E3A Maths B PSI 2011

Thème de l'épreuve Équation fonctionnnelle polynomiale. Strophoïde. Somme d'une série de fonctions.
Principaux outils utilisés polynômes, courbes paramétrées, convergence normale, intégrales à paramètre
Mots clefs strophoïde, courbe elliptique, équation fonctionnelle polynomiale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 e :s a CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques B PSI Durée 4 b Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des*initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Exercice I Soit C[X ] l'ensemble des polynômes à coefficients complexes. Dans tout cet exercice, on identifie les éléments de C[X ] et leurs fonctions polynomiales associées. Soit P E C[X ] un polynôme non nul vérifiant la relation (*) P(X2 -- 1) = P(X - 1)P(X + 1) (1) Montrer que, si a est une racine de P alors (a + 1)2 ---- 1 et (a -- l)2 -- 1 sont aussi des racines de P. (2) Soit ao E C.. On définit la suite de nombres complexes (an)n_>_o en posant, pour tout n 2 O, an+1 : a,2, + 2a,, . (a) Vérifier que, lorsque ao est une racine de P, pour tout entier naturel n, le nombre complexe an est une racine de P. (b) Montrer que, lorsque ao est un réel strictement positif, la suite (%)n20 est une suite strictement croissante de réels strictement positifs. (0) En déduire que P n'admet pas de racine réelle strictement positive. (cl) Montrer que --1 n'est pas racine de P. (e) Montrer que, pour tout n EUR N, on a an + 1 : (ao + 1)2n. (3) Déduire des questions précédentes que, si a est une racine complexe de P, alors |a + 1|- --- 1. On admettra que l'on a aussi la ---- 1|-- - 1. (4) Montrer que si le degré de P est strictement supérieur à 0 alors P a pour unique racine O. (5) Déterminer alors tous les polynômes P E C[X ] qui vérifient la relation (*). Exercice II fl--1 fl+1' Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, fi, 3"), soit C la courbe paramétrée définie Soit ça la fonction définie sur IR par . tEUR[--a,a] (b) Montrer que les séries de fonctions de terme général un et uÇ,J convergent uniformément sur [--a, a]. On admettra qu'il en est de même pour les séries de fonctions de terme général 'Un et ok. +00 +00 (3) On pose F = no + Zun + 21}... n=1 n=1 (a) Démontrer que F est de classe C'1 sur R. Ecrire l'énoncé précis du théorème utilisé. (b) Démontrer que F est paire. (0) Démontrer que F est 2n--périodique. Partie B (1) Montrer que , pour tout entier naturel k, /WF(æ)co (k )dæ-- 7rcos(kas)dæ_'_Ë--Î/7r cos(kæ) dæ+Î/W cos(koe) da: 0 S 56 _ 0 1+ac2 n=1 0 1+(11:+2n7r)2 n=1 0 1+(a:----2n7r)2 En déduire les coefficients de Fourier réels de la fonction F. (2) Démontrer que, pour tout réel t, on a : +oo F(t) : %) + 2 ok cos (kt) k=1 où l'on précisera l'expression des réels ak. cos (as) 1 + 2 ds est convergente. 3 +00 (3) (a) Montrer que, pour tout réel &, l'intégrale ] 0 2 +°° k (b) Montrer que ak : ; /0 CÏS+( sî> ds. On pourra utiliser les changements de variables s = a: + 2n7r et r : 2n7r -- x. Partie C +oo Soit @ la fonction définie sur [O, +oo[ par çb(oe) : / COS (333) 0 1 + 32 ( 1) Montrer que qô est continue et bornée sur [O, +00[ et calculer çb(0)1 ds. (2) (a) Montrer que pour tout réel a: strictement positif, on a : (b) En déduire que la fonction 45 est dérivable sur ]0, +00[ et que l'on a 1 +00 t Va: > O, cb'(æ) : ;c/>(æ) -- 2OE2/0 G%dt. (0) Montrer alors que Va: > o, q5'(oe) : ï@(æ) _ Ê /... ÊÊS--(Ë)--ds. () (a) Montrer que gb est dérivable sur ]0, +00[ et, à l'aide d'une intégration par parties, que l'on a Vw > O, W(æ) : æçb(oe). (b) En déduire que (b est deux fois dérivable sur ]0, +00[ et vérifie l'équation différentielle : Væ > 0, @"<æ> = <æ>. (4) Déterminer alors ak pour tout k EUR N . (5) En déduire que, pour tout réel t, on a : 1 -- e"2 F") = m FIN DE L'EPREUVE

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 E3A Maths B PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Nicolas Weiss (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet est composé de trois exercices indépendants sur des sujets divers : · Le premier exercice est le plus facile : on y cherche des polynômes de C[X] vérifiant une certaine relation. Les théorèmes usuels sont mis en oeuvre, mais les questions ne présentent aucune difficulté particulière. · Le deuxième exercice étudie exhaustivement une courbe paramétrée. La première partie demande une bonne connaissance du cours afin d'aboutir au tracé de la courbe et de ses éléments caractéristiques. La deuxième partie, plus originale, définit une opération sur les points de la courbe, et requiert une certaine aisance dans les calculs. · Enfin, le troisième exercice, plus classique, traite de suites et séries de fonctions ainsi que de séries de Fourier. Il requiert une bonne connaissance des théorèmes habituels (les énoncés précis sont demandés dans certaines questions) et des hypothèses nécessaires à leur application. Finalement, ce sujet donne l'occasion de s'exercer sur trois sujets variés et classiques : les polynômes, les courbes paramétrées et les séries de fonctions. Il permettait aux examinateurs de s'assurer que le cours est bien maîtrisé et que les calculs ne posent pas de problème. Indications Exercice I I.2.c Utiliser la suite (an ) définie au début de la question pour trouver une infinité de racines au polynôme P. I.3 Raisonner comme à la question I.2.c en considérant les modules des racines an . I.5 Un tel polynôme n'admet que 0 comme racine. Exercice II II.A.1 Que vaut le point M(-t) par rapport au point M(t) ? II.A.2 Un point double est un point qui s'écrit M(t1 ) = M(t2 ) avec t1 6= t2 . Un point stationnaire M(t) vérifie x (t) = y (t) = 0. Pour les branches infinies, examiner les limites de x et de y quand t tend vers + - . II.A.3 Dresser le tableau de variation de x et de y. II.B.1.a Le déterminant est une forme multilinéaire alternée, on peut donc effectuer des opérations sur les lignes sans changer sa valeur. II.B.1.b Factoriser les lignes et les colonnes par les éléments apparaissant dans le résultat et soustraire ensuite la deuxième colonne à la première. - ---- II.B.2.a Le point M(t) appartient à (AB) si et seulement si les vecteurs AB et AM(t) sont colinéaires. Exprimer cette condition grâce au déterminant calculé précédemment. ---- II.B.2.b Le point M(t) appartient à cette tangente si et seulement si AM(t) et le vecteur de coordonnées (x (a), y (a)) sont colinéaires. Ceci s'exprime à nouveau à l'aide d'un déterminant. II.B.3 Montrer que F est le point A A. Exercice III III.A.2.a Dresser le tableau de variation de un et s'arranger pour que le point annulant la dérivée se trouve en dehors de [ -a ; a ]. III.A.3.a Il s'agit du théorème de dérivation des séries de fonctions. III.B.1 Il suffit d'intervertir, en le justifiant, somme et intégrale dans le calcul. III.C.1 Utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre. III.C.3.b Exploiter conjointement les questions III.C.2.c et III.C.3.a . III.C.4 Résoudre l'équation différentielle établie à la question précédente. III.C.5 Remarquer que la somme en jeu dans l'expression de la question III.B.2 est la partie réelle d'une autre somme facile à calculer. Les conseils du jury Bien que toutes les questions du sujet aient été abordées par certains candidats, le jury remarque « sans surprise » que « celles relevant de la géométrie ont été les plus délaissées » et trouve cela « tout à fait regrettable ». Il avertit qu'« à l'avenir des exercices de géométrie continueront à être posés ». En outre, le jury encourage l'attitude des élèves qui essaient « d'aborder les exercices dans leur globalité » et déplore que d'autres cherchent seulement à « grappiller des points sur les questions simples » sans même tenter de résoudre les plus délicates. Il a également été surpris par « l'hétérogénéité de certaines copies », qui mélangent affirmations absurdes (et fausses) et bonnes applications de théorèmes sophistiqués, soulignant la nécessité d'« approfond[ir] les notions fondamentales de base ». Rappelons enfin des évidences souvent ignorées : « un correcteur ne corrige que ce qu'il arrive à lire », donc une copie « mal soignée » ou « pleine de fautes » peut être sanctionnée ; certaines abbréviations sont locales à une classe donc « l'usage de sigles est à proscrire ; TGSCV, CVS, CV, CNTS... ne seront plus acceptés » ; « une bonne connaissance du cours permet d'obtenir un bon nombre de points », il est donc nécessaire de « citer/vérifier que toutes les hypothèses soient satisfaites avant d'appliquer un résultat du cours » et de « justif[ier] avec rigueur tout résultat énoncé ». Exercice I I.1 Soit a une racine de P. La relation () appliquée d'une part en X = a - 1 et d'autre part en X = a + 1 donne P((a - 1)2 - 1) = P(a - 2)P(a) = 0 P((a + 1)2 - 1) = P(a)P(a + 2) = 0 et d'où Si a est une racine de P, (a - 1)2 - 1 et (a + 1)2 - 1 le sont aussi. I.2.a Soit a0 une racine de P. Montrons, par récurrence sur n N, que la propriété P(n) : « an est une racine de P. » est vraie pour tout n > 0. · P(0) est vraie par hypothèse. · P(n) = P(n + 1) : d'après le résultat de la question précédente, puisque an est racine de P, an+1 = an 2 + 2an = (an + 1)2 - 1 est également racine de P. · Conclusion : Pour tout n N, an est une racine de P. I.2.b Soit a0 un réel strictement positif. Montrons, par récurrence sur n N, que la propriété suivante est vraie pour tout n > 0 : P(n) : « an+1 > an > 0 » · P(0) : comme a0 > 0, a1 = a0 2 + 2a0 > a0 > 0. · P(n) = P(n + 1) : puisque an > 0, an+1 = an 2 + 2an > an > 0. · Conclusion : Si a0 > 0, alors (an )n>0 est une suite strictement croissante de réels strictement positifs. Pour chacune de ces deux questions, une récurrence immédiate aurait suffi. Mais c'est le début du corrigé, et votre correcteur sera plus enclin à vous pardonner des imprécisions plus loin si le début de votre rédaction est irréprochable... Le rapport du jury signale en effet que ce premier exercice « permettait notamment d'évaluer les candidats maîtrisant des raisonnements classiques : analyse-synthèse, par l'absurde, récurrence » et rappelle que « "la suite (un ) est croissante" n'est pas une hypothèse de récurrence ». En outre, remarquons que les deux propriétés à démontrer dans ces questions sont indépendantes, et elles vont même s'exclure mutuellement à la question I.2.c . Il est donc logique que l'auteur du sujet ait séparé ces deux points. I.2.c Raisonnons par l'absurde en supposant que P possède une racine a0 strictement positive. Dans cette hypothèse, tous les réels an de la suite définie au début de cette question seraient des racines de P (d'après le résultat de la question I.2.a), et ils seraient distincts puisque cette suite est strictement croissante (d'après le résultat de la question I.2.b). Ainsi, P admettrait une infinité de racines distinctes, donc il serait égal au polynôme nul, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'énoncé. Par suite, Le polynôme P n'admet pas de racine strictement positive. Il ne faut pas oublier dans cette question d'exhiber une infinité de racines distinctes. Cette propriété est ici assurée par le caractère strictement croissant de la suite construite. I.2.d Raisonnons par l'absurde en supposant que -1 est racine de P. Alors le résultat de la question I.1 assure que ((-1) - 1)2 - 1 = 3 serait une racine de P, ce qui est impossible d'après la conclusion de la question précédente. Par conséquent, -1 n'est pas racine de P. I.2.e Montrons, par récurrence sur n N, que la propriété P(n) : n « an + 1 = (a0 + 1)2 » est vraie pour tout n > 0. 0 · P(0) : (a0 + 1)2 = a0 + 1 n+1 · P(n) = P(n + 1) : an+1 + 1 = an 2 + 2an + 1 = (an + 1)2 = (a0 + 1)2 d'après l'hypothèse de récurrence. · Conclusion : n N n an + 1 = (a0 + 1)2 I.3 Soit a une racine complexe de P. Définissons la suite (an )n>0 comme à la question précédente en posant a0 = a. D'après le résultat de la question I.2.a , les complexes an sont tous racines de P. n · Si |a + 1| > 1, alors la suite (bn )n>0 des modules bn = |an + 1| = |a0 + 1|2 serait strictement croissante, et P admettrait une infinité de racines distinctes, ce qui est impossible puisqu'il est non nul.