Pré-sujet de probabilités des Mines (MP-PC-PSI) 2014

Thème de l'épreuve File d'attente à une caisse de supermarché
Principaux outils utilisés probabilités, suites et séries de fonctions, séries entières
Mots clefs loi, fonction caractéristique

Corrigé

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File d'attente M/Gl/1 COMP Epreuve 0 de probabilités On considère la file d'attente à une caisse de supermarché. Il y a un serveur et un nombre de places infini. Les clients sont servis selon la discipline << premier arrivé, premier servi >>. On appelle << système >>, l'ensemble des clients en attente et du client en service. On considère (A... n 2 1) la suite de variables aléatoires à valeurs dans N où An représente le nombre de clients arrivés pendant le service du client n. On définit la suite (X... n 2 1) comme suit An ' Xn : 07 XO : 0 et Xn+1 : { +1 81 (1) Xn--1+An+l san>0. On suppose que les variables aléatoires (A... n 2 1) sont indépendantes et de même loi, de loi commune celle d'une variable aléatoire A. Hypothèse : On suppose que -- A est à valeurs entières, -- P(A 2 n) > 0 pour tout entier n, -- A a une espérance finie, on note p = E [A]. 1 Fonction caractéristique Dans cette section X représente une variable aléatoire quelconque à valeurs dans N. On définit sa fonction caractéristique çbX par ÇbxîR-->C tl--> E le"X] . 10. . Montrer que çbX est continue sur R et périodique. . Soit X et Y deux variables aléatoires a valeurs dans N telles que çbX : çby. Montrer que X et Y ont même loi. Indication : on pourra considérer les intégrales 1 '" _@ Ik : % _7T Ç/Ôx(t)EUR kt dt. pour tout entier k. . Si E [X] < +oo, montrer que çbX est dérivable sur R et calculer çb'X(0). . Calculer la fonction caractéristique d'une variable aléatoire Z : Y + 1 où Y est de loi géométrique de paramètre p. Remarques préliminaires . Etablir que Xn représente le nombre de clients dans le système au moment du départ du client n. . Existe--il M > 0 tel que P(Xn S M) = 1 pour tout n 2 O? . Montrer que pour tout n 2 17 Xn+1 -- Xn Z --1. . Pour tout n 2 O, montrer que les variables aléatoires Xn et An+1 sont indépendantes. Convergence . Etablir l'identité suivant pour X une variable aléatoire a valeurs entières : E lEURüX1{x>0}l = $X(t) -- P(X = 0) Pour tout entier n, établir la relation suivante : cbxn+1(t) = @A(t) lEUR_itcbxn(t) + (1 -- EUR_ü)P(Xn = 0)l - On suppose dorénavant que 0 < p < 1. On admet qu'alors la suite (P(Xn : O), n 2 1) converge vers une limite, notée oz. On suppose que A n'est pas arithmétique, c'est--à--dire que lç/5A(t)l < 1 pour 15EUR {2k7r, le E Z}. On pose 9 : [--7T, 7T] _) C 0 l--> 1 $AÜÙÜ=--6_ü) 1 --qôA(t)e--it 11. Etablir le développement limité a l'ordre 1, de çbA au voisinage de O. Él-->Oz pour t # O. 12. Que doit valoir oz pour que 9 soit continue en 0 ? 13. On fixe 6 > 0. Pour tout t E [--7T, 7T]\{0}, identifier & EUR]0, 1[ tel que pour tout entier n suffisamment grand, on ait l'identité suivante : lq'Xn+1(t) _ 9(t)l É 5t lÔXn(t) -- 9(t)l + EUR. 14. Montrer que la suite de fonctions ($X... n 2 1) converge simplement vers 9_ 4 Application On suppose que 1 t=----------+. @@) 1+p--pW 15. Identifier la loi de A. 16. Montrer que q5A satisfait les hypothèses requises. 17. Calculer 9 et identifier la loi de Y.

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 Pré-sujet de probabilités des Mines 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université). Voici le sujet que le concours des Mines propose comme « sujet 0 », et qui donne une idée du ton des futures épreuves traitant de probabilités. Le problème porte sur la modélisation d'une queue de clients, lorsque le nombre de clients arrivant à chaque instant n suit une loi fixée. À l'aide de la fonction caractéristique, on établit notamment une loi « limite » pour le nombre de clients restant à servir. · La première partie fait démontrer quelques généralités sur la fonction caractéristique d'une variable aléatoire à valeurs dans N. Les propriétés prouvées sont des grands classiques de la théorie des probabilités qui, si elles n'apparaissent pas dans le programme, seront très probablement réintroduites dans de nombreuses épreuves. On montre notamment que la fonction caractéristique caractérise la loi : deux variables aléatoires (à valeurs dans N, ici) ont même loi si et seulement si elles ont même fonction caractéristique. · Dans la deuxième partie, on montre quelques propriétés utiles sur les variables aléatoires An (nombre de clients arrivant entre l'instant n et l'instant n + 1), censées toutes suivre la même loi qu'une variable A, et sur les variables aléatoires Xn (nombre de clients dans la queue). · La troisième partie permet de montrer que, sous certaines hypothèses supplémentaires, la suite des fonctions caractéristiques des Xn converge simplement vers une fonction donnée. · Enfin, dans la dernière partie, on montre que les hypothèses de la partie précédentes sont bien vérifiées lorsque la loi commune aux An est une certaine loi géométrique, et on identifie la « loi limite » de la suite (Xn )nN . L'épreuve est d'une longueur très raisonnable et de nombreuses questions sont des applications assez directes du cours de probabilités du nouveau programme ; les principales difficultés sont finalement plutôt du domaine de l'analyse, les techniques de sommation et de majoration devant être correctement maîtrisées. Indications Partie 1 1 Écrire X (t) sous la forme de la somme d'une série en utilisant la formule de transfert. Invoquer ensuite le théorème de continuité pour les séries de fonctions. 2 Montrer que, pour tout entier k, Ik = P(X = k) et en déduire que X et Y ont la même loi. 3 Utiliser le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions. 4 L'énoncé présente une légère coquille, la variable intéressante est Z = Y - 1, et non Y + 1. 5 Procéder par disjonction des cas, selon la valeur de Xn . Partie 2 6 Si M > 0, choisir un réel N > M, et montrer que P(Xn > M) > P(A > N) > 0. 7 Procéder par disjonction des cas, selon la valeur de Xn . 8 Remarquer que Xn est une fonction de (A1 , A2 , . . . , An ) pour n > 1. Partie 3 10 Partir de la décomposition 1 = 1(Xn >0) + 1(Xn =0) , multiplier par e itXn+1 puis passer aux espérances. 13 Forcer l'apparition de Xn (t) - (t) ; le préfacteur est, en module, égal à A (t) que l'on pourra donc identifier à t . Après application de l'inégalité triangulaire, il reste un terme qui doit tendre vers 0 quand n tend vers l'infini, et qui devient donc « epsilonesque » pour n suffisamment grand. 14 La propriété est évidente lorsque t 2Z. Dans le cas contraire, montrer que si ] 0 ; 1 [, alors toute suite positive vérifiant « pour tout , il existe un entier à partir duquel vn+1 6 vn + » converge vers 0. Partie 4 15 Exprimer A sous la forme d'une série trigonométrique puis utiliser la question 2. 16 Ne pas oublier de montrer que A est à valeurs dans N, que P(A > n) > 0 pour tout entier n, que A (t) < 1 pour tout t / 2Z, et que E[A] = ] 0 ; 1 [. 17 L'énoncé ne le précise pas, mais la variable Y est une variable dont la fonction caractéristique est . 1. Fonction caractéristique 1 La formule de transfert permet d'expliciter l'espérance de e itX , qui existe bien puisque e itX est bornée en module par 1 : + P t R X (t) = E[e itX ] = pn e int n=0 où l'on a noté pn = P(X = n) pour tout entier n. Définissons la suite de fonctions (un )nN par un : t 7 pn e int . Chaque fonction un est continue, bornée et + P P kun k = pn pour tout n N. Comme pn = 1, la série de fonctions un converge n=0 donc normalement et, en particulier, elle converge uniformément. Un théorème du cours assure alors que sa somme est continue. En conclusion, X est continue sur R. P Lorsqu'une série de fonctions un converge simplement et a pour somme une fonction F, alors certaines propriétés sont conservées par passage à la limite simple, comme la périodicité, la croissance, la convexité (en filière MP)... et d'une manière générale toutes les propriétés qui ne demandent qu'à comparer des valeurs de F en un nombre fini de points (propriétés ponctuelles). En revanche, la continuité des un et la convergence simple n'assurent pas en général la continuité de F : on doit montrer que la série converge uniformément (par exemple parce qu'elle converge normalement), au moins localement, c'est-à-dire sur tout segment de l'intervalle de définition. Enfin, chaque un est une fonction 2-périodique ; notamment, puisque toutes les séries convergent, on a pour tout réel t : + + P P X (t + 2) = un (t + 2) = un (t) = X (t) n=0 donc n=0 X est 2-périodique. Puisque X est continue et 2-périodique, on en déduit qu'elle est bornée. Cependant, il est aisé de montrer ce résultat directement : grâce à la convergence absolue de la série de fonctions, on a + t R X (t) 6 P + pn e int = n=0 P pn = 1 n=0 Ce résultat reste d'ailleurs vrai lorsque X est une variable aléatoire quelconque (pas forcément à valeurs dans N). 2 Soit k un entier naturel. En écrivant + t [ 0 ; 2 ] X (t) = P P(X = n) e int n=0 on obtient Ik = 1 2 Z + P - n=0 P(X = n) e i(n-k)t dt | {z } =vn (t) P Puisque kvn k = P(X = n) pour tout nP N, la série numérique kvn k converge, c'est-à-dire que la série de fonctions vn converge normalement, et donc uniformément. Ainsi, on peut intégrer terme à terme dans l'égalité précédente : Z + X 1 i(n-k)t e dt Ik = P(X = n) · 2 - n=0 Or, un résultat extrêmement classique est le suivant : ( Z 1 i(p-q)t 1 p, q Z e dt = p,q = 2 - 0 si p = q sinon En effet, si p = q, on intègre la fonction constante égale à 1, et si p 6= q, on sait calculer une primitive de t 7 e i(p-q)t , qui est t 7 e i(p-q)t /i(p - q) et est donc 2-périodique. En conclusion, on a donc montré que + P Ik = P(X = n) n,k = P(X = k) n=0 Ceci étant valable pour tout k N, on a donc déduit la loi de X de la connaissance de sa fonction caractéristique. Notamment, si X et Y ont même fonction caractéristique, alors pour tout entier naturel k, on a Z Z 1 1 Y (t) e -ikt dt = X (t) e -ikt dt = P(X = k) P(Y = k) = 2 - 2 - Deux variables aléatoires à valeurs dans N ayant même fonction caractéristique ont même loi. Le but de cette question est de montrer que la fonction caractéristique caractérise la loi, c'est-à-dire que la connaissance de X suffit (du moins du point de vue théorique) à déterminer entièrement la loi de X. Notamment, deux variables aléatoires ayant même fonction caractéristique ont même loi. La démonstration générale de cette propriété est assez délicate ; s'agissant de lois discrètes à valeurs dans N, elle est beaucoup plus facile. 3 On suppose que « E[X] < + », c'est-à-dire que X admet une espérance. On rappelle que l'on a noté, dans la question 1, un : t 7 pn e int pour tout n N ; ce sont des 1 fonctions de classe C 1 . On peut alors montrer que P X est de classe C en prouvant la convergence uniforme de la série des dérivées un . Puisque un : t 7- in pn e int on a donc kun k = n pn n N P Or, dire que X P admet une espérance, c'est précisément dire que la série n pn converge. Ainsi, un converge normalement, et donc uniformément. Le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions assure que X est de classe C 1 + et que, de plus X : t 7- X (0) = P in pn e int n=0 + Notamment, P in pn = i E[X] n=0