Mines Maths 1 PSI 2006

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECCMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATICNS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la

copie :

MATHEMATIQ UES I - PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il

le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel 2 > 0 par

r(z) = / tZ--1e_t dt.
0

Cette fonction possède les deux propriétés suivantes:
-- pour tout réel :: strictement positif, F(z + 1) : zP(z);

-- il est admis que

1ua--1 --u 5--1u_rfalrffll
/0 " ) d "r'

pour tous réels & > O et 5 > O.

I. Fonctions hypergéométrîques

1) Soit ;: un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires

et suffisantes sur les réels & et 5 pour que la fonction
t+----> ta_1(1 + t)5"1e"2t

soit intégrable sur lR+.

tQ
\./

Soit :: un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires

et suffisantes sur les réels &, 5 pour que la fonction
Él-----> (_t)a----1(l + t)fi--1EUR--zt'

soit intégrable sur [ -- 1, 0 [

On fixe maintenant deux réels oz > O, 5 > 0 et on définit les fonctions

pour tout réel strictement positif z.

Montrer que Il et 12 sont continûment dérivables sur lRî et que

1; = ---K et 15 = --K + 12. (E)

Montrer que zK : dll + ,612.

En déduire que le vecteur I(z)

Il
/"\
J® :>
/\ /\
N N

) est solution d'un système

différentiel linéaire sur R1 :
Ï'(Z) = A(Z)Ï(Z), (S)

où A(z) est une matrice que l'on explicitera.

Montrer que K satisfait sur lläî une équation différentielle linéaire d'ordre

2 que l'on explicitera.

On définit les fonctions

Montrer que les fonctions J1, J2, L satisfont les mêmes relations que

respectivement, 11, lg, K définies dans l'équation (E) que le vecteur

J2

et que L satisfait la même équation différentielle que K (trouvée à la

J . . . .
J = ( 1 ) est solution du même système différentiel que ] (vou (S))

question 6).

II.

8)

9)

10)

11)

12)

Résolution de (8)

Montrer que pour tout t > 0 et z _>_ 1

t .

£... -; 15 --- ll(l +t>Û"ä s15 2 2,
@+£) _4 < Êlfi--ltsifi£2 En déduire que pour tous réels & > O, B > 0

+00
/ t"'1(1 + z%)fi'1e--Zt dt
O

est équivalent à F(a)z"° quand 2 tend vers +00, c'est--à--dire que

+00
(/ t°"1(1 + t)Ü--1EUR_Zt dt -- F(a)z"°") : 0(z'°'),
0

quand 2 tend +00.

Montrer, pour tous réels & > O et ,13 > 0 et pour tout réel 3, l'identité:

_l 3
/ " (--Î)a--1 O, B > O, 2 > 0 on définit le \Â/'ronskien

13)

14)

15)

16)

Donner un équivalent de w(z) quand :: tend vers +oo.

Montrer que 10 satisfait une équation différentielle linéaire d'ordre 1 que

l'on explicitera.
Montrer que, pour tout z réel strictement positif, w(z) : I"(a)I'(6)z"""%î

Exprimer la forme d'une solution générale du système différentiel (8).

III. Développement en série

17)

18)

Montrer que si (3 est un entier strictement positif
/ t°"1(1 + t)fi"1e--Zt dt : z"a_5+1P(z)
0

où P(z) est un polynôme de degré ,[9' -- 1 en la variable 2, que lion expli--

citera.

Pour tout réel :r et tout entier positif n, on pose

n----l

(scan) = H(ar + le);

k=0

pour n > 0 et (33,0) : 1.

Soient @ et b deux réels. On suppose de plus que b n'est pas un entier
négatif. Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme

général

uk =

On note alors pour tout réel a:

Fa'"bl) ÎA!

19)

20)

21)

Montrer pour tout réel strictement positif z, l'identité suivante:

0 _ a---1 fi--le--zt : P(Û)P<Û) & a z /_1( t) (1+t) dt ___--F(a+fi)F(, +5, ). Montrer directement (sans utiliser la partie 1) que la fonction y(æ) : F (a,b,a:) est solution sur R de l'équation différentielle suivante æy"(æ) + (b -- æ)y'(æ) -- ay(æ) = 0- Montrer que si () n'est pas un entier, on peut trouver des réels a' et b' tels que y(z) : z'""F(a', b', 2) soit solution sur lRäî de la même équation différentielle. FIN DU PROBLÈME