Mines Maths 1 PSI 2011

Thème de l'épreuve Inégalité de Prékopa et Leindler
Principaux outils utilisés convexité, intégration, topologie
Mots clefs convexité, fonctions à support compact, majorations

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2011 MATH I PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PSI). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 1 Inégalité de Prékopa et Leindler. Notations. On notera R l'ensemble des nombres réels, R+ l'ensemble des nombres réels positifs et R+ l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On désignera par N l'ensemble des entiers naturels et par N l'ensemble des entiers naturels strictement positifs. Soit n N . On notera C 0 (Rn , R+ ) (resp. C 0 (Rn , R+ )) l'ensemble des fonctions continues de Rn dans R+ (resp. dans R+ ). Soient A et B deux parties non vides de Rn . Pour tous réels a et b on notera aA+bB la partie de Rn définie par aA + bB = {ax + by, x A, y B} . En particulier pour a = -1, on écrit -A = {-x, x A}. Si f désigne une fonction f : R R bornée sur R alors on pose kf k = sup |f (x)|. xR Soit I un intervalle non vide de R. On rappelle qu'une fonction g : I R est dite convexe si: x, y I, [0, 1], g(x + (1 - )y) g(x) + (1 - )g(y) . L'opposée d'une fonction convexe est une fonction concave. On rappelle que si g est de classe C 1 sur I, alors g est convexe si et seulement sa dérivée g est croissante (au sens large) sur I. Pour toute fonction f : I R+ , tous x I et ]0, 1[, on écrira f (x) pour (f (x)) . Partie I. Une inégalité de Prékopa et Leindler. 1) Soient un réel dans l'intervalle ]0, 1[, et a et b deux réels positifs. Montrer que a + (1 - )b a b1- , (on pourra introduire une certaine fonction auxiliaire dont on justifiera la concavité). Montrer en outre que pour tout réel u > 1, (a + (1 - )b)u au + (1 - )bu . 2) Soient a et b deux réels positifs et un réel dans ]0, 1[. Montrer que (a + b) a + b . Dans toute cette partie est un réel appartenant à l'intervalle ]0, 1[ et f, g, h sont des fonctions de C 0 (R, R+ ) intégrables qui satisfont l'inégalité suivante x R, y R, h(x + (1 - )y) f (x) g(y)1- . Le but de cette partie est de montrer l'inégalité suivante, à laquelle on fera référence par "inégalité de Prékopa et Leindler", ou en abrégé "P-L": Z + Z + 1- Z + h(x)dx f (x)dx g(x)dx . (1) - - - 2 Dans les questions 3), 4) et 5) on supposera de plus que f et g sont strictement positives, c'est-à-dire pour tout réel x, f (x) > 0 et g(x) > 0. R + R + 3) On note F = - f (x)dx et G = - g(x)dx. Montrer que pour tout t dans l'intervalle ]0, 1[ il existe un unique réel noté u(t) et un unique réel noté v(t) tels que Z Z 1 v(t) 1 u(t) f (x)dx = t, g(x)dx = t . F - G - Ru (On pourra étudier les variations de la fonction : u 7 F1 - f (x)dx). 4) Montrer que les applications u et v sont de classe C 1 sur l'intervalle ]0, 1[ et, calculer pour chaque t ]0, 1[ les nombres dérivés u (t) et v (t). 5) Prouver que l'ensemble image de l'application w définie sur ]0, 1[ par t ]0, 1[, w(t) = u(t) + (1 - )v(t) , est égal à R. Puis montrer R +que w définit un changement de variable de ]0, 1[ sur R. En utilisant ce dernier et - h(w)dw, montrer que f , g et h satisfont l'inégalité "P-L" (1). On pose (u) = exp(-u2 ) pour tout réel u. A partir de maintenant, on suppose que f, g et h sont seulement à valeurs positives ou nulles. 6) Prouver que pour tous x, y R, (x + (1 - )y) (x) (y)1- . Soit M un réel strictement positif. On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que f et g sont nulles en dehors de l'intervalle [-M, M ]. On note = min(, 1 - ), c = M max(, 1 - ) . Pour chaque réel u on pose: = max(, 1 - ) et, M ( c c)2 ), si |u| > M exp(- 12 (|u| - M M (u) = c 1, si |u| M 7) Soit x, y R. On pose z = x + (1 - )y. Prouver que si |y| M alors (x) M (z). De même, prouver que si |x| M alors (y) M (z). 8) Soit ]0, 1[, f = f + et g = g + . Montrer que x, y R, 1- f (x) g (y)1- h(z) + (kf k + kgk ) (M (z)) + (z), où z = x + (1 - )y. On commencera par appliquer l'inégalité de la question 2, puis les deux questions précédentes. On rappelle que f (x) = 0 si |x| > M et que g(y) = 0 si |y| > M ). 9) En déduire que si f et g sont nulles en dehors d'un intervalle borné alors l'inégalité "P-L" est satisfaite. 3 Soit n N. On désigne par n : R R la fonction continue qui vaut 1 sur [-n, n], qui vaut 0 sur ] - , -n - 1] [n + 1, +[ et qui est affine sur chacun des deux intervalles [-n - 1, -n] et [n, n + 1]. 10) Soit n N . Montrer que x, y R, n (x) n (y)1- n+1 (x + (1 - )y) . 11) Montrer que l'inégalité "P-L" (1) est satisfaite (si on choisit d'utiliser le théorème de convergence dominée alors on vérifiera soigneusement que ses conditions de validité sont remplies). Partie II. Fonctions log-concaves. Soit n un entier strictement positif. On dira qu'une fonction f de Rn dans R+ est log-concave si pour tout dans l'intervalle ]0, 1[ x Rn , y Rn , f (x + (1 - )y) f (x) f (y)1- . 12) On note h· ; ·i le produit scalaire euclidien canonique de l'espace vectoriel Rn . Soit S End Rn un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien (Rn , h· ; ·i) . On suppose que x Rn , hS(x); xi 0. Prouver alors que l'application définie par x Rn , f (x) = exp (-hS(x); xi) , est continue et log-concave sur Rn . Partie III. Quelques applications géométriques. Dans cette partie on admettra que l'inégalité "P-L" démontrée dans la partie I reste vraie dans l'espace des fonctions de R dans R+ continues par morceaux et intégrables. C'est-à-dire que pour toutes fonctions f, g, h de R dans R+ , continues par morceaux et intégrables sur R, et pour tout dans l'intervalle ]0, 1[ tels que x R, y R, h(x + (1 - )y) f (x) g(y)1- , l'inégalité suivante est vérifiée Z Z + h(x)dx - + f (x)dx - Z + g(x)dx - 1- . Soit f une fonction continue de R2 dans R. On dit que f est à support borné si il existe un réel M > 0 tel que f est nulle en dehors du carré [-M, M ]2 , c'est à dire que f (x, y) = 0 si |x| > M ou |y| > M . On admettra que Z M Z -M M f (x, y)dy dx = -M Z M -M Z M -M f (x, y)dx dy , et que cette du choix de M . On définit alors l'intégrale R R valeur commune ne dépend pas 2 double comme la valeur commune des deux intéf (x, y)dxdy de f (x, y) sur R R2 grales itérées écrites dans l'égalité précédente. 4 13) Soit ]0, 1[ et f, g, h des fonctions de R2 dans R+ continues à support borné et telles que X R2 , Y R2 , Montrer que Z Z R2 h(x, y)dxdy h(X + (1 - )Y ) f (X) g(Y )1- . Z Z f (x, y)dxdy R2 Z Z g(x, y)dxdy R2 1- . Dans la suite on munit R2 de la norme euclidienne canonique. 14) Soit A une partie ouverte bornée non vide de R2 . On désigne par C(A) l'ensemble des fonctions continues f de R2 dans [0, 1] telles que (x, y) R2 \ A, f (x, y) = 0 (en d'autres termes f est nulle hors de A). Montrer alors que la borne supérieure Z Z f (x, y)dxdy sup f C(A) R2 existe et définit un réel strictement positif noté V (A). 15) On considère un rectangle ]a, b[×]c, d[ du plan R2 , avec a < b et c < d. On désigne par D(O, R) le disque ouvert de centre l'origine O et de rayon R > 0 du plan euclidien R2 . Calculer alors les deux réels V (]a, b[×]c, d[) et V (D(O, R)). Que représentent-ils respectivement? (Dans le calcul de V (]a, b[×]c, d[) on pourra utiliser des fonctions du type (x, y) 7 f (x, y) = (x)(y), où et sont des fonctions continues et affines par morceaux bien choisies). 16) Soient A et B deux parties ouvertes bornées non vides de R2 et ]0, 1[. Vérifier que A + (1 - )B est un ouvert borné de R2 . Puis montrer que V (A + (1 - )B) V (A) V (B)1- . Pour démontrer cette inégalité, on utilisera le résultat admis suivant. Pour tout f C(A) et g C(B), la fonction h déterminée par: Z R2 , h(Z) = sup{f (X) g(Y )1- / X, Y R2 , Z = X + (1 - )Y } définit une fonction continue sur R2 . 17) Soit u : R2 ]0, +[ une fonction continue et log-concave au sens de la partie II. Prouver que l'inégalité précédente reste vraie si on remplace l'application V par l'application définie pour toute partie ouverte bornée (non vide) A de R2 par Z Z (A) = sup f (x, y)u(x, y)dxdy . f C(A) R2 Fin du Problème.

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 Mines Maths 1 PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Leclère (École polytechnique) et Guillaume Dujardin (chercheur à l'INRIA). Cette épreuve se compose de trois parties de tailles inégales. Celles-ci sont très liées, de sorte qu'aucune question n'est vraiment indépendante des autres. · Dans la première partie, le but est d'établir l'inégalité de Prékopa et Leindler reliant les intégrales sur R de trois fonctions continues et intégrables vérifiant une inéquation fonctionnelle. L'idée est d'établir cette inégalité successivement pour les fonctions strictement positives, puis pour celles à support borné, et enfin d'en déduire le cas général. Pour ce faire, on utilise des techniques de convexité et d'analyse élémentaire. · La deuxième partie (réduite à une question !) permet d'illustrer une définition qui interviendra à la toute fin de problème et qui a pour cadre Rn , avec n quelconque, alors que dans le reste du problème l'espace considéré est R ou R2 . · Enfin, la troisième partie étend les résultats de la première à des intégrales doubles et en donne une application géométrique dans l'expression d'une inégalité reliant les aires de certains ouverts du plan. Plus exactement, on montre que pour A et B deux ouverts bornés du plan et ] 0 ; 1 [, les aires V(A), V(B) et V(A + (1 - )B) sont reliées par la formule V(A + (1 - )B) > V(A) V(B)1- Cet énoncé atypique est de difficulté soutenue tout au long du sujet. Néanmoins, l'enchaînement des questions est logique et bien guidé. La troisième partie exige de mobiliser son intuition géométrique pour bien comprendre ce dont il est question. Indications Partie I 1 Penser au logarithme pour la première partie de la question et raisonner à l'aide de la fonction x 7 xu pour la seconde partie. 2 Fixer une variable et faire une étude de fonction. 3 Se rappeler de la définition d'une intégrale sur un intervalle autre qu'un segment. 4 Utiliser la formule donnant la dérivée d'une fonction à partir de celle de sa fonction réciproque. 5 Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. 6 On pourra utiliser le résultat de la question 1 avec u = 2. 7 Cette question et la suivante sont assez techniques, il ne faut pas avoir peur de b et z > M. b se lancer dans des calculs ! On pourra distinguer les cas |z| 6 M 8 Développer le produit f (x)g1- (y) en quatre termes et majorer chacun d'entre eux pour se ramener à l'expression donnée par l'énoncé, à l'aide d'une inégalité triangulaire. 9 Chercher à appliquer P-L à f et g et faire tendre vers 0. 10 Distinguer les cas |x| < n + 1 et |x| > n + 1. 11 Utiliser n f et n g. Partie II 12 Utiliser le théorème spectral et le résultat de la question 1. Partie III 13 Raisonner en deux temps, tout d'abord avec une fonction partielle, c'est-à-dire en fixant une variable et ensuite avec les deux variables x et y. 14 Il s'agit de montrer que, pour f décrivant l'ensemble C(A), la quantité ZZ f (x, y) dx dy R2 reste bornée indépendamment de f et qu'il existe une fonction f rendant cette quantité strictement positive. 15 Une intégrale pouvant être vue comme le calcul de « l'aire sous la courbe », une intégrale double peut être interprétée comme un volume. On pourra essayer de visualiser ce dont il est question. 16 Montrer que h est dans C(A+(1-)B) et appliquer le résultat de la question 13. 17 Quelle inégalité relie les fonctions f u, gu, et hu ? I. Une inégalité de Prékopa et Leindler. Dans tout le corrigé, désigne un réel de l'intervalle ] 0 ; 1 [ et nous adopterons la convention 0 = 0, de sorte que x 7 x est continue sur R+ . 1 Si l'un au moins des deux réels a ou b est nul, le terme de droite est nul, et comme le terme de gauche est positif, l'inégalité est démontrée. Sinon, a et b sont strictement positifs. La fonction ln, définie sur R+ a pour dérivée la fonction x 7- 1/x décroissante. Ainsi ln est concave. On en déduit que ln(a + (1 - )b) > ln(a) + (1 - ) ln(b) En composant avec l'exponentielle, qui est une fonction croissante sur R, on obtient a, b > 0 a + (1 - )b > a b1- Établissons maintenant la deuxième inégalité demandée. On remarque que si a ou b est nul, l'inégalité est vérifiée car u > 1, et de plus ] 0 ; 1 [, ainsi u 6 et (1 - )u 6 1 - . Supposons maintenant a > 0 et b > 0. Pour tout u > 1, la fonction ( R+ - R u : x 7- xu est de classe C 2 et vérifie pour tout x R+ u (x) = uxu-1 et u (x) = u(u - 1)xu-2 > 0 Ainsi u est croissante sur R+ et est convexe. D'où a, b > 0 (a + (1 - )b)u 6 au + (1 - )bu 2 Si a = 0, l'inégalité à démontrer est évidente. Fixons a > 0 et considérons ( R+ - R fa : b 7- (a + b) - a - b La fonction fa est continue sur R+ , dérivable sur R+ avec, pour tout b > 0 fa (b) = (a + b)-1 - b-1 = ((a + b)-1 - b-1 ) Comme ] 0 ; 1 [, t 7 t-1 est décroissante sur R+ , fa est négative car a > 0, et fa est décroissante. C'est pourquoi, pour tout b > 0, fa (b) 6 fa (0) = 0, d'où a, b > 0 (a + b) 6 a + b 3 Par stricte positivité de f sur R, pour tout u R, Z 1 u 0< f (x) dx < 1 F - ce qui justifie la définition suivante R - ] 0 ; 1 [ Z f : 1 u u - 7 f (x) dx F - La fonction f est de classe C 1 sur R et a pour dérivée f /F. Par conséquent, elle est strictement croissante. Montrons que f a pour limite 0 en - et 1 en +. Par définition Z + Z Z M f (x) dx = sup f (x) dx = sup f (x) dx I segment R - M>0 I -M car tout segment est inclus dans un segment de la forme [ -M ; M ]. Soit > 0, il existe un réel M > 0 tel que Z 1 M f (x) dx > 1 - F -M La fonction f étant croissante, on en déduit f (-M) 6 et f (M) > 1 - . Ceci étant valable pour tout , on a bien lim f (u) = 0 u- et lim f (u) = 1 u+ Ainsi, d'une part, pour tout t dans ] 0 ; 1 [, il existe, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, un réel u(t) tel que f (u(t)) = t, et d'autre part ce réel est unique d'après la stricte croissance de f . En toute rigueur, pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, il faudrait tout d'abord mener le raisonnement suivant : soit t ] 0 ; 1 [. Comme lim f (t) = 0, il existe u0 , tel que f (u0 ) < t. De même, t- lim f (t) = 1, et il existe u1 , tel que f (u1 ) > t. On peut appliquer le t+ théorème à f sur l'intervalle [ u0 ; u1 ]. La fonction g vérifie les mêmes hypothèses de stricte positivité et d'intégrabilité sur R que f . Par conséquent, on peut reprendre le raisonnement précédent à l'identique, en remplaçant f par g, F par G et u par v. Ainsi, ! u(t) R et ! v(t) R f (u(t)) = t et g (v(t)) = t 4 D'après ce qui a été démontré à la question précédente, f (R) = ] 0 ; 1 [. Comme la fonction f est de classe C 1 et sa dérivée est strictement positive, f réalise un difféomorphisme de classe C 1 de R vers ] 0 ; 1 [. Ainsi u, fonction réciproque de f , est également de classe C 1 et vérifie de plus u (t) = f 1 F = u(t) f u(t) et de même v (t) = G g v(t) 5 D'après la question 3, lim u(t) = lim v(t) = - t0 t0 et lim u(t) = lim v(t) = +. t1 t1 Comme ] 0 ; 1 [, il en va de même pour w. De plus w est somme de fonctions de classe C 1 sur ] 0 ; 1 [, elle est par conséquent de classe C 1 sur ce même intervalle et y est en particulier continue. Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, w(] 0 ; 1 [) = R Même remarque qu'à la question 3 concernant l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires.