e3a Maths 2 PSI 2017

Thème de l'épreuve Autour des matrices nilpotentes
Principaux outils utilisés éléments propres, réduction, sous-espaces vectoriels de matrices, topologie
Mots clefs matrice nilpotente, matrice symétrique, matrice antisymétrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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162

(EUR)
E' 3 a
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP -- POLYTECH

Epreuve de Mathématiques 2 PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne 
seront pas pris
en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Tournez la page S.V.P.

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Dans tout le problème: on note EUR : .///n(R), On désigne la matrice nulle de 
6" et In la matrice unité de EUR .
Pour toute matrice A de EUR, on note 1"A la matrice transposée de A.

Pour tout couple (i, j ) EUR [[1, MP. EjÏj désigne la matrice de 6" dont tous 
les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne i et de la
colonne j qui vaut 1.

On note 5"n(lR) l'ensemble des matrices symétriques de EUR .

On dit qu'une matrice A de 6" est nilpotente lorsqu'il existe un entier naturel 
p tel que AP : On. En particulier, la matrice
nulle On est nilpotente.

On note ./V l'ensemble des matrices de 6" qui sont nilpotentes .

QUESTIONS DE COURS

1. Quelle est la dimension de EUR ? En donner sans justification une base.

2. Soient (i, j, k,É) EUR [[1, n]]4. Calculer le produit des deux matrices 
E...-- et E.... (On montrera en particulier que ce produit
est nul lorsque j # k)

3. Enoncer le Théorème de Cay1ey Hamilton.

4. K : R ou (C. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une 
matrice M de //ln(K) soit trigonalisable dans

//ln(K).

PARTIE 1 : PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES

Soit A une matrice de ./V

1. La matrice A peut-elle être inversible ? Justifier votre réponse.

2. On note Sp(A) le spectre de A, c'est-à--dire l'ensemble des valeurs propres 
complexes de la matrice A.

Déterminer Sp(A) et donner le polynôme caractéristique de la matrice A.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable.
4. Montrer que le sous-espace vectoriel de 6" engendré par A, noté Vect(A) est 
inclus dans ./V .
5. Vérifier que 'A EUR ./V.
Montrer que si M est semblable a A, alors JW EUR ./V .

. Montrer que A" = On.

oe--1_c>

. En déduire qu'une condition nécessaire et sufiisante pour qu'une matrice M de 
6" soit nilpotente est que : M " = On.

On pourra admettre ce résultat et l'utiliser dans la suite du problème.

9. Montrer que A est trigonalisable dans //{n(R).

Quel est le rang maximal de la matrice A?
10. Soient B et C dans (EUR.
10.1 On suppose que BC EUR ./V. Prouver qu'alors CB EUR ./V.

10.2 Ici, on suppose de plus que l'on a : B EUR ./V et AB : BA.
Montrer que AB EUR ./V et que A+B EUR ./V.

11. Déterminer l'ensemble de toutes les matrices symétriques réelles 
appartenant à ./V .
12. Dans cette question on suppose que la matrice nilpotente A est 
antisymétrique.
12.1 Prouver que A2 = 0...

12.2 En déduire l'ensemble de toutes les matrices antisymétriques appartenant à 
./V . (On pourra utiliser la trace)

PARTIE 2 : EXEMPLES

Dans cette partie M est une matrice de 6".

0 s1 22]
1. Dans cette question, on prend M : (m.-j) EUR (? définie par : V(i,j) EUR 
[[1,n]]2, mij : { , c'est-à--dire :

1 sinon
0 1 1 1
0 0 1 1
M: : : '. :
0 0 0 1
0 0 0 0

1.1 Déterminer les éléments propres (valeurs propres et sous--espaces propres) 
de la matrice M.

1.2 On poseS=M+ tM. A-t-onSEUR./V?

Montrer que S2 6 Vect(l... S). Déterminer alors les éléments propres de la 
matrice S.

1.3 ./V est--il un sous--espace vectoriel de câ' ?

2. Dans cette question on prend 11 : 2.

2.1 On suppose que M est de rang 1.
Montrer que M 2 : tr(llÏ ) M . En déduire que N] est diagonalisabIe ou 
nilpotente.

2.2 Déterminer une matrice nilpotente de J//2(R) dont la diagonale n'est pas 
identiquement nulle.

2.3 En déduire l'ensemble de toutes les matrices nilpotentes de ///2(R).

PARTIE 3 : SOUS-ESPACE ENGENDRÉ PAR ./V

Soient :
. TO le sous-espace vectoriel de 6" constitué des matrices de trace nulle

0 V le sous--espace de (? engendré par ./V : V : Vect(./V ), c'est--à--dire 
l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires (finies)
d'éléments de ./V .

1. Déterminer la dimension de T0.
2. Prouver que ./V et V sont inclus dans TO.

3. Pour tout j EUR [[2,n]], on note :
. Fj : E111 + E1_Ïj '-- j,1 * Ejj
. Gj : Fj -- E1'j +Ej71

3.1 Calculer FÎ.

3.2 Montrer que Gj E V.

Tournez la page S.V.P.

3.3 Soit 9 la famille de matrices de EUR constituée de toutes les matrices 
E..., (i,j) EUR [[1,n]]2 où i # j et de toutes les
matrices Gk pour [EUR EUR [I2,nfl.

Montrer que la famille 3" est libre dans V.

3.4 En déduire que V : TO.

PARTIE 4 : SOUS-ESPACES DE DIMENSION MAXIMALE CONTENUS DANS c/V

Soient 71 le sous-espace vectoriel de £' constitué des matrices triangulaires 
supérieures dont la diagonale est composée uniquement

de O.
1.

2.

Déterminer la dimension de 71.

Montrer que toute matrice nilpotente est semblable a une matrice de 71.

On pourra utiliser des résultats de la partie 1.

. Démontrer que 6" : Yn(lR) @ 7î.

. Soit F un sous-espace vectoriel de 6" contenu dans JV dont la dimension est 
notée d.

n(n -- l)
2 .
Démontrer que l'on a : dim(Yn(R) 0 F) > O. Conclure.

4.1 On suppose que d >

4.2 Quelle est la dimension maximale d'un sous espace de 6" contenu dans ./V ?

Donner un exemple d'un tel sous espace.

PARTIE 5 : UN PEU DE TOPOLOGIE

6" est muni de sa structure d'espace vectoriel normé de dimension finie.

1.

2.

Montrer que ./V est une partie fermée de 6" .
Soient A EUR ./V, a un réel non nul et M : In + aA.
Montrer que det(M ) : 1.

En déduire que toute boule ouverte de centre A contient au moins une matrice de 
rang n puis que l'intérieur de ./V est
vide.

. Soit F un sous--espace de EUR . Montrer que si l'intérieur de F est non vide, 
alors F : EUR.

Retrouver alors le résultat de la question précédente.

PARTIE 6 : DEUX AUTRES RÉSULTATS

Soient A E ./V, 04 un réel non nul et M : In + aA.

1.

On sait que M est inversible. Calculer son inverse a l'aide des puissances de 
la matrice A. On pourra utiliser une suite
géométrique.

. Donner sans démonstration le développement en série entière de la fonction a: 
»--> (1 + :::)1/2.

. Montrer qu'il existe une matrice B de EUR telle que B2 = M.

On exprimera la matrice B comme un polynôme de la matrice A.

-- 171162 -- D apres documents fournis

ÏI\' CFIOÏSY

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Maths 2 PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Sophie Rainero (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à
l'université).

Ce sujet propose d'étudier les matrices nilpotentes de Mn (R). Il est composé de
sept parties. Les cinq dernières sont largement indépendantes les unes des 
autres.
· La partie préliminaire contient quatre questions de cours à traiter 
rapidement.
· La partie I, la plus longue, fait établir quelques résultats généraux sur les 
matrices nilpotentes qui pourront être utilisés par la suite.
· La partie II s'intéresse à deux exemples : le premier considère une matrice 
nilpotente de taille n constituée uniquement de 1 strictement au-dessus de la
diagonale et de 0 ailleurs. Le second propose de décrire l'ensemble des matrices
nilpotentes de taille 2.
· La partie III a pour but de montrer que l'espace vectoriel engendré par les
matrices nilpotentes est l'espace des matrices de trace nulle.
· Dans la partie IV, on démontre qu'un sous-espace vectoriel de Mn (R) 
uniquement constitué de matrices nilpotentes est de dimension au plus n(n - 
1)/2.
· Dans la partie V, on montre que l'ensemble des matrices nilpotentes de Mn (R)
est un fermé d'intérieur vide.
· La partie VI, enfin, considère le cas des matrices qui sont la somme de la 
matrice
identité et d'une matrice nilpotente. On montre que ces matrices admettent un
inverse et une racine carrée, qui s'écrivent l'une et l'autre comme un polynôme
en la matrice nilpotente.
Outre les questions de cours, ce sujet contient dans les parties I à IV des 
questions
classiques sur les matrices nilpotentes (comme la somme de deux matrices 
nilpotentes
qui commutent) et sur les sous-espaces vectoriels classiques de Mn (R) (matrices
symétriques, antisymétriques, triangulaires supérieures). Ces thèmes très 
classiques
doivent absolument être maîtrisés quand on arrive aux concours. Les candidats 
qui
s'étaient bien préparés ont pu traiter ces questions en faisant appel à leur 
mémoire
en plus de leur réflexion, et se ménager ainsi du temps pour aborder les 
parties V
et VI, qui étaient plus difficiles.

Indications
Partie I
I-1 Montrer que A n'est pas inversible en considérant son déterminant.
I-2 Montrer que sp (A) = {0} et que A (X) = Xn .
I-3 Prouver qu'une matrice diagonalisable et nilpotente est forcément nulle.
t

t

I-5 Justifier et utiliser une relation entre ( A)k et ( Ak ) pour k  R.
I-7 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.
I-9 On considérera une matrice triangulaire supérieure stricte de rang n - 1.
I-10.2 On utilisera la formule du binôme de Newton.
I-11 Utiliser le fait que les matrices symétriques réelles sont 
diagonalisables, puis
la question I-3.
t

I-12.1 Grâce à la question I-10.2, montrer que A A est symétrique et nilpotente.
t

I-12.2 Montrer que si Tr ( A A) = 0 alors A = On .
Partie II
II-1.2 Montrer que S est symétrique. De plus, S = J - In avec J la matrice 
carrée
d'ordre n constituée uniquement de 1. Trouver un polynôme annulateur de S.
II-2.1 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton. Distinguer les deux cas Tr (M) 
= 0
et Tr (M) 6= 0.
Partie III
III-3.3 On considérera une combinaison linéaire de ces matrices, puis on 
récrira cette
combinaison dans la base canonique de Mn (R).
III-3.4 Déduire de la question précédente que dim V = dim T0 , puis conclure en
utilisant la question III-2.
Partie IV
IV-1 On exhibera une base de T1 .
IV-3 Montrer que Sn (R)  T1 = {0} puis que dim Sn (R) + dim T1 = dim E .
IV-4.1 Utiliser la formule de Grassmann.
IV-4.2 Utiliser les questions IV-4.1 et IV-1.
Partie V
V-1 Considérer une suite de matrices nilpotentes. Utiliser la question I-7.
V-3 On appliquera ce qui précède au sous-espace vectoriel T0 .
Partie VI
 n-1

P
VI-1 Utiliser l'égalité entre polynômes : (1 - (-X)n ) = (1 + X)
(-X)k .
k=0

VI-3 Soit (ck )kN les coefficients du développement en série entière exprimés à 
la
n-1
P
question VI-2. On montrera que B =
ck k Ak convient, en effectuant un
k=0

produit de Cauchy et en utilisant l'unicité du développement en série entière
de x 7 (1 + x)1/2 .

Questions de cours
QC1

La dimension de E est n2 . Une base de E est (Ei,j )16i,j6n .

QC2 Notons que les coefficients de la matrice Ei,j sont donnés par
Ei,j = (a,i b,j )16a,b6n où  est le symbole de Kronecker.
Posons E = Ei,j Ek, , et notons (ea,b )16a,b6n les coefficients de la matrice 
E. Considérons (a, b)  [[ 1 ; n ]]2 , calculons le coefficient ea,b de la 
matrice E :
ea,b =

n
P

a,i c,j × c,k b, = j,k a,i b,

c=1

Comme (a,i b, )16a,b6n est la famille des coefficients de la matrice Ei, , on 
trouve
Ei,j Ek, = j,k Ei, , en particulier ce produit est nul dès que j 6= k.
QC3 Soit K un corps égal à R ou C. Soit A une matrice de Mn (K), on note A (X)
le polynôme caractéristique de A. Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que
A (A) = On
QC4

La matrice M est trigonalisable dans Mn (K) si et seulement si le polynôme 
caractéristique de M est scindé sur K.
D'après le théorème de d'Alembert-Gauss, tout polynôme de C[X] est scindé.
On en déduit, en particulier, que toute matrice de Mn (C) est trigonalisable.

I. Propriétés élémentaires
I-1 La matrice A étant dans N , on considère, dans toute cette partie, p un 
entier
naturel fixé tel que Ap = On .
Montrons que la matrice A n'est pas inversible. Comme Ap = On et que le
déterminant d'un produit de matrices est égal au produit des déterminants de ces
matrices, il vient
det(A)p = det(Ap ) = det(On ) = 0
d'où det A = 0. On peut donc en conclure que
La matrice A n'est pas inversible.
I-2 Soient   sp (A) et x un vecteur propre de A associé à  : Ax = x.
Une récurrence immédiate montre que pour tout k  N, Ak x = k x. En particulier, 
pour k = p, il vient
0 = Ap x = p x
Comme x n'est pas nul, on en déduit que p = 0, puis que  = 0. Par conséquent,
sp (A)  {0}. Réciproquement, 0 est bien valeur propre de A, car A n'est pas 
inversible d'après la question précédente. Par double inclusion,

sp (A) = {0}
Dans C[X], A (X), le polynôme caractéristique de A, est unitaire, scindé et de 
degré n.
Dès lors, il existe (1 , . . . , n )  Cn tel que
n

A (X) =

 (X - i )
i=1

De plus, les racines de A (X) sont les valeurs propres de A. Ici, les valeurs 
propres
de A sont toutes nulles, donc pour tout i  [[ 1 ; n ]], i = 0. En conclusion,
Le polynôme caractéristique de A est A (X) = Xn .
I-3 Supposons que la matrice nilpotente A soit diagonalisable. La matrice A est
alors semblable à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les 
valeurs
propres de A. D'après la question I-2, la seule valeur propre de A est 0, ainsi 
la
matrice A est semblable à On . Or, seule On est semblable à On , donc A = On .
Réciproquement, la matrice On est diagonalisable et nilpotente. Ainsi,
La matrice A est diagonalisable si et seulement si A = On .
I-4 Soit B une matrice de Vect (A), considérons   R tel que B = A, par 
conséquent, Bp = p Ap = On , d'où B  N . Finalement,
Vect (A)  N
t

t

t

I-5 Rappelons que (CD) = D C pour D et C deux matrices de E . Ainsi, par une
récurrence immédiate sur l'entier naturel k, on a
t

k  N
t

t

(Ak ) = ( A)k
t

( A)p = On = On

Ainsi,

t

En conclusion,

AN

I-6 Supposons que la matrice M soit semblable à la matrice A. Considérons alors
une matrice P inversible de E telle que M = PAP-1 . Une récurrence immédiate
sur k  N montre que
k  N

Mk = PAk P-1

En prenant k = p, il vient Mp = PAp P-1 = POn P-1 = On .
Si M est semblable à A, alors M  N .
I-7 À la question I-2, on a vu que le polynôme caractéristique de A est Xn . De 
plus,
d'après le théorème de Cayley-Hamilton (énoncé à la question de cours QC3), ce 
polynôme est annulateur de A. On en déduit que
An = On
I-8 Lors de la question I-7, on a vu que si M est une matrice de E nilpotente,
alors Mn = On . Réciproquement, si Mn = On , alors il existe bien un entier 
naturel p
tel que Mp = On (prendre p = n). On en conclut donc que
Pour tout M  E , M est nilpotente si et seulement si Mn = On .