Mines Maths 1 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par
Benoît
Landelle (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur agrégé).
Ce sujet traite du sinus lemniscatique : on construit à l'aide de la lemniscate
de
Bernoulli d'équation implicite (x2 + y 2 )2 = x2 - y 2 une nouvelle
trigonométrie grâce
à l'expression de la dérivée de l'abscisse curviligne de la courbe. Cette
courbe permet
d'introduire l'intégrale dite elliptique
Z 1
dt
=
1 - t4
0
que l'on peut interpréter en termes de longueur d'arc de la lemniscate.
· La première partie a pour but d'étudier les propriétés géométriques et
métriques
du morceau de lemniscate dans un quart du plan pour en déduire la dérivée de
l'abscisse curviligne, point de départ de la suite du sujet.
Notons que les questions traitant de l'étude des courbes restent à un niveau
raisonnable, même si la notion de tangence est imprécise puisque la lemniscate
n'admet que des demi-tangentes à l'origine.
· La deuxième partie concerne la construction et l'étude de la fonction sinus
lemniscatique, notée sl, comme fonction réciproque de la fonction abscisse
curviligne de la lemniscate, prolongée à R par symétrie et périodicité. On
montre
en particulier des propriétés de régularité, on établit l'expression de la
dérivée
et l'on trace son graphe. La plupart des outils nécessaires pour cette partie
relèvent de la première année : calculs de dérivées, théorème de prolongement
de classe C 1 , fonctions réciproques, etc.
· La troisième partie permet d'établir que la fonction sl vérifie l'équation
différentielle y + 2y 3 = 0 et que toute solution de cette équation s'exprime
à l'aide
de sl. L'étude de l'équation différentielle fait appel à quelques raisonnements
plus fins qui requièrent d'avoir bien compris la construction de sl.
· Enfin, la quatrième et dernière partie s'attache à généraliser le calcul
trigonométrique en construisant également le cosinus lemniscatique cl afin de
trouver
des relations d'addition pour cette trigonométrie, en vue d'établir la formule
de Fagnano, valable pour tout réel x dans un voisinage de 0 :
2
Z
0
x
dt
=
1 - t4
Z
0
2x 1-x4
1+x4
dt
1 - t4
Dans cette partie, le plus difficile est de ne pas se perdre dans les calculs.
Ce sujet permet de s'entraîner sur des points classiques comme l'intégration sur
un intervalle quelconque, la régularité des fonctions réelles, les séries, mais
également
sur la géométrie des courbes, ce qui est moins usuel.
Globalement, le sujet est très long, technique et certaines questions sont
vraiment
difficiles. Par ailleurs, il y a peu de réponses fournies par le sujet pour
contrôler ses
propres résultats. Enfin le sujet comporte quelques erreurs d'énoncé qui, sans
être
insurmontables, posent de réels problèmes de rédaction et demandent une
adaptation
rapide dans le temps imparti à l'épreuve.
Indications
Partie I
1 Le passage des coordonnées cartésiennes (x, y) en coordonnées polaires (, )
est décrit par les relations
x = cos
y = sin
Caractériser le quart de plan de l'énoncé par une condition angulaire. Pour les
symétries, que dire de (+
- x, +
- y) si (x, y) sont les coordonnées cartésiennes d'un
point de la lemniscate ?
3 L'origine correspond à un angle 0 tel que (0 ) = 0. En déduire que le vecteur
-------
M(0 )M() est dirigé par un vecteur unitaire ayant une limite en 0 .
4 Regarder le tracé de la lemniscate pour remarquer que le paramétrage par le
rayon pour tout x > 0 est impossible et se restreindre à x > 0, y 6 0. Remarquer
également que l'équation différentielle n'est définie que sur [ 0 ; 1 [. On
rappelle
que l'abscisse curviligne s d'un arc (I, f ) est définie à une constante près
par
s = kf k
Partie II
5 Remarquer que pour tout réel t on a
1 - t4 = (1 - t)(1 + t + t2 + t3 )
6
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9
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et en déduire le comportement de l'intégrande au voisinage de 1. Conclure en
utilisant le critère de Riemann.
Considérer la formule (2) et revenir à la définition d'une abscisse curviligne.
Commencer par remarquer que l'intégrande est une fonction continue sur [ 0 ; x ]
pour tout x ] -1 ; 1 [. Pour l'étude en +
- 1, utiliser la définition de la convergence
d'une intégrale et la question 5.
Le tableau de variations est d'une bonne aide pour le tracé du graphe. Le calcul
de la dérivée seconde permet d'exhiber les caractères convexes ou concaves.
Développer au préalable la fonction F en série entière en utilisant les
résultats
donnés par le cours concernant le développement en série entière de la fonction
x 7- (1 + x) ainsi que l'intégration terme à terme d'une série entière.
Développer les coefficients donnés dans la question 9 de manière à faire
intervenir
des factorielles.
Utiliser la règle de comparaison pour les séries à termes positifs. En ce qui
concerne
l'étude au bord, montrer la convergence normale de la série sur l'intervalle
fermé
[ 0 ; 1 ]. Pour ce faire on peut remarquer que la série entière intervenant est
à
termes positifs.
Montrer que la fonction F est strictement croissante et en déduire qu'elle est
une
bijection sur son image.
Considérer la relation FF-1 = Id . Pour le comportement au bord de l'intervalle,
utiliser le fait que la dérivée de F-1 y admet une limite.
Étudier d'abord ce qui se passe sur l'intervalle [ - ; ], puis sur [ ; 3 ] en
utilisant sl = sl( - ·). Conclure sur tout R par 4-périodicité de sl.
Partie III
16 Utiliser l'expression de sl (x) en fonction de x.
18 Montrer que la fonction H-1/4 f est à valeurs strictement inférieures à 1
sur l'intervalle ] ; [. Remarquer que f est de classe C 1 et donc f est
continue, donc
de signe constant sur ] ; [.
19 Par construction, la fonction sl prend une des valeurs 1 où -1 sur tout
intervalle
de longueur strictement supérieure à 2. Raisonner par contraposition.
20 Utiliser la relation (6) ainsi que la continuité de f pour en déduire un
comportement de f au voisinage de x0 .
21 À quelle condition suffisante un sous-ensemble de R admet-il une borne
inférieure ?
Employer ensuite la caractérisation séquentielle de la borne inférieure. Les
zéros
de sl sont les réels en lesquels la fonction |sl| prend la valeur 1.
22 Utiliser la question 18 sur chacun des intervalles ] x-1 ; x0 [ et ] x0 ; x1
[. Raisonner
ensuite par récurrence en utilisant le début de la question et la question 18.
Partie IV
23 Se servir de la question 17.
24 Utiliser l'expression définissant cl et la question 23.
25 Que fournit la question 22 ?
26 Commencer par établir, pour tous (x, y) R2 , la relation
G
(x, y) = sl (x) sl (y) + sl(y) sl (x) - 2 sl (x) sl (x) sl2 (y) G(x, y)
1 + sl2 (x) sl2 (y)
x
Utiliser ensuite la relation (5) et la symétrie de G pour montrer qu'il suffit
d'avoir
(x, y) R2
sl2 (x) + sl (x) sl(y) G(x, y) = sl2 (y) + sl (y) sl(x) G(y, x)
27 Calculer G(0, y) pour y R et employer la question 26.
28 Utiliser la formule de duplication sl(2X) pour X = F(x) et x dans un
intervalle sur
lequel les fonctions F-1 et sl coïncident. Exprimer également cl(F(x)) en
fonction
de x.
I. La lemniscate de Bernoulli
On note L la lemniscate de Bernoulli dans tout le corrigé, ainsi que O le
point de coordonnées (0, 0). Il appartient à L .
1 Soit M dans le quart de plan = (x, y) R2 | x > 0 et y 6 0 , un point
différent de O. Désignons par (x, y) ses coordonnées cartésiennes. Il admet un
unique
couple de coordonnées polaires (, ) avec strictement positif et dans [ -/2 ;
0 ],
de sorte que M appartient à la lemniscate si et seulement si
(x2 + y 2 )2 = x2 - y 2 4 = 2 (cos2 - sin2 ) = 2 cos(2) 2 = cos(2)
p
Par suite, cos(2) est positif donc est dans [ -/4 ; 0 ] et ainsi, =
cos(2).
On remarque que cette équation est également vérifiée pour le couple de
coordonnées
polaires (-/4, 0) de O. Ainsi, pour M
p
M(, ) L
= cos(2)
ce qui fournit l'équation polaire de L dans le quart de plan .
Étudions les symétries de L . Si M(x, y) L , alors
· M(-x, y) L donc L est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;
· M(x, -y) L donc L est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
On a aussi M(-x, -y) L donc L est symétrique par rapport à l'origine
mais cette transformation est donnée en composant les deux symétries axiales
précédentes.
Il résulte de l'étude menée ci-dessus que
Dans le plan , une équation polaire de L est = g() où l'on définit
(
[ -/4 ; 0 ] - [ 0 ; 1 ]
g:
p
7- cos(2)
Le reste de la courbe est obtenu à partir de son intersection avec le quart
de plan par les symétries d'axes (Ox) et (Oy).
2 Par définition, la fonction g est la composée de la fonction
(
[ -/4 ; 0 ] - [ 0 ; 1 ]
c:
7- cos(2)
qui est une bijection croissante, par la fonction ·|[ 0 ;1 ] qui est une
bijection croissante
sur [ 0 ; 1 ]. Par composition de bijections croissantes,
La fonction g est une bijection croissante de [ -/4 ; 0 ] sur [ 0 ; 1 ].
3 On recherche les tangentes à l'origine O (unique point stationnaire d'un
paramétrage d'une courbe en polaire). Ce sont les tangentes aux points M(0 , (0
)) avec
(0 ) = 0. En de tels points une tangente est la droite d'équation polaire = 0 .
