Mines Maths 1 PSI 2012

Thème de l'épreuve Sinus lemniscatique
Principaux outils utilisés courbes paramétrées, fonctions Ck de la variable réelle, fonctions réciproques, prolongement de fonctions
Mots clefs lemniscate, courbe paramétrée, séries entières

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2012 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I _ PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le sinus lemniscatîque Dans ce texte on note R l'ensemble des nombres réels. 1 La lemniscate de Bernoulli La lemniscate de Bernoulli (voir la Figure 1) est une courbe elliptique particuliè- rement simple d'équation implicite (552 +y2)2 : a:2 _ y2. (1) FIGURE 1 -- La lemniscate de Bernoulli Question 1 Déterminer dans le quart de plan 55 _>_ 0, y 5 0, une équation polaire de la lemniscate sous la forme ,a = g (9) où la fonction 9 est définie sur l'intervalle [--7T/4, 0]. Préciser les symétries permettant de recouvrer l'ensemble de la courbe. Question 2 Montrer que g constitue une bijection de [--n/4, 0] sur [0,1]. Question 3 Déterminer les tangentes à la lemniscate en (O, 0) Question 4 Déterminer dans le demi--plan a: Z 0, une équation paramétrique de la lemniscate en fonction de p et en déduire que l'abscisse curviligne s vérifie l'équation difiérentielle suivante sur {O, 1] : 1 S' (P) = ------- (2) 1 -- ,o4 2 Le sinus lemniscatique Question5 Montrer que l'intégrale f01 ldîr converge. On note /1 dr o : ------. 0 \/ 1 ---- T'4 Question 6 Que représente 0 ? On définit la fonction F sur l'intervalle [--1,1] par l'expression suivante : Question 7 Montrer que la fonction F est continue sur [--1,1] et de classe C°° sur ]--1,1[. Question 8 Dessiner le graphe de F et en préciser le tableau de variations. Question 9 Montrer que F est développable en série entière sur ]--1, 1[. Question 10 Donner l'eæpression des coefficients an de cette série. Question 11 Montrer que la série de terme général an converge (on pourra utiliser la formule de Stirling : n! N 2nnn"e""} et a pour somme a. ' Question 12 Montrer que F admet une fonction réciproque F"l, continue et impaire sur [--0, a] . Question 13 Montrer que F _1 est de classe ClL sur ]--o,o[, calculer sa dérivée, en déduire qu 'elle est de classe C1 sur [--0, a]. On prolonge la fonction F "'1 à [--o,3o] en opérant sur son graphe une symétrie par rapport à la droite x = 0", puis on prolonge F "1 a R tout entier par périodicité, on note 81 la fonction ainsi construite. Question 14 Montrer que sl est de classe C1 sur R et exprimer sa fonction dérivée Sl' en fonction de sl. Question 15 Tracer le graphe de 81 sur [--30, So] . 3 Equation différentielle Question 16 Montrer que sl est de classe C2 et vérifie l'équation difiérentielle sui-- vante sur R. sl" (r) + 2 813 (a:) = 0. (5) Soit f une solution de (5) sur R. Question 17 Montrer que la fonction H définie par H (it) = f'2 (93) + f4 (a:) (6) est constante sur R. On note encore H cette constante. On choisit désormais de considérer le cas où H > O, et on définit la fonction 90 par (p (st) = F (H'1/4f (m)) , (7) où F a été définie à la formule (4). Question 18 Montrer que go est de classe C1 sur tout intervalle ouvert la, 5[ ou ]" ne s'annule pas et calculer alors sa dérivée. En déduire qu 'il eoeistc une constante 19 E R telle que f (a:) = H1/4Sl (Hl/4oe + b) (8) pour tout a: E ]a,fl[. Question 19 En déduire que ]" s'annule au moins une fois sur tout internalle ouoert de longueur supérieure à 20H _1/ 4. Question 20 Soit 5150 une racine de f' , démontrer que f" (mo) # 0 et en déduire l'eaistence de ul et @, ul < 550 < 'Ll2, tels que ]" ne s'annule pas sur]u1,æ0[Uloe0,u2l. Question 21 Démontrer l'existence de 331 = inf {ce > 330 |f' (sc) : 0}. Montrer que 391 > CE0 et f' (921) = 0. En déduire la valeur de £L'1 -- 330. Question 22 De même on pose :t_1 = sup {x < 330 ]f' (:E) = O} . Montrer que f vérifie (8) pour tout ce EUR ]a:_1, :t1l, puis sur R tout entier. 4 Le calcul trigonométrique généralisé La fonction Cl est définie sur R par _ s1' (ac) 1 + Si2 (a:) . Question 23 Montrer que pour tout x réel on a Cl (cv) (9) s12 (93) + et (:s) = 1 -- 512 (a:) 012 (a:) . (10) Question 24 Calculer la fonction dérivée Ci' de la fonction ci et en déduire que Ci vérifie l'équation difiérentielle (5). Question 25 Montrer que pour tout a: réel on a ci (a:) = Si(o -- a:) . (11) On définit la fonction G sur R >< R par si (ce) si' (y) + si (y) s1' @ G :t,y = ( ) 1+le (a) si? (y) Question 26 Montrer que G vérifie l'équation 8G _ OE _ 893 -- ôy ' en déduire que pour tout a dans R, G est constante le long de la droite d'équation oe+y=a Question 27 Montrer que Sl(æ+y) = G(a,y). et en déduire une formule d'addition pour la fonction si, c'est--à--dire une eæpression de Si(æ + y) ne faisant intervenir que Si(æ) , Si(y) , Ci(a°) et Ci(y) . Question 28 Démontrer la formule de Fagnano, valable dans un intervalle {----oz,oz]> que l'on précisera : 2:c\/ 1--æ4 2/33 d')" _/ 1+flt21 d?" (12) 0 fit?" @ \/ÎÏT4' Fin de l'épreuve

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 Mines Maths 1 PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur agrégé). Ce sujet traite du sinus lemniscatique : on construit à l'aide de la lemniscate de Bernoulli d'équation implicite (x2 + y 2 )2 = x2 - y 2 une nouvelle trigonométrie grâce à l'expression de la dérivée de l'abscisse curviligne de la courbe. Cette courbe permet d'introduire l'intégrale dite elliptique Z 1 dt = 1 - t4 0 que l'on peut interpréter en termes de longueur d'arc de la lemniscate. · La première partie a pour but d'étudier les propriétés géométriques et métriques du morceau de lemniscate dans un quart du plan pour en déduire la dérivée de l'abscisse curviligne, point de départ de la suite du sujet. Notons que les questions traitant de l'étude des courbes restent à un niveau raisonnable, même si la notion de tangence est imprécise puisque la lemniscate n'admet que des demi-tangentes à l'origine. · La deuxième partie concerne la construction et l'étude de la fonction sinus lemniscatique, notée sl, comme fonction réciproque de la fonction abscisse curviligne de la lemniscate, prolongée à R par symétrie et périodicité. On montre en particulier des propriétés de régularité, on établit l'expression de la dérivée et l'on trace son graphe. La plupart des outils nécessaires pour cette partie relèvent de la première année : calculs de dérivées, théorème de prolongement de classe C 1 , fonctions réciproques, etc. · La troisième partie permet d'établir que la fonction sl vérifie l'équation différentielle y + 2y 3 = 0 et que toute solution de cette équation s'exprime à l'aide de sl. L'étude de l'équation différentielle fait appel à quelques raisonnements plus fins qui requièrent d'avoir bien compris la construction de sl. · Enfin, la quatrième et dernière partie s'attache à généraliser le calcul trigonométrique en construisant également le cosinus lemniscatique cl afin de trouver des relations d'addition pour cette trigonométrie, en vue d'établir la formule de Fagnano, valable pour tout réel x dans un voisinage de 0 : 2 Z 0 x dt = 1 - t4 Z 0 2x 1-x4 1+x4 dt 1 - t4 Dans cette partie, le plus difficile est de ne pas se perdre dans les calculs. Ce sujet permet de s'entraîner sur des points classiques comme l'intégration sur un intervalle quelconque, la régularité des fonctions réelles, les séries, mais également sur la géométrie des courbes, ce qui est moins usuel. Globalement, le sujet est très long, technique et certaines questions sont vraiment difficiles. Par ailleurs, il y a peu de réponses fournies par le sujet pour contrôler ses propres résultats. Enfin le sujet comporte quelques erreurs d'énoncé qui, sans être insurmontables, posent de réels problèmes de rédaction et demandent une adaptation rapide dans le temps imparti à l'épreuve. Indications Partie I 1 Le passage des coordonnées cartésiennes (x, y) en coordonnées polaires (, ) est décrit par les relations x = cos y = sin Caractériser le quart de plan de l'énoncé par une condition angulaire. Pour les symétries, que dire de (+ - x, + - y) si (x, y) sont les coordonnées cartésiennes d'un point de la lemniscate ? 3 L'origine correspond à un angle 0 tel que (0 ) = 0. En déduire que le vecteur ------- M(0 )M() est dirigé par un vecteur unitaire ayant une limite en 0 . 4 Regarder le tracé de la lemniscate pour remarquer que le paramétrage par le rayon pour tout x > 0 est impossible et se restreindre à x > 0, y 6 0. Remarquer également que l'équation différentielle n'est définie que sur [ 0 ; 1 [. On rappelle que l'abscisse curviligne s d'un arc (I, f ) est définie à une constante près par s = kf k Partie II 5 Remarquer que pour tout réel t on a 1 - t4 = (1 - t)(1 + t + t2 + t3 ) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 et en déduire le comportement de l'intégrande au voisinage de 1. Conclure en utilisant le critère de Riemann. Considérer la formule (2) et revenir à la définition d'une abscisse curviligne. Commencer par remarquer que l'intégrande est une fonction continue sur [ 0 ; x ] pour tout x ] -1 ; 1 [. Pour l'étude en + - 1, utiliser la définition de la convergence d'une intégrale et la question 5. Le tableau de variations est d'une bonne aide pour le tracé du graphe. Le calcul de la dérivée seconde permet d'exhiber les caractères convexes ou concaves. Développer au préalable la fonction F en série entière en utilisant les résultats donnés par le cours concernant le développement en série entière de la fonction x 7- (1 + x) ainsi que l'intégration terme à terme d'une série entière. Développer les coefficients donnés dans la question 9 de manière à faire intervenir des factorielles. Utiliser la règle de comparaison pour les séries à termes positifs. En ce qui concerne l'étude au bord, montrer la convergence normale de la série sur l'intervalle fermé [ 0 ; 1 ]. Pour ce faire on peut remarquer que la série entière intervenant est à termes positifs. Montrer que la fonction F est strictement croissante et en déduire qu'elle est une bijection sur son image. Considérer la relation FF-1 = Id . Pour le comportement au bord de l'intervalle, utiliser le fait que la dérivée de F-1 y admet une limite. Étudier d'abord ce qui se passe sur l'intervalle [ - ; ], puis sur [ ; 3 ] en utilisant sl = sl( - ·). Conclure sur tout R par 4-périodicité de sl. Partie III 16 Utiliser l'expression de sl (x) en fonction de x. 18 Montrer que la fonction H-1/4 f est à valeurs strictement inférieures à 1 sur l'intervalle ] ; [. Remarquer que f est de classe C 1 et donc f est continue, donc de signe constant sur ] ; [. 19 Par construction, la fonction sl prend une des valeurs 1 où -1 sur tout intervalle de longueur strictement supérieure à 2. Raisonner par contraposition. 20 Utiliser la relation (6) ainsi que la continuité de f pour en déduire un comportement de f au voisinage de x0 . 21 À quelle condition suffisante un sous-ensemble de R admet-il une borne inférieure ? Employer ensuite la caractérisation séquentielle de la borne inférieure. Les zéros de sl sont les réels en lesquels la fonction |sl| prend la valeur 1. 22 Utiliser la question 18 sur chacun des intervalles ] x-1 ; x0 [ et ] x0 ; x1 [. Raisonner ensuite par récurrence en utilisant le début de la question et la question 18. Partie IV 23 Se servir de la question 17. 24 Utiliser l'expression définissant cl et la question 23. 25 Que fournit la question 22 ? 26 Commencer par établir, pour tous (x, y) R2 , la relation G (x, y) = sl (x) sl (y) + sl(y) sl (x) - 2 sl (x) sl (x) sl2 (y) G(x, y) 1 + sl2 (x) sl2 (y) x Utiliser ensuite la relation (5) et la symétrie de G pour montrer qu'il suffit d'avoir (x, y) R2 sl2 (x) + sl (x) sl(y) G(x, y) = sl2 (y) + sl (y) sl(x) G(y, x) 27 Calculer G(0, y) pour y R et employer la question 26. 28 Utiliser la formule de duplication sl(2X) pour X = F(x) et x dans un intervalle sur lequel les fonctions F-1 et sl coïncident. Exprimer également cl(F(x)) en fonction de x. I. La lemniscate de Bernoulli On note L la lemniscate de Bernoulli dans tout le corrigé, ainsi que O le point de coordonnées (0, 0). Il appartient à L . 1 Soit M dans le quart de plan = (x, y) R2 | x > 0 et y 6 0 , un point différent de O. Désignons par (x, y) ses coordonnées cartésiennes. Il admet un unique couple de coordonnées polaires (, ) avec strictement positif et dans [ -/2 ; 0 ], de sorte que M appartient à la lemniscate si et seulement si (x2 + y 2 )2 = x2 - y 2 4 = 2 (cos2 - sin2 ) = 2 cos(2) 2 = cos(2) p Par suite, cos(2) est positif donc est dans [ -/4 ; 0 ] et ainsi, = cos(2). On remarque que cette équation est également vérifiée pour le couple de coordonnées polaires (-/4, 0) de O. Ainsi, pour M p M(, ) L = cos(2) ce qui fournit l'équation polaire de L dans le quart de plan . Étudions les symétries de L . Si M(x, y) L , alors · M(-x, y) L donc L est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; · M(x, -y) L donc L est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. On a aussi M(-x, -y) L donc L est symétrique par rapport à l'origine mais cette transformation est donnée en composant les deux symétries axiales précédentes. Il résulte de l'étude menée ci-dessus que Dans le plan , une équation polaire de L est = g() où l'on définit ( [ -/4 ; 0 ] - [ 0 ; 1 ] g: p 7- cos(2) Le reste de la courbe est obtenu à partir de son intersection avec le quart de plan par les symétries d'axes (Ox) et (Oy). 2 Par définition, la fonction g est la composée de la fonction ( [ -/4 ; 0 ] - [ 0 ; 1 ] c: 7- cos(2) qui est une bijection croissante, par la fonction ·|[ 0 ;1 ] qui est une bijection croissante sur [ 0 ; 1 ]. Par composition de bijections croissantes, La fonction g est une bijection croissante de [ -/4 ; 0 ] sur [ 0 ; 1 ]. 3 On recherche les tangentes à l'origine O (unique point stationnaire d'un paramétrage d'une courbe en polaire). Ce sont les tangentes aux points M(0 , (0 )) avec (0 ) = 0. En de tels points une tangente est la droite d'équation polaire = 0 .