ECOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2012
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I _ PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Le sinus lemniscatîque
Dans ce texte on note R l'ensemble des nombres réels.
1 La lemniscate de Bernoulli
La lemniscate de Bernoulli (voir la Figure 1) est une courbe elliptique
particuliè-
rement simple d'équation implicite
(552 +y2)2 : a:2 _ y2. (1)
FIGURE 1 -- La lemniscate de Bernoulli
Question 1 Déterminer dans le quart de plan 55 _>_ 0, y 5 0, une équation
polaire
de la lemniscate sous la forme ,a = g (9) où la fonction 9 est définie sur
l'intervalle
[--7T/4, 0]. Préciser les symétries permettant de recouvrer l'ensemble de la
courbe.
Question 2 Montrer que g constitue une bijection de [--n/4, 0] sur [0,1].
Question 3 Déterminer les tangentes à la lemniscate en (O, 0)
Question 4 Déterminer dans le demi--plan a: Z 0, une équation paramétrique de la
lemniscate en fonction de p et en déduire que l'abscisse curviligne s vérifie
l'équation
difiérentielle suivante sur {O, 1] :
1
S' (P) = ------- (2)
1 -- ,o4
2 Le sinus lemniscatique
Question5 Montrer que l'intégrale f01 ldîr converge.
On note
/1 dr
o : ------.
0 \/ 1 ---- T'4
Question 6 Que représente 0 ?
On définit la fonction F sur l'intervalle [--1,1] par l'expression suivante :
Question 7 Montrer que la fonction F est continue sur [--1,1] et de classe C°°
sur
]--1,1[.
Question 8 Dessiner le graphe de F et en préciser le tableau de variations.
Question 9 Montrer que F est développable en série entière sur ]--1, 1[.
Question 10 Donner l'eæpression des coefficients an de cette série.
Question 11 Montrer que la série de terme général an converge (on pourra
utiliser
la formule de Stirling : n! N 2nnn"e""} et a pour somme a. '
Question 12 Montrer que F admet une fonction réciproque F"l, continue et impaire
sur [--0, a] .
Question 13 Montrer que F _1 est de classe ClL sur ]--o,o[, calculer sa
dérivée, en
déduire qu 'elle est de classe C1 sur [--0, a].
On prolonge la fonction F "'1 à [--o,3o] en opérant sur son graphe une symétrie
par rapport à la droite x = 0", puis on prolonge F "1 a R tout entier par
périodicité,
on note 81 la fonction ainsi construite.
Question 14 Montrer que sl est de classe C1 sur R et exprimer sa fonction
dérivée
Sl' en fonction de sl.
Question 15 Tracer le graphe de 81 sur [--30, So] .
3 Equation différentielle
Question 16 Montrer que sl est de classe C2 et vérifie l'équation
difiérentielle sui--
vante sur R.
sl" (r) + 2 813 (a:) = 0. (5)
Soit f une solution de (5) sur R.
Question 17 Montrer que la fonction H définie par
H (it) = f'2 (93) + f4 (a:) (6)
est constante sur R. On note encore H cette constante.
On choisit désormais de considérer le cas où H > O, et on définit la fonction
90 par
(p (st) = F (H'1/4f (m)) , (7)
où F a été définie à la formule (4).
Question 18 Montrer que go est de classe C1 sur tout intervalle ouvert la, 5[
ou ]" ne
s'annule pas et calculer alors sa dérivée. En déduire qu 'il eoeistc une
constante 19 E R
telle que
f (a:) = H1/4Sl (Hl/4oe + b) (8)
pour tout a: E ]a,fl[.
Question 19 En déduire que ]" s'annule au moins une fois sur tout internalle
ouoert
de longueur supérieure à 20H _1/ 4.
Question 20 Soit 5150 une racine de f' , démontrer que f" (mo) # 0 et en déduire
l'eaistence de ul et @, ul < 550 < 'Ll2, tels que ]" ne s'annule pas sur]u1,æ0[Uloe0,u2l. Question 21 Démontrer l'existence de 331 = inf {ce > 330 |f' (sc) : 0}. Montrer
que
391 > CE0 et f' (921) = 0. En déduire la valeur de £L'1 -- 330.
Question 22 De même on pose :t_1 = sup {x < 330 ]f' (:E) = O} . Montrer que f vérifie (8) pour tout ce EUR ]a:_1, :t1l, puis sur R tout entier. 4 Le calcul trigonométrique généralisé La fonction Cl est définie sur R par _ s1' (ac) 1 + Si2 (a:) . Question 23 Montrer que pour tout x réel on a Cl (cv) (9) s12 (93) + et (:s) = 1 -- 512 (a:) 012 (a:) . (10) Question 24 Calculer la fonction dérivée Ci' de la fonction ci et en déduire que Ci vérifie l'équation difiérentielle (5). Question 25 Montrer que pour tout a: réel on a ci (a:) = Si(o -- a:) . (11) On définit la fonction G sur R >< R par si (ce) si' (y) + si (y) s1' @ G :t,y = ( ) 1+le (a) si? (y) Question 26 Montrer que G vérifie l'équation 8G _ OE _ 893 -- ôy ' en déduire que pour tout a dans R, G est constante le long de la droite d'équation oe+y=a Question 27 Montrer que Sl(æ+y) = G(a,y). et en déduire une formule d'addition pour la fonction si, c'est--à--dire une eæpression de Si(æ + y) ne faisant intervenir que Si(æ) , Si(y) , Ci(a°) et Ci(y) . Question 28 Démontrer la formule de Fagnano, valable dans un intervalle {----oz,oz]>
que l'on précisera :
2:c\/ 1--æ4
2/33 d')" _/ 1+flt21 d?" (12)
0 fit?" @ \/ÎÏT4'
Fin de l'épreuve
