E3A Maths B PSI 2013

Thème de l'épreuve	4 exercices indépendants
Principaux outils utilisés	courbes paramétrées, séries, intégrales généralisées, espaces préhilbertiens, topologie, diagonalisabilité
Mots clefs	courbes paramétrées, podaire, séries de fonctions, développement en série, intégrale généralisée, espace préhilbertien, sous-groupe, norme, diagonalisation, réduction, trigonalisation, vecteur propre, spectre, équivalence des normes

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères

 

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Montrer qu'alors % est une base orthonormale de E.
3. Dans cette question, et uniquement celle--ci, on suppose que @ est une 
famille libre de E.

3.1 Montrer que % est une base de E.

3.2 Énoncer une identité de polarisation liant produit scalaire et norme 
associée.

3.3 En utilisant la pr0priété (P), démontrer : V(oe, y) EUR E2, (æ|y) : 
Z(æ|e,-)(yle,-)

i=1
3.4 En déduire que l'on a A2 = A.

3.5 Soit a l'endormorphisme de E dont A est la matrice dans la base @. 
Déterminer le noyau de a.

3.6 En déduire que % est une base orthonormale de E.

Tournez la page S.V.P.

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7.'.

6.6 Montrer alors successivement que l'on a 9 EUR [--%, %], 0 EUR [---- --] 
puis Vq EUR N, 0 EUR [ " 7r ].

7T
4'4 2Q'2Q

6.7 En déduire : Sp(A) : {l}
. Dans toute cette question, on étudie le cas n = 2.

Soit A une matrice non diagonalisable de g .

. 1
7.1 Montrer que A est semblable à une matrice du type T = (O ?>, où a est un 
complexe non nul.

7.2 Soit m E N*. Calculer Tm puis Noe(Tm).

7.3 Démonter lim N(T"') = +00, puis lim N(Am) : +00.
m----)+oo m-->+oo

7.4 En déduire que toute matrice de g est diagonalisable.

7.5 Décrire alors l'ensemble @ .

FIN DE L'ËPREUVE

IN CH 0 IS Y -- 131055 -- D'après documents fournis