Mines Maths 1 PSI 2014

Thème de l'épreuve Somme de projecteurs orthogonaux
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire
Mots clefs projecteurs, endomorphismes symétriques, réduction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2014 MATH I PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2014 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page dela copie : MATHÉMATIQUES I - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initia- tives qu'il est amené à prendre. Somme de projecteurs orthogonaux Notations On note N l'ensemble des entiers naturels, R l'ensemble des réels, R + l'ensemble des réels positifs ou nuls et .//Z,, l'ensemble des matrices n >< n à coefficients réels. Dans tout le problème, X est un espace vectoriel de dimension n 2 2 sur le corps des réels et T un endomorphisme de X . Si 9% est une base de X, on note TF9, la matrice représentant T dans cette base. On note N (T) le noyau de T et R (T) l'image de T, rgT le rang de T et 0 (T) le spectre de T. On appelle projecteur un endomorphisme P de X idempotent, c'est-à-dire tel que P2 =P. On note 1 l'endomorphisme identité de X, H,, la matrice identité de .//Z,, et O la matrice nulle. 1 Trace Si A EUR.//Z,,, on appelle trace de A le nombre réel suivant : Tl ÏÏA : Z aii. i=1 Question 1 Soient A et B EUR.//Z... montrer que tr AB = tr BA. Question 2 Soit T un endomorphisme de X, montrer que la trace de la matrice T9, asso- ciée à T est indépendante de la base 9%. On appelle trace de T, notée tr T, la valeur commune des traces des matrices repré- sentant T. On dit que la trace est un invariant de similitude. 2 Projecteurs Question 3 Soit P un projecteur de X, démontrer que X = N (P) 69 R (P). Question 4 En déduire que rg P= tr P. Question 5 Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et G de X est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions. Question 6 Soit S un endomorphisme de X. Montrer que si S est une somme finie de projecteurs Pi, i = 1, . . . , m, alors tr SE N et tr SZ rg S. 2 3 Décomposition en somme de projecteurs orthogonaux On considère maintenant le cas où X est un espace (pré)hilbertien. On dit que T est symétrique positif s'il est symétrique et si (Tx |x)ZOVx EX. Question 7 Montrer que T, supposé symétrique, est positif si et seulement si 0 (T) C R +. Question 8 Montrer qu'un projecteur P est un projecteur orthogonal si et seulement si il vérifie (x--Px |y) = O, Vx EX, Vy EURR(P). Question 9 Montrer qu'un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique ,' montrer également qu'un projecteur orthogonal est positif. On suppose désormais que T est symétrique positif et vérifie tr TE N et tr TZ rg T. On note r le nombre de valeurs propres strictement positives de T, comptées avec leur multiplicité. On note e,-- les vecteurs d'une base propre 9% de T orthonormée, or- donnés de telle façon que les valeurs propres associées soient strictement positives si et seulement si i S r. On note Y l'espace engendré par les e,, i = 1, . .., r et Z celui engendré par les e,, i = r + 1, . . . , n. Question 10 Montrer que Y = R(T) , Z = N (T) , ainsi que rg T= r. Pour i = 1, . . . , n, on note Q,-- l'endomorphisme de X défini par Qi (ej) : 5ijei,j : 1, . . .,n Question 11 Montrer que Q,-- est un projecteur orthogonal de rang 1. Question 12 On se place dans le cas particulier où tr T> rg T. Montrer qu'on peut choisir i tel que T--Q,-- soit symétrique positif et vérifie rg ( T -- Q,) = rg T. Quelle est la valeur de tr ( T -- Qi) ? Question 13 On se place maintenant dans le cas général où trTZ rgT. Déduire de la question 12 qu'il existe S symétrique positif tel que Y soit stable par S, tr S= rg S= rgT et que T--S soit la somme de k = tr T--r projecteurs orthogonaux de rang 1. On note a,, i = 1, . . . , r les valeurs propres strictement positives de S. Question 14 Montrer que S|Y est inversible. On pose U=S|Y et pour x et y E Y, EUR(x,y) = (U_1x |y). On note s,, i = 1,...,r une base de vecteurs propres de U associés aux valeurs propres ,u,--. 3 Question 15 Démontrer que EUR constitue un produit scalaire sur Y. Question 16 Déterminerw E Y, tel que llw|l = 1 et EUR (W, W) = 1. On pourra, si nécessaire, chercher w dans le sous-espace de dimension 2 engendré par deux vecteurs propres 8,-- et 8]-- bien choisis. Question 17 Montrer que P est un projecteur orthogonal de rang 1 sur X si et seulement si il existe un vecteur % unitaire dans X, tel que pour tout x E X, P (x) = (x lz)z. On considère maintenant un w tel que défini à la question 16 et l'endomorphisme PW défini sur X par la formule suivante : PW (x) = (x |vv)w. Question 18 Démontrer que S -- PW est symétrique et positif. Question 19 Démontrer que N (S -- PW) = N (S) ®Vect(U_1w) , où Vect(U_1w) note l'en- semble des vecteurs colinéaires à U_1w. En déduire que rg (S -- PW) = rg (S) -- 1. Question 20 Déduire des questions 17 18 et 19 que S est la somme d'un nombre fini de projecteurs orthogonaux de rang 1. Question 21 En déduire qu'un endomorphisme symétrique positif T est une somme finie de projecteurs orthogonaux si et seulement si tr T E N et tr T 2 rg T. Fin de l'épreuve

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 Mines Maths 1 PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Antoine Sihrener (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (Enseignantchercheur à l'université). Ce sujet d'algèbre linéaire est consacré à la décomposition des endomorphismes en sommes de projecteurs. Il est constitué de trois parties pouvant être traitées indépendamment. · Dans les deux premières parties, on retrouve des résultats du cours de première année sur la trace des matrices carrées et sur les projecteurs. · Dans la troisième et dernière partie, on se place dans un espace euclidien et l'on retrouve d'abord quelques résultats classiques sur les endomorphismes symétriques et les projecteurs orthogonaux. On s'intéresse ensuite aux endomorphismes symétriques positifs de trace entière et supérieure à leur rang : en partant d'une base orthonormée de vecteurs propres, on démontre que ce sont les sommes finies de projecteurs orthogonaux de rang 1. Ce sujet est d'une longueur tout à fait raisonnable et ne comporte pas de difficultés notables. En particulier, on retrouve beaucoup de questions de cours et d'applications directes de celui-ci. Cependant, l'auteur du sujet a adopté des notations peu fréquentes (N(f ) et R(f ) au lieu de Ker (f ) et Im (f ) par exemple), certaines pouvant même être à l'origine de confusions (les matrices sont notées avec des doubles barres, comme les ensembles de nombres), ce qui a certainement perturbé nombre de candidats. De plus, certaines questions comportent quelques imprécisions, quand elles ne sont pas carrément mal posées, comme la question 12 (son résultat n'est pas assez fort pour la suite du problème). Ainsi, un candidat maîtrisant le programme pouvait traiter le sujet dans son intégralité, sous réserve que les insuffisances de l'énoncé ne lui fassent pas perdre trop de temps. Indications Partie 1 2 Utiliser la formule de changement de base et le résultat de la question précédente. Partie 2 4 Déterminer la matrice de P respectivement à une base de X adaptée à la somme directe R(P) N(P). 6 Pour prouver que Tr (S) N, penser à la question 4. Utiliser ensuite la question 5 pour établir l'inégalité Tr (S) > rg (S). Partie 3 7 Décomposer x X dans une base de vecteurs propres de T. 8 On pourra noter que la décomposition d'un vecteur de X associée à la somme directe X = R(P) N(P) s'écrit x = P(x) + x - P(x). 9 Utiliser le résultat précédent et la relation P2 = P. 11 Penser au résultat de la question 9. 12 Il suffit de trouver i tel que i > 1, puis de s'inspirer de ce qui a été fait lors des questions précédentes. Noter que l'on montre au passage que R(T - Qi ) = Y. 13 Raisonner par récurrence sur k = Tr (T) - rg (T), en utilisant la question 12 pour établir l'hérédité. Attention, pour la suite du problème, il ne faut pas seulement montrer que Y est stable par S mais que R(S) = Y. 15 Il faut bien entendu utiliser une base orthonormée de vecteurs propres de U. 16 Si 1 n'est pas valeur propre, montrer à l'aide de Tr (S) qu'il existe (i, j) [[ 1 ; r ]]2 tel que µi < 1 < µj , puis suivre l'indication de l'énoncé. 17 Penser à utiliser la question 8. 18 Pour x = y + z avec y Y et z Z, exprimer ((S - Pw )(x) | x) en fonction de et de y, puis utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Noter au passage que N(S) = Z. 19 Pour montrer l'inclusion N(S - Pw ) N(S) + Vect U-1 w , prendre un vecteur x appartenant à N(S - Pw ) et noter que la relation (S - Pw )(x) = 0 peut se « factoriser » par S. 20 Effectuer une récurrence sur k = rg (S) = Tr (S). 21 Combiner les résultats des questions 6, 13 et 20. 1. Trace 1 Les coefficients des matrices C = AB et D = BA sont définis respectivement par (i, j) [[ 1 ; n ]]2 cij = n P aik bkj et dij = k=1 n P bi aj =1 Par conséquent, Tr (C) = n P cii = i=1 soit n P n P i=1k=1 aik bki = n P n P bki aik = k=1i=1 n P dkk = Tr (D) k=1 Tr (AB) = Tr (BA) 2 Considérons deux bases B et B de l'espace X et notons P la matrice de passage de B à B . Les matrices associées à T dans ces bases vérifient TB = P-1 TB P, d'où Tr (TB ) = Tr (P-1 TB P) = Tr (PP-1 TB ) = Tr (TB ) d'après le résultat de la question précédente. Ainsi, La trace de la matrice TB est indépendante de la base B choisie. 2. Projecteurs 3 Soit P un projecteur de X. Puisque P est un endomorphisme de l'espace X de dimension finie, on déduit du théorème du rang que dim(X) = dim R(P) + dim N(P). Considérons maintenant un vecteur x R(P) N(P). · Tout d'abord, x R(P) si bien qu'il existe y X tel que x = P(y). · De plus, x N(P) donc P(x) = 0 soit P2 (y) = 0. Comme P est un projecteur, P2 = P donc x = P(y) = 0 ; ainsi, R(P) N(P) = {0}. Ceci montre que X = R(P) N(P) Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de X, la relation F G = X est équivalente à F + G = X et F G = {0}. Mais, en dimension finie, on peut remplacer l'une de ces deux conditions par dim(F) + dim(G) = dim(X) ... et c'est souvent F + G = X que l'on sacrifie. 4 Soient B1 une base de R(P) et B2 une base de N(P) : comme X = R(P) N(P), la famille B = (B1 , B2 ) est une base de X adaptée à cette somme directe. · Pour tout x R(P), il existe y X tel que x = P(y), ce qui entraîne que P(x) = P2 (y) = P(y) = x puisque P est un projecteur. Autrement dit, P R(P) · Par ailleurs, la définition de N(P) implique que P = Id R(P) . N(P) = 0. De ce fait, si l'on note r = dim R(P) le rang de P, on a Ir 0 PB = 0 0n-r d'où (cf. question 2) Tr (P) = r = rg (P) 5 D'après la formule de Grassmann, on sait que dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F G) Comme dim(F G) > 0, on en déduit que dim(F + G) 6 dim(F) + dim(G) On peut aussi retrouver ce résultat en raisonnant de la manière suivante : soient BF et BG des bases de F et de G respectivement. La famille G = (BF , BG ) est alors une famille génératrice de F + G de cardinal dim(F) + dim(G), ce qui prouve que dim(F + G) 6 dim(F) + dim(G). 6 Soient P1 , P2 , . . . , Pm des projecteurs de X tels que S = m P Pi . Grâce à la linéarité i=1 de la trace et au résultat de la question 4, on a m m P P Tr (S) = Tr (Pi ) = rg (Pi ) N i=1 soit i=1 Tr (S) N De plus, une récurrence immédiate à partir du résultat de la question 5 montre que m m m P P P Tr (S) = rg (Pi ) = dim R(Pi ) > dim R(Pi ) i=1 m P i=1 i=1 m P Or, S(x) = Pi (x) R(Pi ) pour tout x X. Par conséquent, R(S) i=1 m i=1 P d'où dim R(Pi ) > dim R(S). Il en découle que i=1 Tr (S) > rg (S) m P R(Pi ) i=1