Mines Maths 1 PSI 2002

Thème de l'épreuve Étude d'une catégorie particulière de fonctions définies par une série entière
Principaux outils utilisés séries numériques, séries de fonctions, règle de d'Alembert, critère de Riemann, séries de Fourier, formule de Parseval, régularité des intégrales à paramètre, théorème de convergence dominée
Mots clefs fonction Gamma

Corrigé

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J. 2069 A 2002 Math PSI 1 , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAHÛNS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCATÏONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT , TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES 1-Filière PSI. Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Étant donnée une fonction f réelle, définie sur le segment [O, 1], indéfiniment défivable, soit (u,,)neN la suite réelle définie par les relations suivantes : (U) ...) = 1 ;pour tout entiern strictement positif, un : üj(%) =j(--Î--)j(%)...f(%) Soit R le rayon de convergence de la série entière de terme général un x", n = 0 1 2 Soit F 7 7 ? la somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l'ensemble des points en lesquels la série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante : F(x) : É un x". n=0 Première partie I--1. Rayon de convergence : a. Exemples : étant donnés un réel ou différent de 0 (a i 0) et un entier naturel p différent de 0 (p 2 l), déterminer les rayons de convergence et les sommes F1 , F 2 et F 3 des séries entières de terme général u,, x", lorsque la fonction f est successivement définie par l'une des trois relations suivantes : fl(t) : aàf2Ü) = at;f3(t) =pt----l_ Préciser les ensembles de définition des trois fonctions F1 , F 2 et F 3 ; pour déterminer la - 1/4 - Tournez la page S.V.P. fonction F 3, exprimer le coefficient un pour n 5 p -- 1 au moyen du coefficient du binôme C;_1 égalà P'1 n b. Déterminer, pour une fonction f réelle, définie sur le segment [O, 1 ], indéfiniment dérivable, le rayon de convergence de la série entière de terme général un x". Dans la suite du problème, les fonctions indéfiniment dérivables f considérées prennent des valeurs différentes de 0 en tout point d'abscisse 1/n où n est un entier strictement positif (pour tout entier n strictement positif f(1/n) = O). I--2 Suite de terme général un : a. Démontrer que, si la fonction f prend une valeur en 0 strictement positive (f(0) > 0), il existe un rang N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, le réel un soit de signe constant. b. Étudier la convergence de la suite (un)"eN dans les deux cas suivants : i. le réel 1f(0)| appartient à l'intervalle semi-ouvert [0,1[ (0 5 1f(0)| < 1), ii. le réel 1f(0)| est strictement supérieur à 1 Qf(0)| > 1). Dans toute la suite du problème, la fonction f prend la valeur 1 en 0 (f(0) = 1) et des valeurs strictement positives sur le segment [O, 1 ]. I--3. Série de terme général un : Soit 5 la valeur prise par la fonction dérivée f ' en 0 : B =f '(0)-- Soit (v,?)neN la suite définie par les relations suivantes : un vo = 1 ; pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : v,, = {3 . n Dans le cas particulier où ,5 est nul : vn = un. Etudier la convergence de la série dont le terme général w... n = 1, 2, est défini par la relation : Vn pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : wn = ln v 1 . n-- En déduire l'existence d'une constante L, différente de O, telle que un soit équivalent à l'infini à L n". un ... Ln". I--4. Fonction F : a. Soit f une fonction réelle, définie sur le segment [O, 1], strictement positive, indéfiniment dérivable, prenant la valeur 1 en 0 ; déterminer l'ensemble de définition D F de la fonction F, -2/4- c'est-à--dire l'ensemble des réels pour lesquels la série de terme général un x" est convergente ; les coefficients un sont définis par la relation (U) de la première page. b. Exemple : étant donné un réel et différent d'un entier naturel, soit f la fonction définie sur l'intervalle [O, 1] par la relation suivante : f(t) = 1--at. Soit F la fonction égale à la somme de la série entière de terme général u" x" ; les coefficients u,, sont définis par la relation (U). Ecrire l'expression de F (x) comme somme d'une série entière ; préciser son rayon de convergence. Reconnaître la fonction F. Deuxième partie Soit a un réel strictement compris entre 0 et 1 (0 < a < 1) ; soit f la fonction définie sur le segment [O, 1 ] par la relation suivante : f(t) : 1-- 012 t2. C'est un exemple de fonction f dont la dérivée est nulle en 0 (f '(0) = 0). Soit g la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]--1, 1 [ par les relations suivantes : = - ' ' : EQÊ.<ÆQ _ _1_. g(0) 0 , pour toutxvenfiant O< [x] < ], g(x) sin (xx) xx . II--l. Propriétés de la fonction g : a. Démontrer que la fonction g, définie par les relations ci-dessus, est continue sur l'intervalle ouvert ]---1 , 1 [. Calculer pour tout réel (1, appartenant à l'intervalle ouvert ]--1, 1 [, l'intégrale la définie par la relation ci--dessous : la = jag(t) dt. 0 b. Soit h la fonction complexe, périodique de période 27t, définie sur l'intervalle semi-ouvert [O, 27r[ par la relation suivante : pour tout réel [ vérifiant les inégalités 0 S t < 275, h(t) = e""" . Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction il ; préciser la convergence de la série obtenue. En déduire la relation : __1 00 2a 8<">*îZ;ïïÿ- n=l c. En déduire une expression de l'intégrale I... considérée à l'alinéa a, au moyen de la somme d'une série. Tournez la page S.VQP. - 3/4 - Il--2. Convergence de la suite (u,,),,eN : Démontrer que la suite (u,,)nGN définie à partir de la fonction f grâce aux relations (U) est convergente et déterminer sa limite. Troisième partie Le but de cette partie est d'utiliser les résultats de la deuxième partie pour établir des propriétés de la fonction G définie sur la demi-droite ouverte ]0, oe[ par la relation : _ 00 --1 ---t __ --1 ---t G(x)--IÛt"° e dt_J]o,oe[lx e dt. Étant donné un entier n supérieur ou égal à 1 (n 2 1), soit ça,, la fonction définie sur le quart de plan ]0, oo[ x ]0, oe[ par la relation suivante : (pn(x, 1) =tx_l(l----;t,--)n, Si0 0), soit J,, (x) l'intégrale définie par la relation suivante : 1 J,,(x) : _[0(1 -- t)" tx"1dt : j]o,1](1__t)n f'"1 dl. Calculer cette intégrale. b. En déduire, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 et tout réel x strictement positif, une expression de G,, (x). Ill--3. Relation des compléments : Démontrer, pour tout réel x strictement compris entre 0 et 1 (0 < x < 1), la relation suivante : G(x) G(1 ----x) : ELX--(%;)-- FIN DU PROBLÈME -4/4-

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 Mines Maths 1 PSI 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par David Lecomte (ENS Cachan) et Walter Appel (professeur en CPGE). Ce sujet comporte un seul problème décomposé en trois parties. Hormis la toute dernière question, qui utilise tous les résultats précédents, les parties sont indépendantes les unes des autres. · La première partie traite de séries entières. On définit une suite (un )nN à partir d'une fonction f et on s'applique à rechercher le rayon de convergence de la série entière de terme général un xn . Plusieurs cas, traités en détail, permettent de se rafraîchir les idées sur les séries entières. · La deuxième partie fait intervenir les séries de Fourier pour obtenir des identités permettant de calculer la limite de la suite (un )nN dans un cas particulier. Cette partie est surtout calculatoire ; sa seule difficulté réside dans la justification de l'interversion d'une somme et d'une intégrale (par exemple en montrant une convergence normale). · La dernière partie introduit la fonction . C'est une intégrale à paramètre très classique mais non moins difficile à étudier. La première question, très technique, ne doit pas rebuter le candidat : la suite fait essentiellement appel au calcul intégral et ne présente pas de difficulté majeure. Le résultat final mérite que l'on s'intéresse à cette partie, quitte à admettre au besoin le résultat de sa première question. Indications Première partie I.1.a Donner l'expression de un pour tout entier naturel n. En déduire le rayon de convergence de la série entière à l'aide des règles de d'Alembert. I.1.b Se servir à nouveau des règles de d'Alembert. I.2.a Utiliser la continuité de f en 0 pour déterminer le signe de un+1 /un quand n tend vers l'infini. I.2.b Invoquer de même la continuité de f pour minorer ou majorer un+1 /un quand n tend vers l'infini. 1 . I.3 Montrer que wn = O n+ n2 1 I.4.a Utiliser le critère de Riemann pour les séries de terme général et le critère n des séries alternées. I.4.b Pour deviner la fonction F, comparer cette situation avec le troisième cas de la question I.1.a. Deuxième partie II.1.a Utiliser les développements limités des fonctions sinus et cosinus. Pour le calcul de l'intégrale, chercher une primitive de g. Faire attention à ce qui se passe en 0. II.1.b Pour trouver la relation, prendre la valeur de la série de Fourier en 0. II.1.c Intégrer l'expression de g, sous la forme d'une série, entre 0 et et justifier la possibilité d'inverser l'intégrale de la série et la série des intégrales. II.2 Montrer que ln(un ) peut s'exprimer sous la forme d'une série convergente et exprimer sa limite en fonction de I . Troisième partie III.1 Utiliser les théorèmes de continuité des intégrales à paramètre. n! III.2.a Montrer par récurrence sur n que Jn (x) = . x(x + 1) · · · (x + n) III.2.b Faire un changement de variable dans l'intégrale définissant Gn . III.3 Utiliser l'expression de G comme limite de la suite obtenue à la question précédente et determiner cette limite à l'aide de la question II.2. Première partie I.1 Rayon de convergence I.1.a On considère dans un premier temps que f est égale à la fonction f1 . Alors n un = On en déduit que la série P = n k=1 un est une série géométrique de raison x. Elle est donc convergente si et seulement si | x| est strictement inférieur à 1. On a donc : 1 1 DF1 = - ; || || De plus : F1 (x) = + P n xn = n=0 1 1 - x Maintenant, on suppose f (t) = f2 (t) = t. Ainsi : n un = n = n! k=1 n On en déduit, cette fois-ci, que : un+1 = ---- 0 un n + 1 n D'après la régle de d'Alembert pour les séries entières, il vient : -1 |un+1 | R= lim = + n+ |un | Ainsi DF2 = R On a également F2 (x) = n xn = e x n! n=0 + P Considérons le dernier cas où f = f3 . On vérifie immédiatement que : 1 1 f =p× -1=0 p p Par conséquent, pour tout entier n supérieur à p, l'un des termes du produit définissant un est nul. On a donc : n > p un = 0 Le terme général de la série entière est donc nul à partir d'un certain rang pour tout réel x et alors la série converge en tout point. Par suite : DF3 = R On vérifie également que : 1 1 p-n f =p× -1= n n n On a donc, pour tout entier n compris entre 0 et p - 1 : n un = k=1 p-k (p - 1) · · · (p - n) (p - 1)! = = = k n! n!(p - n - 1)! p-1 n On en déduit l'expression de F3 : p-1 P p-1 n p-1 F3 (x) = x = (1 + x) n n=0 I.1.b On peut supposer que f prend des valeurs différentes de 0 en tout point d'abscisse 1/n pour tout entier n strictement positif. En effet, sinon le terme général de la suite (un )nN s'annule à partir d'un certain rang et donc le rayon de convergence de la série est infini. On applique alors la même technique que dans la question précédente : un+1 1 =f ---- f (0) un n + 1 n Le passage à la limite est justifié puisque f est infiniment dérivable donc continue. En vertu de la règle de d'Alembert, on peut alors affirmer que : RF = I.2 1 |f (0)| Suite de terme général un L'hypothèse introduite au début de cette sous-partie par l'énoncé assure que la suite (un )nN ne s'annule jamais. Par conséquent, on peut utiliser dans tout le reste du problème la suite (un+1 /un )nN qui est bien définie pour tout entier n. I.2.a On utilise la même remarque qu'aux deux questions précédentes : un+1 1 =f ---- f (0) un n + 1 n Supposons f (0) strictement positif. Alors, par continuité, il existe strictement positif tel que : f (0) >0 2 Alors, pour tout n strictement plus grand que 1/, on a : x R x [ 0 ; [ = f (x) > 1 un+1 [ 0 ; [ = >0 n un On en déduit en particulier que pour tout n supérieur à N = E(1/) + 1, un+1 et un sont de même signe. Ainsi si f (0) est strictement positif, la suite (un )nN est bien de signe constant partir d'un certain rang.