E3A Maths B PSI 2010

Thème de l'épreuve Matrices q-commutantes. Moyenne arithmético-géométrique.
Principaux outils utilisés déterminants, endomorphismes de matrices, suites de fonctions, intégrales à paramètre

Corrigé

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 E' a 1OPSI11 CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP -- ARCHIMEDE Épreuve de Mathématiques B PSI Durée 4 h Si, au cours de l'é reuve un candidat re ère ce ui lui semble être une erreur d'énoncé d'une 9 ' part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. EXGI'CÎCG I_... Dans cet exercice les deux parties sont indépendantes. Le candidat pourra aborder la partie B en admettant le résultat de la question A(3)(b) Soit n un entier naturel non nul. On notera MAC) l'ensemble des matrices de dimension n >< n à coefficients dans @. On note respectivement I" et On la matrice identité et la matrice nulle de M...(C). Le déterminant d'une matrice A est noté det(A), sa trace Tr(A) et son polynôme caractéristique est désigné par PA (X ) Partie A (1) Soient A, B, C' et et D quatre matrices de MAC). (a) Justifier brièvement les relations suivantes entre les déterminants de matrices de M2n(C) définies par blocs et les déterminants de leurs blocs : In 0" In B A On det((On D))xdet(D), det((on In))=1 et det((On Ifi))ædet(A). AB (b) En déduire det( (O D )) : det(A) det(D). AO", CD (2) Dans toute la suite de cette partie, A, B, C et D sont quatre matrices de Mn((C) telles que DC == CD. Soit la matrice définie par blocs A B (c) De la question précédente, déduire det(( )) == det(A) det(D). A} l'aide du produit (â EUR) (___DC ?:), montrer que, si la matrice D est inversible, alors on a det(M) == det(AD --- BO). (3) Pour tout oe EUR C, on pose Doe = D ---- oeIn et Mm = (â EUR) EUR M2n(C). (a) Montrer que det(M'æ) = det(ADoe ---- BC) pour tout nombre complexe 513 $ S' où S est un sous--ensemble fini de C. AB (b) En déduire que l on a det (C' D ) : det(AD--BC) en toute généralité. Partie B Dans cette partie, q désigne un nombre complexe différent de 0 et de 1. On considère l'espace vectoriel Mg(< 2 à coefficients complexes. On rappelle que la base canonique de M2(C) est B = {E1,1, E1,2, E2,1, Egg} où 1 0 0 1 0 0 0 () E1,1 : (0 O) 7 E1,2 : (0 0) ) E2,1 : (]. 0) EURt E2,2 : (0 1) - Soit la matrice non nulle A = (Î Z) EUR M2(C). On pose À = (_î ;b). On définit les deux endomorphismes de M2(C) suivants : RAI M2(C) --> M2(C) [:At M2(C) --* M2(C) Xl-->AX Xl----+XA (1) Déterminer les matrices de RA et LA dans la base B. (2) Montrer que la matrice de l'endomorphisme RA -- q£A dans la base 8 est la matrice définie par blocs __ CLI2 -- th 1912 MA _-- ( 812 dlg -- th) ' (3) Montrer que l'on a successivement les égalités suivantes (a) det(MA) : det(A) det(À + q2A -- q(a + d)12), (b) det(MA) = (1 -- q)2 det(A) det( (__Î1--+qË)c "â1_+qälb) ), (c) det(MA) = (1 -- q)2 det(A) ((1 + q)2 det(A) -- q (Tr(A))2). (4) On suppose a présent que le polynôme caractéristique de A se décompose en le produit PA(X) = (X -- a)(X ---- 5) où 04,5 E C. (a) Montrer que l'on a det(MA) = PA(qa)PA(qB). (b) A l'aide des questions précédentes, montrer que les deux assertions sui-- vantes sont équivalentes : -- Il existe une matrice non nulle B de M2(C) telle que AB = qBA. ---- Onadet(A)=Ooua=qfioufl=qoe (5) Soit A un matrice de M2((C) telle qu'il existe une matrice B non nulle dans M2(C) avec AB : qBA où q E C \ {O, 1}. Montrer que A est semblable a une matrice de l'un des trois types suivants a 0 oz O 01 \ * A1:(O QC!) A2=(0 O) 813 A3--(O O) 011 (IEC. Exercice 11 .-- Dans cet exercice, la partie C peut--ètre traitée indépendamment des parties A et B. Partie A Soit (L un réel positif ou nul. On considère les suites réelles (a...)neN et (bn)neN définies par ao = @, bo = 1, an+1 = (1) Montrez que pour tout entier n > 0 on a (a) an>Oetbn>O (b) an+l "' bn+1= â"(_\/a--n-- \/--)2° (2) En déduire que, pour tout entier n __>_ 1, on a 0 S bn < bn+1 S an+1_<_ an- ------- (3) Montrer que, pour tout entier n > 1, on a (--\/ä7î \/b_)2< _ b... puis que, pour tout n _>_ 1, on a (4) En déduire que les suites (an)neN et (bn)neN sont convergentes et convergent vers la même limite. Partie B Désormais (a...)nEN et (bn)neN désignent les suites de fonctions définies sur [O, +oo[ en posant a0(oe) : a:, bO(:E) : 1, an+1(æ) : w et bn+1(a:) = an(oe)bn(æ). (1) Déduire de la partie A que les suites de fonctions (an)neN et (b...)neN convergent simplement sur [O, +oo[ vers une fonction f. (2) (a) Déterminer f(O) et f(1). (b) Montrer qu'on a \/Îfi S f (a:) 5 :c pour tout a: positif. (3) Soit A un réel strictement positif. Montrer que les suites de fonctions (an),,eN et (bn)nEURN convergent uniformément sur [O, A] vers f. (On pourra utiliser la question A(3). FIN DE L'EPREUVE

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 E3A Maths B PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Silvère Gangloff (ENS Ulm), il a été relu par Jules Svartz (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux exercices indépendants. Le premier, consacré à l'algèbre linéaire, établit une classification des matrices dites « q-commutantes », c'est-à-dire les matrices A de M2 (C) telles qu'il existe B M2 (C) et q C\{0, 1} vérifiant AB = qBA. Il est constitué de deux parties. · La première propose de démontrer le lemme suivant sur le calcul par blocs de déterminants : pour quatre matrices complexes A, B, C et D, carrées et de même taille où DC = CD, A B det = det(AD - CB) C D · La deuxième partie peut être traitée seule, en admettant le lemme précédent. Elle nécessite de maîtriser les notions de base d'algèbre linéaire comme le lien entre matrice carrée et endomorphisme. Quelques réductions de matrices interviennent à la dernière question. Le second exercice, consacré à l'analyse, étudie la régularité d'une fonction définie comme une limite de suites de fonctions. · La première partie porte sur l'étude de deux suites réelles interdépendantes (an )nN et (bn )nN définies par an+1 = an + b n 2 et bn+1 = an b n À l'aide de raisonnements usuels sur les suites numériques, on montre qu'elles convergent vers une même limite définie comme la moyenne arithmético-géométrique (ou moyenne de Gauss) de a0 et b0 . · Dans la deuxième partie, la construction précédente est étendue à des suites de fonctions. On établit que la moyenne arithmético-géométrique f des fonctions identité et constante égale à 1 sur [ 0 ; + [ est continue sur [ 0 ; + [. · La troisième partie est indépendante des deux précédentes. On y étudie une fonction g définie par une intégrale à paramètre sur un intervalle non borné. · Dans la quatrième partie, les résultats de l'exercice sont utilisés pour démontrer l'égalité 2f g = et conclure que f est de classe C 1 sur [ 0 ; + [. Ce sujet, assez classique, est un bon support de révision, autant pour les bases d'algèbre linéaire (déterminant, écriture matricielle) que pour les gros théorèmes d'analyse (convergence uniforme, régularité sous le signe intégrale, convergence dominée, changement de variable). Indications Exercice I I.A.1.a Penser au développement par rapport aux colonnes/lignes. A B I.A.1.b Montrer que la matrice peut se décomposer comme un produit On D des trois matrices évoquées dans la question I.A.1.a. I.A.1.c Utiliser l'invariance du déterminant par transposition. I.A.3.a Considérer pour S le spectre de D. I.A.3.b Utiliser la densité de C - S dans C. I.B.3.a Commencer par utiliser le résultat de la partie A. Montrer que e = det(A)I2 AA I.B.4.a Utiliser les expressions de det(A) et de Tr(A) en fonction de et . I.B.4.b Interpréter l'égalité AB = qBA en la liant à MA . Se servir de l'expression démontrée dans la question I.B.4.b. Exercice II II.A.1.a Raisonner par récurrence sur n. II.A.2 Utiliser les relations de récurrence de l'énoncé et l'égalité démontrée dans la question II.A.1.b. II.A.3 Développer le carré et s'appuyer sur les inégalités de la question II.A.2. Pour la seconde inégalité, lier la première au résultat de la question II.A.1.b. II.A.4 Se rappeler du théorème des suites adjacentes. II.B.2.a Montrer par récurrence que (bn (0))nN est nulle à partir du rang 1 et que les suites (bn (1))nN et (an (1))nN sont constantes égales à 1. II.B.2.b Utiliser les inégalités de la question II.A.2. II.B.4 Se rappeler le théorème de continuité d'une limite uniforme de fonctions continues sur tout intervalle de la forme [ 0 ; A ] avec A > 0. II.C.3.c Se servir d'un argument de parité. II.D.1 Raisonner par récurrence en s'appuyant sur l'égalité intégrale de la question II.C.3.c. II.D.2.b Utiliser une des inégalités de la question II.B.2.b. II.D.2.c Penser au théorème de convergence dominée. Les conseils du jury Le jury déplore certaines « escroqueries au calcul » et conseille de rédiger clairement et explicitement tous les calculs. En outre, le jury a relevé « les carences de nombreuses copies lorsqu'il faut faire appel au raisonnement », notamment le « peu de rigueur dans la rédaction des raisonnements par récurrence ». De manière générale, il faut convaincre le correcteur que tous les points d'une démonstration ont été compris, et pour cela mettre en évidence les outils employés à chaque étape de calcul ou de raisonnement. Exercice I Partie A I.A.1.a La relation det In On On D = det(D) est obtenue en développant le premier déterminant successivement n fois par rapport à la première colonne. Il en est de même pour la relation In B det =1 O n In Quant à la relation det A On On In = det(A) on l'obtient en développant successivement n fois par rapport à la dernière colonne. I.A.1.b Remarquons que la matrice par blocs de l'énoncé s'écrit comme le produit des trois matrices par blocs de la question précédente : A B In O n In B A On = On D On D O n In O n In Comme le déterminant est multiplicatif (c'est-à-dire que pour tout couple de matrices (H, K) M2n (C)2 on a det(HK) = det(H) det(K)), A B In O n In B A On det = det det det On D On D O n In O n In En utilisant les résultats énoncés dans la question I.A.1.a, on obtient A B det = det(A) det(D) On D I.A.1.c On déduit de la question I.A.1.b la relation t t A C = det( t A) det( t D) det t D On Comme le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée, on a de plus t A tC A On = det det t C D On D t t Du même argument il ressort det( A) det( D) = det(A) det(D), et finalement A On det = det(A) det(D) C D I.A.2 Le produit donné par l'énoncé se calcule par produit de matrices par blocs, en utilisant le fait que les matrices D et C commutent : A B D On AD - BC B AD - BC B = = C D -C In CD - DC D On D Par multiplicativité du déterminant et en utilisant les résultats des questions I.A.1.b et I.A.1.c, il s'ensuit : det(M) det(D) = det(AD - BC) det(D) Par conséquent, comme D est inversible, det(D) 6= 0, d'où Si D est inversible, det(M) = det(AD - BC). I.A.3.a Comme Dx commute avec C, d'après le résultat de la question I.A.2, l'inversibilité de Dx implique l'égalité det(Mx ) = det(ADx - BC). Définissons S comme le spectre de D. D'après le cours, S est bien fini, et pour x / S, Dx est inversible. On en déduit directement : Il existe un ensemble fini S tel que pour tout x / S, det(Mx ) = det(ADx - BC). I.A.3.b L'ensemble S étant fini, = inf xS | x6=0 |x| > 0 donc 2 {x C | 0 < |x| < } C - S et pour tout x C tel que 0 < |x| < , det(Mx ) = det(ADx - BC). Faisons tendre x vers 0 dans cette égalité. Considérons la norme N sur l'ensemble des matrices n × n définie pour toute matrice M = (mi,j ) par N(M) = max |mi,j |. Comme 16i,j6n On N(Mx - M) = N On on en déduit que On Dx - D Dx --- D x0 = N(Dx - D) = N(-xIn ) = |x|N(I2 ) = |x| et Mx --- M x0 Puisque l'application déterminant est continue sur M2n (C) (en effet, si on note l'application linéaire qui à une matrice associe ses coefficients det -1 est une application polynomiale), on obtient det(Mx ) --- det(M) x0 Par unicité de la limite, et det(ADx - BC) --- det(AD - BC) x0 det(AD - BC) = det(M) Une autre démonstration, consiste à dire que d'après la question I.A.3.a, les applications polynomiales x 7 det(Mx ) et x 7 det(ADx -BC) sont égales en tout point d'un ensemble infini (C - S) et donc sont égales sur tout C. Leurs valeurs en 0 sont donc égales, ce qui termine la démonstration. Le jury remarque que les termes « en toute généralité » ont été mal interprétés. Ici certains candidats ont pu penser que l'on demandait de démontrer le lemme pour une matrice D ne commutant pas nécessairement avec C. S'il est vrai que cette formulation de la question peut être mal interprétée, il est important de comprendre pourquoi les différentes hypothèses de l'énoncé sont formulées, à quel moment on les utilise, et par conséquent à quel moment on peut supprimer certaines de ces hypothèses. Ici il est bien nécessaire que D commute avec C, il suffit de considérer le contre-exemple suivant : 0 1 0 0 D=A= et C=B= 0 0 1 0