a, fi] par la relation suivante : W(t) = y(t) Z'(t) --y'(t) Z(l)- Etudier les variations de la fonction Wsur l'intervalle [a, B ] ; en déduire que l'hypothèse H formulée ci-dessus est fausse. En conclure que, pour toute solution réelle z de l'équation différentielle (F), entre deux zéros consécutifs de la fonction 2 se trouve au moins un zéro de la fonction y. c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel 1, toute solution y réelle de l'équation différentielle E2 a au moins un zéro dans l'intervalle [r, 1 +75 exp(--%) ]. 111.2. Espacement des zéros dela fonction y : Soit y une solution réelle de l'équation difi'érenfielle E2, différente de la solution nulle. a. Soit f un zéro de la fonction y ; démontrer qu'il existe un intervalle ouvert ]r, r + c[, où 0 est un réel strictement positif sur lequel la fonction y n'est pas nulle. b. Soient deux zéros consécutifs a et B de la fonction y. Démontrer, en considérant une solution -3/5- réelle z de l'équation différentielle suivante : (G) z"(t) + e" z(t) = O, que les réels a et B vérifient l'inégalité suivante : N|'OE ). ,B--a27t exp(-- Quatrième partie L'objet de cette partie est de construire une fonction 'P solution de l'équation différentielle E2. Soit (vn )n=0,1'2'___, une suite de fonctions définies sur la droite réelle par la relation : _ <_-- 1) """ (n!) Lorsque la série de fonctions de terme général v" est convergente, soit 'P la fonction somme de cette série : \P(t) = 2 ("...e (n!)26 IV. 1 La fonction 'P est solution de l'équation différentielle E; : a. Etablir que, pour tout réel a, la série de terme général v,, (i) est uniformément convergente sur la demi-droite ]--OO, a]. b. Démontrer que la fonction 'P est une solution de l'équation différentielle (E2) définie sur toute la droite réelle. IV.2. Zéros de la fonction 'P : Démontrer, en utilisant des résultats des deuxième et troisième parties, que les zéros de la fonction 'P constituent une suite monotone croissante (t")n=0,1,2,...7 de réels : lo-->oe n--+--»oe Cinquième partie Le but de cette partie est d'établir des majorations des fonctions solutions de l'équation différentielle : (E) y"(t) + w(t)y(t) = 0. V.1.Une inégalité : Soient M un réel strictement positif (M > O) et a un réel. Soient f et g deux fonctions positives, -4/5 - défimes et continues sur la demi- droite [a, oe[, telles que, pour tout réel t de la demi-- droite [a, oe[, l'inégalité ci--dessous ait lieu: f(t) S M+ Ilf(x) g(x) dx. Etablir, en considérant par exemple la fonction F, définie sur la demi-droite [a, oe[ par la relation : F(t) = Ilf(x) g dx, la propriété : f(t) S Meprl g(x) dx). Dans la suite le réel et est strictement positif (a > O) ; soit y une fonction réelle, définie et continue sur la demi-droite [a, oe[, vérifiant l'équation différentielle (E) : (E) Y"(t) +(P(ÙYU) = 0, où (p est une fonction réelle, définie et continue sur la demi--droite [a, oo[, telle que la fonction t ... t.(p(t) est intégrable sur la demi-droite [a,oe[. (l'intégrale [a t |(p(t)[dt existe). V.2. Majoraüon de la fonction [y(t)l/t : a... Déterminer une fonction affine A : t l--> A(t), définie sur la demi--droite [a, oe[, telle que, pour tout réel t de cette demi--droite, la relation ci-dessous ait lieu : M = A(t) -- [la --x>y(x> «p(x> dx. b. Démontrer que la fonction j définie par la relation j(t>-- -- y--S" est bomée lorsque le réel t croît vers l'infini. C'est-à--dire : il existe deux réels strictement positifs C et D tels que, pour tout t supérieur ou égal à C (t a C), il vienne : [y(t)| 5 D t. V.3. Limites de y'(t) et de y(t)/t : Démontrer, en utilisant les résultats précédents que la fonction dérivée y' : t v--> y'(t) a une limite lorsque le réel t croît vers l'infini ; soit 0 cette limite : 0 = lim y'(t). t-->oe b. En déduire que l'expression j(t) -- y(--) a pour limite 0 lorsque le réel t croît vers l'infini FIN DU PROBLENIE -5/5--

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 Mines Maths 2 PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Cyril Niboyet (Mines de Paris) ; il a été relu par David Guéron (Mines de Paris) et Éric Ricard (ENS Ulm). Ce problème met en oeuvre des techniques assez classiques en analyse en proposant l'étude des solutions des équations différentielles du type : y (t) + (t)y(t) = 0 (E) On s'intéresse au cas où la fonction est t 7 eit dans la première partie, puis t 7 et dans la troisième partie, avant de conclure par l'étude du cas général dans la dernière partie. Dans la première partie, on est amené à construire une solution de (E) à partir de ses coefficients de Fourier et à manipuler des inégalités faisant appel à la formule de Taylor avec reste intégral. La deuxième partie s'attache, quant à elle, à étudier une fonction g définie par une série entière ; la troisième partie est consacrée à l'étude des zéros des solutions de (E). Ces résultats trouvent leur application dans la quatrième partie où est explicitée une solution de l'équation différentielle étudiée dans la troisième partie. Enfin, la dernière partie est l'occasion de s'intéresser au cas général, après avoir demontré le lemme très classique de Gronwall, qui est souvent utilisé dans la théorie des équations différentielles. Indications I.1 Pour établir la réciproque demandée, montrer que les fonctions f et fe : x 7 f (x + 2) sont solutions du même problème de Cauchy. I.3.a Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral, valable pour f de classe C n sur [ a ; b ] : Z b n-1 P (b - a)k (k) (b - x)n-1 (n) f (b) = f (a) + f (x) dx k! (n - 1)! k=1 a II.2 Utiliser tous les résultats du théorème des séries alternées : si (an )nN est P positive et tend vers 0, alors le reste d'ordre n de la série (-1)n an est du signe de (-1)n , et il est majoré en valeur absolue par |an | . III.2.a Montrer qu'il existe un intervalle de la forme ] ; + c [ sur lequel y ne s'annule pas (ce qui est plus fort que de montrer seulement que y n'est pas nulle sur cet intervalle) en raisonnant par l'absurde (on pourra montrer qu'alors la dérivée de y en est nulle). i h III.2.b Considérer la solution z(t) = sin e 2 (t - ) et utiliser un raisonnement similaire à celui de la question III.1.b. IV.1.a Montrer que la série converge normalement sur ] - ; a ] . IV.2.b Montrer dans un premier temps l'existence d'un plus petit zéro t0 , puis construire la suite des zéros t1 < t2 < · · · et établir enfin que cette suite n'est pas bornée. V.1 Étudier la fonction : Z t g(x) dx : t 7- [M + F(t)] exp - a V.2.b Utiliser l'expression de y établie à la question V.2.a et appliquer le résultat de la question V.1 à la fonction |j| . V.3.a Exprimer y à partir de la relation établie à la question V.2.a . V.3.b Établir le résultat en intégrant l'inégalité découlant de la question précédente entre t et un réel à partir duquel cette inégalité est valable. Première partie I.1 ­ Supposons f 2-périodique ; on a alors f (0) = f (2). En outre, si f (x + T) = f (x), alors f (x + T) = f (x) d'après le théorème de dérivation des fonctions composées, donc en particulier f (0) = f (2). ( f (0) = f (2) Conclusion : f (0) = f (2) ­ Réciproquement, soit f une solution de (E1 ) vérifiant le système ci-dessus. On considère la fonction fe définie sur R par fe(x) = f (x + 2). Montrons que f = fe. En substituant t + 2 à t dans (E1 ), il vient : f (t + 2) + ei(t+2) f (t + 2) = 0 ie ( avec fe (t) + eit fe(t) = 0 fe(0) = f (2) = f (0) fe (0) = f (2) = f (0) D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz, la solution de (E1 ) vérifiant les conditions initiales f (0) et f (0) est unique (problème de Cauchy), donc f = fe, c'està-dire f (x) = f (x + 2) pour tout x réel. Autrement dit, f est 2-périodique. Conclusion : f est 2-périodique si et seulement si f (0) = f (2) et f (0) = f (2) I.2.a Une solution 2-périodique de (E1 ) est de classe C 2 , donc en particulier de classe C 1 , ce qui permet de conclure (grâce au théorème de Dirichlet) que f est somme de sa série de Fourier. I.2.b Calculons les coefficients cn (f ) de deux manières différentes : ­ D'une part, pour toute fonction g de classe C 1 , on a : 1 cn (g ) = 2 Z 2 0 z }| { g (x) × e|-inx {z } dx 2 1 1 = g(x) e-inx 0 - 2 2 Z 2 -in g(x) e-inx dx 0 cn (g ) = in cn (g) En appliquant ce résultat à f et à f , il vient : cn (f ) = in cn (f ) = -n2 cn (f ) Plus généralement, on peut montrer (par récurrence) que si f est k fois dérivable, alors (n, k) N2 cn (f (k) ) = (in)k cn (f ) ­ D'autre part, Il en résulte : f = -eit f cn (f ) = cn (-eit f ) =- =- 1 2 1 2 Z 2 eix f (x) e-inx dx 0 Z 2 f (x) e-i(n-1)x dx 0 cn (f ) = -cn-1 (f ) Conclusion : n Z n2 cn (f ) = cn-1 (f ) () I.2.c Le coefficient c-1 (f ) vaut : c-1 (f ) = = 1 2 1 2 Z 2 f (t) eit dt 0 Z 2 -f (t) dt 0 1 2 = [-f (t)]0 2 c-1 (f ) = 0 De (), on déduit par récurrence : k < 0 Pour n > 0, ie cn (f ) = ck (f ) = 0 1 1 1 × × · · · × 2 × c0 (f ) 2 2 n (n - 1) 1 cn (f ) = 1 c0 (f ) (n!)2