E3A Maths B PSI 2010

 

E' a 1OPSI11
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP -- ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'é reuve un candidat re ère ce ui lui semble être une erreur 
d'énoncé d'une
9 '

part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa

composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

EXGI'CÎCG I_... Dans cet exercice les deux parties sont indépendantes. Le 
candidat
pourra aborder la partie B en admettant le résultat de la question A(3)(b)

Soit n un entier naturel non nul. On notera MAC) l'ensemble des matrices de
dimension n >< n à coefficients dans @. On note respectivement I" et On la matrice identité et la matrice nulle de M...(C). Le déterminant d'une matrice A est noté det(A), sa trace Tr(A) et son polynôme caractéristique est désigné par PA (X ) Partie A (1) Soient A, B, C' et et D quatre matrices de MAC). (a) Justifier brièvement les relations suivantes entre les déterminants de matrices de M2n(C) définies par blocs et les déterminants de leurs blocs : In 0" In B A On det((On D))xdet(D), det((on In))=1 et det((On Ifi))ædet(A). AB (b) En déduire det( (O D )) : det(A) det(D). AO", CD (2) Dans toute la suite de cette partie, A, B, C et D sont quatre matrices de Mn((C) telles que DC == CD. Soit la matrice définie par blocs A B (c) De la question précédente, déduire det(( )) == det(A) det(D). A} l'aide du produit (â EUR) (___DC ?:), montrer que, si la matrice D est inversible, alors on a det(M) == det(AD --- BO). (3) Pour tout oe EUR C, on pose Doe = D ---- oeIn et Mm = (â EUR) EUR M2n(C). (a) Montrer que det(M'æ) = det(ADoe ---- BC) pour tout nombre complexe 513 $ S' où S est un sous--ensemble fini de C. AB (b) En déduire que l on a det (C' D ) : det(AD--BC) en toute généralité. Partie B Dans cette partie, q désigne un nombre complexe différent de 0 et de 1. On considère l'espace vectoriel Mg(< 2 à coefficients complexes. On rappelle que la base canonique de M2(C) est B = {E1,1, E1,2, E2,1, Egg} où 1 0 0 1 0 0 0 () E1,1 : (0 O) 7 E1,2 : (0 0) ) E2,1 : (]. 0) EURt E2,2 : (0 1) - Soit la matrice non nulle A = (Î Z) EUR M2(C). On pose À = (_î ;b). On définit les deux endomorphismes de M2(C) suivants : RAI M2(C) --> M2(C) [:At M2(C) --* M2(C)

Xl-->AX Xl----+XA

(1) Déterminer les matrices de RA et LA dans la base B.

(2) Montrer que la matrice de l'endomorphisme RA -- q£A dans la base 8 est la
matrice définie par blocs

__ CLI2 -- th 1912
MA _-- ( 812 dlg -- th) '

(3) Montrer que l'on a successivement les égalités suivantes

(a) det(MA) : det(A) det(À + q2A -- q(a + d)12),

(b) det(MA) = (1 -- q)2 det(A) det( (__Î1--+qË)c "â1_+qälb) ),

(c) det(MA) = (1 -- q)2 det(A) ((1 + q)2 det(A) -- q (Tr(A))2).

(4) On suppose a présent que le polynôme caractéristique de A se décompose en
le produit PA(X) = (X -- a)(X ---- 5) où 04,5 E C.

(a) Montrer que l'on a det(MA) = PA(qa)PA(qB).

(b) A l'aide des questions précédentes, montrer que les deux assertions sui--
vantes sont équivalentes :
-- Il existe une matrice non nulle B de M2(C) telle que AB = qBA.
---- Onadet(A)=Ooua=qfioufl=qoe

(5) Soit A un matrice de M2((C) telle qu'il existe une matrice B non nulle dans
M2(C) avec AB : qBA où q E C \ {O, 1}. Montrer que A est semblable a
une matrice de l'un des trois types suivants

a 0 oz O 01 \ *
A1:(O QC!) A2=(0 O) 813 A3--(O O) 011 (IEC.

Exercice 11 .-- Dans cet exercice, la partie C peut--ètre traitée indépendamment
des parties A et B.

Partie A

Soit (L un réel positif ou nul. On considère les suites réelles (a...)neN et 
(bn)neN
définies par

ao = @, bo = 1, an+1 =
(1) Montrez que pour tout entier n > 0 on a

(a) an>Oetbn>O

(b) an+l "' bn+1= â"(_\/a--n-- \/--)2°

(2) En déduire que, pour tout entier n __>_ 1, on a
0 S bn < bn+1 S an+1_<_ an- ------- (3) Montrer que, pour tout entier n > 1, on a

(--\/ä7î \/b_)2< _ b... puis que, pour tout n _>_ 1, on a

(4) En déduire que les suites (an)neN et (bn)neN sont convergentes et convergent
vers la même limite.

Partie B

Désormais (a...)nEN et (bn)neN désignent les suites de fonctions définies sur 
[O, +oo[
en posant

a0(oe) : a:, bO(:E) : 1, an+1(æ) : w et bn+1(a:) = an(oe)bn(æ).

(1) Déduire de la partie A que les suites de fonctions (an)neN et (b...)neN 
convergent
simplement sur [O, +oo[ vers une fonction f.

(2) (a) Déterminer f(O) et f(1).
(b) Montrer qu'on a \/Îfi S f (a:) 5 :c pour tout a: positif.

(3) Soit A un réel strictement positif. Montrer que les suites de fonctions 
(an),,eN
et (bn)nEURN convergent uniformément sur [O, A] vers f. (On pourra utiliser la
question A(3).

FIN DE L'EPREUVE