E3A Maths B PSI 2011

Thème de l'épreuve Équation fonctionnnelle polynomiale. Strophoïde. Somme d'une série de fonctions.
Principaux outils utilisés polynômes, courbes paramétrées, convergence normale, intégrales à paramètre
Mots clefs strophoïde, courbe elliptique, équation fonctionnelle polynomiale

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e :s a
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 b

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des*initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I

Soit C[X ] l'ensemble des polynômes à coefficients complexes. Dans tout cet 
exercice, on
identifie les éléments de C[X ] et leurs fonctions polynomiales associées. Soit 
P E C[X ] un
polynôme non nul vérifiant la relation

(*) P(X2 -- 1) = P(X - 1)P(X + 1)
(1) Montrer que, si a est une racine de P alors (a + 1)2 ---- 1 et (a -- l)2 -- 
1 sont aussi
des racines de P.

(2) Soit ao E C.. On définit la suite de nombres complexes (an)n_>_o en posant, 
pour
tout n 2 O, an+1 : a,2, + 2a,, .

(a) Vérifier que, lorsque ao est une racine de P, pour tout entier naturel n, le
nombre complexe an est une racine de P.

(b) Montrer que, lorsque ao est un réel strictement positif, la suite (%)n20 est
une suite strictement croissante de réels strictement positifs.

(0) En déduire que P n'admet pas de racine réelle strictement positive.
(cl) Montrer que --1 n'est pas racine de P.
(e) Montrer que, pour tout n EUR N, on a an + 1 : (ao + 1)2n.

(3) Déduire des questions précédentes que, si a est une racine complexe de P, 
alors
|a + 1|- --- 1. On admettra que l'on a aussi la ---- 1|-- - 1.

(4) Montrer que si le degré de P est strictement supérieur à 0 alors P a pour 
unique
racine O.

(5) Déterminer alors tous les polynômes P E C[X ] qui vérifient la relation (*).

Exercice II

fl--1

fl+1'

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, fi, 3"), soit C la courbe 
paramétrée définie

Soit ça la fonction définie sur IR par .
tEUR[--a,a]

(b) Montrer que les séries de fonctions de terme général un et uÇ,J convergent
uniformément sur [--a, a].

On admettra qu'il en est de même pour les séries de fonctions de terme général 
'Un
et ok.

+00 +00
(3) On pose F = no + Zun + 21}...
n=1 n=1

(a) Démontrer que F est de classe C'1 sur R. Ecrire l'énoncé précis du théorème
utilisé.
(b) Démontrer que F est paire.

(0) Démontrer que F est 2n--périodique.

Partie B

(1) Montrer que , pour tout entier naturel k,

/WF(æ)co (k )dæ-- 7rcos(kas)dæ_'_Ë--Î/7r cos(kæ) dæ+Î/W cos(koe) da:
0 S 56 _ 0 1+ac2 n=1 0 1+(11:+2n7r)2 n=1 0 1+(a:----2n7r)2

En déduire les coefficients de Fourier réels de la fonction F.

(2) Démontrer que, pour tout réel t, on a :

+oo
F(t) : %) + 2 ok cos (kt)
k=1

où l'on précisera l'expression des réels ak.
cos (as)

1 + 2 ds est convergente.
3

+00
(3) (a) Montrer que, pour tout réel &, l'intégrale ]
0

2 +°° k
(b) Montrer que ak : ; /0 CÏS+( sî> ds.

On pourra utiliser les changements de variables s = a: + 2n7r et r : 2n7r -- x.

Partie C

+oo
Soit @ la fonction définie sur [O, +oo[ par çb(oe) : / COS (333)
0

1 + 32
( 1) Montrer que qô est continue et bornée sur [O, +00[ et calculer çb(0)1

ds.

(2) (a) Montrer que pour tout réel a: strictement positif, on a :

(b) En déduire que la fonction 45 est dérivable sur ]0, +00[ et que l'on a

1 +00 t
Va: > O, cb'(æ) : ;c/>(æ) -- 2OE2/0 G%dt.

(0) Montrer alors que

Va: > o, q5'(oe) : ï@(æ) _ Ê /... ÊÊS--(Ë)--ds.
()

(a) Montrer que gb est dérivable sur ]0, +00[ et, à l'aide d'une intégration par
parties, que l'on a

Vw > O, W(æ) : æçb(oe).

(b) En déduire que (b est deux fois dérivable sur ]0, +00[ et vérifie l'équation
différentielle :
Væ > 0, @"<æ> = <æ>.

(4) Déterminer alors ak pour tout k EUR N .
(5) En déduire que, pour tout réel t, on a :
1 -- e"2

F") = m

FIN DE L'EPREUVE