Mines Maths 1 PSI 2020

Thème de l'épreuve Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, algèbre bilinéaire, dimension, endomorphismes
Mots clefs endomorphismes nilpotents, nilindice, réduction simultanée, endomorphismes de rang 1, trace, somme directe, produit scalaire, base, forme linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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A2020 --- MATH I PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des R-espaces vectoriels de dimension finie. 
Soit
E un tel espace vectoriel et u un endomorphisme de E. On dit que u est nilpotent
lorsqu'il existe un entier p > 0 tel que uw? = 0; le plus petit de ces entiers 
est alors
noté v(u) et appelé nilindice de u, et l'on notera qu'alors u* -- 0 pour tout 
entier
k > v(u). On rappelle que u° = idg. L'ensemble des endomorphismes nilpotents
de E est noté N(E) : on prendra garde au fait qu'il ne s'agit à priori pas d'un
sous-espace vectoriel de L(E) !

Un sous-espace vectoriel V de £L(E) est dit nilpotent lorsque tous ses éléments
sont nilpotents, autrement dit lorsque V EUR W(E).

Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses 
coefficients
diagonaux sont nuls. On note TT(R) l'ensemble des matrices triangulaires supé-
rieures strictes de M, (R). On admet qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de 
M, (R)),
de dimension RE).

Dans un sujet antérieur du concours (PSI Maths II 2016), le résultat suivant a
été établi :

Théorème A.
Soit Æ un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et V un sous-espace vectoriel

- . n(n--1
nilpotent de £L(E). Alors, dim V < nm). Le théorème A est ici considéré comme acquis. L'objectif du présent sujet est de déterminer les sous-espaces vectoriels nilpotents de £(E) dont la dimension est égale à RE). Plus précisément, on se propose d'établir le résultat suivant (Gerstenhaber, 1958) : Théorème B. Soit E£ un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et V un sous-espace vectoriel
nilpotent de £L(E) de dimension rm). Il existe alors une base de E dans laquelle

tout élément de V est représenté par une matrice triangulaire supérieure 
stricte.

Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des
autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes 
nilpotents.
Dans la partie IT, on met en évidence un mode de représentation des 
endomorphismes
de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie IIT, on établit deux résultats 
géné-
raux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces 
(lemme
C), et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent
non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme D). Dans l'ultime partie IV,
les résultats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème B 
par
récurrence sur la dimension de l'espace E.
I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n > 0.
Soit u EUR N(E). On choisit une matrice carrée M représentant l'endomorphisme u.

1. Démontrer que M est semblable à une matrice complexe triangulaire supé-
rieure, établir que les coefficients diagonaux de cette dernière sont nuls, et 
en
déduire que tru* = 0 pour tout k EUR N*.

On fixe une base B -- (e1,...,e,) de E. On note VB l'ensemble des endomorphismes
de Æ dont la matrice dans B est triangulaire supérieure stricte.

1)

2. Justifier que VB est un sous-espace vectoriel de £L(E) de dimension GEI) et
mettre en évidence dans NB un élément nilpotent de nilindice n. On pourra
introduire l'endomorphisme u de E défini par u(e;) = e;-1 pour tout à EUR [2,nl,
et u(e1) = 0.

3. Soit u EUR L(E). On se donne deux vecteurs x et y de FE, ainsi que deux 
entiers
p > q > 1 tels que w(x) = u(y) = 0, w_l(x) £ 0 et u- (y) £ 0. Montrer
que la famille (æ,u(x),...,uP-1(x)) est libre, et que si (u?-{(x),u?-l(y)) est
libre alors (æx,u(x),...,uP-1(x),y,u(y),...,u?-l(y)) est libre.

4. Soit u EUR N(E), de nilindice p. Déduire de la question précédente que p < n et quesip>n--l1et p > 2 alors Imuw ! = ImuN Keru et Imu-{ est de
dimension l.

IT Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien (E, (-- | --)). Lorsque a 
désigne un
vecteur de Ë, on note
E --R
Pa :
x (alx).

5. Calculer la dimension de £(E,R) en fonction de celle de Æ. Montrer que
a + Ya définit un isomorphisme de E sur £L(E,R).

Étant donné ae Eetxe E, on notera désormais a ® x l'application de E dans
lui-même définie par :
VzEURE, (a@x)(z) = (a|2).x
6. On fixe x EUR E \ {0}. Montrer que l'application a EUR E + a @ x est 
linéaire et
constitue une bijection de E sur {u EUR L(E) : Imu C Vect(x)}.

7. SoitaecEetxeE\{0}. Montrer que tr(a x) = (a | x).

IIT Deux lemmes

On considère ici un espace euclidien (Æ,(-- | --)) de dimension n > 0. On
rappelle que l'on à démontré à la question 4 que le nilindice d'un élément de 
W(E)
est toujours inférieur ou égal à n. Soit V un sous-espace vectoriel nilpotent 
de £(ÆE)
contenant un élément non nul. On note

pi mag vu)

appelé nilindice générique de V. On a donc p > 2.

On introduit le sous-ensemble V° de E formé des vecteurs appartenant à au
moins un des ensembles Im uw?! pour u dans V : on introduit de plus le 
sous-espace
vectoriel engendré

K(V) := Vect(V"°).

Enfin, étant donné x EUR E, on pose
Vx := {u(x) |vE V}.

L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme C. Soit u et v dans V. Alors tr(u*v) -- 0 pour tout entier naturel K.

Lemme D. Soit x dans V° \ {0}. Si K(V) EUR Vect(x) + Vx, alors v(x) = 0 pour 
tout
v dans V.

Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires u et v de Y.

8. Soit k EUR N*. Montrer qu'il existe une unique famille (A. . JE )) d'endo-
morphismes de Æ telle que

VER, (u+ tu) Xi ®,

. . k k ; _1--;
Montrer en particulier que f! ) uk et f! ) Survur lt,
Pour l'unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.
p--1

9. À l'aide de la question précédente, montrer que DuvuP 1 -- 0,
i=0

10. Étant donné & EUR N, donner une expression simplifiée de tr( fi)

déduire la validité du lemme C.

, et en
11. Soit y EUR E. En considérant, pour un a EUR K(V)+ quelconque, la fonction
tER + (al (u+tv)?-!(y)), démontrer que F0 D (y) EUR K(V). À l'aide d'une
relation entre u(f PV (y) et v(u?--1(y)), en déduire que v(x) EUR u(K(V)) pour

tout x EUR Imuw? 1.

12. Soit x EUR V° \ {0} tel que K(V) EUR Vect(x) + Vx. On choisit u EUR V tel 
que
x ElmuPr"t
Étant donné y EUR K(V), montrer que pour tout k EUR N il existe y, EUR K(V) et
X EUR R tels que y = Àg x + u*(yr). En déduire que K(V) EUR Vect(x) puis que
v(x) = 0 pour tout v EUR V.

IV Démonstration du théorème B

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème B par récurrence sur
l'entier n. Le cas n = 1 est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On 
se
donne donc un entier naturel n > 2 et on suppose que pour tout espace vectoriel
réel E" de dimension n -- 1 et tout sous-espace vectoriel nilpotent V' de 
£L(E), de
dimension (DE?) il existe une base de E" dans laquelle tout élément de V' est
représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

On fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n, ainsi qu'un sous-espace vec-
toriel nilpotent V de £(E), de dimension RG). On munit E d'un produit scalaire
(-- | --), ce qui en fait un espace euclidien.

On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire x de E \ {0}. On

pose
H := Vect(x)*, Vr:={u(x)|veY} et W:={veV: v(xr) =0}.

On note x la projection orthogonale de E sur H. Pour u EUR W, on note u 
l'endomor-
phisme de H défini par
Vz EUR H, u(z) = r(u(z)).

On considère enfin les ensembles

V:=falueW} et Z:={ueW:a--=0t.

13. Montrer que Vx, W, V et Z sont des sous-espaces vectoriels respectifs de E,

V, £L(H) et y.

14. Montrer que
dim V = dim(Vx) + dim Z + dim Y.

15. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel L de E tel que
Z={a@xrlaeL} et dimL=dimZ,

et montrer qu'alors x EUR L--.
16.

17.

18.

19.

20.

En considérant u et (a @ x) pour u EUR V et a EUR L, déduire du lemme © que
Vx C L+., et que plus généralement u*(x) EUR L+ pour tout k EUR N et tout u EUR 
Y.

Justifier que Àx & Vx pour tout À EUR R*, et déduire alors des deux questions
précédentes que
dim Vx + dimL n -- 1 d'après la question 20.

21.

22.

23.

Soit v EUR V tel que v(x) £ 0. Montrer que Imw?-! EUR Vect(x) © Vx. On pourra
utiliser les résultats des questions Z et 19.

On suppose qu'il existe vo dans V tel que vo(x) # 0. Soit vu EUR V. En 
considérant
v + tvo pour t réel, montrer que Im uw?! EUR Vect(x) ® Vzx.

On pourra s'inspirer de la méthode de la question 11.

Conclure.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PSI 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) ; il a
été relu par Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l'université) et Gilbert 
Monna
(professeur honoraire en CPGE).

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Un endomorphisme u  L (E)
est dit nilpotent lorsqu'il existe p  N tel que up = 0. Ce problème s'intéresse
aux sous-espaces vectoriels V de L (E) qui ne contiennent que des endomorphismes
nilpotents. On peut montrer qu'un tel espace V a toujours une dimension 
inférieure
ou égale à n (n - 1)/2 (ce point est admis par l'énoncé). L'objectif du 
problème est de
déterminer les sous-espaces de ce type qui sont de dimension maximale : on 
montre
que dans ce cas il existe une base B de E telle que tout élément de V est 
représenté
dans B par une matrice triangulaire supérieure stricte (c'est-à-dire avec des 
zéros sur
la diagonale). On dit que l'on a fait une « réduction simultanée » des 
endomorphismes
de V. La démonstration se fait par récurrence sur la dimension de E. Il s'agit 
d'un
résultat relativement récent (théorème de Gerstenhaber, 1958).
· Dans la première partie, on montre quelques résultats techniques sur les 
endomorphismes nilpotents. Les questions de cette partie sont de bons exercices
d'algèbre linéaire.
· Dans la deuxième partie, on met en place un mode de représentation des 
endomorphismes de rang 1 à l'aide d'une opération  définie à partir d'un produit
scalaire. Cet outil sera utilisé dans la démonstration du théorème. Cette partie
est plus abstraite que la précédente et demande de la rigueur conceptuelle.
· Dans la troisième partie, on montre deux lemmes qui sont au coeur de la 
démonstration du théorème : une identité sur les traces des endomorphismes de V
et une condition suffisante pour avoir un vecteur qui annule tous les 
endomorphismes de V. La difficulté de cette partie provient des notations. On y 
utilise
une généralisation de la formule du binôme de Newton dans le cas de deux
endomorphismes qui ne commutent pas.
· La quatrième partie est la plus longue et contient la démonstration du 
théorème,
par récurrence sur la dimension de E. On montre l'existence d'un vecteur x qui
annule simultanément tous les endomorphismes de V et on travaille ensuite avec
le restriction de ces endomorphismes sur l'hyperplan Vect (x) . Cette partie
utilise tous les résultats des parties précédentes et demande encore une fois
d'assimiler de nouvelles notations.
Ce problème étudie principalement des sous-espaces vectoriels de L (E) et des
applications entre ces sous-espaces, ce qui permet de se confronter à un niveau 
d'abstraction élevé. Son originalité vient de ce qu'il privilégie les approches 
spatiale et
vectorielle en limitant au maximum l'utilisation des matrices.
Si l'on admet le résultat de la première question, il peut être traité 
intégralement
en fin de première année. Il constitue un bon entraînement sur le programme 
d'algèbre
linéaire de MPSI/PCSI.

Indications
Partie I
1 Utiliser une condition suffisante pour qu'une matrice de Mn (C) soit 
trigonalisable,
puis montrer que les valeurs propres d'une matrice nilpotente sont nulles.
2 Donner un isomorphisme entre NB et T++
n (R). Écrire la matrice de u dans la base
(e1 , . . . , en ) et justifier que un-1 6= 0 et un = 0.
3 Appliquer successivement up-1 , up-2 , . . . , u à une relation linéaire 
entre les vecteurs de la première famille.
Pour la deuxième famille, appliquer d'abord uq puis poser z = up-q (x) et 
appliquer successivement uq-1 , . . . , u.
4 Montrer d'abord que Im (up-1 )  Im (u)  Ker (u). À l'aide de la question 3,
prouver ensuite que si z  Im (up-1 ) r {0}, alors tout vecteur de Im (u)  Ker 
(u)
est colinéaire à z.
Partie II
5 Utiliser la formule dim(L (E, F)) = dim(E) × dim(F). Montrer que a 7- a est
linéaire et injective et conclure avec un argument sur les dimensions.
6 Montrer que a  x est dans l'ensemble d'arrivée indiqué, pour tout a  E. 
Établir
ensuite que a 7- a  x est linéaire et injective. Justifier enfin que l'ensemble
d'arrivée a la même dimension que E.
7 Compléter x en une base de E et écrire la matrice de a  x dans cette base.
Partie III
(k)

8 Procéder par récurrence pour l'existence et les valeurs de f0

(k)

et f1 .

9 Justifier que (u + t v)p = 0 et utiliser l'unicité de la relation démontrée à 
la
question 8.
(k+1)

10 A l'aide des propriétés de la trace, simplifier Tr (f1
) à partir de sa valeur
donnée à la question 8. Montrer ensuite que (u + t v)k+1 est de trace nulle et
développer cette expression.
11 Établir que t 7- (a | (u + t v)p-1 (y)) est la fonction nulle, puis que 
c'est une
fonction polynomiale en t. Utiliser l'égalité (K(V) ) = K(V).
12 Prouver l'existence par récurrence sur k. Considérer ensuite le cas k = p.
Partie IV
13 Montrer que v 7- v(x) et u 7- u sont linéaires.
14 Appliquer le théorème du rang à v 7- v(x) et u 7- u et voir Vx, W, V et Z
comme noyaux ou images de ces applications.
15 Justifier que Z  {u  L (E) | Im (u)  Vect (x)} et utiliser l'isomorphisme de
la question 6.
16 Noter v = a  x et montrer que uk v = a  uk (x). Appliquer ensuite le lemme C
et la question 7.
17 Montrer qu'un endomorphisme nilpotent n'a pas de valeur propre non nulle.
Obtenir alors que Vect (x) et Vx sont en somme directe.
18 Établir la relation par récurrence sur k.

19 Combiner les informations obtenues aux questions 14, 15, 17, 18 et le 
théorème A.
20 Appliquer l'hypothèse de récurrence à V pour obtenir une base B0 de H et 
montrer
que V = NB0 . Compléter ensuite B0 par le vecteur x.
21 Avec la question 4, montrer que Im (v p-1 )  Vect (v k-1 (x)) où k est le 
plus petit
entier tel que v k (x) = 0. Utiliser ensuite la question 19.
22 Justifier que t 7- (v + t v0 )(x) s'annule au plus une fois sur R et en 
déduire que
Im ((v + t v0 )p-1 )  Vect (x)  Vx
Considérer ensuite f (t) = (a | (v + t v0 )(y)) pour t  R, a  (Vect (x)  Vx)
et y  E.
23 Raisonner par l'absurde.

Publié dans les Annales des Concours

I. Généralités sur les endomorphismes nilpotents
1 D'après un corollaire du théorème de d'Alembert-Gauss, le polynôme 
caractéristique M de M est scindé dans C[X]. D'après le cours, toute matrice 
dont le polynôme
caractéristique est scindé est trigonalisable. Par conséquent,
La matrice M est semblable à une matrice triangulaire supérieure T  Mn (C).
Comme M et T sont semblables, Mk et Tk sont semblables pour k  N . Notons
(1 , . . . , n ) les coefficients diagonaux de T. Comme T est triangulaire 
supérieure,
les coefficients diagonaux de Tk sont (1 k , . . . , n k ) pour tout k  N. 
Comme u est
nilpotent, il existe p  N tel que up = 0. On a alors Mp = 0 (car Mp représente 
up )
donc Tp = 0, d'où 1 p = · · · = n p = 0 et 1 = · · · = n = 0. Ainsi
Les coefficients diagonaux de T sont nuls.
Dès lors, pour tout entier naturel k non nul, il vient
Tr (uk ) = Tr (Mk ) = Tr (Tk ) =

n
P

i k = 0

i=1

k  N

Tr (uk ) = 0

Il est possible de montrer que la réciproque est vraie : si un endomorphisme u 
d'un espace vectoriel de dimension finie vérifie Tr (uk ) = 0 pour
tout k  N , alors u est nilpotent. Cette propriété caractérise donc les 
endomorphismes nilpotents.
Pour démontrer cette réciproque, on raisonne par l'absurde en supposant
qu'une matrice M qui représente u a au moins une valeur propre complexe
non nulle. Notons 1 , . . . , r toutes les valeurs propres complexes non nulles
de M (deux à deux distinctes) et n1 , . . . , nr leurs multiplicités 
respectives.
Comme M est trigonalisable dans Mn (C), il vient
k  N

Tr (Mk ) = Tr (uk ) =

r
P

ni  i k = 0

i=1

En regardant les r premières équations ainsi obtenues pour k  [[ 1 ; r ]], on 
voit
que (n1 , . . . , nr ) est solution d'un système homogène dont le déterminant D
est de type Vandermonde :
1
1 2
D= .
..

···
···

· · · r
· · · r 2
.. = (1 · · · r ) ×
.

1 r

···

···

r r

1
1
..
.

···
···

···
···

1 r-1

···

· · · r r-1

1
r
..
.

Celui-ci est non nul car les 1 , . . . , r sont tous non nuls et deux à deux
distincts. On en déduit que (n1 , . . . , nr ) = (0, · · · , 0), ce qui est 
absurde.
Par suite, sp C (M) = {0}. Le polynôme caractéristique de M étant scindé
dans C[X], il vaut M = Xn , d'où Mn = 0 d'après le théorème de CayleyHamilton. 
Finalement, un = 0.