Mines Maths 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude de certains endomorphismes du corps des quaternions
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire, nombres complexes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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00 MATH. I - PSI , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATÆONS, DES MINES DE PARIS, DES M]NES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES T"ELÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE FILIERE PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-BNP. L'emploi de la calculette est interdit Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES I - PSI. L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 4 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le but de ce problème est l'étude d'endomorphismes définis par l'action d'un groupe sur un espace vectoriel de matrices complexes. SoitM l'ensemble des matrices complexes m d'ordre 2 qui s'écrivent sous la forme suivante : a ib m= _ . ib ?: Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, i vérifie i2 = --1, â (resp. 5) est le nombre complexe conjugué de a (resp. b). Partie préliminaire 0. L'ensemble M est un espace vectoriel réel : Démontrer qu'en munissant l'ensembleM de l'addition des matrices et de la multiplication des matrices par un réel, l'ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa dimension. Démontrer que le produit de deux matrices m1 et m; de l'espaceM appartient àM. Soit 1 la matrice unité d'ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l'espace vectoriel M ; la matrice transposée de la matrice m est notée 'm. Si p est un entier naturel, mp est le produit de la matrice m -1/4- p--fois par elle--même ; classiquement m0 = ]. Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l'espace M dont le déterminant est égal à 1 : G= {geM | detg= l}. 11 est admis que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe. Soit U le sous-ensemble des matrices u de l'espaceM antisymétriques dont le carré est égal à l'opposé de la matrice identité : U= {u GM | u+'u=0, u2 =--I}. Soit Vle sous-ensemble des matrices symétriques v appartenant à l'espace M : V= {veM | V: 'v}. Il est admis que le sous--ensemble VdeM est un sous-espace vectoriel réel. Soient ml et m; deux matrices appartenant à l'espace vectoriel M ; il est admis que la trace de la matrice m1.'m2 est réelle ; soit (ml | m2) le réel défini par la relation suivante : (m1 | 1712) = --â--Tr(ïñLth) = --â---Tr(mflfiù. L'égalité entre les traces des matrices ñ1.'m2 et m1.'fi2 est admise. Il est admis que l'espace (M, (. | .)) est un espace euclidien. Si le produit scalaire (ml | m2), de deux matrices m1 et 1112, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le sous-espace vectoriel V de M est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par celui de M. Première partie I.]. Propriétés élémentaires des matrices de l'espaceM : Soit m une matrice de l'espace M ; démontrer que les matrices m +'m et m. % s'expriment au moyen de la matrice identité ], du déterminant detm, de la trace Trm de la matrice m. Soit g une matrice appartenant àM ; déduire du résultat précédent que, pour qu'une matrice g de l'espaceM appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu'il existe une relation simple entre les matrices g"1 et fg. Soit m une matrice de l'espaceM dont la trace est nulle (Trm = O) ; établir la relation : m = --' m ; calculer les matrices mz, ('m)2 en fonction du déterminant de la matrice m et de la matrice unité ]. 1.2 Matrices u : Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble U défini ci-dessus. Soit m une matrice de l'espace M, u une matrice de l'ensemble U. Comparer les deux produits de matrices : m.u et u.fi Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est nulle (Trm = 0), les deux matrices mn et u.m appartiennent au sous-espace vectoriel V. 1.3. Norme d'une matrice m : Soit m une matrice de l'espaceM ; calculer la norme de la matrice m (|| m "= J (m | m) ) en -2/4- fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de l'espace M la norme Il m.w II du produit des matrices m et w avec le produit Il m Il . Il w II des normes de ces matrices. 1.4. Matrices appartenant à G : &. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s'écrit, de manière unique, sous la forme g =] cosô+m, où 9 est un réel appartenant au segment [O, n] et m une matrice de trace nulle (T rm = 0) qui appartient àM. Calculer, en fonction du réel 9, le déterminant de la matrice m, ainsi définie à partir de la matrice g, ainsi que le carré m2 de la matrice m. b. Soit m une matrice de l'espaceM différente de 0 (m = O) : démontrer que la matrice g; définie par la relation ci-dessous appartient au groupe G : gl : __1__m Jdetm I-5 Un sous-groupe de G : Soit gl une matrice de trace nulle (Trgl = O) appartenant à G ', soit G(g1) l'ensemble des matrices Mg définies par la relation suivante mo = I cosû +g1 sin9, où 9 un réel quelconque appartenant au segment [O, 27r] ; soit : G(g1) = {mg = I cos9+g1 sin9 | 8 & [O,27r]}. Démontrer que l'ensemble G(g1) est un sous-groupe commutatif du groupe G. Deuxième partie Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le sous-espace vectoriel Vdes matrices symétriques deM à l'aide d'une matrice du groupe G. Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle (T rg = O) ; étant donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel Vsoit lg (w) la matrice définie par la relation suivante : lg(w) = g.w + w. 'g. II--l. L'endomorphisme 1g de V: a. Déterminer la dimension du sous--espace vectoriel réel Vde l'espace vectoriel M. Déterminer une base de ce sous-espace vectoriel. b. Démontrer que l'application lg : w r--+ lg(w) est un endomorphisme de l'espace vectoriel V. Démontrer que cet endomorphisme lg n'est pas nul. -3/4- II--2. Propriétés de l'endomorphisme lg : a. Comparer l'endomorphisme lg o !g : w r--> lg(lg(w)) à l'endemorphisme w r--> 2g.lg(w). Calculer l'expression lg (g.lg (w)) en fonction de 1g (w). Comparer les deux normes Il lg(w) " et Il g.lg(w) Il. Calculer, pour une matrice u de l'ensemble U, l'expression lg(g.u). b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et w de l'espace V, les produits scalaires (lg(v) | w) et (v | lg(w)). En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme lg. c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de V, les matrices lg (w) et g.lg (w) sont perpendiculaires. II-3. Une base de l'espace V: Etant données une matrice v de l'espace vectoriel Vtelle que son image par l'endomorphisme 18 soit différente de 0 (lg(v) i 0), une matrice u de l'ensemble U (u appartient àM, est antisymétrique, u2 = --I), soient kg le produit des matrices g et u, h1 l'image de la matrice v par l'application lg, h; le produit des matrices g et lu : ho : g.u, h1 : lg(v), h; : g.lg(v). a. Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices h,, 0 5 i S 2, et des matrices h,--,O 5 i S 2, deux àdeux : (u | hi),05i52,(hk | h;),05k5152. b. Démontrer que la suite des matrices h ,-, 0 S i S 2, est une base de l'espace vectoriel V. Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme lg dans cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à l'endomorphisme --12--lg. II-4. Un endomorphisme de l'espace vectoriel M : Soit 9 un réel donné appartenant au segment [0,2n] ; soit me la matrice appartenant au groupe G (question 1--5) définie par la relation suivante : 1119 = 10059 +gsin0. Soit Sg l'application qui, à une matrice w de l'espace vectoriel M, associe la matrice m9.w. sa : w ---> mg.w. Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme se dans la base définie par les matrices u, ho, hi, h2- FIN DU PROBLEME -4/4 -

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 Mines Maths 1 PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Guéron (Mines de Paris) ; il a été relu par Cyril Niboyet (Mines de Paris) et Thomas Chomette (ENS Ulm). L'épreuve porte sur l'étude de certains endomorphismes du corps M des quaternions de Hamilton. Dans la partie préliminaire, on étudie la structure de l'ensemble M. On montre en particulier que c'est une algèbre sur R. L'ensemble des quaternions est ensuite doté d'une structure euclidienne (ces résultats sont fournis dans l'énoncé et admis par les candidats) dans le cadre de laquelle les endomorphismes définis dans la suite seront étudiés. La première partie consiste en l'étude de diverses relations entre un élément de M et des éléments déduits par transposition ou conjugaison. Ces relations permettent de simplifier les calculs de la deuxième partie. On introduit aussi un groupe de matrices de M qui agit sur M par l'intermédiaire de l'application ( M - M s : g 7- m g Dans la deuxième partie, on s'intéresse à un endomorphisme du sous-espace vectoriel de M constitué des matrices symétriques, et qui permet de définir une base dans laquelle la matrice de l'application s s'exprime de manière agréable. Indications Partie Préliminaire 0. Vérifier la stabilité par multiplication uniquement sur des vecteurs de base de M. Première partie I.1 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour le calcul de m2 . I.2 Vérifier la propriété pour des vecteurs de base du noyau de l'application trace et conclure en utilisant la linéarité de l'application produit matriciel. I.4 Montrer que Re a peut se mettre sous la forme cos et utiliser les résultats de la question I.1. Deuxième partie II.1.b Montrer que si lg est nulle, alors g est antisymétrique et conclure en exhibant une absurdité. II.2.a Se rappeler que g 2 = -I. Utiliser le fait qu'une matrice à la fois symétrique et antisymétrique est nulle. t II.2.b Utiliser le fait que g = - g et ne pas oublier que v est symétrique. II.2.c Se servir d'un résultat de la question II.2.a. II.3.a Calculer les produits scalaires (hi |hj ) (i < j) à l'aide de l'endomorphisme adjoint de lg . II.3.b Ne pas oublier qu'un espace euclidien de dimension trois peut être muni d'un produit vectoriel et que la matrice d'une telle application dans une base orthonormée est antisymétrique. Partie préliminaire 0 L'ensemble M est un espace vectoriel réel Comme M est un sous-ensemble de M2 (C), qui possède déjà une structure de R-espace vectoriel, il suffit de vérifier sa stabilité par addition et multiplication par un réel quelconque . À a et b appartenant à C, associons m(a, b) la matrice définie par : m(a, b) = a ib ib a La correspondance ainsi définie de C2 considéré comme R-espace vectoriel de dimension quatre dans M est clairement linéaire, (a, b, c, d) C4 , R m(a, b) + m(c, d) = m(a + c, b + d) ce qui montre la stabilité de M. D'autre part, cette application est injective et, par définition de M, surjective. Elle induit donc une bijection entre R4 et M ce qui montre que M est de dimension quatre. On va d'ores et déjà introduire une base de M qui sera très utile par la suite. Les quatre vecteurs qui la composent sont : 1 0 i 0 0 i 0 -1 I= J= K= L= 0 1 0 -i i 0 1 0 Dans cette base m(a, b) se décompose en : Re a I + Im a J + Re b K + Im b L L'intérêt de cette base est que certains sous-espaces vectoriels, dont on se servira par la suite, s'y expriment simplement. Ainsi, le noyau de l'application trace est l'espace vectoriel engendré par J, K et L ; l'ensemble des matrices symétriques est l'espace vectoriel engendré par I, J et K ; enfin, l'ensemble des matrices antisymétriques est la droite vectorielle engendré par L. On verra aussi que, pour le produit scalaire défini plus loin, cette base est orthonormale. On remarque que ces quatre matrices se multiplient particulièrement simplement entre elles : J2 = K2 = L2 = -I JK = -KJ = L KL = -LK = J LJ = -JL = K En particulier, par bilinéarité du produit matriciel, ces relations montrent que M est stable par produit matriciel, c'est-à-dire que c'est une R-algèbre. ­ L'ensemble G des matrices de M de déterminant 1 est un groupe pour la multiplication matricielle car il est stable par cette opération (si u et v sont deux matrices carrées de même taille, alors det(uv) = det u det v) et il est stable par l'opération d'inversion. En effet si m(a, b) appartient à G, son inverse a pour déterminant 1, au vu de la relation det m det m-1 = det I = 1, et n'est autre que la transposée de la comatrice de m qui est m(a, -b). ­ Quant à V, il est aisé de vérifier que c'est un sous-espace vectoriel réel de M. On a déjà remarqué plus haut que V = Vect (I, J, K). On peut remarquer que M est stable par conjugaison et par transposition. Par t conséquent, pour m1 et m2 appartenant à M, le produit m1 m2 appartient aussi à t M et donc sa trace est réelle. De plus, comme on a m1 t m2 = m2 t m1 et que la trace est invariante par transposition, l'application (.|.) est symétrique. Pour montrer que c'est un produit scalaire euclidien, il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est définie positive, ce qui sera fait à la question I.3. L'application de Mn (C)×Mn (C) dans C qui, à m1 et m2 associe Tr m1 t m2 est le produit scalaire hermitien usuel sur cet espace. Pour ce produit scalaire, le carré de la norme d'une matrice est la somme des carrés des modules de ses coefficients. On peut vérifier très facilement en utilisant la table de multiplication des vecteurs I, J, K, et L que ces derniers constituent une base orthonormée de M. Première partie I.1 Propriétés élémentaires des matrices de l'espace M Un bref calcul donne a + a ib - ib m + tm = = Tr m I ib - ib a + a t et m m= aa + bb -iab + iab = det m I iab - iab aa + bb t D'une part, comme det(m) = det( m) (car det(m) est réel), la deuxième relation t montre que m et m commutent. D'autre part, cette même égalité montre que g G g -1 = t g L'ensemble des éléments de M de trace nulle est l'espace vectoriel engendré par J, K et L. Soit donc m telle que Tr m = 0. Il existe donc trois réels a, b et c tels que m = aJ + bK + cL. On obtient alors : m = aJ + bK + cL = -aJ - bK + cL et d'où t m = -a t J -b t K +c t L = -aJ - bK - cL = -m m = - tm