Mines Maths 1 PSI 2010

Thème de l'épreuve Théorème de la limite centrale
Principaux outils utilisés intégrales généralisées dépendant d'un paramètre, théorème de Fubini
Mots clefs produit de convolution, convergence faible, théorème de la limite centrale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2010 MATH I PSI ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PSI). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS 2010 PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filiere PSI (Duree de l'epreuve : trois heures) Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES I - PSI L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Theoreme de la Limite Centrale. Notations On introduit les trois espaces vectoriels sur R de fonctions suivants ­ C0 (R), l'espace des fonctions continues u de R dans R telles que lim u(x) = 0 = lim u(x). x- x+ On rappelle qu'une telle fonction u est necessairement bornee sur R. ­ C0 (R), l'espace des fonctions continues et de classe C (sur R) u de R dans R telles que k N, lim u(k) (x) = 0 = lim u(k) (x). x- x+ (k) On a note u la derivee k-ieme de u. ­ P(R), l'espace des fonctions continues positives bornees de R dans R dont l'integrale sur R est egale a 1. On munit C0 (R) de la norme de la convergence uniforme kk : plus precisement, pour toute fonction u C0 (R), on pose kuk = sup |u(x)|. xR On pourra utiliser librement le theoreme de Fubini admis ci-dessous : Theoreme 1. (Fubini) Soit (x, y) 7 F (x, y) une fonction continue de R × R dans R. On suppose que F verifie les trois proprietes suivantes. R + R + 1] Pour tous reels x, y, les deux integrales - |F (v, y)|dv et - |F (x, t)|dt convergent. R + R + R + 2] Les fonctions y 7 - |F (x, y)|dx, x 7 - |F (x, y)|dy, y 7 - F (x, y)dx, R + x 7 - F (x, y)dy sont toutes continues sur R. R + 3] y 7 - |F (x, y)|dx est integrable sur R, c'est a dire que l'integrale : Z + Z + - - |F (x, y)|dx dy converge. R + R + Alors dans ce cas, y 7 - F (x, y)dx et x 7 - F (x, y)dy sont integrables sur R, et leurs integrales sur R sont egales. Autrement dit, on peut intervertir les deux integrales : Z + Z + Z + Z + F (x, y)dx dy = F (x, y)dy dx. - - - 2 - I. Preliminaires Pour f et g appartenant respectivement a P(R) et C0 (R), on definit le produit de convolution f g par la formule Z + x R, f g(x) = f (t)g(x - t)dt. - On definit f g(x) par la meme formule si f C0 (R) et g P(R). R + Q1 Soient f P(R) et g C0 (R). Montrer que l'integrale - f (t)g(x-t)dt converge pour tout reel x. Puis montrer que f g definit une Rfonction continue sur R. (On pourra utiliser le theoreme de continuite sous le signe et on verifiera avec soin que les conditions de validite sont remplies). Verifier de plus que x R, f g(x) = g f (x). Q2 Montrer que lim f g(x) = 0. (On considerera une suite reelle quelconque x+ (xn )nN tendant vers +. On verifiera avec soin qu'on peut appliquer le theoreme de convergence dominee pour etudier lim f g(xn )). Montrer de meme que n+ lim f g(x) = 0. x- Q3 Soient f et g appartenant a P(R). Montrer alors que f g definit une fonction de P(R). Plus precisement, montrer que f g definit une fonction continue sur R, bornee, positive et d'integrale egale a 1. (On appliquera le theoreme de Fubini a la fonction (x, y) 7 f (y)g(x - y) et on pourra se contenter de ne verifier que les conditions 1] et 3]). Dans la suite on admettra et utilisera librement le resultat suivant. Si f et g appartiennent a P(R) et u est une fonction de C0 (R) alors, f (g u) = (f g) u. Soient f1 , . . . , fn des fonctions de P(R). On definit alors le produit de convolution f1 . . . fn par recurrence comme suit : f1 . . . fk = (f1 . . . fk-1 ) fk , k {3, . . . , n}. Il est clair que f1 . . . fn est une fonction de P(R). Dans la suite, on notera f n la fonction f . . . f, la fonction f intervenant n fois. II. Une classe d'operateurs sur C0 (R) Soit f une fonction de P(R). On lui associe l'operateur Tf agissant sur C0 (R) defini pour tout u C0 (R) par Tf (u) = f u. 3 D'apres Q1 et Q2, Tf definit un endomorphisme de C0 (R). Q4 Soit f une fonction de P(R). Prouver que pour tout u C0 (R), kTf (u)k kuk . Q5 Soient f et g deux fonctions de P(R). Prouver que pour toute fonction u de C0 (R), Tf Tg (u) = Tg Tf (u) ou Tf Tg designe la composee des operateurs Tf et Tg . Q6 Soient f1 , f2 , g1 , g2 des fonctions de P(R). Prouver que pour tout u C0 (R), kTf1 Tf2 (u) - Tg1 Tg2 (u)k kTf1 (u) - Tg1 (u)k + kTf2 (u) - Tg2 (u)k Q7 Soient f et g des fonctions de P(R). Prouver que si u C0 (R), alors pour tout n N , k(Tf )n (u) - (Tg )n (u)k nkTf (u) - Tg (u)k . III. Lois normales On introduit pour tout reel h > 0, la fonction gh (x) = x2 1 e- 2h2 , x R h 2 dite loi normale de parametre h. On admet que g1 est une fonction de P(R). Q8 Pour tout reel h > 0, montrer que gh est une fonction de P(R), puis calculer les deux integrales suivantes : Z + Z + xgh (x)dx, x2 gh (x)dx . - - Soient h1 > 0 et h2 > 0 deux reels strictement positifs. On admettra que : gh1 gh2 = gh , p ou h = h21 + h22 . Q9 Soit h > 0. Etablir les deux egalites suivantes entre operateurs : n n N , Tgh = Tg h = T(g h )n . n n IV. Convergence faible sur P(R) Definition : Soit (fn )nN une suite de fonctions de P(R). On dira que (fn ) converge faiblement vers f , f etant une fonction de P(R), si pour toute fonction u de C0 (R), lim kTfn (u) - Tf (u)k = 0 . n+ 4 Soit u une fonction de C0 (R). On fixe un reel h > 0 et on considere la fonction Tgh (u) : R R definie pour x reel par : Z + Z + (gh u)(x) = Tgh (u)(x) = gh (t)u(x - t)dt = gh (x - t)u(t)dt, - - ou gh a ete defini au debut de la partie III. Q10 Soit h strictement positif fixe et k N. Demontrer qu'il existe un polynome Pk,h dont on precisera le degre tel que : x R, ( 2 dk - x2 2h . g )(x) = P (x)e h k,h dxk Q11 Soient h, a R+ et k un entier positif ou nul. Prouver qu' il existe une fonction k : R [0, +[ continue par morceaux et integrable sur R telle que : x [-a, a], t R, |Pk,h (x - t)e- (x-t)2 2h2 | k (t). La fonction k ne depend que de h, a et k. (On pourra majorer |Pk,h (x - t)e- (x-t)2 - 4h2 independamment de (x - t). Ensuite on pourra majorer convenablement e |t| 2a et x [-a, a]). (x-t)2 4h2 | pour Q12 Soient h strictement positif fixe et u C0 (R). Demontrer que Tgh (u) est une fonction de classe C 1 sur R. Puis montrer que Tgh (u) est de classe C sur R. Q13 Pour h strictement positif fixe et u C0 (R), demontrer que Tgh (u) est une fonction de C0 (R). Z - Z + gh (t)dt et lim+ gh (t)dt. Q14 Soit un reel strictement positif. Determiner lim+ h0 - h0 Q15 Soit u C0 (R). Prouver que lim kTgh (u) - uk = 0. h0+ Pour cela on utilisera la question precedente ainsi que le resultat admis suivant, valable pour tout u C0 (R) : > 0, > 0, x, y R, |x - y| |u(x) - u(y)| . Q16 Soit (fn )nN une suite de fonctions de P(R) et f une fonction de P(R). On suppose que pour toute fonction u de C0 (R), lim kTfn (u) - Tf (u)k = 0. n+ Prouver alors que (fn ) converge faiblement vers f . (On pourra utiliser les questions 4 et 15). 5 2 Dans la suite, f est une fonction R + de P(R) telle que x x f (x) est aussi R + dans P(R). On admet que l'integrale - tf (t)dt converge et on supposera que - tf (t)dt = 0. Pour tout n entier strictement positif, on introduit les deux fonctions fn et fn# definies par : x R, fn (x) = nf ( n x), fn# (x) = nx2 fn (x). On admettra que fn et fn# appartiennent a P(R). u(x - t) - u(x) + tu (x) Q17 Soit x R et u Verifier que t se prolonge t2 continument en t = 0. Puis montrer que pour tout n N on a : ! Z + 1 u(x - t) - u(x) + tu (x) 1 n Tfn (u)(x) - u(x) - u (x) = - u (x) fn# (t)dt, 2 2 t 2 - C0 (R). ou u designe la derivee premiere de u et u designe la derivee seconde de u. Q18 Demontrer que pour toute fonction u de C0 (R), lim n+ 1 n Tfn (u) - u - u 2 = 0. R + R - R (On pourra considerer les trois integrales - , - et , avec > 0 bien choisi, dans le second membre de la formule de la question precedente). Q19 Montrer que pour toute fonction u de C0 (R), lim kTfnn (u) - Tg1 (u)k = 0, n+ ou g1 a ete definie au debut de la partie III. (On pourra utiliser les questions 7, 9 et 18). Conclure que la suite (fnn ) converge faiblement vers g1 ; on rappelle que la notation f n a ete definie juste apres la question 3. FIN DU PROBLEME. Ce dernier resultat intervient en theorie des probabilites. Il constitue une version faible du theoreme de la limite centrale dans le cas de variables aleatoires a densite de probabilite f continue bornee sur R. 6

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 Mines Maths 1 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE). Le but du sujet est de démontrer un théorème de convergence des séries de fonctions utilisé en théorie des probabilités, mais aucune connaissance sur les probabilités n'est requise. Les 18 premières questions consistent à établir des résultats intermédiaires qui, à l'aide de quelques propriétés admises, permettent de prouver le théorème de la limite centrale, à la question 19. Cela donne un problème intéressant et progressif, quoique trop long pour une épreuve de 3 heures, avec suffisamment d'indications pour rendre accessibles les points délicats. Il utilise principalement les propriétés des intégrales dépendant d'un paramètre et le théorème de convergence dominée. On y trouve quelques intégrales généralisées et un peu de topologie des espaces vectoriels normés, mais les difficultés ne sont pas là. · Les deux premières questions sont des applications directes du cours alors que la question 3 se traite avec un théorème rappelé en introduction. · La partie II est assez facile, bien qu'on y trouve un peu de topologie. · La partie III utilise la théorie de l'intégration ; cela reste très abordable, surtout qu'un résultat qui nécessite un calcul pénible a fort heureusement été admis. · Les difficultés techniques vont en augmentant dans la partie IV. Les cinq dernières questions sont difficiles. Ce problème est à conseiller dès que le cours sur les intégrales généralisées dépendant d'un paramètre est terminé. Indications Partie I 2 Utiliser la caractérisation séquentielle d'une limite. 3 Choisir judicieusement la variable par rapport à laquelle on intègre en premier. Partie II 4 Majorer |Tf (u)(x)| pour x réel quelconque, en utilisant la définition de k · k . 5 Exploiter l'associativité de la loi (propriété admise après la question 3) et la question 1. 6 Se servir de la question précédente et de la question 4. 7 Raisonner par récurrence en appliquant la question précédente. Partie III 8 Effectuer un changement de variable pour montrer que gh est dans P(R). Pour la première intégrale, observer la parité de la fonction intégrée et, pour la deuxième, intégrer par parties. 9 Utiliser la propriété admise et un raisonnement par récurrence. Partie IV 10 Raisonner par récurrence. 11 Utiliser les croissances comparées pour la première majoration. 12 Appliquer le théorème de dérivation d'une intégrale dépendant d'un paramètre. Les conditions de domination sont données par la question précédente. 13 Exprimer les dérivées successives de Tgh (u) avec la formule de Leibniz, puis les calculs faits à la question 11. 14 Utiliser un changement de variable. 15 Penser que gh appartient à P(R), ce qui permet d'exprimer la quantité à majorer sous la forme d'une intégrale, puis découper l'intégrale en trois. 16 Découper en trois l'expression kTfn (u) - Tf (u)k en y intercalant le terme kTfn Tgh (u) - Tf Tgh (u)k , utiliser ensuite les questions 4 et 12. 17 Pour le prolongement par continuité, on peut se servir de la formule de TaylorYoung. Le reste est un calcul assez lourd mais sans astuce. 18 Exprimer u(x- t)- u(x)+ t u(t) /t2 à l'aide de u , en vous servant de la formule de Taylor avec reste intégral. Écrire t2 /2 sous la forme d'une intégrale puis utiliser la propriété admise à la question 15. 19 Appliquer les questions dans un ordre judicieux. Le rapport du jury signale qu'une difficulté éprouvée par les candidats est l'exploitation de résultats intermédiaires admis par l'énoncé. Il y en a effectivement un certain nombre dans le problème, à commencer par le théorème de Fubini. Il s'agit d'une compétence particulière, qui consiste à mettre en application dans un temps court des résultats que l'on ne connaissait pas auparavant. On est bien sûr plus performant sur ce genre d'exercice avec une préparation minimale qui peut s'acquérir par la résolution de problèmes du type de celui-ci. Le rapport évoque également la mauvaise connaissance des candidats de la notion de la convergence d'une intégrale à l'infini. Comme on ne peut pas faire grand chose dans ce problème sans maîtriser correctement cette notion, il est conseillé de la travailler sérieusement si on est dans ce cas, éventuellement avec des problèmes plus simples. Les généralités se terminent par les conseils classiques : regarder globalement les questions similaires, déjà pour ne pas laisser passer des résultats contradictoires, donner des références très précises des résultats utilisés, éviter les affirmations non justifiées... I. Préliminaires 1 La fonction g appartient à C0 (R) donc elle est bornée sur R, c'est-à-dire qu'il existe un réel M tel que x R On en déduit x R |g(x)| 6 M t R |f (t) g(x - t)| 6 M |f (t)| Les fonctions sont continues et à valeurs positives. Ainsi, par majoration, la fonction t 7 f (t) g(x - t) est intégrable sur R pour tout x réel. Z + Pour tout x réel, l'intégrale f (t) g(x - t) dt converge. - Montrons maintenant la continuité de la fonction Z + x 7 f (t) g(x - t) dt - Les fonctions f et g étant continues, la fonction t 7 f (t) g(x - t) est continue sur R pour tout x réel et la fonction x 7 f (t) g(x - t) est continue sur R pour tout t réel. Par majoration, (x, t) R2 |f (t) g(x - t)| 6 M |f (t)| La fonction f étant à valeurs positives, on a, pour tout t réel, M |f (t)| = M f (t). Posons alors : t 7 M f (t). La fonction est intégrable sur R puisque f l'est et (x, t) R2 |f (t) g(x - t)| 6 (t) D'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre, Z + La fonction x 7 f (t) g(x - t) dt est continue sur R. - Soit x un nombre réel fixé. On a f g(x) = Z + f (t) g(x - t) dt - Faisons le changement de variable affine u = x - t, du = -dt. Il vient Z - Z + f g(x) = f (x - u) g(u) (-du) = f (x - u) g(u) du = g f (x) + - car la variable d'intégration est une variable muette. On a bien x R f g(x) = g f (x) On lit dans le rapport du jury qu'il y a eu beaucoup d'erreurs graves à cette question, comme : une fonction qui tend vers 0 à l'infini est intégrable sur R, ou une fonction constante (non nulle...) est intégrable sur R... Il vaut mieux être très attentif à ce que l'on écrit, surtout à la première question. Vous risquez de faire d'entrée une très mauvaise impression. 2 Soit (xn )nN une suite de réels de limite +. On définit la suite de fonctions de R dans R (hn )nN par t R hn (t) = f (t) g(xn - t) Pour t fixé, xn - t tend vers l'infini, ce qui implique que g(xn - t) tend vers 0, c'est-à-dire que la suite de fonctions continues (hn )nN converge simplement vers 0 sur R. La fonction g étant bornée par un réel positif M et la fonction f à valeurs positives, t R n N |hn (t)| 6 M f (t) La fonction Mf étant intégrable sur R, le théorème de convergence dominée assure que Z + Z + lim hn (t) dt = lim hn (t) dt = 0 n+ - - n+ On en déduit que pour toute suite (xn )nN tendant vers +, la suite (f g(xn ))nN tend vers 0. Il en résulte, par la caractérisation séquentielle d'une limite, que f g(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini. La démonstration est la même en utilisant une suite (xn )nN de limite - quand x tend vers -, d'où lim f g(x) = lim f g(x) = 0 x+ x- Le rapport du jury indique que certains candidats vérifient correctement l'hypothèse de domination dans cette question alors qu'ils n'ont pas su le faire à la question précédente. Cela peut se comprendre, puisque le contexte est peut-être plus familier, mais dans ce cas cela doit amener à un retour en arrière. 3 Les fonctions f et g appartiennent à P(R) donc sont continues, à valeurs positives et bornées. Cela permet, par un raisonnement identique à celui fait à la question 1, de démontrer que f g est continue sur R. Posons, pour tout couple (x, t) de réels, h(x, t) = f (t) g(x - t). La fonction h est continue de R × R dans R. Comme g est bornée par un réel positif M, (t, x) R2 |h(x, t)| = f (t) g(x - t) 6 M f (t)