E3A Maths B PSI 2014

Thème de l'épreuve Trois exercices: exponentielle de matrice, séries de Fourier et équations différentielles
Principaux outils utilisés diagonalisation, calcul intégral, intégrales à paramètre, espaces vectoriels normés, théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Mots clefs convolution, exponentielle de matrices

Corrigé

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e {3 &: CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH Epreuve de Mathématiques B PSI Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 095 L'usage de calculatrices est interdit. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. Tournez la page S.V.P. Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. EXERCICE 1. Dans tout l'exercice, E désigne l'espace vectoriel normé Æg(R) des matrices carrées d'ordre 3 a coefficients réels. 1 0 0 13 est la matrice unité:lg= 0 1 0 0 0 1 0 --1 0 SoitA= 1 0 0 GE. 0 0 0 1. Citer le Théorème de Cayley-Hamilton. En déduire un polynôme non nul annulateur de la matrice A. 2. La matrice A est-elle diagonalisable dans Æg(C) ? Dans E ? Justifier vos réponses. 3. Soit k E N. Calculer Ak. 4. Démontrer que le sous-espace vectoriel F de E engendré par les puissances de la matrice A est de dimension finie. Exhiber une base 93 de F constituée de puissances successives de la matrice A. 5. Soit 9 E R. On pose, pour tout entier naturel n non nul : s,, = A': E k=O Justifier que S% E F. Donner les composantes de S,, dans la base 93 obtenue a la question précédente. 6. Démontrer que M : lim S,, existe. n-->+oo 7. Vérifier que M E F et donner ses composantes dans la base 95'. 8. Soit % : (61,62,63) la base canonique de l'espace euclidien R3 orienté usuel. Démontrer que M est la matrice dans % d'une rotation vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques. 9. Déterminer les valeurs du réel 9 pour lesquels lim 5% est la matrice d'une symétrie vectorielle. 'ÏL-> OO EXERCICE 2. PRELIMINAIRES 1 £ ln(n). TL 1. D' t : -- ... emon rer que };) 27EUR + 1 n_>+oe 2 On pourra admettre, dans tout le probléme et sans le démontrer, le résultat suivant valable lorsque n tend vers +oo : 'ÏL k=1 ln(n)o TL2 : ln(n) + o(ln(n)) ?Y'll--' 2. Déterminer la nature de la série de terme général Pour tout 95 E R, on pose : f(OE) = \sin(ffi) \ 1. 1.1 Donner une représentation graphique de f sur l'intervalle [--27r, 27r]. 1.2 Déterminer les coefficients réels de Fourier de f. 2. Prouver : 2 cos( ()2noe V E R, ' : _ _ _ oe \s1n(oe) \ 7r îâ_ 4--n2 _ 1 3 En déduire la somme de la série Z # . 4712 -- 1 7121 4. Montrer : . sin2 VOEER, \s1n(oe)\= -- îâ_ 4--nn2(--1) 5. Pour tout entier naturel non nul m, on pose : $ 2 7T/2 ° _ / \s1n(moe) \ d 0 sin(oe) 5.1 Justifier l'existence de p.... 5.2 Soit n E N. Prouver : Vac E R, (Ë( sin( ((2/@ + 1) ))) >< sin(oe )-- -- sin2 (... + 1)oe). 1 1 1 1 + ä + 5 + + ñ 5.3 Démontrer que : Vm E N*, la série Z 4 2 1 nm _ est convergente. 7121 TL _ 5.4 En déduire que : 1 +-- 1 +-- 1 +. .+ --1 16 +00 _ VmEN*, Pm=-- 3 5 271771 1 7T2 4712 -- 1 n=1 . 1 1 6. 6.1 So1tg:oe&-->g(oe)= _ ----. s1n(oe) oe Montrer que g se prolonge en une application continue sur {D, %l 6.2 On note alors pour tout m entier naturel non nul : 2 7T/2 2 7T/2 . oz... : -- / \sin(moe)\g(oe) dac et 6... = -- / M TF 0 TF 0 $ Exprimer p... a l'aide de oz... et fi.... Tournez la page S.V.P. u ' t 7. Soient, pour u > O, G(u) :] M dt. ("+1)" sin t t dtetpournEURN*,vn=/ @ 0 'ïL7T t 7.1 Vérifier que la fonction G est bien définie sur Ri. m7r 7.2 Trouver une relation entre G (Î) et S... pour m E N*. u 7.3 Soit N la partie entière de -- ; vérifier que l'on a, pour u assez grand : 7r N--1 " t u t G(u)--/ Sln()dt+Zvn--i--/ ls1n()ld 0 TL=1 N7T 7.4 En déduire la double inégalité : N--1 . N 2 1 77 t 1 -- \/ s...<)dt+_ -- 7T n=1 n + 1 0 t 77 n_1 n 7.5 Déterminer alors un équivalent de G(u) lorsque u tend vers +00. 8. En déduire un équivalent simple de p... lorsque m tend vers l'infini. EXERCICE 3. Dans tout l'exercice7 n désigne un entier naturel supérieur ou égal a 2. PRÉLIMINAIRES 1. Soit f une application de classe C" définie sur R et a valeurs réelles. (a) Justifier : n--1 (k) 33 _ n-- W en, f(oe) : 2 f k'(0) oe""+/ %th)dt k=0 . 0 . (b) Prouver alors : n--1 (lc) n 1 Vac EUR R, f(oe) : 2 f k'(0) 951EUR + à / (1 -- t)"_1 f<")(oet)dt k=0 . . 0 2. Soient u et @ deux fonctions continues sur R et a valeurs réelles. Prouver que : Vac E R, / u(oe -- t) v(t) dt :] u(t) v(oe -- t) dt 0 0 3. Soient : ca,b,cetddesréelstelsque:a< [c, d] dans R, de classe C1 en la première variable. 3.1 Montrer que l'application H définie sur K par : y H<æ. y) = / f<æ.t> dt C possède des dérivées partielles par rapport a 95 et a y que l'on déterminera. 3.2 Soit G une application de [a, b] dans [c, d] de classe Cl. Montrer en utilisant la question précédente que l'application F définie sur [a, b] par : G(oe) F(oe) :] f(oe,t)dt est dérivable et admet pour dérivée : G(oe) F'(oe) : f(oe,G(oe)) >< G'(oe) +/ â--ï(oe,t) dt C PARTOE11 Soient 90 une fonction continue sur R a valeurs dans R et ao, a1, ..., an_1 des réels fixés. On considère l'équation différentielle : (El) y...) = 90 y y/ 1. Soit X = _ . Déterminer une matrice A E Æn(R) telle que : y(n_1) () X'=AX+B Où B= ' 0 2. Justifier que l'équation (El) admet une unique solution h vérifiant : Vk EUR [[0,n -- 1]], h(0) = 1 et g la fonction définie sur R par : g<æ> = / s<æ--Wdt = / 8(t)w(æ--t)dt 0 0 2. Soit fil la primitive de $ qui s'annu1e en 0. Montrer que : Vac E R, g(oe) :] s'(oe -- t)w1(t) dt 0 3. En utilisant les préliminaires, démontrer que g est dérivab1e et que : OE Vac E R, g'(oe) :] s"(oe -- t) w1(t) dt 0 4. En déduire que : Vac E R, g'(oe) :] 3'(oe -- t)zfl(t) dt 0 5. On admet alors que : w. EUR [[1,n -- 1]], w EUR R, g(oe) :] 3(k)(oe -- 16) W) dt. 0 Prouver que : v.æ EUR R, g(oe) : u(oe) + /. 3(")(oe -- 16) W) dt 0 6. En déduire que g est solution de (Eg). 7. Retrouver alors le résultat obtenu a la partie 1. APPLICATION Soit l'équation différentielle : (Es) y" + y = 04 7r--oe si oeEUR [0,7r] où oz est la fonction définie sur R par : a(oe) : 71" + 95 si 95 EUR [--7r, O] 0 sinon 1. Donner une représentation graphique de la fonction 04 sur R. 2. En utilisant les résultats précédents, déterminer une solution particulière de (E3). On donnera les expressions de cette solution sur chacun des intervalles ] -- oo, --7r[, ] -- 71", 0 [, ]0, 7r [ et ]7T, +oo[. 3. Déterminer l'ensemble des solutions de (E3). FIN DE L'ÉPREUVE

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 E3A Maths B PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Nicolas Martin (ENS Lyon). Ce sujet est composé de trois exercices indépendants. Bien que de nombreuses questions soient des applications directes du cours, il comporte quelques questions difficiles d'un point de vue théorique ou technique et couvre des notions très diverses du programme de deuxième année : réduction de matrices, intégrales impropres convergentes, intégrales à paramètre, séries numériques, séries de Fourier, séries de fonctions, fonctions de plusieurs variables, équations différentielles linéaires. · Dans le premier exercice, on calcule l'exponentielle M d'une matrice carrée d'ordre 3, avant de déterminer à quelle condition M2 représente une symétrie vectorielle. · Dans le deuxième exercice, on commence par développer en série de Fourier la fonction x 7 |sin(x)|. Ce développement permet ensuite d'écrire Z 2 /2 |sin(mx)| m = dx 0 sin x comme la somme d'une série numérique. Enfin, on obtient un équivalent de m à l'aide d'un encadrement par des sommes partielles de séries numériques, sur le principe de la comparaison entre séries et intégrales. Le fait que les séries manipulées dépendent d'un paramètre m ne change pas les méthodes mais peut représenter une difficulté en soi. · Le troisième exercice s'intéresse aux équations différentielles linéaires scalaires d'ordre n. On établit d'abord trois formules utiles pour la suite : la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral, une formule de convolution, puis une formule de dérivation pour une fonction de la forme Z G(x) F(x) = f (x, t) dt c Après ces préliminaires, on obtient à l'issue de la première partie une expression des solutions de l'équation y (n) = . Dans la deuxième partie, on trouve une solution particulière Z x g : x 7 s(x - t)(t) dt 0 de l'équation y (n) + c1 y (n-1) + . . . + cn y = à partir d'une solution s de l'équation homogène associée. Enfin, l'exercice se termine par une application de la deuxième partie à la résolution explicite de l'équation différentielle y + y = avec une fonction triangle. Indications Exercice 1 2 3 4 6 9 Factoriser le polynôme caractéristique de A. Discuter selon la parité de k. Montrer que (I3 , A, A2 ) est une base de F. Déterminer les limites des composantes de Sn . Remarquer que M4 est une rotation. Exercice 2 P.1 P.2 1.2 2 3 4 5.1 5.2 5.4 2n+1 P 1 Séparer les contributions pour k pair ou impair dans . k=0 k Utiliser le critère de Riemann. Linéariser les fonctions trigonométriques. Exploiter le théorème de convergence normale des séries de Fourier. Appliquer le résultat de la question 2 en x = 0. Utiliser cos(2a) = 1 - 2 sin2 (a) ainsi que les questions 2 et 3. Montrer que l'intégrande se prolonge par continuité. Obtenir une somme télescopique via 2 sin a sin b = cos(a - b) - cos(a + b). P Utiliser le théorème d'intégration terme à terme à la série de fonctions un où un : x 7- sin2 (mnx) 8 (4n2 - 1) sin x 6.1 Déterminer un équivalent de sin x - x lorsque x tend vers 0. 7.3 Appliquer la relation de Chasles. 7.4 Encadrer vn entre 2/(n + 1) et 2/n. Exercice 3 P.1.b Utiliser un changement de variables affine. P.3.1 Pour la dérivée partielle selon x, appliquer le théorème de dérivabilité sous le signe intégrale ; on utilisera notamment l'hypothèse « f de classe C 1 par rapport à x » qui signifie ici f (x, t) est continue sur K = [ a ; b ] × [ c ; d ] x Dériver une composée de fonctions de plusieurs variables. Intégrer par parties. Appliquer la formule de dérivation de la question P.3.2. Intégrer par parties à nouveau. Appliquer les résultats de la question II.6 avec ck = 0 et = pour obtenir la solution particulière Z x (x - t)n-1 g : x 7 (t) dt (n - 1)! 0 (x, t) 7 P.3.2 II.2 II.3 II.4 II.7 Conclure à l'aide de la formule de Taylor en 0 pour les polynômes. A.2 Appliquer les résultats de la partie II à n = 2, = , c1 = 0 et c2 = 1. Exercice 1 Exo1-1 On suppose que K = R ou K = C. On dispose alors du Théorème de Cayley-Hamilton : Soit n N , alors le polynôme caractéristique M d'une matrice carrée M Mn (K) est un polynôme annulateur de M. Calculons le polynôme caractéristique A de la matrice A en remarquant qu'elle est diagonale par blocs : X 1 A (X) = det(XI3 - A) = -1 X 0 0 0 X 1 0 =X· = X(X2 + 1) = X3 + X -1 X X X3 + X est un polynôme annulateur non nul de A. Ainsi, Rappelons qu'un polynôme P est annulateur d'une matrice carrée M lorsque P(M) = 0. Ainsi, le résultat de cette question garantit A3 + A = 0, ce que l'on peut vérifier facilement en calculant A3 . Par ailleurs, on a cité la version matricielle du théorème de CayleyHamilton. De même, si E est un C-espace vectoriel de dimension finie et si u L(E), alors le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur de u. Exo1-2 Le polynôme X2 + 1 étant un facteur irréductible dans R[X] du polynôme caractéristique de A, ce dernier n'est pas scindé sur R. Ceci impose que A n'est pas trigonalisable dans E = M3 (R) ; a fortiori, A n'est pas diagonalisable dans E. En revanche, A (X) = X(X2 + 1) = X(X - i)(X + i) est scindé à racines simples dans C et par suite A est diagonalisable dans M3 (C) et sp A = {i, -i, 0}. On rappelle que toute matrice carrée (complexe ou réelle) d'ordre n est trigonalisable dans Mn (C) puisque d'une part son polynôme caractéristique est scindé sur C (théorème de d'Alembert-Gauss) et que d'autre part on dispose de l'équivalence : A scindé sur K A trigonalisable dans Mn (K) Pour la diagonalisabilité, on a l'implication A scindé à racines simples sur K = A diagonalisable dans Mn (K) mais la réciproque est fausse en général. Signalons enfin une caractérisation de diagonalisabilité par les polynômes annulateurs : A est diagonalisable dans Mn (K) si et seulement si elle possède un polynôme annulateur scindé à racines simples sur K. Exo1-3 D'après la question 2, la matrice A est diagonalisable dans M3 (C) et sp A = {i, -i, 0}. En conséquence, on peut écrire i 0 0 A = PDP-1 où D = 0 -i 0 et P GL3 (C) 0 0 0 k puis pour tout entier naturel k, on a Ak = PDP-1 = PDk P-1 . Pour calculer les puissances impaires de D et donc de A, on peut remarquer que 2p+1 i 0 0 (-1)p i 0 0 (-i)2p+1 0 = 0 (-1)p (-i) 0 = (-1)p D D2p+1 = 0 2p+1 0 0 0 0 0 0 de sorte que pour tout p N, A2p+1 = PD2p+1 P-1 = P[(-1)p D]P-1 = (-1)p PDP-1 = (-1)p A En multipliant par A, on en déduit les puissances paires de A : -1 0 p N A2p+2 = Ap+1 A = (-1)p A2 où A2 = 0 -1 0 0 d'où I 3 Ak = (-1)p A (-1)p A2 0 0 0 si k = 0 si k = 2p + 1, p N si k = 2p + 2, p N Exo1-4 D'après les calculs menés à la question 3, les valeurs prises par (Ak )kN sont I3 , A, A2 , -A, -A2 . Mais alors F = Vect (Ak , k N) = Vect (I3 , A, A2 , -A, -A2 ) = Vect (I3 , A, A2 ) Autrement dit, la famille B = (I3 , A, A2 ) est génératrice de F. En conséquence, F = Vect (Ak , k N) est de dimension finie. Montrons que B est libre. De l'expression de A2 obtenue en répondant à la question 3, il vient que pour tout (, , ) R3 , - - 0 - 0 = 0 I3 + A + A2 = 0 = 0 0 ce qui implique que = 0 puis = = 0. Ainsi, (I3 , A, A2 ) est une famille libre de F et par suite La famille B = (I3 , A, A2 ) est une base de F = Vect (Ak , k N). Généralisons ce résultat à une matrice carrée A Mn (K) quelconque possédant un polynôme annulateur P K[X] de degré p N et montrons que F = Vect (Ak , k N) = Vect (In , A, . . . , Ap-1 ) ()