Mines Maths 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Recherche sous la forme de séries de Fourier de solutions de l'équation différentielle -y''(x)+h(x)y(x) = f(x)
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires, dérivabilité des séries de fonctions, coefficients de Fourier

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏÏQÜE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÔNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filière PSI _ (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 1-Filière PSI. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Soit 1 le segment d'extrémités 0 et 1 : I = [O, 1] ; dans tout ce problème h et f sont des fonctions réelles données définies et continues sur la droite réelle IR. Soit (E) l'équation différentielle suivante : (E) --Y"(x) + h(JC) 3706) = f(X), où la fonction y est une fonction inconnue définie sur la droite réelle R. Le but de ce problème est d'étudier les solutions de cette équation différentielle (E) qui vérifient les conditions "aux limites" suivantes : la solution y recherchée est nulle en chacune des extrémités 0 et 1 de l'intervalle I. Les fonctions h et f étant des fonctions réelles continues sur R, soit (S) le système constitué de l'équation différentielle (E) et des équations exprimant la nullité de la solution y aux extrémités 0 et 1 de l'intervalle] : ' (S) --y"(x) +hy(x> =f = o, y... = 0. Une fonction y, définie sur R, deux fois confinûment dérivable sur R, vérifiant les équations du système (8) est dite solution du système (S). Première partie La fonction h est égale à une constante et la fonction f est nulle : 1. Démontrer que, lorsque la fonction h, définie sur R, est égale à une constante réelle a (h(x) = a e R et la fonction f est nulle (f(x) = 0), la seule solution y du système (S) est la fonction nulle y(x) = 0 pour tout x) , sauf pour certaines valeurs du réel a qui seront précisées ; _ poser et = (02 ou a = --oe2 (m > 0), suivant que le réel a est strictement positif ou strictement négatif. Une expression de la solution du système (S) : Un résultat préliminaire : soit (p une fonction réelle définie et continue sur la droite réelle IR ; soit (1) la fonction définie par la relation suivante : x 1 pour tout réel x, 1(0) = o, q>1(1) = o, les fonctions (D et (131 sont égales ((D1 : CD). 4. En déduire, lorsque la fonction h est nulle, l'existence et l'unicité d'une solution y du système (So) suivant : (So) ---y"(x) =f(x), y(0) = 0, y(1) = 0-- Une condition sur la fonction h lorsque la fonction f est nulle : La fonction f est supposée nulle ({ = O) ; le système (S) s'écrit, { ---y"(x) +h = 0, ya) = o. 5. Démontrer que, pour qu'une fonction y, définie et continue sur la droite réelle R, vérifie le système (81 ), il faut et il suffit que la fonction y vérifie, pour tout réel x, la relation (R) suivante : (R) pour tout réel x, y(x) = (x--1)Iïth(t)y(t) dt+x [ 1(t=1 )h(t) y(t) dt. 6. Démontrer l'existence de deux réels H et Y respectivement maximums des valeurs absolues des fonctions h et y sur le segment I = [0,1]. 7. Soit y une solution du système (81 ) ; démontrer, pour tout réel x appartenant au segment I (O 5 x 5 l), l'inégalité suivante : b'(x)| S _8--' 8. En déduire une condition nécessaire sur la fonction h, pour qu'il existe des solutions y, autres que la fonction nulle, du système (81 ). Vérifier que, lorsque la fonction h est constante, cette condition est remplie lorsqu'il y a des solutions différentes de O. Seconde partie Rappel : une fonction f, réelle, définie sur la droite réelle IR, est dite 2-péfiodique si et ' seulement si : pour tout réel x, f(x + 2) = f(x). Les coefficients de Fourier a,,(f), b,,(f), n _>_ 1, sont définis par les relations suivantes : z 2 pour tout n supérieur ou égal à l, a,,(f) = Jof(t) cos (n n t) dt, b,,(f) = Jof(t) sin(n ?! t) dt. Le but de cette seconde partie est de résoudre l'équation différentielle suivante (F) --J'"(x) + 1100 N') = f(x), où h et f sont des fonctions définies sur la droite réelle, continues, impaires, 2-péfiodiques. La fonction inconnue y est supposée impaire, elle aussi 2-péfiodique, mais en plus deux fois confinûment dérivable et vérifiant les conditions aux limites suivantes sur le segment [ : elle est nulle en 0 et en 1. Lorsque la fonction y, impaire 2-péfiodique, deux fois confinûment dérivable, vérifie l'équation difi'érenfielle (F) et les conditions aux limites définies ci--dessus, elle est dite solution du système (T) suivant: (T) --y' '(x) + 110!) WC) = f(x), Y(0) = 0, J'... = 0- Soit G la fonction définie dans le carré I >< I par la relation suivante : (x,t) H G(x, t){ t(] --x), si0$t5x, x(l--t), sixSt51. Étant donné un réel x fixé du segment 1, soit &, la fonction impaire, 2-péfiodique, égale à G(x, t) pour tout réel t appartenant au segment I : v: e 1, ä,(t) = G(x, t). Développement en série de Fourier de la fonction &, : 9. Tracer le graphe de la restriction de la fonction Gx au segment [--1, 1 ] Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction a,. 10. Y a--t--il égalité, pour tout réel t, entre &, (t) et la somme de la série de Fourier obtenue ? Préciser et vérifier la nature de la convergence. 11. En déduire que la fonction G : (x, t) r--> G(x, t) est, dans le carré] x I, la somme d'une série de fonctions uniformément convergente. ' Solution du système (T) lorsque la fonction h est nulle : 12. Démontrer, lorsque la fonction h est nulle, qu'il existe une seule solution possible 2 au système (T). Préciser son expression à l'aide de la fonction G. 13. Déterminer, lorsque la fonction h est nulle, le développement en série de Fourier de la fonction z ,exprimer les coefficients de Fourier de la fonction 2 à l'aide de ceux def En déduire _ l'existence d'1me solution au système (T ). 14. Exemple : la fonction h est nulle, fest la fonction impaire, 2-péfiodique, définie sur le segment I par la relation suivante 1', si0 5 t5 1/2, l--t, srl/25151. Déterminer le développement en série de Fourier de la solution f puis celui de la fonction u solution du système (T ). Est--ce que le développement en série de Fourier de la fonction u obtenu est celui d'une fonction deux fois confinûment dérivable ? La fonction h est une constante : La fonction h est supposée dans la suite égale à une constante a différente de 0 (a #= 0). La fonction f est toujours une fonction impaire, 2--péfiodique. Le but de cette question est de rechercher une solution du système ---y"(x> +ay =f(x>, (T') { y(O)=o, y=O La méthode proposée consiste à écrire ce système sous la forme suivante : (... --y" =f(x) --ay, y f(x) 4-- a y(x) joue le même rôle que celui joué par la fonction f aux questions 12 et 13. 15. En supposant qu'il existe une solution 2 au système (Ta ), déterminer les relations que doivent vérifier les coefficients de Fourier de la fonction z. 16. Discuter suivant les valeurs du réel a l'existence de solutions des équations vérifiées par les coefficients de Fourier de la fonction 2. 17. Démontrer, lorsque les équations donnant les coefficients de Fourier de la fonction 2 admettent des solutions et que la fonction f est de classe C1 par morceaux sur R, l'existence d'une fonction 2 solution du système (Ta ). 18. Exemple : Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction 2 lorsque la fonction f est la fonction définie àla question 14. FIN DU PROBLÈME

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 Mines Maths 1 PSI -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par Moez Ajmi (École Polytechnique) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce sujet traite d'équations différentielles linéaires du second ordre de la forme -y + hy = f . L'objectif est de trouver des solutions en imposant des valeurs nulles aux extrémités 0 et 1. · La première partie a pour but de démontrer des résultats d'existence et d'unicité de ces solutions. Cette partie est assez simple (voire « trop » simple) car on y examine des cas élémentaires. Il n'y a aucune difficulté particulière pour résoudre les questions. · Dans la seconde partie, les fonctions qui interviennent dans l'équation différentielle sont supposées périodiques et impaires. On se sert alors de la théorie de Fourier pour trouver des solutions. Il faut prendre garde au fait que les fonctions considérées sont 2-périodiques et non pas 2-périodiques comme à l'accoutumée. Le sujet est, dans l'ensemble, plutôt abordable. Indications Première partie 2 Commencer par montrer que est de classe C 1 et calculer sa dérivée. Montrer ensuite que sa dérivée est également de classe C 1 . 3 Introduire la fonction = 1 - et utiliser la question 1. 5 Dériver deux fois l'expression donnée par l'énoncé. 7 Faire une majoration grossière de l'expression de la question 5. 8 Prendre pour x un point en lequel y atteint son maximum dans l'inégalité de la question précédente. En déduire une minoration sur H. Seconde partie e x pour ramener l'intégrale sur [ 0 ; 1 ], puis séparer l'intégrale 9 Utiliser la parité de G en deux intégrales de 0 à x et de x à 1. e x est de classe C 1 par morceaux. 10 Remarquer que G 11 Utiliser le résultat de la question 9. Prendre garde au fait que l'on travaille cette fois ci sur des fonctions de deux variables. 12 Utiliser l'expression trouvée à la question 5. 13 Utiliser le résultat de la question 11. 14 Plutôt que de recalculer les coefficients de f , établir une relation entre cette fonction et G. Pour les coefficients de u, utiliser la question 13. 15 Utiliser à nouveau la question 13. 17 Introduire zn (x) = bn (z) sin(nx). Utiliser alors le fait que la série dePFourier P de f converge normalement pour en déduire que les séries de fonctions z , zn n P et zn convergent normalement (on pourra chercher des majorations des normes de ces fonctions en fonction des coefficients bn (f )). Première partie La fonction h est égale à une constante et la fonction f est nulle 1 On suppose que la fonction f est nulle et que h est égale à une constante . L'équation devient ainsi : -y + y = 0 Rappelons que les équations linéaires du second ordre à coefficients constants y +ay +by se résolvent de la manière suivante : on pose l'équation du second degré associée : X2 + aX + b = 0 Il faut considérer trois cas : · Si le polynôme admet deux racines réelles distinctes 1 et 2 , une base des solutions est donnée par les fonctions t 7 e1 t et t 7 e2 t · Si le polynôme admet une racine réelle double , une base des solutions est alors donnée par les fonctions t 7 et et t 7 tet · Si le polynôme admet deux racines complexes conjuguées = une base des solutions est alors donnée par les fonctions t 7 et cos(t) et + -i , t 7 et sin(t) Trois cas se présentent alors : · > 0 : posons = 2 . Une base de l'espace vectoriel des solutions est alors donnée par les deux fonctions t 7 et et t 7 e-t Soit y une solution de (S). Il existe deux constantes A et B telles que t R y(t) = Aet + Be-t La condition y(0) = 0implique par conséquent A + B = 0 soit B = -A. Ainsi y(1) = A e - e-1 . En outre, e - e-1 est non nul et la condition y(1) = 0 implique que A est nulle, si bien que la fonction y l'est également. · = 0 : l'équation devient y = 0. Par conséquent, si y est une solution de (S), y est constante et y est une fonction affine. Il existe ainsi deux constantes A et B telles que t R y(t) = At + B Les conditions aux limites imposent y(0) = B = 0 et y(1) = A + B = 0. On en déduit que A et B sont nulles, puis que la fonction y l'est également. · < 0 : posons = - 2 . Une base des solutions est donnée par t 7 cos(t) et t 7 sin(t) Soit y une solution de (S). Il existe deux constantes A et B telles que t R y(t) = A cos(t) + B sin(t) La condition y(0) = 0 implique A = 0 d'où y(1) = B sin(w). Si / Z, sin() est nul et toute fonction de la forme y(t) = B sin(t) est solution de (S). Dans le cas contraire, sin() 6= 0 et la condition y(1) = 0 impose que B soit nulle et, par conséquent, que la fonction y le soit également. Finalement : Si 6= -(n)2 (n N ), la seule solution de (S) est la solution nulle. Une expression de la solution du système (S) 2 La fonction étant continue, les fonctions t 7 t(t) et t 7 (1 - t)(t) le sont également. , primitive d'une fonction continue, est alors de classe C 1 , avec Z x Z 1 (x) = - t(t) dt + (1 - x)x(x) + (1 - t)(t) dt - x(1 - x)(x) =- Z 0 x 0 x t(t) dt + Z 1 (1 - t)(t) dt x d'où l'on déduit que est elle aussi de classe C 1 comme somme de deux primitives de fonctions continues. est par conséquent de classe C 2 , avec (x) = -x(x) - (1 - x)(x) = -(x) On vérifie enfin facilement que (0) = (1) = 0. Attention aux erreurs de signe ! Rappelons que : Z 1 f (t) dt = -f (x) x 3 Soit 1 une fonction vérifiant les conditions de l'énoncé. Posons = 1 - . On sait d'après ce qui précède que (t) = 1 (t) - (t) = -(x) - (-(x)) = 0 D'autre part, en vertu des hypothèses sur 1 et de la question précédente, (0) = 1 (0) - (0) = 0 - 0 = 0 De même, (1) = 0. La fonction est donc solution du système (S) dans le cas où h et f sont toutes deux nulles. On a vu à la question 1 que dans ce cas, la seule solution du système est la fonction nulle. Par conséquent, est nulle d'où 1 = .