Mines Maths 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Étude spectrale d'un opérateur de transfert
Principaux outils utilisés espaces vectoriels normés
Mots clefs trou spectral, espaces de Hölder

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2009 MATH. I PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Étude spectrale d'un opérateur de transfert Soit V un C-espace vectoriel et T un endomorphisme de V : on dira que le complexe est une valeur propre de T s'il existe un élément f de V non nul tel que T f = f . Soit C 0 l'espace des fonctions de R dans C qui sont continues et 1-périodiques. Cet espace est normé par kf k = sup{|f (x)| , x R}. On désigne par e0 la fonction constante égale à 1 sur tout R et par D le sous-espace vectoriel de C 0 engendré par e0 . Si f C 0 on définit T f (x) = 1 x x+1 f( ) + f( ) . 2 2 2 L'objet du problème est l'étude des propriétés spectrales de diverses restrictions de T à des sous-espaces invariants de C 0 . On mettra notamment en évidence sur certains de ces espaces la propriété de « trou spectral » : il existe 0 < r < 1 tel que les valeurs propres autres que 1 sont de module inférieur ou égal à r. I Préliminaires 1) Montrer que si f appartient à C 0 alors T f aussi. 2) Montrer que pour tout élément f de C 0 on a l'inégalité kT f k 6 kf k puis que sup kT f k = 1. kf k =1 On appelle H 0 l'hyperplan de C 0 des fonctions f telles que Z 1 f (t) dt = 0. 0 3) Montrer que H 0 est stable par T . 4) Expliciter la projection P sur D parallèlement à H 0 . 2 II Fonctions trigonométriques Pour tout entier relatif k, on note ek (x) = e2ikx de sorte que ek est continue et 1-périodique, c'est-à-dire que ek appartient à C 0 . Pour tout entier n, on désigne par En le sous-espace de C 0 engendré par e0 , e1 , e-1 , · · · , en , e-n . 5) Déterminer T ek (respectivement P ek ) pour tout entier relatif k et en déduire que les espaces En sont T -stables (respectivement P -stables). On note Tn (respectivement Pn ) l'endomorphisme de En induit par T (respectivement par P ). 6) Calculer les valeurs propres de T2 . L'endomorphisme T2 est-il diagonalisable ? 7) Soit n N et k l'unique entier tel que 2k-1 6 n < 2k . Montrer pour tout entier p > k, l'identité suivante : Tnp = Pn . 8) Calculer les coefficients de Fourier de T f en fonction de ceux de f pour tout f C 0. 9) Déterminer le noyau de T . III Fonctions höldériennes On rappelle que pour tous les réels x et y, |eix - eiy | 6 |x - y|. Soit ]0, 1[. On appelle C le sous-espace de C 0 des fonctions f telles que ( |f (x) - f (y)| |x - y| , 2 (x, y) R , x 6= y 3 ) soit majoré. On notera alors m (f ) = sup ( |f (x) - f (y)| |x - y| , 2 ) (x, y) R , x 6= y . On admettra que kf k = m (f ) + kf k définit une norme sur C . 10) Montrer que C est stable par T . On note T l'endomorphisme de C induit par T. 11) Montrer que pour tout f C , kT f k 6 kf k puis que supkf k =1 kT f k = 1. Soit un nombre complexe de module strictement inférieur à 1. On pose, pour tout réel x, Sn (x) = n X k e2k (x). k=0 12) Montrer que la série de fonctions k k e2k converge normalement sur R vers une fonction f C 0 et que T f = f . P 13) Soit maintenant tel que || 6 2- et deux réels x et y tels que 2-n-1 < |x - y| 6 2-n . En considérant séparément les sommes avec k 6 n et k > n dans la série ayant pour valeur f (x) - f (y), montrer que f C . 14) Montrer que T laisse invariant H = H 0 C . 15) Soit f C 0 , montrer que n T f (x) = 2 -n n -1 2X k=0 4 f (k2-n + x2-n ). 16) Établir, pour f C , l'inégalité suivante : sup |Tn f (x) - x[0,1] Z 1 0 f (t) dt| 6 2-n m (f ). 17) Montrer que si f H alors pour tout entier n, l'inégalité suivante est vérifiée : kTn f k 6 21-n kf k . 18) En déduire que l'ensemble des valeurs propres de T est la réunion du singleton {1} et du disque fermé de centre 0 et de rayon 2- (phénomène de trou spectral). Fin du problème 5

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 Mines Maths 1 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Alexis Gryson (ENS Cachan) et Lætitia Borel-Mathurin (ENS Cachan). Ce sujet propose l'étude de l'opérateur T défini sur l'espace C0 des fonctions continues et 1-périodiques de R dans C par 1 x x+1 0 f C x R Tf (x) = f +f 2 2 2 L'épreuve se décompose en trois parties. · Dans les préliminaires, on étudie la stabilité de C0 par T, la norme d'opérateur de T et la stabilité d'un hyperplan de C0 par T, ce qui fait appel à des propriétés élémentaires de continuité et de périodicité ainsi qu'à l'inégalité triangulaire. La question 4 aborde la notion d'hyperplan et la projection sur un sous-espace parallèlement à un autre. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la restriction de T à des sous-espaces vectoriels engendrés par les fonctions trigonométriques 1-périodiques définies par ek (x) = e 2ikx pour x réel et k entier relatif. La question 6 est une question d'algèbre qui permet de mesurer sa capacité à discuter efficacement la diagonalisabilité d'un endomorphisme. La question 7 est difficile et requiert de prendre des initiatives en introduisant des résultats intermédiaires que l'on montre par récurrence. L'analyse de Fourier intervient aux questions 8 et 9. · La dernière partie, de loin la plus longue et la plus technique, propose d'étudier le comportement de T sur un espace de Hölder. On décrit le phénomène de trou spectral pour la restriction de T à cet espace. Pour la construction d'un vecteur propre de l'opérateur T, on étudie la convergence normale d'une série de fonctions. La question 13, la plus technique de ce problème, permet de vérifier qu'une fonction propre définie comme somme d'une série de fonctions appartient à un espace de Hölder. Ce joli problème d'analyse fonctionnelle est de difficulté croissante, avec deux premières parties très abordables et une troisième partie plus délicate, mais plus riche, avec l'usage des fonctions höldériennes. Ce sujet d'une bonne technicité permet de réviser l'ensemble des connaissances du programme de prépa. Indications 1 Ne pas oublier de vérifier la périodicité. 2 Pour établir l'égalité, considérer e0 . 3 Utiliser les changements de variables u = t/2 et v = (t + 1)/2. 4 Écrire C0 comme une somme directe faisant intervenir D et H0 et en déduire la décomposition d'une fonction f pour cette somme. 5 Pour le calcul de Tek , distinguer selon la parité de k. Pour le calcul de Pek , distinguer selon la nullité de k. 6 Vérifier que (e0 , e1 , e-1 , e2 , e-2 ) est une base de E2 et écrire la matrice de T2 dans cette base. 7 Pour j entier vérifiant j 6 n avec j = m2l où l et m sont entiers, montrer que Tn k ej = Tn k-p em2l-p p [[ 0 ; l ]] En écrivant j = m2l avec m impair, déterminer Tn k puis Tn Pn . 8 Le k e coefficient de Fourier de la fonction 1-périodique f est défini par Z 1 ck (f ) = f (t)e -2ikt dt 0 9 Considérer l'application f 7 ck (f ) kZ . 12 Calculer TSn puis majorer kTf - f k avec l'inégalité triangulaire en faisant intervenir TSn . 13 Distinguer les cas |x - y| > 1 et |x - y| 6 1. Pour le second cas, séparer la somme en deux conformément à l'indication et utiliser la majoration rappelée au début de la partie III. 15 Procéder par récurrence. Mettre en valeur 2k et 2k + 1 dans les deux sommes qui apparaissent pour reconnaître une partition de [[ 0 ; 2n+1 - 1 ]]. 16 Utiliser le résultat de la question 15 et, avec la relation de Chasles, écrire l'intégrale sur [ 0 ; 1 ] comme somme d'intégrales sur des intervalles de longueur 2-n . 17 Utiliser le résultat de la question 15 pour majorer m (T n f ). 18 Montrer la double inclusion. Vérifier Z 1 que f est non-nulle. Pour f associée à une valeur propre de T , déterminer T f pour utiliser le résultat de la question 17. 0 D'après le rapport du jury, « le sujet portait sur l'étude dans l'espace C0 des fonctions continues et 1-périodiques d'un opérateur de transfert dans le but de mettre en évidence la propriété de trou "spectral". Un sujet intéressant, plein de questions à difficultés plus que raisonnables, combinant à la fois l'algèbre et l'analyse. » Comme cela est souvent dit ou écrit, la clarté et la qualité de la rédaction sont des éléments déterminants pour l'évaluation d'une copie de concours. Les auteurs du rapport du jury déplorent « le grand manque de rigueur et les fautes d'étourderie ». I. Préliminaires 1 Soit f C0 . Par les théorèmes généraux, la continuité de f implique la continuité de Tf et, pour tout x réel, 1 x+1 x+1 1 Tf (x + 1) = + f +f 2 2 2 2 1 x+1 x = f +f +1 2 2 2 Comme f est 1-périodique, il s'ensuit x 1 x+1 Tf (x + 1) = f +f = Tf (x) 2 2 2 f C0 On en déduit Tf C0 2 Par définition de l'opérateur T, on a, pour f C0 , x x+1 1 kTf k = Sup f +f 2 2 xR 2 Par inégalité triangulaire, on obtient kTf k Il en découle d'où kTf k 6 1 6 Sup xR 2 f x 2 + f x+1 2 x 1 x+1 Sup f + Sup f 2 xR 2 2 xR kTf k 6 kf k Il s'ensuit que Sup kTf k 6 1 kf k =1 Pour montrer que cette inégalité est en fait une égalité, considérons e0 la fonction constante égale à 1. Ici, la borne supérieure est atteinte, ce qui n'est pas systématiquent le cas. Les auteurs du rapport du jury regrettent que « la plupart des candidats [aient] laissé de côté la démonstration de l'égalité ». On a ke0 k = 1 et, pour tout x réel, 1 x x+1 Te0 (x) = e0 + e0 =1 2 2 2 autrement dit Te0 = e0 (1) Conformément à la définition donnée en début d'énoncé, cette égalité prouve que 1 est valeur propre de l'opérateur T puisque e0 est non nulle. Ainsi kTe0 k = 1 ce qui prouve Sup kTf k = 1 kf k =1 3 Soit f H0 . Par définition de T et par linéarité de l'intégrale, on a Z 1 Z 1 Z 1 1 t t+1 Tf (t) dt = f dt + f dt 2 0 2 2 0 0 Procédons aux changements de variables u = t/2 et v = (t + 1)/2 respectivement dans la première et la deuxième intégrale du membre de droite de l'égalité ci-dessus. Il vient Z 1 Z 1 Z 12 f (u) du + Tf (t) dt = f (v) dv 1 2 0 0 Cette question ne présente pas de réelle difficulté ; pourtant le rapport du jury mentionne que l'« on voit encore souvent des changements de variables mal faits (bornes inchangées) », erreurs que l'on peut vraisemblablement imputer à un manque d'attention lors de la rédaction. Par la relation de Chasles, on obtient Z 1 Z 1 Tf (t) dt = f (u) du = 0 0 0 0 parce que f H . Autrement dit H0 est stable par T. Z 1 0 Précisons pourquoi H = f C : f (t) dt = 0 est un hyperplan de C0 . 0 0 On peut interpréter H0 comme le noyau d'une forme linéaire non nulle. En effet, soit l'application définie par 0 C - C Z : f f 7- [ 0 ;1 ] Il s'agit d'une application linéaire par linéarité de l'intégrale, à valeurs dans l'espace des scalaires C. C'est donc une forme linéaire sur C0 . De plus, cette forme est non nulle car (e0 ) = 1 6= 0. Par définition de H0 , on a H0 = Ker ce qui prouve, par théorème, que H0 est un hyperplan de C0 .