Mines Maths 1 PSI 2001

Thème de l'épreuve Étude de la réduction et de la diagonalisation des applications semi-linéaires
Principaux outils utilisés intégrales à paramètres, convolution, polynômes orthogonaux, interpolation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math PSI 1 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏ'IQUÈ ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI). CONCOURS D'ADMISSION 2001 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE--BNP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : . MATHEMATIQUES l-Filière PSI. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dans tout ce problème l'entier n est supérieur ou égal à 1 (n 2 1) ; E est un espace vectoriel complexe de dimension n. Le but de ce problème est d'étudier les applications semi--linéaires de l'espace vectoriel complexe E dans lui--même. Une application u de E dans lui--même est semi-linéaire si elle possède la propriété suivante : Pour tout scalaire a et tout couple de vecteurs x et y de l'espace vectoriel E la relation ci-dessous est vérifiée : u(ax+y) = â' u(x) + u(y). Le nombre complexe 22 est le nombre complexe conjugué de a. Un nombre complexe Il est une valeur co-propre de l'application semi--linéaire u s'il existe un vecteur x différent de 0 tel que la relation ci--dessous soit vérifiée : u(x) : px. Le vecteur x est un vecteur co--propre associé àla valeur co--propre p. Tournez la page S.V.P. - 1/5 - Première partie Le but de cette partie est d'étudier, pour une application semi--linéaire u donnée, les valeurs et vecteurs co-propres. 1--1. Premières propriétés. Soit u une application semi--linéaire de l'espace vectoriel E. a. Démontrer qu'étant donné un vecteur x, différent de O, appartenant à l'espace E, il existe au plus un nombre complexe # tel que la relation u(x) : u x ait lieu. b. Démontrer que, si le nombre complexe il est une valeur co--propre de l'application semi--linéaire u, pour tout réel 9, le nombre complexe u e" " est encore valeur co--propre de l'application semi-linéaire u. Exprimer un vecteur co--pr0pre associé à la valeur co-propre ,u ei " en fonction d'un vecteur co-propre x associé àla valeur co-propre ,u et du réel 9. c. Étant donnée une valeur co-propre ,u de l'application semi-linéaire u, soit E # l'ensemble des vecteurs x de l'espace vectoriel E qui vérifient la relation u(x) : ,u x : E}} = {x eE | u(x) : ux}. Est--ce que l'ensemble E ,1 est un espace vectoriel complexe ? réel ? d. Étant données deux applications semi--linéaires u et v, étudier la linéarité de l'application composée u 0 v. 1--2. Matrice associée à une application semi-linéaire : Soit u une application semi-linéaire de l'espace vectoriel E ; soit (e,--) l_<_iSn une base de l'espace vectoriel E. À un vecteur x, de coordonnées xl , x2, ..., x... est associée une matrice-colonne X, d'éléments xl, x2, ..., x... appelée (abusivement) vecteur. a. Démontrer qu'à l'application semi--linéaire u est associée dans la base (e,--)ISËn de E une matrice A, carrée complexe d'ordre n, telle que la relation y = u(x) s'écrive : Y : AÎ(. La matrice colonne X' est la matrice complexe conjuguée de la matrice--colonne X. b. SoientA et B les matrices associées à une même application semi-linéaire u dans les bases (e ,-) 155" et (f,--)ISËn respectivement. Soit S la matrice de passage de la base (e ,--) 151511 à la base (fi)15fsn- Exprimer la matrice B en fonction des matrices A et S. Étant donnée une matrice carrée A, complexe, d'ordre n, le vecteurX , différent de 0, (X #= O) est un vecteur co--propre de la matrice A, associé à la valeur co-propre ,a, si le vecteur X et le nombre complexe # vérifient la relation matricielle ci-dessous : AÏ=,uX. Dans la suite toutes les matrices considérées sont des matrices carrées complexes. --2/5-- 1--3. Exemples : . . . . 0 --1 a. SoitA la matnce d'ordre 2 défime par la relaüon su1vante : A = 1 0 . Rechercher a _ , les valeurs co--propres ,u et les vecteurs co--propres X = b assoc1es. b. Démontrer que, si une matrice A est réelle et admet une valeur propre réelle À, cette matrice a au moins une valeur co-propre. 1--4. Correspondance entre les valeurs co--propres de la matrice A et les valeurs propres de la matrice AÂ : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n. a. Démontrer que, si le scalaire # est une valeur co--propre de la matrice A, le nombre réel | pl2 est une valeur propre de la matrice AA. b. Soit ). une valeur propre positive ou nulle (Â Z O) de la matrice AÂ et X un vecteur propre associé : AÂX= ÀX. Démontrer que le réel JÎ est une valeur co--propre de la matrice A en envisageant les deux cas suivants : i. les vecteurs AX etX sont liés ; ii. les vecteurs AX etX sont indépendants ; c. En déduire que, pour que le réel positif ou nul ,u soit __valeur co--propre de la matrice A, il faut et il suffit que le réel #2 soit valeur propre de la matrice AA. (1. Étant donné un réel m, soitA... la matrice définie par la relation suivante : m--1 10 A...: Déterminer les valeurs co--propres réelles positives ; discuter suivant les valeurs du réel m. 1--5. Cas d'une matrice triangulaire supérieure : Dans cette question la matrice A est une matrice triangulaire supérieure (les éléments situés en--dessous de la diagonale principale sont nuls). a. Démontrer que, si À est une valeur propre de la matrice A, pour tout réel 9, le nombre complexe À ei " est une valeur co-propre de la matrice A. b. Démontrer que, si y est une valeur co--propre de la matrice A, il existe un réel 9 tel que le nombre complexe # ei " soit valeur propre de la matrice A. Tournez la page S.V.P. - 3/5 - c. SoitA la matrice définie par la relation ci-dessous : A= Oi Démontrer que le réel 1 est valeur co--propre de cette matrice et déterminer un vecteur X . , a + il) co-propre associe. Poser :X = _ c + Id 1--6. Une caractérisation des valeurs co-propres : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n ; soient B et C les matrices réelles définies par la relation suivante : A = B + i C. Démontrer que le nombre complexe il est valeur co--propre de la matrice A si et seulement si le nombre réel lu| est une valeur propre de la matrice D, carrée réelle d'ordre 2n, définie par blocs par la relation suivante : B C D = C ----B Seconde partie Étant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, s'il existe une matrice carrée complexe S d'ordre n inversible (S EUR GL,,(C)) telle que la relation -----1 B = SA.S soit vérifiée, les deux matrices A et B sont dites co--semblables. Si une matrice A est co--semblable à une matn'ce diagonale, la matrice A est dite co--OEagonalisable Le but de cette partie est de rechercher à quelles conditions une matrice est co--diagonalisable II--l. Une relation d'équivalence : Etant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, ces matrices sont dites satisfaire la relation a: si et seulement si ces deux matrices sont co-semblables : ---1 AÆBOEHSEGLn(C)ZB=SA.S . Démontrer que la relation % est une relation d'équivalence dans l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre n. II--2. Indépendance des vecteurs co--propres : SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n, soient X 1, X 2, ..., X k, k vecteurs co--propres de la matriceA associés à des valeurs co--propres ... , p2, pk ; l'entier k est inférieur ou égal à l'entier 11 (k 5 n). Démontrer que, si les valeurs co--propres ,u,,, p = l, 2, ...,k ont des modules -4/5 - différents les uns des autres (p #= q => |pp| #: H...), la famille (X1, X2,..., Xk) est libre. - En déduire que, si la matrice AZ a n valeurs propres À, p = 1, 2, ..., n , positives ou nulles, (AP 2 O), distinctes les unes des autres (p #= q :> A.}, =}: lq), la matriceA est co--diagonalisable. 11--3. Quelques propriétés : a. Soit S une matrice carrée complexe d'ordre n inversible (S G GL,,(C )) ; soit A la matrice définie par la relation A=S.S . Calculer la matrice produit AÂ . b. SoitA une matrice carrée complexe d'ordre n telle que AZ : I... démontrer qu'il existe au moins un réel 9 tel que la matrice S (9) définie par la relation ci-dessous S(9) : e"'A +e'"' [,,, soit inversible. Calculer, en donnant au réel 9 cette valeur, la matrice A.S(6) ; en déduire la -------1 matrice S(9).S(8) . II-4. Une condition nécessaire : Soit A une matrice d'ordre n co--diagonalisable Il existe par suite une matrice S inversible telle que la matrice S"1A.Ë soit diagonale. Démontrer que la matrice AÂ est diagonalisable, que ses valeurs propres sont positives ou nulles et que le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice AÂ . II-S. Exemples : a. SoitA une matrice symétrique réelle d'ordre n ; est--elle co--diagonalisable ? b. SoientA, B, C etD les matrices d'ordre 2 suivantes : il 1-1 A: ,B_-_- , (or) (11) 01 1' ,D= '. (00) (il) Est-ce que ces matrices sont diagonalisahles ? co--diagonalisables ? FIN DU PROBLÈME -5/5--

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 Mines Maths 1 PSI 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Beck (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) et Sébastien Gadat (ENS Cachan). Ce problème traite d'une notion nouvelle, par rapport au programme, d'algèbre linéaire : les valeurs co-propres et les vecteurs co-propres. La principale difficulté du problème réside donc dans la nouveauté et non dans la théorie elle-même. · La première partie permet de se familiariser avec cette nouvelle notion et de la relier à celles de matrice, de valeur propre et de vecteur propre. Elle offre des exemples et des contre-exemples permettant d'éclairer les théorèmes démontrés. · La deuxième partie est consacrée à la co-diagonalisation et à ses liens avec la diagonalisation. Elle se termine par des exemples qui illustrent les différents théorèmes vus dans cette partie. Indications Partie I I-1.a Choisir deux valeurs co-propres pour un même vecteur co-propre et vérifier qu'elles sont égales. i I-1.b Prendre x = e- 2 x. I-1.c Utiliser la question I-1.b. I-1.d Calculer u(v(ax + y)). I-2.a Prendre les vecteurs u(ei ), 1 6 i 6 n, comme colonnes de la matrice. I-2.b Écrire les changements de base X = PX , Y = PY puis utiliser les égalités AX = Y et BX = Y . I-3.a Résoudre à la main le système AX = µX et trouver pour quelles valeurs de µ il possède une solution non nulle. I-3.b Considérer un vecteur propre associé à la valeur propre . I-4.a Conjuguer l'expression AX = µX. I-4.b.i Montrer qu'on peut écrire AX = X puis montrer que ||2 = ; enfin, utiliser la question I-1.b. I-4.b.ii Calculer A AX + X et choisir et convenablement. I-4.c Utiliser la question I-4.a, puis la question I-4.b. I-4.d Calculer Am Am et utiliser la question I-4.c. I-5.a Remarquer que les valeurs propres de A sont les éléments diagonaux de la matrice A. Ensuite, utiliser la question I-4.b et la question I-1.b. I-5.b Selon le même raisonnement qu'à la question I-5.a, |µ|2 est valeur propre de AA. On utilise ensuite les questions I-4.b et I-1.b. I-5.c Utiliser la question I-5.a, puis résoudre le système AX = X. I-6 Utiliser la question I-1.b pour montrer que |µ| est une valeur co-propre de A, puis écrire X = X1 + iX2 où X1 et X2 sont réels. Pour la réciproque, découper le vecteur propre X en deux vecteurs X1 et X2 de taille n et prendre X1 +iX2 ; utiliser enfin la question I-1.b. Partie II II-1 Vérifier la réflexivité, la symétrie et la transitivité. II-2 Utiliser la question I-4.a et ce qu'on sait sur les vecteurs propres d'une matrice. Pour la deuxième partie, effectuer un changement de base et utiliser la question I-2.b. -1 II-3.a Remarquer que S-1 = S . II-3.b det(S()) = eni A -e-2i , où A est le polynôme caractéristique de A. Il a donc un nombre fini de racines. II-4 Écrire que S-1 AS = D et S-1 AS = D, puis calculer le produit. II-5.a La matrice A se diagonalise en base orthonormée (réelle). II-5.b Pour les co-diagonalisations, utiliser la question II-4 ou raisonner à la main. Pour la diagonalisation de B et D, calculer B et D . Partie I I-1.a Soient et µ tels que u(x) = x = µx. On a alors ( - µ)x = 0 donc, comme x 6= 0, - µ = 0. D'où = µ. Il existe donc au plus un nombre complexe µ tel que u(x) = µx. i I-1.b Soit x un vecteur co-propre pour la valeur co-propre µ, posons x = e- 2 x. i Alors i u (x ) = e- 2 u(x) = e 2 µx = ei µx Comme x 6= 0, alors x 6= 0 et x est un vecteur co-propre pour la valeur co-propre ei µ. On a en fait montré que si on avait une valeur co-propre, alors tous les nombres de même module étaient aussi valeur co-propre. L'ensemble des valeurs co-propres de u est donc formé de cercles de centre O dans le plan complexe. i I-1.c Si µ est non nul et si x appartient à Eµ , d'après la question I-1.b, alors e- 2 x appartient à Eei µ . Comme µ 6= 0, si 6 0 [2] alors µ 6= ei µ. Et d'après la question i I-1.a, x = e- 2 x ne peut appartenir à Eµ quand x est colinéaire à x. Si µ est non nul, Eµ n'est pas un espace vectoriel complexe. Si µ est nul et si x et y appartiennent à E0 , alors (, ) C2 u(x + y) = u(x) + u(y) = 0 D'où x + y appartient à E0 . E0 est un espace vectoriel complexe. Si x et y appartiennent à Eµ alors (, ) R2 u(x + y) = u(x) + u(y) = µx + µy Or et sont réels et donc égaux à leur conjugué, ce qui donne u(x + y) = µ(x + y) D'où x + y appartient à Eµ . Les Eµ sont des espaces vectoriels réels. I-1.d u v est linéaire. En effet (, ) C2 Or donc u v(x + y) = u(v(x) + v(y)) = u v(x) + u v(y) z C z=z u v(x + y) = u v(x) + u v(y) u v est une application linéaire. n P I-2.a Pour tout j, on a u(ej ) = aij ei . Posons alors A = (aij )16i,j6n . Les vecteurs i=1 colonnes de la matrice A sont en fait les {u(ej )}16j6n . Ainsi, on a x = n P xj ej u(x) = j=1 soit y = u(x) = n P j=1 D'où xj n P xj u(ej ) j=1 n P aij ei i=1 yi = n P = n P i=1 n P aij xj j=1 ! ei aij xj j=1 On reconnaît l'écriture matricielle de l'expression de Y = AX. I-2.b Soit x dans E, on appelle X (respectivement X ) la matrice colonne associée à x dans la base (ei )16i6n (respectivement (fi )16i6n ). De même pour y = u(x), on appelle Y (respectivement Y ) la matrice colonne associée à y dans la base (ei )16i6n (respectivement (fi )16i6n ). Le changement de base s'écrit X = SX et Y = SY . De plus, on a AX = Y. On en déduit que SY = ASX puis que Y = S-1 ASX . Or on a aussi par définition de B, BX = Y . D'où B = S-1 AS I-3.a On résout le système AX = µX. Ce système s'écrit -b = µa a = µb La deuxième équation donne a = µb. En reportant cette expression de a dans la première équation, on obtient (1 + |µ|2 )b = 0. Comme 1 + |µ|2 6= 0, on en déduit que b = 0 et, par conséquent, a = 0. Ainsi, X = 0. Finalement, A n'a aucune valeur co-propre, ni aucun vecteur co-propre. I-3.b A est une matrice réelle avec une valeur propre réelle ; il existe alors des vecteurs propres, associés à cette valeur propre, à coordonnées réelles. Soit X un vecteur propre non nul associé à à coordonnées réelles. On a donc X = X et AX = X. D'où AX = X. est valeur co-propre de A.