Mines Maths 1 PSI 2025

A2025 ­ MATH I PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2025
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Matrices semblables à leur inverse

Notations et définitions.
On note C le corps des nombres complexes, N l'ensemble des entiers naturels. 
Pour
n oe Nú , Mn désigne l'algèbre des matrices carrées complexes de taille n et 
GLn le
groupe des matrices complexes inversibles de taille n.
On rappelle que deux matrices A et B de Mn sont semblables si
÷P oe GLn ,

A = P 1 BP.

Pour toute matrice A oe Mn le polynôme caractéristique de A est défini par
A = det(XIn  A).

Partie 1. Polynômes réciproques.
Soit p oe Nú . Un polynôme P oe C[X] de degré p est dit réciproque lorsqu'il 
satisfait
l'égalité
1
P (X) = X p P ( ).
X

1 Û Soit P oe C[X] de degré p. On écrit P =
complexes, et ap "= 0.

p
q

k=0

ak X k , où a0 , . . . ap sont des nombres

Montrer que P est réciproque si et seulement si pour tout entier k, 0 Æ k Æ p, 
on
a l'égalité ak = apk .
2 Û Soit P un polynôme de degré p écrit sous forme factorisée P = ap

d
r

i=1

(X  /i )mi ,

où /1 , . . . , /d sont les racines complexes distinctes de P et m1 , . . . , 
md leurs multiplicités.

Ecrire sous forme factorisée le polynôme X p P ( X1 ) et démontrer que si P est 
réci1
proque alors pour tout entier i, 1 Æ i Æ d, /i est non nul et
est racine de P
/i
avec la multiplicité mi .

1

3 Û Soit Q un polynôme de degré p. On dit que Q est antiréciproque si
Q(X) = X p Q(

1
).
X

Montrer que si Q est antiréciproque, 1 est une racine de Q et qu'il existe un
polynôme P constant ou réciproque tel que Q = (X  1)P .
Soit R un polynôme non constant de C[X] ayant la propriété suivante :
Toute racine a de R est non nulle et a1 est racine de R de même multiplicité 
que a.

4 Û Démontrer que le produit des racines de R, comptées avec multiplicités, ne 
peut
prendre que les valeurs 1 ou 1. On pourra remarquer que l'égalité a = a1 n'a 
lieu
que pour a = 1 ou 1.
5 Û En déduire que R est réciproque ou antiréciproque.

Partie 2. Le cas diagonalisable.
Soit A une matrice appartenant à GLn .
6 Û Soit x un nombre réel non nul. Exprimer det(xIn  A) en fonction de x, det A 
et
det( x1 In  A1 ).
7 Û On suppose dans cette question que A est semblable à son inverse. Préciser 
les
valeurs que peut prendre le déterminant de A, et en déduire que A est soit 
réciproque, soit antiréciproque.
8 Û Soit B oe Mn une matrice diagonalisable. On suppose que le polynôme 
caractéristique de B est réciproque ou antiréciproque. Démontrer que B est 
inversible et
semblable à son inverse.
Q

R

2 0 0 0
c 0 2 0 0 d
c
d
9 Û Montrer que la matrice B = c
d n'est pas semblable à son inverse
a 0 0 12 1 b
0 0 0 12
(bien que son polynôme caractéristique (X  2)2 (X  12 )2 soit réciproque).
On pourra déterminer les espaces propres de B et B 1 pour la valeur propre 2.

2

Ainsi, hors du cas diagonalisable, le polynôme caractéristique ne suffit pas à 
caractériser
les matrices semblables à leur inverse. La suite du problème se propose de 
caractériser
ces matrices par une autre méthode.

Partie 3. Produits de matrices de symétries.

On dit qu'un endomorphisme f d'un C-espace vectoriel E est une symétrie si f ¶ 
f = IdE .
On dit qu'une matrice S oe Mn est une matrice de symétries si S 2 = In .

10 Û Démontrer que si S1 et S2 sont deux matrices de symétrie, la matrice 
produit
A = S1 S2 est inversible et semblable à son inverse.

11 Û Si une matrice A est un produit de deux matrices de symétries, en est-il 
de même
de toute matrice semblable à A ?

Soit B et C deux matrices de GLn . Soit A oe M2n la matrice définie par blocs
suivante :
A
B
B 0n
A=
.
0n C

12 Û Soit S1 la matrice par blocs
S1 =

A

0n P
Q 0n

B

,

où P, Q sont deux éléments de GLn .
Déterminer les conditions reliant B, C, P, Q pour que les matrices S1 et S2 = 
S1 A
soient des matrices de symétries.

13 Û En déduire que si C est semblable à B 1 , alors A est un produit de deux 
matrices
de symétries.

3

Partie 4. La matrice Jn(/).

14 Û Soit E un C-espace vectoriel de dimension n. Soit g un endomorphisme de E 
tel
que g n = 0 et g n1 "= 0.
Démontrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de g est la 
matrice N
ci-après :
Q

0

c
c 0
c
c .
N =c
c ..
c .
c .
a .

0

1

0

R

... 0
. . . .. d
0 1
. d
d
d
.. .. ..
.
.
. 0 d
d.
d
..
. 1 d
b
...
... 0

Autrement dit : N = (ni,j )1Æi,jÆn avec ni,j = 1 si j = i + 1 et ni,j = 0 sinon.

15 Û Pour tout / oe C non nul, on pose Jn (/) = /In + N .

Démontrer que Jn (/) est inversible et déterminer en fonction de N et de / la
matrice N Õ telle que Jn (/)1 = /1 In + N Õ

16 Û Calculer (N Õ )n et en déduire que Jn (/)1 est semblable à Jn ( /1 ).

Pour tout polynôme P = P (X) oe Cn1 [X] on pose
Y
_
_
]s1 (P ) = P (X),

s (P ) = P (1  X),
g(P ) = P (X + 1)  P (X).

2
_
_
[

On définit ainsi trois endomorphismes de l'espace vectoriel Cn1 [X] (il n'est 
pas
demandé de le prouver).

17 Û Calculer s21 , s22 et exprimer s1 ¶ s2 en fonction de g et IdCn1 [X] .

18 Û Soit P un polynôme non constant. Exprimer le degré du polynôme g(P ) en 
fonction
du degré de P .

19 Û Déduire des questions précédentes que la matrice Jn (1) est un produit de 
deux
matrices de symétries.

4

On pourrait démontrer par le même type de raisonnement, et on l'admet, que la
matrice Jn (1) est un produit de deux matrices de symétries.

Partie 5. Une caractérisation des matrices semblables à
leur inverse.
Soit A une matrice de GLn semblable à son inverse. On admet le résultat suivant 
:
A est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme
Q

c
c
c
A =c
c
a
Õ

Jn1 (/1 )
0
..
.
0

R

0

...
0
d
..
..
d
.
Jn2 (/2 )
.
d
d,
..
..
d
.
.
0
b
...
0 Jnr (/r )

où les /i sont les valeurs propres de A (pas nécessairement distinctes) et r 
ainsi que
les ni , 1 Æ i Æ r, des entiers naturels non nuls.
De plus la matrice AÕ est unique à l'ordre près des blocs.

20 Û Démontrer que A

1

Q

c
c
est semblable à c
c
c
a

Jn1 ( /11 )
0
..
.
0

0

R

...
0
d
..
.
d
Jn2 ( /12 ) . .
.
d
d.
...
...
d
b
0
...
0 Jnr ( /1r )

21 Û En utilisant les résultats établis dans les parties précédentes, démontrer 
que A est
un produit de deux matrices de symétries.

Fin du problème

5